第九章 正弦稳态电路的分析课本部分习题

第九章 正弦稳态电路的分析

正弦稳态电路的分析应用相量法。通过引入相量法，建立了阻抗和导纳的概念，给出了KCL，KVL和欧姆定律的相量形式，由于它们与直流电路的分析中所用的同一公式在形式上完全相同，因此能够把分析直流电路的方法，原理，定律，例如，网孔法（回路法），结点法，叠加定理，戴维宁定理，等效电源原理等等直接应用于分析正弦电路的相量模型，其区别仅在于：（1）不直接引用电压电流的瞬时表达式来表征各种关系，而是用对应的向量形式来表征各种关系；（2）相应的运算不是代数运算，而是复数的运算，因而运算比直流复杂。但根据复数运算的特点，可画出向量图，利用向量图的几何关系来帮助分析和简化计算，从而扩大了求解问题的思路和方法。（3）引入了一些新的概念，如平均功率，无功功率，视在功率，复功率，最大功率传输，谐振等。认识以上区别，对正弦稳态电路的分析是有益的。

9-1试求图示各电路的输入阻抗Z和导纳Y。

解：（a）Z=1+

j2???j1?2j2?j1=1+j=1?2j?

111?2j Y=Z=1?2j=5=0.2?j0.4S

1?(b) Z=

?j?(1?j)?j?(1?j)=1?(1?j)?2?j?

112?j???0.4?j0.2S2?j5Y=Z I?j?C?R （c） Y=

1R?1j?C?1j?C?j?C?RRj?C?1S

11??1j?CY?j?C?3?RjR?C?1Z=

R?j1?C1??j??CR???CR?? ?

题9-1图

?d?Y?1140?j40?40?j401????0.025S40?j4040?j40?40?j40??40?j40?40 1?40?Y

Z?

?，根据KVL，得 ?e? 设端口电压相量为U U??j?LI??rI???j?L?r?I?

所以输入阻抗为

?UZ??j?L?r??I

Y?导纳

11?j?L?r??2SZj?L?rr???l?2

?，I?，根据KCL，得 ?f?设端口电压，电流相量为U I????I??I????1???I?222

???1I?U2j?C且有

所以输入阻抗

1?Ujj?CZ???????C?1??? I??1????Y?导纳

1?j?C?1???SZ

注：本题的求解过程说明，引入阻抗和导纳的概念以后，正弦电路的输入阻抗（或导纳）的定义

与计算和直流电路输入电阻（或电导）的定义与计算是相似的。即输入阻抗

?1UZ???YI

nn若有n个阻抗串联，等效阻抗

Z??Zk???Rk?jXk?k?1k?1

若有n个导纳并联，等效导纳为只不过Ｚ和Ｙ是复数。

Y??YK???Gk?jBk?k?1k?1nn

９－２

??????u?50sin?10t??Vi?400cos?10t??A4?，6?。试求电路中合适的元??已知图示电路中

件值（等效）。

解：把u用余弦函数表示有

???u?50cos?10t??V4??

u和I的相量形式为

??50??45?VU2

根据入端导纳的定义，有

??400?30?AI2,

?I400/2?30??Y???8?75?2.07?j7.73S??U50/2??45

既图示的两并联元件为电导和电容，其参数为 G?2.07S 7.73C?

??7.73?0.773F10

注：以上计算表明，导纳的模等于电流I与电压U的模值之比，导纳角等于电流I与电压U的相

?????位差，若导纳角

y?0，表示电流I超前电压U，导纳为电容性，反之为电感性。

??

9-3 附图中N为不含独立源的一端口，端口电压u，电流I分别如下列各式所示。试求没一种情况下的输入阻抗Z和导纳Y，并给出等效电路图（包括元件的参数值）。

?u?200cos(314t)V?i?10cos(314t)A；

（1）????u?10cos(10t?45)V??i?2cos(10t?90?)A?（2）

???u?100cos(2t?60)V??i?5cos(2t?30?)A?（3）

；

；

?u?40cos(100t?17?)V???i?8sin(100t?)A?2（4）?解：（1）u和i的相量为

。

??10?0?A??200?0?VUI22

?200UZ??20??10I根据输入阻抗的定义有

Y?

11??0.05SZ20

即等效电路为20?的电阻，如题解图（a）所示。

（2）u和i 的相量为

??10?45?VU2 ??2??90?AI2

?UZ??5?135???3.536?j3.536??I 则输入阻抗

Y?

11???135??0.2??135???0.141?j0.141SZ5 3.5363.536?0.3536H10 等效电路可视为一负电阻和电感的串联，电感L为

L?

??

负电阻可以用一受控源实验，如题解图（b）所示。受控电压源的控制系数?（3）u和i 的相量为

?3.536。

U??1002?60?V??5??30?AI2

?100U??60?(?30?)?j20?Z??5I 则输入阻抗

Y?

11???j0.05SZj20 2010H2 既等效电路为一电感，如题解图（c）所示，电感值L为

L? （4）u和i的相量为

20??

??40?17?VU2 ??8?0?AI2

?40U?17??5?17??4.78?j1.46?Z??=8I 则输入阻抗

Y?

11??0.2??17??0.191?j0.0585S?Z5?17

既等效电路为一个4.78?的电阻和一电感串联，电感值L为

L?

1.46??1.46?14.6mH100

电路如题解图（d）所示。也可以用一个0.191S的电导和一电感并联等效，如题解图（e）所示。电感值为

L?

11??0.171H??0.0585100?0.0585.

9-4 求附图（a），（b）中的电压U，并画出电路的相量图。

解：（a）电路的总导纳为

Y?

1111????0.2S5j1j15

?2?0?I?U???10VY0.2 故电压

??(j20?j25)?2?0???j10VU （b）根据KVL可得

图（a）和（b）对应的相量图如题解9-4图（a）和（b）所示。

???2?0?A,UI9-5 已知图示电路中求电压S，并作电路的相量图。

解：电路的总阻抗为

Z?4?j3?j5?4?j2?

