函数概念与基本初等函数

函数概念与基本初等函数

第1课时 函数及其表示

基础过关 一、映射

1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的 元素，在集合B中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .

2．象与原象：如果f:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的 叫做象， 叫做原象。二、函数

1．定义：设A、B是 ，f:A→B是从A到B的一个映射，则映射f:A→B叫做A到B的 ，记作 .

2．函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函数。

3．函数的表示法有 、 、 。

典型例题 例1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）.

xA. y?1,y? B. y?x?1?x?1,y?x2?1xC. y?x,y?3x3 D. y?|x|,y?(x)2解：C

变式训练1：下列函数中，与函数y=x相同的函数是 （ ）

x22x

A.y= B.y=(x) C.y=lg10D.y=2log2x

x解：C

例2.给出下列两个条件：（1）f(x+1)=x+2x;(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式.

解：（1）令t=x+1,∴t≥1，x=（t-1）.

2

2

2

2

则f(t)=(t-1)+2(t-1)=t-1,即f(x)=x-1,x∈［1，+∞).

2

（2）设f(x)=ax+bx+c (a≠0),

2

∴f(x+2)=a(x+2)+b(x+2)+c,则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.

∴??4a?4?a?12

，∴?，又f(0)=3?c=3,∴f(x)=x-x+3.

?4a?2b?2?b??12x变式训练2：（1）已知f（?1）=lgx，求f（x）；

（2）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）；（3）已知f（x）满足2f（x）+f（

1）=3x，求f（x）.x 1 3/29/2013

22+1=t，则x=，

t?1x解：(1)令

∴f（t）=lg

22，∴f（x）=lg,x∈(1,+∞).t?1x?1（2）设f（x）=ax+b，则

3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，∴a=2，b=7，故f（x）=2x+7.

（3）2f（x）+f（

1）=3x， ①x把①中的x换成

113，得2f（）+f（x）= ②xxx31，∴f（x）=2x-.xx①32-②得3f（x）=6x-

例3. 等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2a，BC=a，∠BAD=45°，作直线MN⊥AD交AD于M，交折线

ABCD于N，记AM=x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域.

解：作BH⊥AD，H为垂足，CG⊥AD，G为垂足，

依题意，则有AH=

a3，AG=a.

22（1）当M位于点H的左侧时，N∈AB，

由于AM=x，∠BAD=45°.∴MN=x.∴y=S△AMN=x（0≤x≤（2）当M位于HG之间时，由于AM=x，∴MN=

122

a）.2aa，BN=x-.22a1aa2a31∴y=S AMNB =·［x+（x-）］=ax-(?x?a).

2228222（3）当M位于点G的右侧时，由于AM=x，MN=MD=2a-x.∴y=S ABCD-S△MDN=·(2a?a)?(2a?x)?21a22123a2115a23?(4a2?4ax?x2)??x2?2ax?(a?x?2a).42242?12?x?2?1a2综上：y=??ax?8?2?15a22??x?2ax?4??2?a?x??0,??2??a3?x??,a?.?22??3?x??a,2a??2???x2,??1,变式训练3：已知函数f(x)=?1??,?xx?0,x?0,x?0.（1）画出函数的图象；（2）求f(1)，f(-1),f?f(?1)?的值.

解：（1）分别作出f(x)在x＞0,x=0,x＜0段上的图象，如图所示，作法略.

2 3/29/2013

1?1,f?f(?1)?=f(1)=1.?1（2）f(1)=1=1,f(-1)=-小结归纳 2

1．了解映射的概念，应紧扣定义，抓住任意性和唯一性．

2．函数的解析式常用求法有：待定系数法、换元法（或凑配法）、解方程组法．使用换元法时，要注意研究定义域的变化．

3．在简单实际问题中建立函数式，首先要选定变量，然后寻找等量关系，求得函数的解析式，还要注意定义域．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用分段函数来表示．

第2课时 函数的定义域和值域

基础过关 一、定义域：

1．函数的定义域就是使函数式 的集合.2．常见的三种题型确定定义域：

① 已知函数的解析式，就是 .

② 复合函数f [g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的 域是外函数f (x)的 域.

③实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.二、值域：

1．函数y＝f (x)中，与自变量x的值 的集合.2．常见函数的值域求法，就是优先考虑 ，取决于 ，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法）

例如：① 形如y＝

12?x2，可采用 法；② y＝2x?1(x??2)，可采用 法

3x?232

或 法；③ y＝a[f (x)]＋bf (x)＋c，可采用 法；④ y＝x－1?x，可采用 法；⑤ y＝x－1?x2，可采用 法；⑥ y＝sinx可采用 法

2?cosx等. 典型例题 例1. 求下列函数的定义域： （1）y=

(x?1)0|x|?x; (2)y=

13x?32?5?x2; (3)y=x?1·x?1.

解：（1）由题意得??x?1?0?x??1,化简得?,

|x|?x?0|x|?x?? 3 3/29/2013

即??x??1.故函数的定义域为{x|x＜0且x≠-1}. x?0???x2?3?0?x??3,（2）由题意可得?解得. ?2?5?x?0??5?x?5?故函数的定义域为{x|-5≤x≤5且x≠±3}. （3）要使函数有意义，必须有

?x?1?0?x??1,即?,∴x≥1,故函数的定义域为［1，+∞）. ?x?1?0x?1??变式训练1：求下列函数的定义域： （1）y=

lg(2?x)12?x?x2+(x-1) ; (2)y=

0

x20

+(5x-4); (3)y=25?x2+lgcosx;

lg(4x?3)?2?x?0?x?2?解：（1）由?12?x?x2?0,得???3?x?4,所以-3＜x＜2且x≠1.

?x?1?x?1?0??故所求函数的定义域为（-3，1）∪(1,2).

3??x??4?4x?3?0?1144?31??（2）由?4x?3?1,得??x??,∴函数的定义域为??,???(?,)?(,??).

2255?42???5x?4?0??4?x?5???5?x?5?25?x2?0?, （3）由?,得????cosx?0?2k??2?x?2k??2(k?Z)?借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为???5,??3?2???3?????(?,)??,5?.

22?2??例2. 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域. （1）y=f(3x); (2)y=f(

13131); x(3)y=f(x?)?f(x?); (4)y=f(x+a)+f(x-a). 解：（1）0≤3x≤1,故0≤x≤,y=f(3x)的定义域为［0, ］. （2）仿（1）解得定义域为［1，+∞).

（3）由条件，y的定义域是f(x?)与(x?)定义域的交集.

12??10?x??1???x??12?333列出不等式组?????x?, ?33?0?x?1?1?1?x?4??33??313131313?

故y=f(x?)?f(x?)的定义域为?,?. ?3333

?

?

1112

4 3/29/2013

（４）由条件得?①当?②当??0?x?a?1??a?x?1?a??,讨论：

0?x?a?1a?x?1?a???a?1?a,1即0≤a≤时，定义域为［a,1-a］;

2?1?a?1?a,?a??a,1即-≤a≤0时，定义域为［-a,1+a］.

2??a?1?a,1212综上所述：当0≤a≤时，定义域为［a，1-a］；当-≤a≤0时，定义域为［-a，1+a］. 变式训练2：若函数f(x)的定义域是［0，1］，则f(x+a)2f(x-a)（0＜a＜）的定义域是 （ ） 12A.? B.［a，1-a］ C.［-a，1+a］ D.［0，1］ 解：B

例3. 求下列函数的值域：

（1）y=

x2?xx2?x?1; (2)y=x-?2x; (3)y=ex1?1ex?1.

解：（1）方法一 （配方法） ∵y=1-1x2?x?1,而x2?x?1?(x?12)2?34?34,

∴0＜

1x2?x?1?43,∴?13?y?1.∴值域为????1?3,1?. ?方法二 （判别式法）

由y=x2?xx2?x?1,得(y-1)x2?(1?y)x?y?0. ∵y=1时,x??,?y?1.又∵x?R，∴必须?=(1-y)2

-4y(y-1)≥0.

