第二章 赋范线性空间-黎永锦

第2章 赋范线性空间

虽然不允许我们看透自然界本质的秘密,

从而认识现象的真实原因,但仍可能 发生这样的情形：一定的虚构假设

足以解释许多现象.

L.Eurler (欧拉) (1707-1783,瑞士数学家)

E.Schmi在dt1908 年讨论由复数列组成的空间{(zi):?12?|zi?1?i|2??} 时引入记号

||z||来表示(?zizi),||z||后来就称为z的范数.赋范空间的公理出现在F.Riesz在 1918

i?1年关于C[a,b]上关于紧算子的工作中,但赋范空间的定义是在 1920到1922年间由 （1892—1945）、S.BanachH.Hahn（1879—1934）、E.Hylel（1884—1943）和 N.Wiener（1894—1964）给出的,其中以S.Banach的工作最具影响.

2.1赋范空间的基本概念

Peano在1888年出版的书Geometrical Calculus中引进线性空间是Giuseppe的.S.Banach在1922年的工作主要是建立具有范数的完备空间,以后为了纪念他称之为

Banach空间.他定义的空间满足三组公理,第一组公理定义了线性空间,第二组定义了范数,

第三组给出了空间的完备性.

定义2.1.1 设K是实数域R或复数域C,X是数域K上的线性空间,若||?||是X到R 的映射,且满足下列条件：

(1) ||x||?0且||x||?0 当且仅当x?0; (2) ||?x||?|?|||x||,对任意x?X和任意??K ;

37

(3) ||x?y||?||x||?||y||,对任意x,y?X .

则称||?||为X上的范数,而||x||称为x的范数,这时称(X,||?||)为赋范线性空间.

明显地,若(X,||?||)为赋范线性空间,则对任意x,y?X,定义d(x,y)?||x?y||时,(X,d)为度量空间,但对一般的度量空间(X,d),当X为线性空间时,若定义

||x||?d(x,0),则||x||不一定就是X上的范数.

例2.1.1 设s数列全体,则明显地,s为线性空间,对任意的x,y?s, 定义

d(x,y)??i?1?|xi?yi|

i!(1?|xi?yi|) 则

d(x,0)??i?1?|xi|

i!(1?|xi|) 但

d(?x,0)??i?1?|?||xi|?|?|d(x,0)

i!(1?|?||xi|)取x0?(1,0,?,0),?0?1,则 2d(?0x0,0)?而

121?12?1 3111|?0|d(x0,0)???

224因此

d(?0x0,0)?|?0|d(x0,0)

所以,d(x0,0)不是s上的范数.

问题2.1.1 对于线性空间X上的度量d, 它满足什么条件时,||x||?d(x,0)才能成为范数？

定理2.1.2 设X是线性空间,d是X上的度量,在X上规定||x||?d(x,0),则X成为赋范线性空间的条件是：

(1) d(x,y)?d(x?y,0),对任意x,y?X ；

38

(2) d(?x,0)?|?|d(x,0),对任意x?X和任意??K.

下面举出赋范线性空间的一些例子.

例2.1.3 对于l1?{(xi)|xi?K,是赋范线性空间.

例2.1.4 对于1?p??,lp?{(xi)|xi?K,??|xi?1?i|??},||x||??|xi|是l1的范数, 即(l1,||?||)i?1??|xi?1?i|p??}在范数

||x||?(?|xi|)

pi?11p下是赋范线性空间.

例2.1.5 l??{(xi)|xi?K,sup|xi|??}在范数||x||?sup|xi|下是赋范线性空间. 例2.1.6 c0?{(xi)|xi?K,limxi?0}在范数||x||?sup|xi|下是赋范线性空间.

i??例2.1.7 C[a,b]?{x(t)|x(t)为[a,b]上的连续函数},在范数||x||?sup|x(t)|下是赋范线性空间.

由于赋范线性空间在度量d(x,y)?||x?y||下是度量空间,因此,在度量所引入的序列收敛,开(闭)集、稠密和紧集等概念都可以在赋范线性空间中使用.

定义2.1.2 设X是赋范空间{xn}?X,x0?X, 若xn依度量d(x,y)?||x?y||收敛于x0, 即lim||xn?x0||?0,则称xn依范数||?||收敛于x0,记为

n??||?||xn???x0

在赋范线性空间中,仍然用U(x0,r)?{x?X|||x?x0||?r}记以x0为球心,r为半径的开球,用B(x0,r)?{x?X|||x?x0||?r}记以x0为球心,r为半径的闭球. 为了方便,用

SX?{x?X|||x||?1}记以0为球心,1为半径的闭单位球面. 用BX?{x?X|||x||?1}记

以0为球心,1为半径的闭单位球. 用UX?{x?X|||x||?1}记以0为球心,1为半径的开单位球.

