§14.1 幂级数 数学分析课件（华师大 四版） 高教社ppt 华东师大教材配套课件 - 图文

数学分析第十四章幂级数一般项为幂函数a(x?x)的函数项级数称为幂级数,这是一类最简单的函数项级数.幂级数在级数理论中有着特殊的地位,在函数逼近和近似计算中有重要应用,特别是函数的幂级数展开为研究非初等函数提供了有力的工具.nn0§1 幂级数一、幂级数的收敛区间二、幂级数的性质三、幂级数的运算*点击以上标题可直接前往对应内容§1 幂级数幂级数的收敛区间幂级数的性质幂级数的运算

幂级数的收敛区间

幂级数的一般形式为

?a(x?x)n0n?0?n?a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)???an(x?x0)??n2(1)为方便起见,下面将重点讨论x0?0的情形.即

?an?0?nx?a0?a1x?a2x???anx??.n2n(2)因为只要把(2)中的x 换成x?x0,就得到(1).首先讨论幂级数(2)的收敛性.

除了x=0之外, 幂级数(2)还有其他收敛点吗？

数学分析第十四章幂级数高等教育出版社后退

前进

目录

退出

§1 幂级数幂级数的收敛区间幂级数的性质幂级数的运算

?an?0?nx?a0?a1x?a2x???anx??定理14.1（阿贝尔定理）n2n(2)若幂级数(2)在x?x?0收敛,则对满足不等式|x|?|x|的任何x,幂级数(2)收敛而且绝对收敛;若幂级数(2)在x?x时发散, 则对满足不等式|x|?|x|的任何x,幂级数(2)发散.数学分析第十四章幂级数高等教育出版社§1 幂级数幂级数的收敛区间幂级数的性质幂级数的运算

证设级数?anx收敛,从而数列{anx}收敛于零nn?且有界,即存在某正数M, 使得

n?0|anx|?Mn(n?0,1,2,?).对任意一个满足不等式|x|?|x|的x,设xr??1,x则有nnxnnxnn|anx|?anx?n?|anx|?Mr.xx?n由于级数?Mr收敛,故由优级数判别法知幂级数

n?0(2)当|x|?|x|时绝对收敛.

数学分析第十四章幂级数高等教育出版社§1 幂级数幂级数的收敛区间幂级数的性质幂级数的运算

下面证明定理的第二部分. 设幂级数(2)在x?x时发散, 如果存在一个x0, 满足不等式|x0|?|x|, 且使级数?anx收敛, 则由定理得第一部分知, 幂级数

n0n?0?(2)应该在x?x时绝对收敛, 与假设矛盾. 所以对一切满足不等式|x|?|x|的x,幂级数(2)都发散. 注由定理14.1知道: 幂级数(2)的收敛域是以原点为中心的区间！这是非常好的性质.若以2R表示区间的长度, 则称R为幂级数的收敛半径.

数学分析第十四章幂级数高等教育出版社

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ezmt.html