∴?1?y?1.∵y?1,∴函数的值域为???13?3,1??.（2）方法一 （单调性法） ?定义域???x|x?1?2??，函数y=x,y=-1?2x均在?????,1?2??上递增，

故y≤1?1?2?1?1222.

∴函数的值域为?????,1?2??.

方法二 （换元法） 令1?2x=t,则t≥0，且x=1?t22.∴y=-12（t+1）2

+1≤12（t≥0）, ∴y∈（-∞，12］. x（3）由y=

e?1ex?1得,ex=1?y1?y.∵ex

＞0,即1?y1?y＞0,解得-1＜y＜1. ∴函数的值域为{y|-1＜y＜1}. 变式训练3：求下列函数的值域： （1）y=

1?x2x?5; (2)y=|x|1?x2. 5 3/29/2013

解：（1）(分离常数法)y=-?121277，∵≠0,

2(2x?5)2(2x?5)12∴y≠-.故函数的值域是{y|y∈R,且y≠-}.

(2)方法一 (换元法)

∵1-x≥0,令x=sin?,则有y=|sin?cos?|=|sin2?|, 故函数值域为［0，］.

方法二 y=|x|21?x??x?x??(x?)?,

242222

1212121411?∴0≤y≤,即函数的值域为?0,??.

2?2?例4．若函数f（x）=x-x+a的定义域和值域均为［1，b］（b＞1），求a、b的值. 解：∵f（x）=(x-1)+a-.

∴其对称轴为x=1，即［1，b］为f（x）的单调递增区间. ∴f（x）min=f（1）=a-=1 ① f（x）max=f（b）=b-b+a=b ②

3??a?,由①②解得?2

?b?3.?122

2

121212122

变式训练4：已知函数f(x)=x-4ax+2a+6 (x∈R).

（1）求函数的值域为［0，+∞)时的a的值；

（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域.

解： (1）∵函数的值域为［0，+∞),

∴Δ=16a-4(2a+6)=0?2a-a-3=0∴a=-1或a=.

（2）对一切x∈R，函数值均非负,∴Δ=8(2a-a-3)≤0?-1≤a≤,∴a+3＞0,

∴f(a)=2-a(a+3)=-a-3a+2=-(a+)+

?3?2

2

2

2

2

3232322

173?(a???1,??). 42??∵二次函数f(a)在??1,?上单调递减，∴f（a）min=f()=-，f（a）max=f（-1）=4，

242??∴f(a)的值域为???19?,4?. ?4?319 小结归纳 1．求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式（如例1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题

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有意义.

2．求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.

第3课时 函数的单调性

基础过关

一、单调性

1．定义：如果函数y＝f (x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2，当x1、

若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间，则f(x)称为 . 2．判断单调性的方法：

(1) 定义法，其步骤为：① ；② ；③ . (2) 导数法，若函数y＝f (x)在定义域内的某个区间上可导，①若 ，则f (x)在这个区间上是增函数；②若 ，则f (x)在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论

1．若f (x), g(x)均为增(减)函数，则f (x)＋g(x) 函数； 2．若f (x)为增(减)函数，则－f (x)为 ； 3．互为反函数的两个函数有 的单调性；

4．复合函数y＝f [g(x)]是定义在M上的函数，若f (x)与g(x)的单调相同，则f [g(x)]为 ，若f (x), g(x)的单调性相反，则f [g(x)]为 .

5．奇函数在其对称区间上的单调性 ，偶函数在其对称区间上的单调性 . 典型例题 例1. 已知函数f(x)=a+

x

x?2 (a＞1)，证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数. x?1证明 方法一 任取x1,x2∈(-1,+∞),

不妨设x1＜x2,则x2-x1＞0, a＞1且a＞0, ∴a?a?a(a?1)?0，又∵x1+1＞0,x2+1＞0,

x2?x1x1x2x1x1x2?x1∴

x2?2x1?2(x2?2)(x1?1)?(x1?2)(x2?1)3(x2?x1)＞0, ???x2?1x1?1(x1?1)(x2?1)(x1?1)(x2?1)x2x1于是f(x2)-f(x1)=a?a+

x2?2x1?2＞0, ?x2?1x1?1故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数. 方法二 f(x)=a+1-x

3(a＞1), x?1x

求导数得f?(x)=alna+

33x

,∵a＞1,∴当x＞-1时，alna＞0,＞0, 2(x?1)(x?1)2f?(x)＞0在（-1，+∞）上恒成立，则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.

x

方法三 ∵a＞1,∴y=a为增函数，

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x?2?3，在（-1，+∞）上也是增函数. ?1?x?1x?1x?2在（-1，+∞）上为增函数. x?1a（a＞0）的单调性. x又y=

x

∴y=a+

变式训练1：讨论函数f（x）=x+

解：方法一 显然f（x）为奇函数，所以先讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性， 设x1＞x2＞0,则

f(x1)-f(x2) =（x1+

aaa）-（x2+）=(x1-x2)2（1-）.

x2x1x2x1a＞1, x1x2∴当0＜x2＜x1≤a时，

则f（x1）-f（x2）＜0，即f(x1)＜f(x2),故f（x）在（0，a］上是减函数. 当x1＞x2≥a时，0＜

a＜1，则f（x1）-f（x2）＞0,即f(x1)＞f(x2), x1x2故f（x）在［a，+∞）上是增函数.∵f（x）是奇函数， ∴f（x）分别在（-∞，-a］、［a，+∞）上为增函数； f（x）分别在［-a，0）、（0，a］上为减函数. 方法二 由f?(x)=1-a=0可得x=±a x2当x＞a或x＜-a时，f?(x)＞0∴f（x）分别在（a，+∞）、（-∞，-a］上是增函数. 同理0＜x＜a或-a＜x＜0时，f?(x)＜0

即f（x）分别在（0，a］、［-a，0）上是减函数. 例2. 判断函数f(x)=x?1在定义域上的单调性.

2解： 函数的定义域为{x|x≤-1或x≥1}, 则f(x)= x?1,

2可分解成两个简单函数.

f(x)=u(x),u(x) =x-1的形式.当x≥1时，u(x)为增函数，u(x)为增函数.

∴f（x）=x?1在［1，+∞)上为增函数.当x≤-1时，u（x)为减函数，u(x)为减函数，

22

∴f(x)=x?1在（-∞,-1］上为减函数.

2变式训练2：求函数y=log（4x-x）的单调区间.

122

8 3/29/2013

解： 由4x-x＞0，得函数的定义域是（0，4）.令t=4x-x，则y=logt.

12

22

∵t=4x-x=-（x-2）+4，∴t=4x-x的单调减区间是［2，4），增区间是（0，2］. 又y=logt在（0，+∞）上是减函数，

12222

∴函数y=log（4x-x）的单调减区间是（0，2］，单调增区间是［2，4).

122

例3. 求下列函数的最值与值域：

（1）y=4-3?2x?x; (2)y=x+

24;(3)y=x2?1?(2?x)2?4. x2

2

解：（1）由3+2x-x≥0得函数定义域为［-1，3］，又t=3+2x-x=4-(x-1).

∴t∈［0，4］，t∈［0，2］，

从而，当x=1时，ymin=2，当x=-1或x=3时，ymax=4.故值域为［2，4］. (2)方法一 函数y=x+

4是定义域为{x|x≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论 x2

x＞0时,即可知x＜0时的最值. ∴当x＞0时,y=x+

44≥2x?=4，等号当且仅当x=2时取得.当x＜0时，y≤-4, xx等号当且仅当x=-2时取得.综上函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最值.

方法二 任取x1,x2,且x1＜x2, 因为f(x1)-f(x2)=x1+

44(x?x)(xx?4)-(x2+)=1212,

x2x1x2x1所以当x≤-2或x≥2时，f(x)递增,当-2＜x＜0或0＜x＜2时，f(x)递减.

