2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题（精校word版，带解析）-历年自主招生考试数学试题大全

2016年清华大学自主招生暨领军计划试题

1．已知函数f(x)?(x2?a)ex有最小值，则函数g(x)?x2?2x?a的零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．取决于a的值 【答案】C

【解析】注意f/(x)?exg(x)，答案C．

2． 已知?ABC的三个内角A,B,C所对的边为a,b,c．下列条件中，能使得?ABC的形状唯一确定的有（ ）

A．a?1,b?2,c?Z

B．A?1500,asinA?csinC2asinC?bsinB C．cosAsinBcosC?cos(B?C)cosBsinC?0,C?60 D．a?3,b?1,A?600 【答案】AD．

03．已知函数f(x)?x?1,g(x)?lnx，下列说法中正确的有（ ） A．f(x),g(x)在点(1,0)处有公切线

B．存在f(x)的某条切线与g(x)的某条切线平行 C．f(x),g(x)有且只有一个交点 D．f(x),g(x)有且只有两个交点

2开心快乐每一天

【答案】BD

【解析】注意到y?x?1为函数g(x)在(1,0)处的切线，如图，因此答案BD．

4．过抛物线y2?4x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点，M为线段AB的中点．下列说法中正确的有（ ）

A．以线段AB为直径的圆与直线x??B．|AB|的最小值为4 C．|AB|的最小值为2

D．以线段BM为直径的圆与y轴一定相切 【答案】AB

3一定相离 211(|AF|?|BF|)?|AB|，于是以线段AB为直径223112的圆与直线x??1一定相切，进而与直线x??一定相离；对于选项B，C，设A(4a,4a)，则B(2,?)，

24aa12?2，最小值为4．也可将|AB|转化为AB中点到准线的距离的2倍去得到最小值；于是|AB|?4a?24a1对于选项D，显然BD中点的横坐标与|BM|不一定相等，因此命题错误．

2【解析】对于选项A，点M到准线x??1的距离为

x2y25．已知F1,F2是椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P是椭圆C上一点．下列说法中正确的有

ab（ ） A．a?B．a?2b时，满足?F1PF2?900的点P有两个 2b时，满足?F1PF2?900的点P有四个

C．?PF1F2的周长小于4a

a2D．?PF 1F2的面积小于等于

2开心快乐每一天

【答案】ABCD．

【解析】对于选项A，B，椭圆中使得?F1PF2最大的点P位于短轴的两个端点；对于选项C，?F1PF2的周

长

为

2a?2c?4a；选项

2D，

?F1PF2的面积为

11?|PF121|?|PF2|?|PF|?|PF|sin?FPF??a． ??121222?22?6．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中； 乙：我没有获奖，丙获奖了； 丙：甲、丁中有且只有一个获奖； 丁：乙说得对．

已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ） A．甲

B．乙

C．丙

D．丁

【答案】BD

【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD．

7．已知AB为圆O的一条弦（非直径），OC?AB于C，P为圆O上任意一点，直线PA与直线OC相交于点M，直线PB与直线OC相交于点N．以下说法正确的有（ ） A．O,M,B,P四点共圆 C．A,O,P,N四点共圆

B．A,M,B,N四点共圆 D．以上三个说法均不对

【答案】AC

【解析】对于选项A，?OBM??OAM??OPM即得；对于选项B，若命题成立，则MN为直径，必然有?MAN为直角，不符合题意；对于选项C，?MBN??MOP??MAN即得．答案：AC． 8．sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC是?ABC为锐角三角形的（ ） A．充分非必要条件 C．充分必要条件

开心快乐每一天

B．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】必要性：由于sinB?sinC?sinB?sin(?2?B)?sinB?cosB?1，

类似地，有sinC?sinA?1,sinB?sinA?1，于是sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC． 不充分性：当A??2,B?C??4时，不等式成立，但?ABC不是锐角三角形．

9．已知x,y,z为正整数，且x?y?z，那么方程A．8

B．10

1111???的解的组数为（ ） xyz2

D．12

C．11

【答案】B 【解析】由于

11113????，故3?x?6． 2xyzx若x?3，则(y?6)(z?6)?36，可得(y,z)?(7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,12)； 若x?4，则(y?4)(z?4)?16，可得(y,z)?(5,20),(6,12),(8,8)； 若x?5，则

311220???,y?,y?5,6，进而解得(x,y,z)?(5,5,10)； 10yzy3若x?6，则(y?3)(z?3)?9，可得(y,z)?(6,6))． 答案：B．

10．集合A?{a1,a2,?,an}，任取1?i?j?k?n,ai?aj?A,aj?ak?A,ak?ai?A这三个式子中至少有一个成立，则n的最大值为（ ） A．6