??I?Z?2?0??(4?j2)?8?j4?8.94??26.565?VU 所以电压s

各元件的电压为

??4?2?0??8VU R

UL??j3?2?0??j6V

???j5?2?0???j10VU C

相量图如题解9-5图所示。

I2?10A,Us?9-6 附图电路中，

解：设I2为参考相量，既I2

102V,?U?I求电流和电压S，并画出电路的相量图。

???10?0?A，则ab两端的电压相量为

???j1?I???j1?10??j10VUab2

?U?I1?ab??j10A1 电流

I由KVL，得

?Us?jXLI?Uab?jXL?102??45?j10

...??I??I???j10?10?102??45?A12

=

.j10XL(1?j)?j10?j10(XL?1)?10XL

102因为US的有效值为

2，所以有恒等式

?10?22????10?XL?1????10XL? ?2?

既

XL?XL?21?04

1?1?4?从中解得

.XL?.2.14?1?2

.故US相量为

1Us?jXLI?Uab?j?102??45??j102

?5?j5? 相量图如题解9-6图所示。

102??45?V

9-7 附图中已知us=200

2cos?314t??/3?V ，电流表的读数为

2A，电压表V1，V2的读数均为

200V。求参数R，L，C，并做出该电路的相量图（提示：可先做相量图辅助计算）。 解法一：利用相量图求解。 因为电压

us，V1，V2的有效值均为200V，因此，构成的电压三角形为等边三角形ABC如题解图

.V所示。由题意知电压US相量为三角形的AB边，若2相量为CA边，则根据电容元件的电压，电流

?V关系得电流I相量超前290，那么I...?UIcos150与US的相位差为150，电源发出的功率P=s..?为负值。这是不合理的，由此可得V2相量应该是三角形的BC边，V1相量为CA边，电流I相量超

?前Us30，如题解9-7图所示。各相量为

.. U..S=200?60??V V1=200?120?V

I=2?90.. V2=200?0V?A

故根据欧姆定律的相量形式，有

200?0??jXc?.???j100?2jI

V2C?

.11??31.85?F?Xc314?100

200?120??R?jXL?.??100?30??2?90I

V1 即 R.?100cos30??86.6?

100sin30?L???0.159H?314

XL解法二：根据电压电流有效值关系，可得

Xc?C?V1200?2??100??CI2

11??31.85?F??100314?100

Z?R?jXL?.V1200??100?I2

.?Z的阻抗角为V1和I相量间的相位差，为简便计算，设I=2?0.A，V1200??1V=

.

200??s，V2=?j200V

，US=

由KVL得

..200??s=200??1?j200 cos?s?cos?1 sin?s?sin?1?1

1?2 ?1?30

即

把以上两式平方后相加，解得

sin?1?200?30??Z?.??100?30?86.6?j50??2?0I故有

V1所以 R.?86.6?

L?50??50?0.159H314

.显然本题用相量图解既直观又简便。

i9-8 附图中s求电流表

?142cos??t???mA，调节电容，使电压U=U??，电流表A1的读数为50mA。

A2的读数。

解法一：根据相量图计算。 设??0?，则各电压，电流相量为

Is.?14?0A， U?U?0?V?.

.I1.为电感性支路的电流，

I2.为电容性支路的电流，所以，

I1.滞后

U一角度?1，I2U90?超前

..。画相量图如题解9-8图所示。

I1I2Is，

，

...构成一直角三角

形。故电流表

A2的读数为

I2?I12?Is2?502?142?48mA

解法二：设??0?，应用相量法。由KCL，可得方程

? 14?0即

?50??1?jI2

14?50cos?1

j50sin?1?jI2?0

解得

?1?arccos14??73.74?50

由于支路1为电感性支路，电流滞后于电压，所以应取

?1??73.74?

?50sin?73.74?I2?0 因此

?AI?50sin73.74?48mA 22表的读数

????,如果要使I2US的相位差为90?（正交）Z??10?j50??，Z2??400?j10009-9附图中1，

和

..?应等于多少？如果把图中CCCS换成可变电容C，求?C。

解：由KCL，可得 由KVL，可得

I?I2??I2??1???I2

.......

Us?Z1I?Z2I2?Z1?1???I2?Z2I2??Z1?1????Z2?I2

...Us即

..?Z1?1????Z2?10?1????400?j?50?1????1000?

I2

???ZX1?200?60?100?j1003????Z?100?60?50?j503? X2?所以

电路的输入阻抗为

?Z??jX?Z??j1003?200?60?100? cx1 in1?Z??jX?Z??j1003?100?60?50?j503? cx2 in2

解法二：根据相量图计算。因为

I?..10031003.?0??1?0?AUC??j1003VUx?Zx?I?Zx?60?V相量图如题解9-13图所示，根据余弦定理，有

22U2?UC?UX?2UCUXcos30?

21002?1003?Ux?2?1003?Uxcos30?2U?300Ux?20000?0x即

.

??2

所以有

Ux?300?100?Zx?I2 V

???ZX1?200?60?100?j1003????Z?100?60?50?j503? X2?即

9-14 附图电路中，当S闭合时，各表的读数如下：V为220V，A为10A，W为1000W；当S 打开时，各表读数依次为220V，12A和1600W。求阻抗Z1和Z2，设Z1为感性。

解法一：由题意知，当开关闭合时电路的有功功率 P=1000W

视在功率 S?UI?220?10?2200V?A

2222Q?S?P?2200?1000?1959.6var 无功功率

根据功率和阻抗的关系可知

P1000??10?22I10Q1959.6X2?2??19.596?2I10

R2?故阻抗

Z2为 Z2?10?j19.596?

?1600W S当开关S打开，根据 P?UI?220?12?2640V?A

Q?S2?P2?26402?16002?2099.905var

可得电路的总电阻为

R?

P1600100???11.11?229I12 Q2099.905??14.58?22I2

X? 总电抗为 根据总阻抗 可得 由于

Z?R?jX?Z1?Z2?Z1?10?j19.596 Z1?Z?Z2?11.11?j14.58??10?j19.396?