故x=-2时，f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2时，f(x)最小值=f(2)=4,

所以所求函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最大（小）值. （3）将函数式变形为y=(x?0)?(0?1)?(x?2)?(0?2),

2222可视为动点M（x,0）与定点A（0，1）、B（2，-2）距离之和，连结AB，则直线AB与x轴的交点（横坐标）即为所求的最小值点.

ymin=|AB|=(0?2)?(1?2)?13，可求得x=时，ymin=13.

2223显然无最大值.故值域为［13，+∞）.

变式训练3：在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）.某公司每

2

月最多生产100台报警系统装置，生产x（x＞0）台的收入函数为R（x）=3 000x-20x (单位：元)，其成本函数为C（x）=500x+4 000（单位：元），利润是收入与成本之差. （1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；

（2）利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）是否具有相同的最大值？

22

解：（1）P（x）=R（x）-C（x）=（3 000x-20x）-（500x+4 000）=-20x+2 500x-4 000

（x∈［1，100］且x∈N,）

22

MP（x）=P（x+1）-P（x）=-20（x+1）+2 500（x+1）-4 000-（-20x+2 500x-4 000） =2 480-40x （x∈［1，100］且x∈N）.

9 3/29/2013

1252

)+74 125，当x=62或63时，P(x)max=74 120（元）. 2（2）P（x）=-20(x-

因为MP（x）=2 480-40x是减函数，所以当x=1时，MP(x)max=2 440(元）. 因此，利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）不具有相同的最大值. 例4．（20092广西河池模拟）已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f(且当x＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值；

（2）判断f(x）的单调性；

（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.

解：（1）令x1=x2＞0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0. （2）任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1＞x2,则

x1x2x1＞1,由于当x＞1时，f(x)＜0, x2x1)=f(x1)-f(x2)，x2所以f()＜0,即f(x1)-f(x2)＜0,因此f(x1)＜f(x2), 所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. （3）由f(

9x1)=f(x1)-f(x2)得f()=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.

3x2由于函数f(x)在区间（0,+∞）上是单调递减函数，

由f(|x|)＜f(9),得|x|＞9,∴x＞9或x＜-9.因此不等式的解集为{x|x＞9或x＜-9}.

变式训练4：函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R上的增函数；

2

（2）若f(4)=5,解不等式f(3m-m-2)＜3. 解：（1）设x1,x2∈R，且x1＜x2,

则x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1.

f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0. ∴f（x2）＞f(x1).

即f(x)是R上的增函数.

（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，

∴f（2）=3，

2

∴原不等式可化为f(3m-m-2)＜f(2),

2

∵f(x)是R上的增函数，∴3m-m-2＜2,

解得-1＜m＜,故解集为（-1,）.

小结归纳 1．证明一个函数在区间D上是增(减)函数的方法有：(1) 定义法.其过程是：作差——变形——判断符号，而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积的形式的结构；(2) 求导法.其过程是：求导——判断导函数的符号——下结论.

2．确定函数单调区间的常用方法有：(1)观察法；(2)图象法（即通过画出函数图象，观察图象，确定单调区间）；(3)定义法；(4)求导法.注意：单调区间一定要在定义域内.

3．含有参量的函数的单调性问题，可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性求参数范围，其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式，结合定义域求出参数的取值范围.

4343第4课时 函数的奇偶性

10 3/29/2013

基础过关

1．奇偶性：

① 定义：如果对于函数f (x)定义域内的任意x都有 ，则称f (x)为奇函数；若 ，则称f (x)为偶函数. 如果函数f (x)不具有上述性质，则f (x)不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质，则f (x) . ② 简单性质：

1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称.

2） 函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称. 2．与函数周期有关的结论：

①已知条件中如果出现f(x?a)??f(x)、或f(x?a)f(x)?m（a、m均为非零常数，a?0），都可以得出f(x)的周期为 ；

②y?f(x)的图象关于点(a,0),(b,0)中心对称或y?f(x)的图象关于直线

x?a,x?b轴对称，均可以得到f(x)周期

典型例题 例1. 判断下列函数的奇偶性. （1）f(x)=x?1?1?x;

22(2)f(x)=log2(x+x?1) (x∈R);

2(3)f(x)=lg|x-2|.

22

解：（1）∵x-1≥0且1-x≥0,∴x=±1,即f(x)的定义域是{-1，1}. ∵f（1）=0，f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1), 故f(x)既是奇函数又是偶函数.

（2）方法一 易知f(x)的定义域为R， 又∵f(-x)=log2［-x+(?x)?1］=log2

21x?x?12=-log2(x+x?1)=-f(x),

2∴f(x)是奇函数.

方法二 易知f(x)的定义域为R，

又∵f（-x）+f（x）=log2［-x+(?x)?1］+log2(x+x?1)=log21=0,即f(-x)=-f(x),

22∴f(x)为奇函数.

（3）由|x-2|＞0，得x≠2.

∴f（x）的定义域{x|x≠2}关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数. 变式训练1：判断下列各函数的奇偶性： （1）f（x）=（x-2）

2?x； 2?x 11 3/29/2013

lg(1?x2)（2）f（x）=2；

|x?2|?2?x?2（3）f（x）=??0??x?2?(x??1),(|x|?1), (x?1）.解：（1）由

2?x≥0，得定义域为［-2，2），关于原点不对称，故f（x）为非奇非偶函数. 2?x?1?x2?0，（2）由?2得定义域为（-1，0）∪（0，1）.

?|x?2|?2?0.lg(1?x2)lg(1?x2)这时f（x）=. ???(x2?2)?2x2∵f（-x）=-

lg?1?(?x)2?lg(1?x2)???f(x),∴f（x）为偶函数.

(?x)2x2（3）x＜-1时，f（x）=x+2，-x＞1,∴f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）.

x＞1时，f（x）=-x+2，-x＜-1，f(-x)=x+2=f(x).

-1≤x≤1时，f（x）=0，-1≤-x≤1,f（-x）=0=f（x）.

∴对定义域内的每个x都有f（-x）=f（x）.因此f（x）是偶函数. 例2 已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y). （1）求证：f(x)是奇函数；

（2）如果x∈R，f（x）＜0,并且f(1)=-,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值. （1）证明： ∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称.

∵f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0, ∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数.

+

（2）解：方法一 设x,y∈R，∵f（x+y）=f（x）+f（y），

+

∴f（x+y）-f（x）=f（y）.∵x∈R，f（x）＜0, ∴f(x+y)-f(x)＜0,∴f(x+y)＜f(x).

∵x+y＞x,∴f(x)在（0，+∞）上是减函数.又∵f（x）为奇函数，f（0）=0， ∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f（-2）为最大值，f(6)为最小值. ∵f(1)=-,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［f（1）+f（2）］=-3. ∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3. 方法二 设x1＜x2,且x1,x2∈R.

则f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).

∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＜0.∴f(x2)-f(x1)＜0.即f(x)在R上单调递减. ∴f（-2）为最大值，f（6）为最小值.∵f（1）=-，

∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2［f（1）+f（2）］=-3. ∴所求f(x）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.

变式训练2：已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式. 解：∵f（x）是奇函数，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0.

当x＞0时，-x＜0,由已知f(-x)=xlg(2+x),∴-f（x）=xlg（2+x），

1212+

12 12 3/29/2013

即f（x）=-xlg(2+x) （x＞0）.∴f(x)=???xlg(2?x)??xlg(2?x)(x?0), (x?0).即f(x)=-xlg(2+|x|) (x∈R).

例3 已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x). （1）求证：f(x)是周期函数；

（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=x,求使f(x)=-在［0，2 009］上的所有x的1122个数.