例2.1.8 在Euclid空间R中,对于x?(x1,x2)可以定义几种不同的范数:

39

2||x||1?|x1|?|x2| ||x||2?(|x1|?|x2|)

2212||x||3?max{|x1|,|x2|}

B(x0,1)在不同范数下的形状为： B1?{x|||x||1?1}

B2?{x|||x||2?1}

B3?{x|||x||3?1}

40

则对x0?(0,0),r?1, 闭球

思考题2.1.1 设(X,||?||)是赋范线性空间,问开球U(x0,r)的闭包是否一定是闭

B(x0,r)?

思考题2.1.2 设(X,||?||)是线性空间,问闭球B(x0,r)内部是否一定是开球U(x0,r)?

在赋范线性空间中,加法与范数都是连续的.

定理2.1.8 若(X,||?||)是赋范空间xn?x0,yn?y0,则xn?yn?x0?y0. 证明 由||(xn?yn)?(x0?y0)||?||xn?x0||?||yn?y0||可知定理成立. 定理 2.1.9 若(X,||?||)是赋范空间,xn?x0,则||xn||?||x0||. 证明 由||xn||?||xn?x0||?||x0||和||x0||?||xn?x0||?||xn||,可知

|||xn||?||x0|||?||xn?x0||,因此||xn||?||x0||.

定义2.1.3 设(X,||?||)是赋范线性空间,若{xn}?X,||xm?xn||?0(m,n??)时, 必有x?X,使||xn?x||?0, 则称(X,||?||)为完备的赋范线性空间.

根据M.Frechet[Espacesabstraits,Gauthier?Villars,Paris,1928]的建议,完备的赋范线性空间称为Banach空间.

不难证明,R,co,lp(1?p??),l?都是Banach空间.

在数学分析中,曾讨论过数项级数,函数项级数,类似地,在赋范线性空间中,也可定义无穷级数.

定义2.1.4 设(X,||?||)是赋范线性空间,若序列{Sn}?{x1?x2????xn}收敛于某个x?X时,则称级数

n?xn?1?n收敛,记为x??xn?1?n.

定义2.1.5 设(X,||?||)是赋范线性空间,若数列{||x1||?||x2||????||xn||}收敛时, 则称级数

?xn?1?n绝对收敛.

41

在数学分析中绝对收敛的级数一定是收敛的,但在赋范空间上却不一定成立,先来看看下面一个定理.

定理2.1.10 设(X,||?||)是赋范线性空间,则(X,||?||)是Banach空间的充要条件为X的每一绝对收敛级数都收敛.

证明 设(X,||?||)是Banach空间,且

?xn?1?n绝对收敛,则由

?||xn?1?n||??可知,

对于Sn?x1?x2????xn,有

||Sn?p?Sn||?||xn?1???xn?p||?||xn?1||???||xn?p||?0(n??),

因此Sn是X的Cauchy列,由(X,||?||)的完备性可知,存在x?X使limSn?x,即

n???xn?1?n?x

反之,设X的每一个绝对收敛级数都收敛,则对于X的Cauchy列xn,对?k?1,有 2kn1?n2???nk?nk?1??, 使得

||xnk?1?xnk||?12k(k?1,2,?)

因而

?||xn?1?nk?1?xnk||???.

由假设可知

?(xn?1?nk?1?xnk)???收敛于某个x?X,即{xnk}收敛x,所以xn必收敛于

x,从而(X,||?||)完备.

事实上,在实数空间R中,正是由于R的完备性才保证了绝对收敛级数一定是收敛的.

定义2.1.6 设(X,||?||)是赋范线性空间,若M?X是X的线性子空间,则称(M,||?||)为(X,||?||)的子空间,若M还是(X,||?||)的闭集, 则称(M,||?||)为(X,||?||)的闭子空间.

明显地,若(X,||?||)是Banach空间,M为(X,||?||)的闭子空间,则(M,||?||)是

Banach空间,反之亦然.

42

定理2.1.11 设(X,||?||)是Banach空间,M为(X,||?||)的子空间,则(M,||?||)是

Banach空间当且仅当M是X的闭集.

证明 设(X,||?||)是Banach空间,当xn?M,且xn?x时,则{xn}为M的Cauchy列,因而{xn}收敛于 M上的一点,故x?M,即M??M,所以M是闭集.

反之,设{xn}?M为Cauchy列,则{xn}为 (X,||?||)的Cauchy列,由于(X,||?||)是

Banach空间,因此{xn}是收敛列, 即存在x?X使xn?x,又由于M是(X,||?||)的闭子

空间,因此x?M,即xn在M中收敛于x,所以(M,||?||)是Banach空间.