Z1为感性，其X1?0，则Z2只能取10?j19.596?，因此有

Z1?11.11?j14.58??10?j19.596?

?Z?1.11?j5.016?5.137?77.52? 1即

?Z?1.11?j34.176?34.194?88.14? 1或

解法二：开关闭合时，由

P?UIcos?

cos??得

P10005??UI220?1011

??arccos?5??62.964?11

为U和I的相位差，也是阻抗

Z2的阻抗角，故

Z2?U220?????62.964??10?j19.596?I10

当开关S打开后，有

p1600??0.606UI220?12??arccos0.606??52.695? cos??即总阻抗为

Z?则

U220?????52.695??11.11?j14.58?I12

Z1?Z?Z2 结果同上。

U220??22?I10P1000R2?2??10?I102 Z2?解法三：开关闭合时。由

X??可得 2即

?Z2?2?R22??222?102??19.596?

Z2?10?j19.596?

开关打开后，电流增大，说明于总阻抗

Z1和Z2性质相反，即Z2为容性阻抗，有Z2?10?j19.596?。由

Z?总电阻

U220??18.33?I12

R? 所以总电抗为

P1600??11.11?I2122

2

X??Z?R2?18.332?11.112??14.58?Z?11.11?j14.58?Z1?Z?Z2

即

本题给出了交流参数测定的实验方法。

注：本题的求解说明，交流电路中的平均功率P，无功功率Q，视在功率S和电路的电压U，电流I，阻抗Z是相互联系的，满足关系式

P?UIcos?z?RI2Q?UIsin?z?XI2S?UI?ZI2?P2?Q2Z?

U?R2?X2I

熟练掌握这些关系式，对同一道题，可以有多种解答途径。

9-15 已知附图电路中，

Is?10A,??5000rad/s,R1?R2?10?,C?10?F,??0.5。求各

支路电流并做出电路的相量图。

解法一：设各支路电流如图所示。令Is.?10?0?A为参考相量，容抗为

XC?根据KCL，有Is...11??20??C5000?10?10?6

?I1?I2?10?0?A

由KVL，得

R1I1?R2I2??UC?0

.....?10I1?10I2?0.5?10?0???j20??0即

联立求解以上两方程，得

I1?5?j5?52??45?AI2?5?j5?52??45?A

相量图如题解9-15图所示。

解法二：应用结点法计算，对结点①列方程

..?1?Uc.1??????jXcIs??Is?R?R??U1??R?Is??R??2?11??1

....解得

U1? 所以电流为

.j?R1XcIs?Is?..11?R1R2j0.05?20?10?10?50?j50V?502?45?V0.2

???U?U50?j50?0.5?10???j20?1C?I1???5?j5AR110

I2?

.U1?5?j5AR2

.9-16已知附图电路中，

R1?100?,L1?1H,R2?200?,L2?1H,电压

Us?102V0,??10ra0/sd,I2?0,求其它各支路电流。

解：首先计算感抗，有

XL1??L1?100?,XL2??L2?100?

??1002?0?A,I?0U令s由2，知a，b两点等电位，故有

??I1?U1002?0?s??1??45?AR1?jXL1100?j100

???U??jXI?U?45?VL1L2L11?j100?1??45?100??I3根据

?UL2jXL2100?45????1??45A?100?90

??I??0I34，得

???I???1??45?AI43

注：本题中

L2和

Cj?L2?的并联支路实际发生了并联谐振，即

1j?C，入端阻抗

Zbo?1?j?L2??j?C??????1j?L2?????0Ij?C∞，因此，I2，可以看作断路。但3和I4不为零，他们的模值相同，相

?位相差180。

L2和C构成的回路中呈现电磁振荡。

9-17 如果图示电路中R改变时电流I保持不变，L，C应满足什么条件？ 解法一：列方程求解。

Y?j?C?输入导纳为

1R?j?L

?1??U?Y?U????Ij?C???R?j?L??? I电流为

I?的有效值为I?UY，即要使I不随R变，则

Y不随R变，而

1??1??R?j?L?j????j?C?C??j?C?Y?j?C?1??R?j?LR?j?L????????????

?L?显然当

1??L?CLC?时，即

12?2时，有

Y??C与

R无关。

解法二：通过取R的两个特殊值求解。取R?∞（开路）由图知，此时I??CU取R?0（短路），

1??I?U??C???L??因为I由图可得

不变。则有等式

?C??C?

1?L

LC?得

12?2

解法三：根据相量图计算。选电压U做参考相量，则电流

?????，当R从0～∞变化，IC超前90，IL滞后U不变，可知I的末端轨迹为CnD半圆弧。相

??I??I??IICL，且IL的末端沿半圆弧AmB移动，根据

量图如题解9-17图所示，由线段

?AC?CB?BD?IC可得

??2I??R?0?ILC

??UU?21j?Lj?C1LC?2?2即

9-18求附图电路电阻

?R2的端电压U?。

解：U为开路电压，R中无电流流过，由KVL知

???RgU??U?U1s

??U所以 根据欧姆定律，可得

?Us1?R1g

?R2gUs???R2gU???1?R1gU?

9-19图示电路中，已知

Is?60mA,R?1k?,C?1?F。如果电流源的角频率可变，那么在什么频率

?IC为最大？求此电流。

时，流经最右端电容C的电流解：RC并联支路的导纳为

Y?1?j?CR

1?CRC串联支路的阻抗为

Z?R?j

应用分流公式流经最右端电容C的电流为

1?IS?ISY?IC??11?YZ?ZY

?要使Ic有效值最大，需使1?YZ的模值最小，而

1??11????1?YZ?1??R?j???j?C??1?1?1?j??CR???C??R?CR? ???

?CR?显然当

1?0?CR

??即

113?3?10rad/s?6RC10?10

时，

?103f???159.155Hz2?2?