（1）证明： ∵f（x+2）=-f（x），

∴f（x+4）=-f（x+2）=-［-f（x）］=f（x）， ∴f（x）是以4为周期的周期函数. （2）解： 当0≤x≤1时，f(x)=12x,

设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,∴f（-x）=1（-x）=-122x. ∵f(x)是奇函数，∴f（-x）=-f（x）, ∴-f（x）=-1x，即f(x)= 122x. 故f(x)= 12x(-1≤x≤1) 又设1＜x＜3,则-1＜x-2＜1, ∴f(x-2)=12(x-2),

又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f（（-x）+2）=-［-f（-x）］=-f（x）， ∴-f（x）=12（x-2），

∴f（x）=-12（x-2）（1＜x＜3）.

?(?1?x?1)∴f（x）=?1??2x

????12(x?2)(1?x?3)由f(x)=-12,解得x=-1.

∵f（x）是以4为周期的周期函数.故f(x)=-12的所有x=4n-1 (n∈Z). 令0≤4n-1≤2 009,则1≤n≤

100542, 又∵n∈Z，∴1≤n≤502 （n∈Z）,

∴在［0，2 009］上共有502个x使f(x)=-12. 变式训练3：已知函数f(x)=x2

+|x-a|+1,a∈R. （1）试判断f(x)的奇偶性；

13 3/29/2013

1212（2）若-≤a≤，求f(x)的最小值.

解：(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)+|-x|+1=f(x),

22

此时,f(x)为偶函数.当a≠0时，f(a)=a+1,f(-a)=a+2|a|+1, f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时，f(x) 为非奇非偶函数. （2）当x≤a时,f(x)=x-x+a+1=(x-)+a+

122

2

122

3, 4∵a≤,故函数f(x)在（-∞，a］上单调递减， 从而函数f(x)在（-∞，a］上的最小值为f(a)=a+1. 当x≥a时，函数f(x)=x+x-a+1=(x+)-a+,

∵a≥-，故函数f(x)在［a，+∞）上单调递增，从而函数f(x)在［a，+∞)上的 最小值为f(a)=a+1.

综上得，当-≤a≤时，函数f(x)的最小值为a+1.

小结归纳 1．奇偶性是某些函数具有的一种重要性质，对一个函数首先应判断它是否具有这种性质. 判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断（或证明）函数是否具有奇偶性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性，可以在定义域内找到一对非零实数a与－a，验证f(a)±f(－a)≠0.

2．对于具有奇偶性的函数的性质的研究，我们可以重点研究y轴一侧的性质，再根据其对称性得到整个定义域上的性质.

3．函数的周期性：第一应从定义入手，第二应结合图象理解.

12122

2

2

2

122

3412第5课时 指数函数

基础过关 1．根式：

n(1) 定义：若x?a，则x称为a的n次方根

① 当n为奇数时，a的n次方根记作__________；

② 当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作________(a>0). (2) 性质：

nn① (a)?a；

② 当n为奇数时，nan?a；

a(a?0)③ 当n为偶数时，nan?_______＝ ? ???a(a?0)2．指数：

14 3/29/2013

(1) 规定：

① a0＝ (a≠0)； ② a-p＝ ；

0,③ a? n a m ( a ? m .

mn(2) 运算性质：

rsr?sa ?① a?a? a ( 0 , (a>0, r、s?Q) rsr?s, (a>0, r、s?Q) ② (a)? a ( a ? 0 rrrb(a>0, r?0,r、s?Q) ③ (a?b)? a ?b ( a ? 0 , 注：上述性质对r、s?R均适用.

3．指数函数：

① 定义：函数 称为指数函数，1) 函数的定义域为 ；2) 函数的值域为 ；3) 当________时函数为减函数，当_______时为增函数. ② 函数图像：

1) 过点 ，图象在 ；2) 指数函数以 为渐近线(当0?a?1时，图

x?x象向 无限接近x轴，当a?1时，图象向 无限接近x轴)；3)函数y?a与y?a的图

象关于 对称. ③ 函数值的变化特征： 0?a?1 a?1 ① x?0时 ② x?0时 ③ x?0时 典型例题 371例1. 已知a=,b=9.求： （1）a2a?3?93① x?0时 ② x?0时 ③ x?0时

a?1?b?1a?a; （2）.

(ab)?1?831571?6245?(??)32解：（1）原式=a1971?23.a31??23÷［a

81(?)?322a151?32］= a=a.

?12∵a=，∴原式=3.

（2）方法一 化去负指数后解.

11a?b?a?bab?ab?a?b.∵a=1,b?9,∴a+b=82. ??11199(ab)abab?1?1方法二 利用运算性质解.

a?1?b?1a?1b?111?????b?a. (ab)?1a?1b?1a?1b?1b?1a?1∵a=,b?9,∴a+b=

1982. 9 15 3/29/2013

变式训练1：化简下列各式（其中各字母均为正数）:

2（1）

(a3?b?1)2?a2?b36?111a?b5;

211?513?2?3232?1（2）a?b?(?3ab)?(4a?b).

6?1111解：（1）原式=

a3b2?a2b3ab52?161656?a13111???326?b2115??36?a0?b0?1.

161332b)??ab?(ab)??a?b???（2）原式=-ab?(2a·?3?3?3254??54?12?32541ab3x

??5ab. 4ab2例2. 函数f(x)=x-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则f(b)与f(c)的大小关系是 （ ）

xxxx

A.f(b)≤f(c) B.f(b)≥f(c)

xx

C.f(b)＞f(c) D.大小关系随x的不同而不同 解：A

变式训练2：已知实数a、b满足等式()?()，下列五个关系式：①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0

ab2x

1213＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有 （ ）

A.1个  B.2个 C.3个 D.4个 解：B

例3. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间： （1）f(x)=3

x2?5x?42

;（2）g(x)=-()?4()?5.

xx1412解：（1）依题意x-5x+4≥0,解得x≥4或x≤1, ∴f（x）的定义域是（-∞，1］∪［4，+∞）.

令u=x2?5x?4?(x?)2?,∵x∈（-∞，1］∪［4，+∞）， ∴u≥0，即x?5x?4≥0，而f(x)=3

25294x2?5x?4≥3=1,

0

∴函数f(x)的值域是［1，+∞）. ∵u=(x?)2?529,∴当x∈（-∞，1］时，u是减函数， 4当x∈［4，+∞）时，u是增函数.而3＞1,∴由复合函数的单调性可知， f（x）=3

x2?5x?4在（-∞，1］上是减函数，在［4，+∞）上是增函数.

故f（x）的增区间是［4，+∞），减区间是（-∞，1］. （2）由g(x)=-()?4()?5??()?4()?5,

xx2xx14121212∴函数的定义域为R，令t=() (t＞0),∴g(t)=-t+4t+5=-(t-2)+9, ∵t＞0,∴g(t)=-(t-2)+9≤9,等号成立的条件是t=2,

即g(x)≤9,等号成立的条件是()=2，即x=-1，∴g（x）的值域是（-∞，9］.

x12x22

2

12 16 3/29/2013

1由g(t)=-(t-2)+9 (t＞0),而t=()是减函数，∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减

x2

2区间，求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间. ∵g（t）在（0，2］上递增，在［2，+∞）上递减， 由0＜t=(1)x≤2,可得x≥-1,由t=(1)x22≥2,可得x≤-1.

∴g（x）在［-1，+∞）上递减，在（-∞，-1］上递增，

故g(x)的单调递增区间是（-∞，-1］，单调递减区间是［-1，+∞）. 变式训练3：求下列函数的单调递增区间：（1）y=(1)6?x?2x2?62;(2)y=2

x2?x.

解：（1）函数的定义域为R. 令u=6+x-2x2

,则y=(12)u.

∵二次函数u=6+x-2x2

的对称轴为x=14, 在区间［1，+∞）上，u=6+x-2x2

4是减函数， 又函数y=(1)u

2是减函数， ∴函数y=(1)6?x?2x22在［14，+∞）上是增函数.

故y=(1)6?x?2x22单调递增区间为［14，+∞）.