定义2.1.7 设X是线性空间,p为X上的一个实值函数,且满足： （1） p(0)?0；

（2） p(x?y)?p(x)?p(y),对任意x,y?X； （3） p(?x)?|?|p(x),对任意x?X,任意??K.

则称p为X上的半范数.

明显地,X上的范数一定是半范数,但对X上的半范数p,由于p(x)?0时不一定有x?0,因此半范数不一定是范数.

例2.1.9 在l?中,定义p1(x)?|x1|,易证p1(x)是l?中的半范数,但对于

x?(0,x2,?,xn,?),都有p1(x)?0,因此p不是l?的范数.

有什么办法能使(X,p)中的问题转化为赋范空间中来解决呢？

定义2.1.8 设X是线性空间,M是X的线性子空间,若x1?x2?M,则称x1与x2关于

M等价,记为x1~x2(M)

易知,等价具有下面的三个性质

（1） x~x（反射性）；

（2） x~y推出 y~x（对称性）； （3） x~y, y~z 推出x~z（传递性）.

43

明显地,若M是线性空间X的线性子空间,记x?{y|y~x(M),y?M}, 则x的全体在加法x?y?x?y和数乘?x??x下是线性空间,称为X对模M的商空间,记为X/M.

在商空间X/M中,对0?X,0?M, 即0是X/M的零元,而对X/M的每一元素

~~~~~~~~x,x都是唯一确定的,并且对于加法和数乘都是唯一确定的.

例2.1.10 对于l??{(xi)|sup|xi|???},取M?{(xi)|x1?0,sup|xi|???}, 则M为l?的子空间,对x,y?l?/M,当x?y时有x?y?M,即x1?y1?0, 这时l?/M~R

当(X,||?||)为赋范线性空间,M为X的闭线性子空间时,在X/M商空间中还可以定义范数,使X/M成为赋范线性空间.

定理2.1.14 设(X,||?||)是赋范线性空间,M为X的闭线性子空间,在X/M上定义范数||x||?inf{||y|||y?x},则(X/M,||?||)是赋范线性空间.

利用上面的技巧,不难证明,当p(x)为X上的一个半范数时,取

~~~~~~M?{x|p(x)?0},||x||?inf{||y|||y?x},

则(X/M,||?||)是一个赋范线性空间,且对任意x?X有, ||x||?p(x).

当X是空备赋范线性空间,M为X的闭子空间的,X/M还具有完备性.

定理2.1.15 设X是Banach空间,M为X的闭子空间,则X/M是Banach空间.

2.2 范数的等价性与有限维赋范空间

在同一线性空间上,可以定义几种不同的范数,使之成为不同的赋泛线性空间,但有时X上的几种不同范数诱导出的拓扑空间是一样的,有时却很不相同,这主要是X上的序列依范数收敛的不同引起的.