B．7

C．8

D．9

【答案】B

11．已知??1,??61,??121，则下列各式中成立的有（ ） A．tan?tan??tan?tan??tan?tan??3

000开心快乐每一天

B．tan?tan??tan?tan??tan?tan???3

C．

tan??tan??tan??3

tan?tan?tan?tan??tan??tan???3

tan?tan?tan?D．

【答案】BD

【解析】令x?tan?,y?tan?,z?tan?，则

y?xz?yx?z???3，所以

1?xy1?yz1?zxy?z?3(1?xy),z?y?3(1?yz),x?z?3(1?zx)，以上三式相加，即有xy?yz?zx??3．

类似地，有

111111111??3(?1),??3(?1),??3(?1)，以上三式相加，即有xyxyyzyzzxzx111x?y?z?????3．答案BD． xyyzzxxyz12．已知实数a,b,c满足a?b?c?1，则4a?1?4b?1?4c?1的最大值也最小值乘积属于区间（ ）

A．(11,12) B．(12,13) C．(13,14) D．(14,15)

【答案】B

/【解析】设函数f(x)?4x?1，则其导函数f(x)?21，作出f(x)的图象，函数f(x)的图象在x?4x?13处的切线y?13221121，以及函数f(x)的图象过点(?,0)和(,7)的割线(x?)?42733y?x?41141221121x?，如图，于是可得，左侧等号当x??或x??4x?1?(x?)?47337777311时取得； 右侧等号当x?时取得．因此原式的最大值为21，当a?b?c?时取得；最小值为233开心快乐每一天

137，当a?b??,c?时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为73?(144,169)．答案B．

4213．已知x,y,z?R,x?y?z?1,x2?y2?z2?1，则下列结论正确的有（ ） A．xyz的最大值为0 C．z的最大值为【答案】ABD

B．xyz的最大值为?D．z的最小值为?4 272 31 314．数列{an}满足a1?1,a2?2,an?2?6an?1?an(n?N*)，对任意正整数n，以下说法中正确的有（ ）

2A．an?1?an?2an为定值 B．an?1(mod9)或an?2(mod9)

C．4an?1an?7为完全平方数 D．8an?1an?7为完全平方数 【答案】ACD 【解析】因为

2222an?2?an?3an?1?an?2?(6an?2?an?1)an?1?an?2?6an?2an?1?an?122?an?2(an?2?6an?1)?an?1?an?1?an?2an，选项A正确；由于a3?11，故

2222an?aa?a?(6a?a)a?a?6aa?a?1n?2nn?1n?1nnn?1n?1nn??7，又对任意正整数恒成立，所以

4an?1an?7?(an?1?an)2,8an?1an?7?(an?1?an)2，故选项C、D正确．计算前几个数可判断选项B错

误．

2说明：若数列{an}满足an?2?pan?1?an，则an?1?an?2an为定值．

15．若复数z满足z?1?1，则z可以取到的值有（ ） z开心快乐每一天

A．

1 2

B．?1 2 C．

5?1 2 D．

5?1 2【答案】CD 【解析】因为|z|?取得．答案CD．

16． 从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（ ） A．6552 B．4536 C．3528 D．2016 【答案】C

【解析】从2016的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数．设从2016个顶点中选出k个构成正多边形，这样的正多边形有

115?15?15?15?1，等号分别当z?i和z?i时?|z|??z??1，故

2222|z|z2016个，因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去2016k52和1008．考虑到2016?2?3?7，因此所求正多边形的个数为

(1?2?4?8?16?32)(1?3?9)(1?7)?2016?1008?3528．答案C．

x2y21117．已知椭圆2?2?1(a?b?0)与直线l1:y?x,l2:y??x，过椭圆上一点P作l1,l2的平行线，

22ab分别交l1,l2于M,N两点．若|MN|为定值，则A．2 【答案】C

【解析】设点P(x0,y0)，可得M(x0?y0,

B．3

a?（ ） b

D．5

C．2

1211111x0?y0),N(x0?y0,?x0?y0)，故意4224212a24a2|MN|?x0?4y0为定值，所以2??16,?2，答案：C．

1bb44说明：（1）若将两条直线的方程改为y??kx，则为定值，则线段MN中点Q的轨迹为圆或椭圆．

2y18． 关于x,y的不定方程x?165?2的正整数解的组数为（ ）

a1?；（2）两条相交直线上各取一点M,N，使得|MN|bkA．0

B．1 C．2

D．3

开心快乐每一天

【答案】B

19．因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序．例如，三个实数a,b,c相乘的时候，可以有(ab)c,(ba)c,c(ab),b(ca),?等等不同的次序．记n个实数相乘时不同的次序有In种，则（ ）

A．I2?2 B．I3?12 C．I4?96 D．I5?120 【答案】B

n【解析】根据卡特兰数的定义，可得In?Cn?1An?1n?1n?1C2n?2?n!?(n?1)!C2n?1．答案：AB． n关于卡特兰数的相关知识见《卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利》．

20．甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军．4个人相互比赛的胜率如表所示：

表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4．那么甲刻冠军的概率是 ． 【答案】0.165

【解析】根据概率的乘法公式 ，所示概率为0.3(0.5?0.3?0.5?0.8)?0.165．

21．在正三棱锥P?ABC中，?ABC的边长为1．设点P到平面ABC的距离为x，异面直线AB,CP的距离为y．则limy? ．

x??【答案】

3 2开心快乐每一天

【解析】当x??时，CP趋于与平面ABC垂直，所求极限为?ABC中AB边上的高，为22．如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，中心为O,BF?的体积为 ．

3． 211BC,A1E?A1A，则四面体OEBF24

【答案】

1 9611111VG?EBF?VE?GBF??VE?BCC1B1?． 2221696【解析】如图，VOEBF?VO?EBF?