1?YZ最小，此时有

ICmax?11Is??60?20mA33

??0??L?1mH,R?1k?,Z?3?j5?I09-20已知附图电路中的电压源为正弦量，。试求：（1）当0时，C值为多少？（2）当条件（1）满足时，试证明输入阻抗为

R。

解（1）：图为电桥电路，当

??0I0时电桥处于平衡状态。满足

2R0?j?L?1L?j?CC

所以电容C值为

L1?10?3C?2??10?9F?1000pF2R0103

?? （2）当

??0I0时，把Z断开，输入阻抗为

1?L?R02?R0j??L????1??C?C????Zin??R?//R?j?L?0?0j?C?1????2R0?j??L???C??L?R02把C代入上式中有

1??2R0?j??L???C???RZin?R001??2R0?j??L???C??

9-21在附图电路中，已知

U?100V,R2?6.5?,R?20?,当调节触点c使Rac?4?时，电压表

的读数最小，其值为30V。求阻抗Z。

解法一：列方程求解。由KVL得

?R?R2U???Ucd?Uad?Uac??acUR2?ZR

设U时，

????100?0?，则上式改变Rac时，只改变Ucd的实部，虚部不变，因此，当Ucd的实部为零

为最小，即

?Ucd6.5?100?0?4650?j30???100?0???206.5?Z206.5?Z

从中解得

Z?

650?6.5?10?j15?6.5?3.5?j15?20?j30

??解法二：应用相量图来分析。设U?100?0V?U。ac?U和cb与U同相位（电阻支路）。设

???Z?RZ?jXZ当Z为感性，

其上电流落后U一角度，电压三角形为ABO；当Z为容性，其上电流超前U一角度，电压三角形为ADO如题解图所示。根据给定的条件（设Z为容性），可以推断d位于AD线段上某一点，而c点可在AO线段上滑动。要求

Ucd最小，即要求cd线段最短，故cd应垂直于AO。

根据题解9-21图示几何关系，可得Z上的电压

UZ?302?802?73?10V

202?30213?10IZ???AR6.56.52Z中流过的电流

UR2Z?所以

UZ73?1073??6.5??6.5?15.403?IZ1313?10

3030?arctan??76.866?8020

阻抗角

?Z??UZ??IZ??arctan考虑到感性容性两种情况，有

?Z?15.403??76.866?3.5?j15?

9-22附图电路是阻容移相装置。 （1） 如果要求图（a）中

??UC滞后电压US的角度为?/3，参数R，C应如何选择？

??UC滞后US的角度为?，即反相，R，C应如何选择？

（2） 如果要求（b）图中的

（3）如果图（b）中R和C的位置互换，又如何选择R，C？ 解（1）：方法一：应用分压关系有

??UC

?U1S??1j?C1?j?RCR?j?C

tan?US?3??RC1即 ?RC由题意知

?3

方法二：应用相量图分析。设I为参考相量，画相量图如题解9-22图所示。由图可得

?

tan?3?URRI??R?C1UCI?C

所以参数R，C满足关系?RC?3

??1?0?VU解（2）：设各支路电流参考方向如图（b）所示，应用倒退法求解。设C，则

??U?j?C?j?C?YI5CC ??ZI??Un2R5?UC?ZRYC?1 ??U?Y?ZY2?YI4n2CRCC ??I??I??ZY2?2YI345RCC

2222??ZI??Un1R3?Un2?ZRYC?2ZRYC?ZRYC?1?ZRYC?3ZRYC?1

??U?Y?Z2Y3?3ZY2?YI2n1CRCRCC

??I??I??Z2Y3?4ZY2?3YI123RCRCC

3322??ZI??USR1?Un1?ZRYC?5ZRYR?6ZRYC?1

把

ZR?R,YC?j?C代入上式，有

???jR3??C?3?5R2??C?2?j6R?C?1?1?5R2??C?2?j6R?C??R?C?3US?180??UU若上式中的虚部为零，实部为负值，则S超前C，故

6R?C??R?C??0

3??

解得 当?RC??RC?0???RC?6

??1?0，有US不合题意，舍去；

???296,有US满足题中要求。

当?RC?所以参数R，C应满足

?RC?6

ZR?解（3）采用上述方法，此时把

311,YC??j?CR代入US表示式中，有

2?1?1?1???????U?5?6?1S?j?RC??j?RC?j?RC?????1?

5?R?C?22?1??1??j??6????CR????RC???

令虚部为零，解得?RC→∞舍去，

?RC?16

?RC?当9-23

16时，

???29US，满足题中要求。

列出下列电路的回路电流方程和结点电压方程。已知

uS?14.14cos?2t?V,iS?1.414cos2t?30?A。

解：首先计算感抗和电容，画出电路的相量模型如题解9-23图（a），（b）和（c）所示。在图中设定回路电流绕行方向和结点编号。列方程如下： （a）回路电流方程

?????1?j8?I??I??I??U??10?0???2?j8?I1234S????3?j8?I??I??I??0???1?j8?I1234???I??1?30??I3S?1????I??I??2I???2?j??I4?0123?8?? ???U??10?0??Un1S??1??????0?2?Un2?U??Un1??n3??1?j8?????j8U??U???2?j8?U??1?30?n1n2n3?结点电压方程

（b）回路电流方程

??I??U??10?0???1?j0.25?I12S????I??0??I1??2?j0.25?I23????I???U???I2?2I34??????I3??2?j0.25?I4???U?????I?1?I2??1?U结点电压方程

??j4U??j4?U??j40?0??40?90???1?j8?Un1n2S????1??????j4U?2?j4?Un2???U?n1??1?j0.25????U????Un1

（c）回路电流方程

???I??I1????3I??U??10?0??2I1??4?4j?I23S??????I1?3I2?3I3?0?I????I3结点电压方程

???US???10?0??I??I?2Un1?Un2?1???U??1.5U??0.5U????I?n1n2n3???0.5U???0.5?j0.25?U??I?n2n3?????Un1?Un3?0