（2）令u=x2

-x-6,则y=2u

,

∵二次函数u=x2

-x-6的对称轴是x=12, 在区间［1，+∞）上u=x2

2-x-6是增函数. 又函数y=2u

为增函数， ∴函数y=2x2?x?6在区间［12，+∞）上是增函数. 故函数y=2

x2?x?6的单调递增区间是［12，+∞）.

例4．设a＞0,f(x)=

exa?aex是R上的偶函数. （1）求a的值；

（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.

（-x）=f（x），∴e?xaex（1）解： ∵f（x）是R上的偶函数，∴faa?e?x?a?ex,∴（a-1)(ex1a?ex)=0对一切x均成立， ∴a-

1a=0，而a＞0,∴a=1. （2）证明 在（0，+∞)上任取x1、x2，且x1＜x2,

17 3/29/2013

11-ex-x xee2则f(x1)-f(x2)=e +

x112=(e?e) (

x2x11ex1?x2x1?1).

x2x2x1∵x1＜x2,∴e?e,有e?e?0. ∵x1＞0,x2＞0,∴x1+x2＞0,∴e1ex?x12x1?x2＞1,

-1＜0.∴f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2),

故f(x)在（0,+∞）上是增函数.

2x变式训练4：已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)=x.

4?1（1）求f（x)在［-1，1］上的解析式； （2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数. （1）解： 当x∈(-1,0)时，-x∈(0,1). ∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-2?x2x??. 4?x?14x?1由f(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),

?2x?4x?1?x?2得f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在区间［-1，1］上，有f（x）=??x?4?1?0??2x(2)证明 当x∈(0,1)时，f(x)=x.

4?1x?(0,1)x?(?1,0) x???1,0,1?设0＜x1＜x2＜1,

2x2x(2x?2x)(2x?x?1)则f(x1)-f(x2)=x??,

4?14x?1(4x?1)(4x?1)1221121212∵0＜x1＜x2＜1,∴22＞0，2

x2?x1x1?x2-1＞0,∴f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2),

故f(x)在（0，1）上单调递减.

小结归纳 1．

bN＝a，ab＝N，logaN＝b(其中N>0，a>0，a≠1)是同一数量关系的三种不同表示形式，

因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同底.

2．处理指数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解. 3．含有参数的指数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.

4．含有指数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的 函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.

第6课时 对数函数

基础过关 18 3/29/2013

1．对数：

(1) 定义：如果ab?N(a?0,且a?1)，那么称 为 ，记作 ，其中

a称为对数的底，N称为真数.

① 以10为底的对数称为常用对数，log10N记作___________．

② 以无理数e(e?2.71828?)为底的对数称为自然对数，logeN记作_________． (2) 基本性质：

① 真数N为 (负数和零无对数)；② loga1? ；③ logaa? ； 01④ 对数恒等式：alogaN? ． N(3) 运算性质：

① loga(MN)＝___________________________； ② logaM＝____________________________；

Nn③ logaM＝ (n∈R).

④ 换底公式：logaN＝ (a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0)

nab⑤ logab? .m

2．对数函数：

① 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为 ；3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数；

mny?a(a?0,且a?1)互为反函数. 4) 函数y?logax与函数

x② 1) 图象经过点( )，图象在 ；2) 对数函数以 为渐近线(当0?a?1时，图象向上无限接近y轴；当a?1时，图象向下无限接近y轴)； 4) 函数y＝logax与 的图象关于x轴对称． ③ 函数值的变化特征： 0?a?1 a?1 ① x?1时 ① x?1时 ② x?1时 ② x?1时 ③ 0?x?1时 ③ 0?x?1时 典型例题 例1 计算：（1）log2

2?3

(2?3)

（2）2(lg2)+lg22lg5+(lg2)?lg2?1;

2（3）lg

12324-lg8+lg245. 493解：（1）方法一 利用对数定义求值 设log2?3(2?3)=x,则(2+3)=2-3=

x

12?3=（2+3）,∴x=-1.

-1

19 3/29/2013

方法二 利用对数的运算性质求解

log2?3(2?3)=log2?3

12?3=log2?3(2+3)=-1.

2-1

（2）原式=lg2（2lg2+lg5）+(lg2)?2lg2?1=lg2(lg2+lg5)+|lg2-1| =lg2+(1-lg2)=1.

（3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245 = (5lg2-2lg7)-3lg2+ (2lg7+lg5) =lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5 =lg(235)= lg10=. 变式训练1：化简求值. （1）log2

17+log212-log242-1;

2482

124312121252433212121212121212（2）(lg2)+lg22lg50+lg25;

（3）(log32+log92)2(log43+log83). 解：(1)原式=log2

748+log212-log242-log22=log2

7?1248?42?2?log2122?log22?323??. 2（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=(

lg2lg2lg3lg33lg25lg35?)·(?)?·?. lg32lg32lg23lg22lg36lg24例2 比较下列各组数的大小.

（1）log32与log56;（2）log1.10.7与log1.20.7;

35（3）已知logb＜loga＜logc,比较2,2,2的大小关系.

121212bac

解：（1）∵log32＜log31=0,而log56＞log51=0,∴log32＜log56.

3535(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2,∴0＞log0.71.1?log0.71.2, ∴

1log0.71.1?1log0.71.2,

即由换底公式可得log1.10.7＜log1.20.7. 方法二 作出y=log1.1x与y=log1.2x的图象.

如图所示两图象与x=0.7相交可知log1.10.7＜log1.20.7. (3)∵y=log1x为减函数，且logb?loga?logc,

2121212∴b＞a＞c,而y=2是增函数，∴2＞2＞2.

变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则loga1,logb,log1的大小关系是 （ ）

babxbac

b11A.loga1?logb?log1 B.logb?log?log

babbaabbb 20 3/29/2013

1111?loga D.logb?loga?logab bbbbC.logb?logab解： C

例3已知函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立， 试求a的取值范围.

解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥loga3.

因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立. 只要loga3≥1=logaa即可，∴1＜a≤3.

当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x).

∵f（x）=logax在［3，+∞）上为减函数， ∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x∈［3，+∞）都有 |f(x)|=-f(x)≥-loga3.

因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立， 只要-loga3≥1成立即可， ∴loga3≤-1=loga1,即

a11≤3,∴≤a＜1. a313综上，使|f(x)|≥1对任意x∈［3，+∞）都成立的a的取值范围是：(1，3］∪［，1）. 变式训练3：已知函数f（x）=log2(x-ax-a)在区间（-∞,1-3］上是单调递减函数.求实数a的取值范围. 2

解：令g(x)=x-ax-a, 则g(x)=（x-aaa22

）-a-,由以上知g(x）的图象关于直线x=对称且此抛物线开口向上.

4222

因为函数f(x)=log2g(x)的底数2＞1, 在区间（-∞,1-3］上是减函数，

所以g(x)=x-ax-a在区间（-∞,1-3］上也是单调减函数，且g(x)＞0.

a???1?3??a?2?232，即?∴?

2??g(1?3)?0?(1?3)?a(1?3)?a?0?2

解得2-23≤a＜2.

故a的取值范围是{a|2-23≤a＜2}.

例4 已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行与

函数y=log2x的图象交于C、D两点. （1）证明:点C、D和原点O在同一直线上； （2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.

21 3/29/2013

（1）证明 设点A、B的横坐标分别为x1、x2,

由题设知x1＞1,x2＞1,则点A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2. 因为A、B在过点O的直线上，所以

log8x1log8x2 ?x1x2点C、D的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2), 由于log2x1=

log8x1=3log8x1,log2x2=3log8x2, log82log2x13log8x1, ?x1x1log2x23log8x2?,由此可知k1=k2,即O、C、D在同一直线上. x2x2133

OC的斜率为k1=OD的斜率为k2?（2）解： 由于BC平行于x轴，知log2x1=log8x2，即得log2x1=log2x2,x2=x1, 代入x2log8x1=x1log8x2，得x1log8x1=3x1log8x1,由于x1＞1,知log8x1≠0,故x1=3x1, 又因x1＞1,解得x1=3,于是点A的坐标为（3，log83). 变式训练4：已知函数f(x)=log2x?1+log2(x-1)+log2(p-x).

x?13

3

（1）求f(x)的定义域； （2）求f(x)的值域.