44

~~~定义2.2.1 设X是线性空间,||?||1和|||?||2是X上的两个不同范数,若对X中的序列

{xn},当||xn?x0||1?0时,必有||xn?x0||2?0,则称范数||?||1比范数||?||2强,亦称||?||2比||?||1弱.

若对X中的序列{xn},||xn?x0||1?0当且仅当||xn?x0||2?0则称范数||?||1与

||?||2等价.

定理2.2.1 设||?||1和||?||2是线性空间X上的两个不同范数,则范数||?||1比||?||2强当且仅当存在常数C?0,使得对任意x?X都有||x||2?C||x||1.

证明 若存在C?0,使||x||2?C||x||1,则明显地||xn?x||1?0时,有

||xn?x||2?C||xn?x||1?0,因而||?||1比||?||2强.

反过来,若范数||?||1比||?||2强,则必有C?0,使||x||2?C||x||1. 若不然,则对任意自然数n,存在xn?X,使||xn||2?n||xn||1. 令yn?xn,则

||xn||2||yn||1?||xn||11?

||xn||2n||xn||2?1矛盾,所以必存在

||xn||2故||yn?0||1?0,因而||yn?0||2?0,但这与||yn?0||2?C?0,使||x||2?C||x||1,对任意x?X成立.

推论2.2.2 设||?||1与||?||2是线性空间X上的两个不同范数,则范数||?||1与||?||2等价当且仅当存在常数C1?0,C2?0,使得对任意x?X,有

C1||x||1?||x||2?C2||x||1

推论2.2.3 设||?||1与||?||2是线性空间X上的两个等价范数,则(X,||?||1)是Banach空间当且仅当(X,||?||2)是Banach空间.

45

思考题2.2.1 若||?||1与||?||2是线性空间X上的两个不同范数,且(X,||?||1)和

(X,||?||2)都是Banach空间,是否就一定有||?||1与||?||2等价呢？

定义2.2.2 设X是n维线性空间,||?||是X上的范数,则称

(X,||?||)为n维赋范线性空间.

有限维赋范线性空间是Minkowski在1896年引入的,因此有限维赋范线性空间也称为Minkowski空间.

若(X,||?||)为n维线性空间,e1,e2,?,en为X的一组

线性无关组,则称e1,e2,?,en为(X,||?||) 的Hamel基,此时对任意x?X,x都可以唯一地表示成x???e

iin?1n定理2.2.4 设(X,||?||)是n维线性空间e1,e2,?,en是X的Hamel基,则存在常数C1及C2?0使得

C1(?|?i|)?||x||?C2(?|?i|)

22i?1i?1n12n12对任意x???e都成立.

iin?1nn证明 对于任意??(?i)?K,定义函数

f(?)?||??e||

iin?1nnn则对任意??(?i)?K,??(?i)?K,有

46

|f(?)?f(?)|?|||?||???e||?||??e|||iiiin?1ni?1nn??e???e||iiiii?1i?1nin?|?i?1ni?1??i|||ei||??i1n22|)(122|)

?(?|?ni?1i?||ei?1i122||)?M(n12?|?i??i这里M?(?||en?1ni||),因此f是Kn到R的连续函数.

2n122由于K的单位球面S?{(?i)?Kn|(?|?i?1i|)?1}是紧集,因此f在S上达到上

(0)(0)下确界,即存在?0?(?i),?0?(?i)?S,使得

f(?0)?inf{f(?)|??S}?C1 f(?0)?sup{f(?)|??S}?C2

n因此对任??(?i)?K,有

??||?||Kn故

?(?|?i?1ni122|)?S

C1?f(即

?)?C2

||?||KnC1(?|?i|)?||?1e1????nen||?C2(?|?i|)22i?1i?1n12n12

下面证明C1?0,容易知道C2?0的证法是类似的.

假设C1?0,则有f(?0)?||

??n?1n(0)iei||?0,故

47

??n?1n(0)iei?0

由{ei}是X的Hamel基可知,?i

(0)?0,从而?0?0,但这与?0?S矛盾.

定理 2.2.5 设X是有限维线性空间,||?||1与||?||2是X上的两个范数,则存在常数

C1?0, C2?0使得

C1||x||1?||x||2?C2||x||1

定理 2.2.6 有限维的赋范线性空间一定是Banach空间.

证明 若{xm}为n维赋范线性空间(X,||?||)的Cauchy列,则对于X的Hamel基

e1,e2,?,en有xm???ii?1n(m)ei,由

n12n12C1(?|?i|)?||x||?C2(?|?i|)

22i?1i?1 可知{?i(m)(m)}亦为Cauchy列,故存在?i?R,使得?i??i,因而有??(?i),使得

n12(?|?ii?1(m)??i|)?0

2 令x???i?1niei,则||xm?x||?0,因此{xm}是收敛序列,所以X是完备的.