9-24求图示一端口的戴维宁（或诺顿）等效电路。

解（a）：先求开路电压

???0，所以有 ??0，故受控电流源aIUoc。由于开路，I??Uoc?ZUSR1?R2?Z

1R3j?CZ??1j?CR3?1R3?j?C其中

R3??Uoc所以

R3?Rj?CR3?1US3??R3R1?R2?R3?j?CR3(R1?R2)R1?R2?j?CR3?1??US

求短路电流。把ab短路，电路等效为题解9-24图（a1），由KVL，可得

??R1?R2?I?sc?aI?scR2?Us

??Isc电路的等效阻抗

?UsR1?R2?aR2

Zeq?UR3?R1?R2?aR2??oc??R1?R2?R3?j?CR3?R1?R2? Isc等效电路如题解图（a2）所示。

解（b）：求开路电压

?Uoc。由KVL，可列方程

??j5I??6I???6?j5?I?Uoc111

?6?06??I?A16?6?j1012?j10 其中

?6????6?j5???Uoc?12?j10???3?0V??则

求短路电流。把ab短路如题解9-24（b1）所示。由图可知

?6???I1??j5I??6?0?j10?I116A6?j5?j5Ij56j51?I2????A666?j56?j5

??I??I??6?j5?1?0?AIsc126?j5则

Zeq所以电路的等效阻抗

?U3?0?oc???3???Isc1?0

等效电路如题解图（b2）所示

解（c）：求短路电流。把ab短路如题解9-24图（c1）所示，由图可得

20?0??Isc???2jAj10

把电压源短路，求等效电导，有

Yeq?

11??0j10j10

等效电路为一电流源，如题解图（c2）所示。

9-25设

?/U?R1?R2?1k?,C1?1?F,C2?0.01?F。求图示电路的U21。

解：这是一个含有理想运放的电路问题。根据理想运放的“虚断”和“虚短”性质可得

?U?I1?1Z1

且 I1??U2?I2?Z2

??I?2

??UU1??2ZZ2则 1

?1?R1???j?C??R11??Z1??11?j?C1R1R1?j?C1?1?R2???j?C??R22??Z2??11?j?C2R2R2?j?C2其中

?UR2?1?j?C1R1?1?j10?3?105?j100?2???????55???1?j?CRRU1?j10?10?j?2211故

9-26求图示电路的U2?/U?1。

解：结点编号如图所示。应用结点电压法并根据理想运放的“虚短”，“虚断”性质可列方程为（电阻用电导表示）

??GU????G1?G2?G3?j?C1?Un12n2?G3Un3?U1G1 ①

??U?Un22 ②

??j?CU???G?j?C?U??0?GU3n12n232n3 ③

??0Un3 ④

把④式代入③式中得

???j?C2U?Un1n2G3 ⑤

把②，⑤式代入①式中，得

?U2??U1?

G1??G1?G2?G3?j?C1?j?C2?G2G3

?G1G3G2G3??2C1C2?j?C2?G1?G2?G3?111,G2?,G3?R1R2R3G1?式中

。

?u?141.4cos314t?30V,R1?3?,R2?2?,L?9.55mH。试求各S9-27图示电路中

??元件的端电压并做电路的相量图，计算电源发出的复功率。

解：感抗?L?314?9.55?10?3?3?,电流I?为

??U100??30S??I??17.15??60.96?AR1?R2?j?L5?j3

各元件的电压为

??RI?U??60.96??51.45??60.96?VR11?3?17.15

????RI?UR22?2?17.15??60.96?34.3??60.96V

??j?LI??j3?17.15??60.96??51.45?29.04?VUL相量图如题解9-27图所示。 电源发出的复功率为

?I???100??30??17.15?60.96??1470S?U.66?j882.26V?A s或 S??R1?R2?j?L?I2??5?j3??17.152?1470.6?j882.3V?A

?I??计算外，还以表示为S?U?I???I?ZI???ZI2S?U，或

注：一段电路的复功率除了用

?I???UI???S???P?jQ,?I???U??U?Y???U?2Y?S?US?UZZ。由于所以S把正弦交流

电路的平均功率，无功功率，视在功率联系在一起，通过计算复功率，我们可以方便地得到P，Q，S及复功率满足复功率守恒，即

cos?Z。

?S?0，通过验证复功率守恒，可以判断我们的分析计算结果是否正确。

4i?2cos10tA,Z1??10?j50??,Z2??j50?。求Z1,Z2吸收的复功率，S9-28附图电路中

??并验证整个电路复功率守恒，即有解：应用分流公式，可得

?S?0。

?I1

?I2?Z2I?j50?1?0?S????j5AZ1?Z210?j50?j50??I??1?j5?26?78.69?A?IS1

Z1,Z2吸收的复功率为

S1?Z1I12??10?j50??52?250?j1250V?A2S?ZI??j50?222

?26?2??j1300V?A

由于电流源两端的电压相量为 U??ZI?10?j50???j5??250?50jV 11?? 所以电流源发出的复功率为

?I????250?50j??1?0??250?50jV?AS?US

显然有S?S1?S2,即复功率守恒。

IS?10A,??1000rad/s,R1?10?,j?L1?j25?,R2?5?,?j9-29图示电路中

求各支路吸收的复功率和电路的功率因数。

解：

1??j15??C2。

R1,L串联支路的阻抗为

Z1?R1?j?L1?10?j25?

R2,C2串联支路的阻抗为

Z2?5?j15?