?x?1?x?1?0??解：（1）f(x)有意义时，有?x?1?0?p?x?0???①,②, ③,由①、②得x＞1,由③得x＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p＞1,f(x)的定义域是(1,p).

（2）f(x)=log2［(x+1)(p-x)］ =log2［-（x-①当1＜

2p?12(p?1)）+］ (1＜x＜p), 24p?1＜p，即p＞3时， 2p?12(p?1)2(p?1)2)??0＜-(x-, 244p?1(p?1)?∴log2??(x?)???≤2log2(p+1)-2.

22?24?②当

p?1≤1，即1＜p≤3时， 2p?12(p?1)2)??2(p?1), ∵0＜-(x-24p?1(p?1)?∴log2??(x?)???＜1+log2(p-1).

22?24?综合①②可知：

当p＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log2(p+1)-2］; 当1＜p≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log2(p-1)). 小结归纳 22 3/29/2013

1．处理对数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解.

2．对数函数值的变化特点是解决含对数式问题时使用频繁的关键知识，要达到熟练、运用自如的水平，使用时常常要结合对数的特殊值共同分析.

3．含有参数的指对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.

4．含有指数、对数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.

第7课时 函数的图象

基础过关 一、基本函数图象特征（作出草图） 1．一次函数为 ； 2．二次函数为 ； 3．反比例函数为 ；

4．指数函数为 ，对数函数为 . 二、函数图象变换

1．平移变换：①水平变换：y＝f(x)→y＝f(x－a) (a>0) y＝f(x)→y＝f(x＋a) (a>0)

②竖直变换：y＝f(x)→y＝f(x)＋b (b>0) y＝f(x)→y＝f(x)－b (b>0) 2．对称变换：

① y＝f(－x)与y＝f(x)关于 对称 ② y＝－f(x)与y＝f(x)关于 对称 ③ y＝－f(－x)与y＝f(x)关于 对称 ④ y＝f -1(x)与y＝f(x)关于 对称

⑤ y＝|f(x)|的图象是将y＝f(x)图象的 ⑥ y＝f(|x|)的图象是将y＝f(x)图象的 3．伸缩变换：

① y＝Af (x) (A>0)的图象是将y＝f(x)的图象的 . ② y＝f (ax) (a>0)的图象是将y＝f(x)的图象的 . 4．若对于定义域内的任意x，若f (a－x)＝f (a＋x) (或f (x)＝f (2a－x))，则f (x)关于 对称，若f (a－x)＋f (a＋x)＝2b (或f (x)＋f (2a－x)＝2b)，则f (x)关于 对称.

典型例题 例1 作出下列函数的图象.

23 3/29/2013

122x?11|x|

;（3）y=(). x?12（1）y=(lgx+|lgx|);（2）y=解：（1）y=?（2）由y=

?0(0?x?1).

lgx(x?1).?1112x?1,得y=+2.作出y=的图象，将y=的图象向右平移一个单位，再x?1x?1xx1+2的图象. x?112x

向上平移2个单位得 y=

12x

（3）作出y=（）的图象，保留y=（）图象中x≥0的部分，加上y=（）的图象中x＞0的部分关于y轴的对称部分，即得y=（）的图象.其图象依次如下：

12|x|

12x

变式训练1：作出下列各个函数的图象：（1）y=2-2； （2）y=|log（1-x）|；

12x

（3）y=

2x?1. x?1x

x

解：（1）由函数y=2的图象关于x轴对称可得到y=-2的图象，再将图象向上平移2个单

x

位，可得y=2-2的图象.如图甲.

（2）由y=logx的图象关于y轴对称，可得y=log（-x）的图象，再将图象向右平移1

1212个单位，即得到y=log(1-x).然后把x轴下方的部分翻折到x轴上方，可得到y=|log（1-x）

1212|的图象.如图乙. （3）y=

2x?13?2?. x?1x?13的图象，如图丙中的虚线部分，然后将图象向左平移1个单位，向上平移2个x先作出y=-

单位，即得到所求图象.如图丙所示的实线部分.

例2 函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)2g(x)的图象可能是 （ ）

24 3/29/2013

解：A

变式训练2：设a＞1,实数x,y满足|x|-loga1=0,则y关于x的函数的图象形状大致是 ( )

y

解：B

2

例3设函数f(x)=x-2|x|-1 (-3≤x≤3). （1）证明：f(x)是偶函数； （2）画出函数的图象；

（3）指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数； （4）求函数的值域.

22

（1）证明 f(-x)=(-x)-2|-x|-1=x-2|x|-1=f(x), 即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.

22

（2）解： 当x≥0时，f(x)=x-2x-1=(x-1)-2,

22

当x＜0时，f(x)=x+2x-1=(x+1)-2,

?(x?1)2?2即f(x)=?2?(x?1)?2(0?x?3)(?3?x?0),

根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图所示.

（3）解： 函数f(x)的单调区间为［-3，-1），［-1，0），［0，1），［1，3］.

f（x）在区间［-3，-1）和［0，1）上为减函数，在［-1，0），［1，3］上为增函数.（4）

2

解： 当x≥0时，函数f(x)=(x-1)-2的最小值为-2,最大值为f(3)=2;

2

当x＜0时，函数f(x)=(x+1)-2的最小值为-2,最大值为f(-3)=2; 故函数f(x)的值域为［-2，2］.

2

变式训练3：当x∈(1,2)时,不等式(x-1)＜logax恒成立,则a的取值范围为 .

解： (1,2］

小结归纳

1．作函数图象的基本方法是：

① 讨论函数的定义域及函数的奇偶性和单调性；

② 考虑是否可由基本初等函数的图象变换作出图象； ③ 准确描出关键的点线(如图象与x、y轴的交点，极值点(顶点)，对称轴，渐近线，等等). 2．图象对称性证明需归结为任意点的对称性证明.

3．注意分清是一个函数自身是对称图形，还是两个不同的函数图象对称.

第8课时 幂函数

基础过关 1．幂函数的概念：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是 常数；

25 3/29/2013

注意：幂函数与指数函数的区别． 2.幂函数的性质：

（1）幂函数的图象都过点 ；

（2）当??0时，幂函数在[0,??)上 ；当??0时，幂函数在(0,??)上 ； （3）当???2,2时，幂函数是 ；当???1,1,3,时，幂函数是 ． 3．幂函数的性质：

（1）都过点 ；

（2）任何幂函数都不过 象限；

（3）当??0时，幂函数的图象过 ．

4．幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在经过点(1,1)平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 到 分布； （2）幂指数的分母为偶数时，图象只在 象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限 关于 对称．

典型例题 例1.写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： （1）y?x （2）y?x （3）y?x?2 （4）y?x?x （5）y?x?x2?212?1213312 （6）f(x)?x?3(?x)

1214解：（1）此函数的定义域为R，

?f(?x)?(?x)3??x3??f(x)

∴此函数为奇函数． （2）y?x?12x ∴此函数的定义域为[0,??)

?此函数的定义域不关于原点对称

∴此函数为非奇非偶函数． （3）y?x?2?1 x2∴此函数的定义域为(??,0)?(0,??)

?f(?x)?11??f(x) 22(?x)x1 2x∴此函数为偶函数 （4）y?x?x2?2?x2? 26 3/29/2013

∴此函数的定义域为(??,0)?(0,??)

?f(?x)?(?x)2?1212112?x??f(x) ∴此函数为偶函数 (?x)2x2（5）y?x?x??x?1 x∴此函数的定义域为[0,??)