23．

?2?0(x??)2n?1(1?sin2nx)dx? ．

【答案】0

【解析】根据题意，有

2?2?0(x??)2n?1(1?sin2nx)dx??x2n?1(1?sin2nx)dx?0．

??2222?24．实数x,y满足(x?y)?4xy，则x?y的最大值为 ． 【答案】1

222232222222【解析】根据题意，有(x?y)?4xy?(x?y)，于是x?y?1，等号当x?y?231时取得，2因此所求最大值为1．

25．x,y,z均为非负实数，满足(x?为 ． 【答案】

12327)?(t?1)2?(z?)2?，则x?y?z的最大值与最小值分别22422?3 2开心快乐每一天

【解析】由柯西不等式可知，当且仅当(x,y,z)?(1,,0)时，x?y?z取到最大值

123．根据题意，有2x2?y2?z2?x?2y?3z?1313?(x?y?z)2?3(x?y?z)y,解得x?y?z?，于是

4422?3．于是2x?y?z的最小值当(x,yz)?(0,0,22?322?3． )时取得，为

22OB26．若O为?ABC内一点，满足S?A:S?BOC:S?COA?4:3:2，设AO??AB??AC，则

???? ．

【答案】

2 3242??． 993【解析】根据奔驰定理，有????z22?2?3?isin? ． 27．已知复数z?cos，则z?233z?z?2【答案】

13?i 223z25?5?13【解析】根据题意，有z?2?1?z2??z?cos?isin??i．

z?z?2332228．已知z为非零复数，z40,的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z所对应的向量OP的10z端点P运动所形成的图形的面积为 . 【答案】

200??1003?300 3

y?x?1,?1,?10104040z??【解析】设z?x?yi(x,y?R)，由于，于是如图，弓形面积为?40x240yz|z|?2?1,2?1,22?x?yx?y?开心快乐每一天

1??100?1?202?(?sin)??100，四边形ABCD的面积为2?(103?10)?10?1003?100. 26632100?200??100)?(1003?100)??1003?300. 于是所示求面积为2(3329．若tan4x?sin4xsin2xsinxsinx3???? ． ，则

cos8xcos4xcos4xcos2xcos2xcosxcosx3【答案】3 【解析】根据题意，有

sin4xsin2xsinxsinx???

cos8xcos4xcos4xcos2xcos2xcosxcosx?(tan8x?tan4x)?(tan4x?tan2x)?(tan2x?tanx)?tanx?tan8x?3．

30．将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个4?4的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有 种填法． 【答案】441000

31．设A是集合{1,2,3,?,14}的子集，从A中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A中元素个数的最大值为 ． 【答案】8

【解析】一方面，设A?{a1,a2,?,ak}，其中k?N*,1?k?14．不妨假设a1?a2???ak．

若k?9，由题意，a3?a1?3,a5?a3?7，且a5?a3?a3?a1，故a5?a1?7．同理a9?a5?7．又因为a9?a5?a5?a1，所以a9?a1?15，矛盾！故k?8．

,13,14}，满足题意． 另一方面，取A?{1,2,4,5,10,11综上所述，A中元素个数的最大值为8．

开心快乐每一天

1??100?1?202?(?sin)??100，四边形ABCD的面积为2?(103?10)?10?1003?100. 26632100?200??100)?(1003?100)??1003?300. 于是所示求面积为2(3329．若tan4x?sin4xsin2xsinxsinx3???? ． ，则

cos8xcos4xcos4xcos2xcos2xcosxcosx3【答案】3 【解析】根据题意，有

sin4xsin2xsinxsinx???

cos8xcos4xcos4xcos2xcos2xcosxcosx?(tan8x?tan4x)?(tan4x?tan2x)?(tan2x?tanx)?tanx?tan8x?3．

30．将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个4?4的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有 种填法． 【答案】441000

31．设A是集合{1,2,3,?,14}的子集，从A中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A中元素个数的最大值为 ． 【答案】8

【解析】一方面，设A?{a1,a2,?,ak}，其中k?N*,1?k?14．不妨假设a1?a2???ak．

若k?9，由题意，a3?a1?3,a5?a3?7，且a5?a3?a3?a1，故a5?a1?7．同理a9?a5?7．又因为a9?a5?a5?a1，所以a9?a1?15，矛盾！故k?8．

,13,14}，满足题意． 另一方面，取A?{1,2,4,5,10,11综上所述，A中元素个数的最大值为8．

开心快乐每一天

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