??10?0?AI应用分流公式，可得支路电流（设S）

?Z2I50?j150S?I1???8.77??105.25?AZ1?Z215?j10?Z1I100?j250S?I2???14.936?34.51?AZ1?Z215?j10

则各支路的复功率为

S1?Z1I12??10?j25??8.772?769.13?j1922.82V?A22??S?ZI?5?j15?14.936?1115.42?j3346.26V?A 22 2电流源发出的复功率为

?S?S?S?1884.55?j1423.42?2361.7??37.064V?A 12

电路的功率因数为

cos??cos??37.064??0.798

?是电路输入电压与输入电流之间的相位差，即

注：电路的功率因数角

???u??i，也是输入

??arctan阻抗的阻抗角，即

PX??arctan,QR也可用

表示，这样就有了多种计算

cos?的途径。

??10?45?VR?2?,?L?3?,?C?2S,UC9-30图示电路中。求各元件的电压，电流和电

源发出的复功率。

解：根据复数形式的欧姆定律，可得支路电流

??U?j?C?10?45??j2?20?135?AICC??U10?45C??I??5?45?ARR2

总电流

??I??I??20?135??5?45??20.62?120.96?AICR

电源电压

?US为

??j?L?I??U??j3?20.62?120.96??10?45??52.217??151.7?VUSC

则电源发出的复功率为

?I???52.217??151.7??20.62??120.96??1076S?U.71?87.34?S?49.97?j1075.55V?A电源发出的复功率也可这样计算

2S?j?LI2?RIR?j

12?IC?j3?20.622?2?52?j0.5?202?50?j1075.55V?A?C两种算法所得结果

的差异是由计算误差造成的。

?3R?R?10?,L?0.25H,C?10F,电压表的读数为20V，功率表的读数为129-31图示电路中

?U2?U120W。试求S和电源发出的复功率S。

解：由图知，功率表的读数P=120W是电阻的功率

R1和R2消耗的平均功率之和，即P?P1?P2，而R2消耗

P2为

2U2202P2???40WR210

所以

PW 1?120?40?802P?RI,可得 11根据

I?8080??22AR110

??20?0?VU设电压2，由元件电压，电流的相位关系可知

?IR?IC?U20?0?2???2?0?AR10?jIC

电流相量图如题解9-31图所示，由图可得

2IC?I2?IR?8?4?2A??arctan 即总电流为IIC2?arctan?45?IR2

??22?45?A。又因为

U120?2??10??CI2C

??解得电源角频率 则感抗为 ?L11??100rad/s?310?C10?10

?100?0.25?25?

???R?j?L?I??U???10?j25??22?45??20?0?US12电源电压

??10?j70V

?U202??0.283??98.13???10?j70U故 S

电源发出的复功率

?I?????10?j70??22??45??120?j160S?UV?A S

?I???22S?I2?R?j?L??U2或

???10?j25??20?2?2j?2?120?j160V?A

9-32图示电路中

??10??45?V,??103rad/sZR1?1?,C1?103?F,L1?0.4mH,R2?2?,US。求L（可

任意变动）能获得的最大功率。

解：这是一个求最大功率的问题，应用戴维宁定理比较方便。首先把图中的感抗和容抗为

ZL断开，如题解9-32图（a）所示。

jXL?j?L1?j103?0.4?10?3?j0.4??jXC??j

11??j3??j?3?6?C110?10?10

应用结点电压法计算开路电压。结点①的方程为

?11??10??45???10?0.5U????jU??0.5Un11n1?1?j?0.41?j2??

从中解得

则开路电压

??U??U1n1521?j?520.5?0.5j?j2.5?0.52 V

??R?0.5U??U??2?0.5U??U??52?90?UOC21111 V

用外加电源法求等效阻抗，电路如题解图（b）所示。图中

??1?j??0.4j?4?4j1??Z??R?//j?L?1?1j?C?1?j?0.4j10?6j1???U1??????I?1?0.5U?0.5??U11ZZ?? 由KCL，得

??U?R2??1????U??R?U??1??U11??Z2? ???Z由KVL，得

所以等效阻抗

Zeq

R2?1?R?ZU3?j??Z?2??2?j??11?0.5Z1?jI?0.5Z

根据交流电路的最大功率传输定理可知，当

?ZL?Zeq?2?j?

时获最大功率，且最大功率为

Pmax2Uoc52??4?28??2?6.25 W

注： 在交流电路中，当负载阻抗获得最大功率，称

?ZL?ZeqZL等于与其相接的含源一端口电路的等效内阻抗Zeq的共轭复数时，ZL为最佳匹配。若

ZL为纯电阻性负载，此时ZL获最大功率的条件是

ZL?Zeq。与共轭匹配相比，这时负载电阻获得的最大功率要小些。

??100?0???100rad/sUR?R?100?L?L?1HC?100?F12129-33附图,,,sV,。

求

ZL能获得的最大功率。

解：先计算感抗和容抗

XL1??L1?100?XL2??L2?100?