在R中,M是列紧的当且仅当M是有界闭集,在有限维赋范空间中是否成立呢？下面就来讨论有限维赋范线性空间(X,||?||) 中紧集与有界闭集的关系.

定理2.2.7 设(X,||?||)是有限维的赋范线性空间,则M?X是紧的当且仅当M是有界闭集.

证明 设e1,e2,?,en为(X,||?||)的Hamel基,则对任意x?X,有x?nn??i?1niei

定义K到X的算子T:

48

T(?)???iei

i?1n 则存在C1?0,C2?0,使得

C1(?|?i|)?||T(?i)||?C2(?|?i|)

22i?1i?1n12n12从而T是Kn到X的连续算子,且是一一对应的. 由C1(?|?i?1ni|)?||T(?)||可知T?1是X到Kn的连续算子, 因此T是Kn到X的

2?112拓扑同构.所以M的紧集当且仅当 T是有界闭集.

(M)为Kn的紧集,从而M是X的紧集当且仅当M问题2.2.1 若赋范线性空间(X,||?||)的每个有界闭集都是紧集,则X是否一定为有限维的赋范线性空间？

为了回答上面的问题,先来讨论Riesz引理,这是F.Riesz在1918年得到的一个很漂亮的结果.

引理2.2.8 （Riesz引理）设M是赋范线性空间(X,||?||)的闭真子空间,则对任意

0???1,存在x??X,x??1,使得

x?x???

对任意x?M成立.

证明 由于M是X的闭真子空间,因此X\\M??,故存在y0?X\\M,令

d?d(y0,M)?inf{||y0?x|||x?M},

则d?0.

对任意0???1,由d的定义可知,存在x0?M,使得

d?||y0?x0||?令x??d?

y0?x0,则||x?||?1,且对任意x?M,有

||y0?x0|| 49

||x?x?||?||x?y0?x01||?||y0?(x0?||y0?x0||x)||

||y0?x0||||y0?x0||由x0?M,x?M和M是线性子空间,可知

x0?||y0?x0||x?M

因此

||y0?(x0?||y0?x0||x)||?d

故

||x?x?||?dd???

||y0?x0||d? 由Riesz引理,容易得到有限维赋范线性空间特征的刻画.

定理2.2.9 赋范线性空间(X,||?||)是有限维的当且仅当X的闭单位球

BX?{x|||x||?1}是紧的.

证明 明显地,只须证明BX是紧的时候,X一定是有限维的.

反证法,假设BX是紧的,但X不是有限维赋范线性空间,对于任意固定的x1?X,

||x1||?1,令M1?span{x1}?{?x1|??K},则M1是一维闭真子空间,取??可知,存在x2?X,||x2||?1且||x2?x||?1,由Riesz引理211对任意x?M1成立,从而||x2?x1||?. 22同样地,令M2?span{x1,x2},则M2是二维闭真空子空间,因而存在x3?X,||x3||?1,使||x3?x||?111对任意x?M2成立,从而||x3?x1||?且||x3?x2||?. 222利用归纳法,可得一个序列{xn}?BX,对任意m?n,有

||xm?xn||?1 2因而{xn}不存在任何收敛子序列,但这与BX是紧集矛盾,由反证法原理可知X是有限维赋范线性空间.

推论2.2.10 赋范线性空间X是有限维当且仅当X的每个有界闭集是紧的.

50

对于无穷维赋范线性空间X的紧集的刻画,就比较困难.在C[0,1]中,容易看出

A?{f(x)||f(x)|?1}?C[0,1]是C[0,1]的有界闭集,但不是紧集.为了讨论C[0,1]子集的紧性,

需要等度连续的概念,它是由Ascoli和Arzelà同时引入的.

定义2.2.3 设A?C[0,1],若对任意的??0,都存在??0,使得对任意的f?A,任意的x,y?[0,1],|x?y|??时,一定有|f(x)?f(y)|??,则称A是等度连续的.

Ascoli给出了A?C[0,1]是紧的充分条件, Arzelà在1895年给出了A?C[0,1]是紧的必要条件,并给出了清楚的表达.

定理2.2.11 (Arzelà-Ascoli 定理) 设A?C[0,1],则是紧的当且仅当A是有界闭集, 且A是等度连续的.

2.3 Schauder基与可分性

一个Banach空间,如果想把它看作序列空间来处理,最好的办法是引入坐标系,常用的方法是引入基的概念, Schauder基是J.Schauder[ZurTheoriestetigerinFun?

ktionalraumen,MathematischeZeitschrift,26(1927)pp.47?65.]引入的.

定义2.3.1 Banach空间(X,||?||)中的序列{xn}称为X的Schauder基,若存在对于任意x?X,都存在唯一数列{an}?K,使得

x???n?1?nxn

容易看到,有限维赋范线性空间一定具有Schauder基.

例2.3.1 在l1中令en?(0,?,0,1,0,?),则{en}为l1的Schauder基,明显地,在

c0,c,lp(1?0??)中,{en}都是Schauder基.

e1928年还在C[0,1]中构造一组基,因而C[0,1]也具有Schauder基. J.Schaud在