?此函数的定义域不关于原点对称

∴此函数为非奇非偶函数 （6）f(x)?x?3(?x)?1214x?34?x ?x?0 ?x?0 ????x?0 ∴此函数的定义域为{0}

∴此函数既是奇函数又是偶函数

变式训练1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性： （1）y?x （2）y?x5?43 （3）y?x（4）y?x54?35（5）y?x?12

分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式． 解：（1）定义域R，值域R，奇函数，在R上单调递增．

（2）定义域(??,0)?(0,??)，值域(0,??)，偶函数，在(??,0)上单调递增， 在(0,??) 上单调递减．

（3）定义域[0,??)，值域[0,??)，偶函数，非奇非偶函数，在[0,??)上单调递增． （4）定义域(??,0)?(0,??)，值域(??,0)?(0,??)，奇函数，在(??,0)上单调递减，在(0,??)上单调递减．

（5）定义域(0,??)，值域(0,??)，非奇非偶函数，在(0,??)上单调递减． 例2比较大小：

（1）1.5,1.7 （2）(?1.2),(?1.25) （3）5.25,5.26,5.26 （4）0.5,3,log30.5

30.5?1?1?2121233 27 3/29/2013

121212解：（1）∵y?x在[0,??)上是增函数，1.5?1.7，∴1.5?1.7 （2）∵y?x3在R上是增函数，

?1.2??1.25，∴(?1.2)3?(?1.25)3

（3）∵y?x?1在(0,??)上是减函数，

5.25?5.26，∴5.25?1?5.26?1；

∵y?5.26x是增函数，?1??2， ∴5.26?1?5.26?2；

?1?1综上，5.25?5.263?5.26?2

0.5（4）∵0?0.5?1，3?1，log30.5?0，

∴log30.5?0.53?30.5

变式训练2：将下列各组数用小于号从小到大排列： （1）2.5,(?1.4),(?3) （2）0.16,0.5,6.25

?34?32382323232?3215?3（3）(),()2,()3,33,()3

3532解：（1）(?1.4)?2.5?(?3) （2）6.25?0.538?322323231112?0.16,

121?34215?2?3（3）()2?()3?()3?()3?33

5332例3已知幂函数y?xm21?2m?3（m?Z）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，

求m的值．

分析：幂函数图象与x轴、y轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合m?Z，便可逐步确定m的值． 解：∵幂函数y?xm22?2m?3（m?Z）的图象与x轴、y轴都无交点，

∴m?2m?3?0，∴?1?m?3；

28 3/29/2013

∵m?Z，∴(m2?2m?3)?Z，又函数图象关于原点对称， ∴m?2m?3是奇数，∴m?0或m?2．

变式训练3：证明幂函数f(x)?x在[0,??)上是增函数． 分析：直接根据函数单调性的定义来证明． 证明：设0?x1?x2， 则f(x1)?f(x2)?x1?x2?1212212x1?x2?x1?x2

x1?x2?x1?x2

?x1?x2?0 ?x1?x2?0 ?f(x1)?f(x2)?0 即f(x1)?f(x2)

?此函数在[0,??)上是增函数

小结归纳 1．注意幂函数与指数函数的区别． 2.幂函数的性质要熟练掌握

第9课时 函数与方程

基础过关 1．一元二次函数与一元二次方程 一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标． 2．函数与方程

两个函数y?f(x)与y?g(x)图象交点的横坐标就是方程f(x)?g(x)的解；反之，要求方程f(x)?g(x)的解，也只要求函数y?f(x)与y?g(x)图象交点的横坐标． 3．二分法求方程的近似解

二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(m,n)，则必有f(m)?f(n)?0，再取区间的中点p?m?n，再判断f(p)?f(m)的正负号，若f(p)?f(m)?0，则根在区2间(m,p)中；若f(p)?f(m)?0，则根在(p,n)中；若f(p)?0，则p即为方程的根．按

29 3/29/2013

照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值． 典型例题 x?1例1.（1）若f(x)?，则方程f(4x)?x的根是( )

x11A． B．－ C．2 D．－2

22解：A．

（2）设函数f(x)对x?R都满足f(3?x)?f(3?x),且方程f(x)?0恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（ ）

A．0 B．9 C．12 D．18

解：由f(3?x)?f(3?x)知f(x)的图象有对称轴x?3，方程f(x)?0的6个根在x 轴上对应的点关于直线x?3对称，依次设为3?t1,3?t2,3?t3,3?t1,3?t2,3?t3，故6个根的和为18，答案为D．

5b?c（3）已知?1，（a、b、c∈R），则有（ ）

5aA．b2?4ac B．b2?4ac C．b2?4ac D．b2?4ac 解法一：：依题设有 a?5?b?5?c?0

∴5是实系数一元二次方程ax2?bx?c?0的一个实根； ∴△＝b2?4ac≥0 ∴b2?4ac，答案为B．

解法二：去分母，移项，两边平方得：5b2?25a2?10ac?c2?10ac＋2?5a?c＝20ac． ∴b2?4ac，答案为B．

（4）关于x的方程 x2?(2m?8)x?m2?16?0的两个实根 x1、x2 满足 x1?实数m的取值范围

22解：设f(x)?x?(2m?8)x?m?16，则f()?3?x2，则2329?3(m?4)?m2?16?0， 16即：4m2?12m?7?0，解得：?17?m?． 22（5）若对于任意a?[?1,1]，函数f(x)?x2?(a?4)x?4?2a的值恒大于零, 则x的取值范围是

解：设g(a)?(x?2)a?x2?4x?4，显然，x?2

2??x?3或x?2?g(?1)?2?x?x?4x?4?0则?，即?，解得：x>3或x<1． 2x?2或x?1???g(1)?x?2?x?4x?4?0变式训练1： 当0?x?1时，函数y?ax?a?1的值有正值也有负值，则实数a的取值范围

是（ ） A．a?解：D

30 3/29/2013

1 2 B．a?1 C．a?或a?1 D．

121?a?1 2

log1x?2?x,

例2.设x1,x2,x3依次是方程log2(x?2)??x，

22x?x?2的实数根，试比较x1,x2,x3的大小 ．

y?log1x，y??2x的图象

解：在同一坐标内作出函数y?x?2，

2从图中可以看出，0?x3?x1 又x2?0，故x2?x3?x1

变式训练2：已知函数y?f(x)(x?R)满足f(x?3)?f(x?1)，且x∈[－1,1]时，

f(x)?|x，则|y?f(x)与y?log5x的图象交点的个数是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 解：由f(x?3)?f(x?1)知f(x?2)?f(x)故

f(x)是周期为2的函数，在同一坐标系中作出y?f(x)与

y?log5x的图象，可以看出，交点个数为4．

例3. 已知二次函数f(x)?ax2?bx(a,b为常数，且a?0) 满足条件：f(x?1)?f(3?x)，且方程f(x)?2x有等根. （1）求f(x)的解析式；

（2）是否存在实数m、n(m?n)，使f(x)定义域和值域分别为［m，n］和［4m，4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由.