把

Xc?1?100??C

9-33图（a）所示，求端口U?，设电流I?，如题解ZL断开，外加电压U??I?关系。由于L2和

Ｃ并联部分发生并联谐振，即

Z?jXL2//??jXC???，可以看作开路，因此结点①的电压为

??U100?0S??U?jXL1??j100?50?1?j?n1R1?jXL1100?j100?? Ｖ

??U??UUn1????IC?IC??Ij?L2R2应用ＫＣＬ于结点②，有

??50?1?j??UU???Ij100100即

??50?50?1?j?IU

Zeq?50?1?j??解得

故一端口电路的开路电压和等效阻抗为

??50?0?Uoc

Ｖ，

其等效电路如题解图（b）所示，则当

?ZL?Zeq?50?1?j??时，获取最大功率，最大功率为

Pmax

?2U502oc??12.54?Req4?50

Ｗ

９—３４

1?1.5?L14?C2附图电路中已知：，R?1?，??10rad/s，电压表的读数为１０Ｖ，

电流表

A1的读数为３０Ａ。求图中电流表A2，功率表Ｗ的读数和电路的输入阻抗Zin。

1?1.5?L1??30?0?A?CLCI2解：令电流1，根据2和2并联且满足，可得电流

??I30?01???I????20?0?21.51.5

即表

Ａ

A2读数为２０Ａ

?总电流I为

??I??I??30?0??20?0??10?0?I12Ａ

P?RI2?1?102?100Ｗ

P?UIco?s

电阻Ｒ消耗的功率为

即功率表Ｗ的读数为１００Ｗ 又由于

cos??解得 说明

P100??1UI10?10

??0??U?同相位，则输入阻抗为 S和I?U10?0?SZin???1???I10?0

９－３５附图中的独立电源为同频正弦量，当Ｓ打开时，电压表的读数为２５Ｖ。电路中的阻抗为

Z1??6?j12??，Z2?2Z1。求Ｓ闭合后电压表的读数。

解：当Ｓ打开时，电压表的读数实际上是开路电压

把

Uoc，设

??25?0?Uoc

Ｖ

??IS断开，US短路，得等效阻抗为

Zeq?Z1Z222?Z1??6?j12??4?j8?Z1?Z233 UC为

开关Ｓ闭合后的等效电路如题解９－３５图所示。由图可知 电容电压

????j16?25???j16??100jU?UC?OC??Zeq?j164?j8?j161?j2

?44.72??26.565?VV?UC?44.72

Ｖ

故此时电压表的读数为

９-３６ 列出附图电路的结点电压方程和网孔电流（顺时针）方程 解（a）：结点电压方程 网孔电流方程：

??U??Un1S?11????1U?????0???1?Un2?U?n1n3??j5??j5?j5??????Un2?Un3??gU0????U?n1?Un3?U0 ??U??U??U??3Un1n2n3S????Un2?2I???j0.1U??U??0??Un1n2n3???U???Un3n1I??1?

??U??j5I2S????I2?gU0?????U0?j5I1?I2

解（b）：结点电压方程 网孔电流方程

??I??U??2I??2I13S???2I??j10I3??????I1?j10I2??2?j10?I3?0?I?????I3

9-37把3个负载并联接到220V正弦电源上，各负载取用的功率和电流分别为：（感性）；

P1?4.4kW,I1?44.7AP?6.6kW,I3?60A（容性）P2?8.8kW,I2?50A（感性）；3。求电源供给的总电流

?和电路的功率因数。

?0解：根据题意画电路如题解9-37图。设电源电压为220V

Z1?Z1??1,Z2?Z2??2,Z3?Z3??3 根据P

?UIcos?，可得

P14.4?103cos?1???0.447UI1220?44.7P28.8?103cos?2???0.8UI2220?50P36.6?103cos?3???0.5UI3220?60

?????63.42,??36.87,???60123即

因此各支路电流相量为

??44.7??63.42?A?I?1??50??36.87?A??I2?（感性元件电流落后电压）

??60?60?AI 3

总电流

??I??I??I??44.7??63.42??50??36.87??60?60??90?j18?91.79??11.31?AI123电路的功率因数为 cos??cos?11.31??0.981

??

9-38功率为60W，功率因数为0.5的日光灯（感性）负载与功率为100W的白炽灯各50只并联在220V的正弦电源上（

f?50Hz）

。如果要把电路的功率因数提高到0.92,应并联多大的电容？

解：令电源电压相量为U??220?0?V。电路如题解9-38图（a）所示，其中R为50只白炽灯的总电

阻，

RL?j?L为50只日光灯的阻抗。根据P?UIcos?，可得

I1?I2?P150?100??22.727AUcos?1220?1P250?60??27.273AUcos?2220?0.5

其相量为

???22.727?0?AI??27.273I??60A（感性） 12

故总电流为 I??I??I??22.727?27.273??60??42.98??33.33?A12

cos??cos?33.33??0.835

此时电路的功率因数为

??并联电容后，I1,I2不变，电路的总功率不变，即为

??P?P1?P2，当功率因数为0.92时，电路的总电流

I??P50??100?60???39.526A?Ucos?220?0.92

???39.526?????39.526??23.07?AI

?????23.07当时

??I???I??I??39.526??23.07??22.727?27.273??60??j8.128AIC12

故并联电容C为

C?

IC8.128??117.6?F?U20??50?220

'???j39.11A'I??23.07当时，可解得C，所需并联的电容C为

C'?

IC39.11??565.87?F?U2??50?220

C'?C，故选用C比较经济。

注：在线路上变脸电容C（见本题图示）。电路中原负载的电压，电流和功率均不改变，即负载的工作状态不变。但电路的功率因数提高了，见效了输电线电流I，从而减少了传输线损耗，提高了传输效率。

cos?设并联C前线路的总电流为I，功率因数为

相量图如题解9-38（b）图示，由几何关系可知

'，并联电容后，总电流为I，功率因数为cos?'，

''I?Isin??Isin??U?C C

PI?Ucos?将

可解得

I'?，

PUcos?'代入上式中，

C?

Ptan??tan?'2?U??

上式子可用做计算C的公式 9-39已知附图电路中，

I1?10A，I2?20A，其功率因数分别为?1?cos?1?0.8(?1?0)，

?2?cos?2?0.5??2?0?，端电压U=100V，??1000rad/s。

（1） 求图中电流表，功率表的读数和电路的功率因数；

（2） 若电源的额定电流为30A，那么还能并联多大的电阻？求并联该电阻后功率表的读数和电路

的功率因数；

（3） 如使原电路的功率因数提高到?解：（1）令U由题意知

?????arccos0.8??36.871 （容性） ?????arccos0.5?602 （感性）

?0.9需要并联多大的电容？

??100?0?V

则支路电流相量为

??10?36.87?AI1??20??60?AI 2

总电流相量为

??I??I??10?36.87??20??60??21.264??32.166?AI12

即电流表的读数为 A=21.264A 电路的功率因数 ?功率表的读数为

?cos?32.166??0.847

??W?UIcos??100?21.264?0.847?1800W

（2）并联电阻后总电流为

??I??I??I??18?100?j11.32I12RR

根据I=30A，可得等式

100??230??18????11.32?R??

22R?100/?900??11.32??18??10.22?????解得

2??18?100?j11.32?30??22.167?I10.22则电流

????0.926 ??cos??cos?22.167功率因数为

此时功率表的读数为W?UIcos??2778W

U21002W?1800??1800??2778.47WR10.22或

误差是计算造成的。

（3）原电路的cos??0.847，即tan??0.627

'现提高 cos?则并接电容

?0.9 即tan?'?0.484

1800??0.627?0.484??25.8?F23100?10

C?