具有Schauder基的Banach空间具有许多较好的性质,它与Banach空间的可分性有着密切联系.

51

令yn?取zn?由于

xn,则||yn||?1,且|f(yn)|?n. ||xn||yny1y?,z0??1, f(yn)f(y1)f(y1)||zn?z0||?||yn||yn||1||???0 f(yn)|f(yn)|n因而zn?z0,且f(zn)?f(yny?1)?0,即zn?N(f),从而由N(f)是闭集可f(yn)f(y1)知z0?N(f),但这与f(z0)??1矛盾,因此当N(f)是闭子空间时,f一定是连续的. 从上面的讨论容易看出,X上的全体连续线性泛函是一个线性空间,在这个线性空间上还可以定义其范数.

定义2.4.3 设f为X上的线性连续泛函,则称

||f||?supx?0|f(x)| ||x|| 为f的范数.

明显地,若记X上的全体线性连续泛函为X,则在范数||f||下是一赋范空间,称之为

?X的共轭空间.

虽然H.Hahn在1927年就引起了共轭空间的概念,但S.Banach在1929年的工作更为完全些.

容易看出,对于任意f?X,还有||f||?sup|f(x)|?sup|f(x)|.

||x||?1||x||?1 但对于具体的赋范空间X,要求出X上的连续线性泛函的范数,有时是比较困难.

例2.4.8 设f为l1的连续线性泛函,若取{ei}为l1上的Schauder基,则对任意x?(xi),有x??xei?1?ii, 故f(x)??xi?1?i?if(ei),因而

??|f(x)|?|?xf(e)|??|x||f(e)|?sup|f(e)|(?|x|)

iiiiii?1i?1i?1从而||f||?sup|f(ei)|. 取ei?(0,?0,1,0,?0)?l1, 则||ei||?1, 且

57

||f||?||f||||ei||?|f(ei)|, 故||f||?sup|f(ei)|,所以||f||?sup|f(ei)|.

设M是赋范线性空间X的子空间,f为M上的连续线性泛函,且存在C?0,使得

|f(x)|?C||x||对任意x?M成立,则f是否可以延拓到整个范空间X上？这一问题起源

于n维欧氏空间Rn上的矩量问题. S.Banach 在1920年提交的博士论文中,用几何语言将它推广到无限维空间．1922年,H.Hahn发表的论文也独立地得出类似结果． H.Hahn 在1927年将结果更一般化,在完备的赋范线性空间研究了这一问题,并证明了在X上f存在连续延拓F,使得|F(x)|?C||x||对一切x?M成立,且对一切x?M,有F(x)?f(x). 1929年,S.Banach独立地发表了与H.Hahn相近的定理和证明,并把一定理推广为一般的情形,这就是下面的Hahn?Banach延拓定理.

定理2.4.9 设M是实线性空间X的线性子空间,f为M上的实线性泛函,且存在X上的半范数p(x)使得

|f(x)|?p(x), 对任意x?M成立

则存在f在X上的延拓F,使得

(1) |F(x)|?p(x), 对任意x?X成立; (2) F(x)?f(x), 对任意x?M成立.

iuA.Sobczyk 在 1938 年还把Hahn?Banach定理推广到复线 H.F.Bohnehb与

性空间.

定理2.4.10 设M是复线性空间X的复线性子空间,f为M上的线性泛函,p是X上半范数且满足

|f(x)|?p(x), 对任意x?M成立

则存在f在X上的延拓F,使得

(1) |F(x)|?p(x), 对任意x?X成立; (2) F(x)?f(x), 对任意x?M成立.

58

利用线性空间的Hahn?Banach延拓定理,可以建立赋范线性空间上的保范延拓定理,它是Banach空间理论的基本定理.

定理2.4.11 设M是赋范线性空间X的线性子空间,f为M上的连续线性泛函,则存在

X上线性连续泛函F,使得

(1) ||F||X??||f||M? ;

(2) F(x)?f(x), 对任意x?M成立.

这里||F||X?表示F在X?的范数, ||f||M?表示f在M?的范数.

证明 由于f为M上的连续线性泛函,因此对任意x?M,有|f(x)|?||f||M?||x||. 定义半范数p(x)?||f||M?||x||,则有|f(x)|?p(x),对任意x?M.由线性空间的

Hahn?Banach定理可知存在F,使得

F(x)?f(x), 对任意x?M

且

|F(x)|?p(x), 对任意x?X

因此对于任意x?X,有|F(x)|?||f||M?||x||,故F为X上的连续线性泛函,且

||F||X??||f||M?.

反过来,由

||F||X??sup|F(x)||F(x)||f(x)|?sup?sup?||f||M?

x?X,x?0||x||x?M,x?0||x||x?M,x?0||x||可知||F||X??||f||M?, 且F(x)?f(x)对任意x?M成立.

在上面定理中,若X是复赋范线性空间,则M必须是复线性子空间.很有意思的是

H.F.Bohnehbius和A.Sobczyk在1938年证明在任意无穷维复Banach空间X中,一定

存在实线性子空间M,在M上有一复连续线性泛函不能保范延拓到X上.