解：（1）∵方程ax2?bx?2x有等根，∴??(b?2)2?0，得b=2 ． 由f(x?1)?f(3?x)知此函数图象的对称轴方程为x??故f(x)??x2?2x ．

（2）f(x)??(x?1)2?1?1，∴4n?1，即n?b?1，得a??1， 2a1 41时，f(x)在［m，n］上为增函数. 42而抛物线y??x?2x的对称轴为x?1 ∴n??f(m)?4m若满足题设条件的m，n存在，则?，

f(n)?4n?2???m?2m?4m?m?0或m??2即?2??

n?0或n??2????n?2n?4n又m?n?1， ∴m??2,n?0，这时定义域为［–2，0］，值域为［–8，0］. 4由以上知满足条件的m、n存在， m??2,n?0． 变式训练3：已知函数f(x)?11? ((a?0,x?0). ax（1）求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数；

（2）若f(x)?2x在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围；

（3）若f(x)在［m，n］上的值域是［m，n］(m≠n)，求a的取值范围. 解：（1）证明 任取x1?x2?0

111111x?xf(x1)?f(x2)?(?)?(?)???12

ax1ax2x2x1x1x2∵x1?x2?0，∴x1?x2?0，x1?x2?0，

31 3/29/2013

∴f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2)，故f(x)在(0,+∞)上是增函数. （2）解： ∵

11??2x在(0,+∞)上恒成立，且a＞0, ax∴

a?12x?1在（0，+∞）上恒成立， x令

g(x)?112x?1x?122x?1x?212x?(x?0)即x=2时取等号 ，当且仅当4x22要使

a?1在(0,+∞)上恒成立，则a? 2x?4x故a的取值范围是［

2,+∞)． 41a1n?1?0 a（3）解： 由（1）f(x)在定义域上是增函数. ∴m?f(m),n?f(n)，即m2?m?1?0，n2?故方程x2?11x?1?0有两个不相等的正根m，n，注意到m?n?1，m?n??0 aa11故只需要(??()2?4?0,由于a?0，则0?a? ．

a2例4．若函数f(x)?2?|x?1|?m的图象与x轴有交点，则实数m的取值范围是（ ）

1212A．0?m?1 B．0?m?1 C．m?1或m?0 D．m?1或m?0 解：令f(x)?0，得：m?()|x?1|，∵ |x?1|?0，∴ 0?()|x?1|?1，即0?m?1．

变式训练4：对于函数f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点.

2已知函数f(x)?ax?(b?1)x?b?1(a?0)

（1）当a?1,b??2时，求f(x)的不动点；

（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

2解：（1）当a?1,b??2时，f(x)?x?x?3

由题意可知x?x2?x?3，得x1??1,x2?3 故当当a?1,b??2时，f(x)的不动点 ?1,3．

2（2）∵f(x)?ax?(b?1)x?b?1(a?0)恒有两个不动点，

2∴x?ax?(b?1)x?b?1，

即ax2?bx?b?1?0恒有两相异实根

32 3/29/2013

∴??b2?4ab?4a?0(b?R)恒成立. 于是???(4a)2?16a?0解得

故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0?a?1. 小结归纳

本节主要注意以下几个问题：

1．利用函数的图象求方程的解的个数； 2．一元二次方程的根的分布；

3．利用函数的最值解决不等式恒成立问题

第10课时 函数模型及其应用

1．抽象概括：研究实际问题中量，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；

2．建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；

3．求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示是：

抽象概括 函数模型 实际问题

运用函数的性质

还原说函数模型的 实际问题的 典型例题 例1. 如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（b＜a）,在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积.

解： 设四边形EFGH的面积为S， 则S△AEH=S△CFG=x,

S△BEF=S△DGH=（a-x）（b-x）， ∴S=ab-2［x+（a-x）（b-x）］ =-2x+（a+b）x=-2（x-2

基础过关 122

12122

12a?b2(a?b)2)+,

84由图形知函数的定义域为{x|0＜x≤b}.

33 3/29/2013

a?ba?b,若≤b,即a≤3b时， 24又0＜b＜a,∴0＜b＜

a?b(a?b)2则当x=时，S有最大值;

84若

a?b＞b,即a＞3b时， 4S（x）在（0,b］上是增函数， 此时当x=b时，S有最大值为

a?b2(a?b)22

-2(b-)+=ab-b,

84综上可知，当a≤3b时，x=

(a?b)2四边形面积Smax=,

8a?b时， 4当a＞3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b.

变式训练1：某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值.

解：设每个提价为x元（x≥0），利润为y元，每天销售总额为（10+x）（100-10x）元， 进货总额为8（100-10x）元， 显然100-10x＞0,即x＜10,

2

则y=（10+x）（100-10x）-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)+360 (0≤x＜10). 当x=4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.

例2. 据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度 v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴

的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）.（1）当t=4时，求s的值；

（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；

（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这

场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将 侵袭到N城？如果不会，请说明理由. 解：（1）由图象可知： 当t=4时，v=334=12, ∴s=34312=24.

（2）当0≤t≤10时，s=2t23t=t，

当10＜t≤20时，s=310330+30（t-10）=30t-150；

当20＜t≤35时，s=310330+10330+(t-20)330-3(t-20)32(t-20)=-t+70t-550.

12122

2

1212322

12 34 3/29/2013

?32t??0,10?,?2t,??t??10,20?, 综上可知s=?30t?150,??t2?70t?550,t??20,35?.???(3)∵t∈［0，10］时，smax=310=150＜650.

t∈（10，20］时，smax=30320-150=450＜650.

2

∴当t∈（20，35］时，令-t+70t-550=650. 解得t1=30,t2=40,∵20＜t≤35,

∴t=30，所以沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城.

变式训练2：某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台， 需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=5x-x2（万元）(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量（单位：百台）. 2322

（1）把利润表示为年产量的函数；

（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？ （3）年产量是多少时，工厂才不亏本？ 解：（1）当x≤5时，产品能售出x百台； 当x＞5时，只能售出5百台，

故利润函数为L（x）=R（x）-C（x）

x2?(5x?)?(0.5?0.25x)??2=?2?(5?5?5)?(0.5?0.25x)?2?(0?x?5)(x?5)x2??4.75x??0.5??2?12?0.25x?(0?x?5),(x?5).

x2 (2)当0≤x≤5时，L（x）=4.75x--0.5，

2当x=4.75时，L(x)max=10.781 25万元. 当x＞5时，L（x）=12-0.25x为减函数，

此时L（x）＜10.75(万元）.∴生产475台时利润最大.

?0?x?5,?x?5，?或?（3）由? x2?4.75x?2?0.5?0,?12?0.25x?0.?得x≥4.75-21.5625=0.1(百台）或x＜48(百台).

∴产品年产量在10台至4 800台时，工厂不亏本.

例3. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x吨. （1）求y关于x的函数；

（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费. 解：（1）当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨， y=（5x+3x）31.8=14.4x;

当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，

35 3/29/2013

即3x≤4且5x＞4,

y=431.8+3x31.8+33(5x-4)=20.4x-4.8. 当乙的用水量超过4吨时，

即3x＞4,y=831.8+3(8x-8)=24x-9.6，

??14.4x?所以y=??20.4x?4.8???24x?9.6?4545434(0?x?)544(?x?). 534(x?)3(2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增， 当x∈［0，］时,y≤f（）＜26.4; 当x∈（，］时，y≤f（）＜26.4;

当x∈（,+∞）时，令24x-9.6=26.4,解得x=1.5,

所以甲户用水量为5x=7.5吨，

付费S1=431.8+3.533=17.70（元); 乙户用水量为3x=4.5吨，

付费S2=431.8+0.533=8.70（元).

变式训练3：1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.

（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？

（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？ 以下数据供计算时使用：

数N 1.010 1.015 1.017 1.310 2.000

对数lgN 数N 对数lgN

0.004 3 3.000 0.477 1

0.006 5 5.000 0.699 0

0.007 3 12.48 1.096 2

0.117 3 13.11 1.117 6

0.301 0 13.78 1.139 2

434345解：（1）设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，

n

则y2(1+x)=60，则当n=40时，y=30，

4040

即30(1+x)=60，∴(1+x)=2， 两边取对数，则40lg(1+x)=lg2， 则lg（1+x）=

lg2=0.007 525， 40∴1+x≈1.017，得x=1.7%.

10

（2）依题意，y≤12.48（1+1%）， 得lgy≤lg12.48+103lg1.01=1.139 2,

∴y≤13.78，故人口至多有13.78亿.

答 每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿. 小结归纳 36 3/29/2013

解决函数应用问题应着重注意以下几点：

1．阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；

2．建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，不要忘记考察函数的定义域； 3．求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值等，注意发挥函数图象的作用.

4．还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结论，作出回答.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ezj7.html