PU2??tan??tan???'

9-40 求图示电路中Z的最佳匹配值。 解：把

US短接，Z断开，外加电压，求出输入阻抗。由题解9-40图可得

???U?UC??U????1???UCC???I??UCj?C????j?C?R?UCR1?1?

因此输入阻抗

?R1R??1???j?CR1?U?1Zin????122???11???j?CR1I????1????CR1?j?CR1

故Z的最佳匹配值为

?Z?Zin?R1??1???j?CR1??1???2???CR1?2

9-41当??5000rad/s时，RLC串联电路发生谐振，已知R=5?，L=400mH，端电压U=1V。

求电容C的值及电路中的电流和各元件电压的瞬时表达式。

解：电路如题解9-41图所示。串联谐振时电压U和电流I同相位，设U条件可得

????1?0?V，根据串联谐振

?0L?C?1?0C201?L?1?5000?2?400?10?3?0.1?F?1?0?U???I?0.2AR5??U??1?0?VUR??j?LI??j5000?400?10?3?0.2?j400UVL0???jUC

1??0C???j400??U?IL

则各元件电压的瞬时表达式为

uR?t??2cos?5000t?VuL?t??2?400cos?5000t?90??VuC?t??2?400cos?5000t?90??V

电流的瞬时表达式为 i?t??2?0.2cos?5000t?A

? 注：分析串联谐振问题要抓住串联谐振的条件和特点。由于谐振时端口电压U和电流I同相，需满足

??1?1?Z?R?j??L??R?L?00??0C??0C??即谐振条件为

I?达最小值，

。从而可得串联谐振时的特点为：（1）Z=R

UR达最大值；（2）

???U?ULC，即电感电压和电容电压大小相等，相位相反，往往

UL?UC?U；??cos??1，即P=UI；无功功率Q?QL?QC?0。 （3）电路的功率因数

9-42 RLC最大，

?u?102cos2500t?10V，当C?8?F时，电路中吸收的功率为串联电路的端电压

??Pmax?100W。

（1）求电感L和Q值；（2）作出电路的相量图。

Pmax?UI即cos??1，电路发生了串联谐振。

解：由题意可知

?0L?(1) 根据谐振的条件

1?0C可得

L?11?0.02H2?0C?2500?2?8?10?6

由

PmaxU2?UI?RI??100WR

2U2102R??1?P100max得

则电路的品质因数

Q?

?0LR?2500?0.02?501

（2）各电压，电流相量为

??10?10?VU?U?I??10?10?AR

??U??10?10?VUR??jQU??j50?10?10??500?100?VUL???U??500??80?VUCL

作出相量图如题解9-42图所示。

Q?注：RLC串联电路的品质因数

?0LR?1R?0C?1LULUC??RCUU。

9-43RLC串联电路中，R?10?，L=1H，端电压为100V，电流为10A。如把R，L，C改成并联接到同一

电源上。求并联各支路的电流。电源的频率为50Hz。

I?解：因为

U100??10AR10，根据串联谐振特点知，电路发生了谐振，由谐振条件

?0L?1?0C

C?可得

12?0L?1?2??50?2?1?10.13?F

把R，L，C接成并联电路如题解9-43图所示。 设U??100?0?V

则各支路电流为

?100?0?U?IR???10?0?AR10??U100?0??I??0.318??90?ALj?0Lj2??50?1?U??IC?Uj?0C?j?0.318?90?A?0L

总电流I为

???I??I??I??I??10?0?AICLRR

实际上电路处于并联谐振状态。

9-44附图电路中，

IS?1A，??1000rad/s时电路发生谐振，R1?R2?100?，L?0.2H。

当0?求C值和电流源端电压U。

??I?0??1?0?AIS解：设S

电路的入端阻抗为

???L?2R2?j?LR21Zin?R1?j???R1?2?2??CR2?j?L?R2???L?? 当电路发生谐振时，

2??LR21?j?2??2?C??R??L?2?

Zin的虚部为零，即

2?0LR21??022R2???0L??0C

从中解得电容

2R2???0L?1002?103?0.2C???25?F22232?0LR210?0.2?100

22???? 谐振时

??0L?2R2Zin?R1?22R2???0L?

电流源的端电压

?100??103?0.2?100100?10?0.22??32?2?180?

??ZI??180?1?0??180?0?VUins

9-45求附图电路在哪些频率时为短路或开路。 解：（a）电路的阻抗为

Z?j?L?j

显然，当

1?C

?L? 当?1???0?C 即

1LC时，Z?0，电路为短路

?0,或??∞时Z→∞，电路为开路。

（b）电路的总导纳为

Y?j?C?j显然，当

1?L

1???C??0?L 即

当

1LC时，

Y?0,电路为开路，

??0,或??∞时Y→∞，电路为短路。

（c）电路的总导纳为

?1???L1??L2???C111?Y?j?j?j???1?1?L2???L1????C??L1???L2??C1??1???? 显然，当

?L1??L2? 时，Y1???0?C1 即

1?L1?L2?C

?0，电路开路。

1????L1?0?C1 当 即

时，Y→∞，电路短路。 （d）电路的总导纳为

1L1C1

?C2?2??L1C2??1?C11?Y?j?j?C2?j???11????L1????C??L1????C1?????1?11?L1C1L1C2

显然，当

C??1?2??2L1C2?0C1 即

时，Y

?0，电路开路。

1????L1?0?C1当 即

Y→∞，电路短路。

1L1C1时，

9-46求附图电路的谐振频率。 解：（a）由图（a）知，当

??1?1???Y1?j??C??0,Y?j?C?2?1?L??2?L???01?2???

即

?1?

1L1C1,?2?1L2C2时

电路发生并联谐振。 当总阻抗

?11?j???C1?C2????L1?L2?11Y1?Y2???0Z????Y1Y2Y1Y2?1??1??????C??C??1?L??2?L??1??2??

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