问题2.4.2 在Hahn?Banach定理中,什么条件下保范延拓是唯一的？

例2.4.12 在X?{(x1,x2)|x1,x2?R}上,定义范数||x||?||(x1,x2)||?|x1|?|x2|. 令M?{(x1,0)|x1?R}, 明显地，M是赋线性空间X的线性子空间,对

y?(x1,0)?M,定义f(y)?x1,则

59

|f(y)|?|x1|?||y||

故||f||M??1,且对x0?(1,0),有||x0||?1,|f(x0)|?1,因而||f||M??1,但对X上的线性泛函

F1(x)?x1?x2

F2(x)?x1?x2

这里x?(x1,x2)?X 在M上,都有

F1(y)?f(y) F2(y)?f(y)

对任意的y?(x1,0)?M成立. 在M上有F1?f,F2?f,且

||F1||X??||F2||X??||f||M?,因此F1,F2是f的两个不同的保范延拓.

定理2.4.13 设(X,||?||)是赋范空间,M是X的子空间,x0?X,d?d(x0,M)

?inf{||x0?y|||y?M}?0,则存在f?X?,使得

（1）对任意x?M,f(x)?0； （2）f(x0)?d； （3）||f||?1.

证明 令E?span{M?{x0}},则对任意x?E,x有唯一的表达式x?x'?tx0,这里

?t?K,x'?M.

在E上定义泛函g：

g(x)?td

则g为E上的线性泛函,且 （1）g(x0)?d；

（2）对任意x?M,g(x)?0.

60

对x?x'?tx0,不妨假设t?0.由

|g(x)|?|g(x'?tx0)|?|t|d,d?inf{||y?x0||y?M}

可知

|g(x)|?|t|d?|t|||?x'x'?x0||?|t|||?x0||?||x'?tx0||?||x||. tt因此g是E上的线性连续泛函,且||g||M??1.

根据Hahn?Banach定理,有连续线性泛函f?X,使得 （1）对任意x?E,f(x)?g(x)； （2）||f||?||g||.

由d?inf{||x0?y|||y?M}?0,可知存在xn?M,使得||xn?x0||?d. 故

?d?|f(x0)|?|f(xn)?f(x0)|?||f||?||xn?x0||?||f||d因此||f||?1,所以||f||?1,且对所有x?M,有f(x)?0.

特别地,当M?{0}时,对任意x0?0,有d(x0,M)?||x0||,因此由上面定理可知下面推论成立.

推论2.4.14 设X是赋范线性空间,则对任意x0?X,x0?0,有f?X,使得

?f(x0)?||x0||,且||f||?1.

该结论的重要意义在于它指出了任意赋范线性空间X上都存在足够多的线性连续泛函.

由下面推论还可知道X中两个元素x,y,若对所有f?X,都有f(x)?f(y),则一定有x?y.

推论2.4.15 设X是赋范线性空间,x,y?X则x?y当且仅当对存在f?X使得

??f(x)?f(y).

证明 假设x?y,则对z?x?y,有||z||?0,因此Hahn?Banach定理的推论可知存在||f||?1,使得f(z)?||z||?0,从而f(x)?f(y).

61

矛盾,所以由反证法原理可知x在M中存在唯一的最佳逼近元.

最后,值得注意的是,严格凸性不是拓扑性质,它与范数的选取有关.

2例2.5.8 在R中,如果取范数||x||?(|x1|?|x2|),则(R,||?||)是严格凸的,但对于

22212另一个范数||x||1?|x1|?|x2|, (R,||?||1)不是严格凸的,并且范数||?||1和||?||等价.

2V.Istratescu还将严格凸性推广到复严格凸性,复严格凸性在取值于复Banach空间的

解析函数理论中有着重要应用[V.Istratescu,I.Istratescu,Oncomplexstrictlyconvex

spaces.I.J.Math.Anal.Appl.70(1979),no.2,423?429.]

习题二

nnnn2.1 在R,对任意x?{x1,?,xn}?R,定义上R的几个实值函数,使得它们都是R范数.

2.2 设X为赋范线性空间,||?||为X上的范数,定义

?0,当 x ? y 时；d(x,y)??

?||x?y||?1，当 x ? y 时.试证明(X,d)为度量空间,且不存在X上的范数||?||1,使得d(x,y)?||x?y||1.

1p1/p2.3在C[0,1]中,定义||x||p?(?0|x(t)|dt)(1?p??),试证明||?||是C[0,1]的范数.

2.4设M是赋范空间X的线性子空间,若M是X的开集,证明X?M. 2.5试证明c0是l?的闭线性子空间.

2.6设X是赋范线性空间,若?n,??K,xn,x?X,?n??且xn?x,试证明?nxn??x. 2.7设X是赋范线性空间,若xn?x,yn?y,试证明xn?yn?x?y. 2.8 试证明en为lp(1?p??)的Schauder基.

2.9 设e0?(1,1,???,1)，试证明{e0,e1,e2,??,en,???}为c的Schauder基.

2.10 在l?中,若M是l?中只有有限个坐标不为零的数列全体,试证明M是l?的线性子空间,但M不是闭的.

67

2.11 设||?||1和||?||2为线性空间X上的两个等价范数,试证明(X,||?||1)可分当且仅当

(X,||?||2)可分.

2.12 设f:R?R,满足f(x?y)?f(x)?f(y)对任意x,y?X成立，若f在R上连续,试证明f是线性的.

2.13设f和g为线性空间X上的两个非零的线性泛函,试证明它们有相同的零空间当且仅当存在k,使得f?kg.

n?2.14设X是有限维Banach空间,{xi}i?1为X的Schauder基,试证明存在fi?X,使得

fi(xi)?1,且fi(xj)?0,对i?j成立.

2.15设f为赋范线性空间X上的非零的线性泛函,试证明M?{x?X|的非空闭凸集.

2.16设X是赋范空间,M为X的闭线性子空间,x0?X\\M,试证明存在f?X,使得

?f(x)?1}是Xf(x0)?1,||f||?1,且f(x)?0,对所有x?M成立.

d(x0,M)ni?1为

2.17设X是有限维空间,{xi}X的Schauder基,对任意x?X,x???ixi, 定义泛函

i?1nfi(x)??i,试证明fi?X?.

2.18设X是严格凸空间,试证明对任意,x,y?X,x?0,y?0且||x?y||?||x||?||y||时,有

??0 使得y??x.

2.19试在l1构造一个新范数||?||1,使得(l1,||?||1)是严格凸空间. 2.20试证明l1和l?都不是严格凸的赋范线性空间.

??2.21设X是严格凸的,试证明对于任意x?X,||x||?1,有且仅有唯一的fx?X,||fx||?1,

使得fx(x)?1.

2.22举例说明在赋范线性空间中,绝对收敛的级数不一定是收敛级数. 2.23设F?X,试证明对任意x?X,x都可以写成一个收敛级数

?xi?1?i的和,且每一项xi都

68

属于F.

2.24 设是X赋范线性空间,xn,x?X,xn?x,试证明对任意f?X?,有

f(xnx)?f(). ||xn||||x||2.25 试证明赋范线性空间X是完备的当且仅当度量空间(S,d)是完备的,这里单位球面

S?{x?X|||x||?1},度量d(x,y)?||x?y||.

2.26在C[0,1]中,M?{x(t)|x(a)?x(b),x?C[a,b]},试证明M是C[0,1]的完备线性子空间. 2.27在C[0,1]中,试证明A?{x(t)||x(t)|?1}?C[0,1]是C[0,1]的有界闭集,但不是等度连续的.

222.28 在R中,取范数||x||?|x1|?|x2|，M?{(x1,0)|x1?R},则M为R的线性子空间,2对x0?(0,1)?R,试求出y0?M,使得||x0?y0||?d(x0,M).

69

巴拿赫

S.Banach1892年3月30日生于波兰的一个叫Ostrowsko

的小村庄,出身贫寒.S.Banach1916年结识H.Steinhaus后,H.Steinhaus告诉S.Banach一个研究很久尚未解决的问题.几天后,S.Banach找到了答案,S.Banach就和Kraków科学院会报H.Steinh一起写了论文，联名发表在a上. Stefan Banach (1892-1945)

1920年, Lomnicki教授破格将S.Banach安排到Lvov技术学院当他的助教.同年,Banach提交了他的博士论文“关于抽象集合上的运算及其在积分方程上的应用”(Sur les opérations dans les ensembles abstraits etleur applicationaux équtions intégrales),并取得博士学位.该论文发表在1923年的《数学基础》(FundamentaMathematicae)第3卷上,大家都将它看为泛函分析学科形成的标志之一.1922年,S.Banach通过讲师资格考核,1924年任该大学教授.1929年，S.Banach和H.Steinhaus创办了泛函分析的刊物StudiaMathematica.

1932 年,S.Banach出版了《线性算子理论》Théorie des óperations linéaires,这本书汇集了S.Banach的研究成果,对推动泛函分析的发展起了重要作用. 1936年,在Oslo召开的国际数学家大会邀请S.Banach在全体大会上作报告.在波兰国内,Banach被授予多种科学奖金,1939年被选任波兰数学S.Banach会主席.

S.Banach的主要工作是引进线性赋范空间概念,证明了很多赋范空间基本定理,很多重

要的定理现在都以他的名字命名,他证明的三个基本定理(Hahn?Banach线性泛函延拓定理,Banach?Steinhaus定理和闭图像定理)概括了许多经典的分析结果,在理论上和应用上都有重要的价值.现在大家都把完备的线性赋范空间称为Banach空间.此外,在实变函数论方面,他在1929年同A.Tarski合作解决了一般测度问题.在集合论方面,他于1924年同

A.Tarski合作提出了Banach?Tarski悖论.

70

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ezlt.html