2019-2020学年第二学期“山水联盟”返校考试高三数学试题附答案

2019-2020学年第二学期“山水联盟”返校考试高三数学试题

考生须知：

1．本卷满分150分，考试时间120分钟；

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

4．考试结束后，只需上交答题卷。

选择题部分（40分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合2{230}=∈--≤A x Z x x ，211{2}2

-=>y B y ，则?A B 中的元素个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个

2. 双曲线C 的方程为2221-=x y ，则（ ）

A ．实轴长为2

，焦点坐标

B ．实轴长为2

，焦点坐标 C

，焦点坐标

D

，焦点坐标 3.已知实数x ，y 满足24122+≥??-≥-??-≤?

x y x y x y ，则2=-z x y （ ）

A ．最小值为0，不存在最大值

B ．最小值为4，不存在最大值

C ．最大值为0，不存在最小值

D ．最大值为4，不存在最小值 4. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑

堵”即底面是直角三角形的直三棱柱，已知某“堑堵”被一个平面截去一部分

后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是（ ）

A ．16

B ．18

C ．12

D ．14

5.若(0,)2

π∈x ，则“sin 1

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 6.函数3

sin cos ()-=x x x f x x 的图像大致是（ ）

A B

C D

7.设

102b <<，随机变量X 的分布列如下表所示 X 1 2 3 P a b c

已知()2=E X ,则当b 在1(0,)2

内增大时，()D X 的变化情况（ ） A ．先增大再减小

B ．先减小再增大

C ．增大

D ．减小

8.如图正四棱锥P -ABCD ，E 为线段BC 上的一个动点，记二面角P -CD -B 为

α，PE 与平面ABCD 所成的角为β，PE 与CD 所成的角为γ，则（ ）

A . αβγ≤≤

B . γαβ≤≤

C . βαγ≤≤

D . γβα≤≤

9.已知,∈a b R ，函数(),0(),0

?++≤=?>?x x a e ax x f x x x ，若函数()=--y f x ax b 恰有3个零点，则（ ）

A .a >1，b >0

B .a >1，b <0

C .a <1，b >0

D .a <1，b <0

10.已知{}n a 为等差数列，且213ln 2=+a a a ，则（ ）

A .12

B .12a a

C .12>a a 且34

D .12>a a 且34>a a

非选择题部分（110分）

二、填空题（本大题共7题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）

11.设复数312=-z i

（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是 ，z 为____________. 12.设直线l 1，l 2方程分别为1:230-+=l x y ，2:480-+=l x ay ，且12//l l ，则_______.=a l 1，l 2两条平行线间的距离为__________.

13.若二项

式31)(21)+n x x

的展开式中各项系数之和为108，则n =__________,有理项的个数为 _______________.

14.在?ABC

中，90,2∠=?==ACB BC ，点M 在BC 上，且1sin 3

∠=BAM ，则sin ∠=BMA _________，AM = .

15.设椭圆M 的标准方程为22

221(0)+=>>x y a b a b

，若斜率为1的直线与椭圆M 相切同时亦与圆C :222()+-=x y b b （b 为椭圆的短半轴）相切，记椭圆的离心率为e ，则e 2=__________.

16.设1,3??∈-∞ ??

?a ，∈b R ，函数3()=--f x ax x b 在[]1,1-上的最大值是23，则22+a b 的值是 . 17.平面中存在三个向量,,r r r a b c ，若4,4,0==?=r r r r 且a b a b ，且c r 满足22150-?+=r r r c a c ，则4++-r r r r c a b c 的最

小值__________．

三、解答题（本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18.（14分）设函数(

)2sin ())123

π

π=+-f x x x . （1）求函数)(x f 的最小正周期及单调递减区间； （2）若[0,]2

π∈x ，求函数)(x f 的值域.

19. （15分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，90∠=∠=o ABC BCD ，60∠=o BAD ,ADP ?是等边三角形，22AB AP CD ===，3BP =.

（1）求证：AD BP ⊥；

（2)求直线BC 与平面ADP 所成的角的正弦值.

20.（15分）已知等比数列{}n a 的公比1>q ，且23414++=a a a ，31+a 是a 2，a 4的等差中项，数列{}n b 满足：

P

数列{}n n b a ?的前n 项和为n n 2?. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；

（2）数列{}n c 满足：13=c ，1,*+=+

∈n n n n b c c n N c ，证明()122,2

*++++>∈L n n n c c c n N

21.（15分）如图，已知抛物线的标准方程为22(0)=>y px p ，其中O 为坐标原点，抛物线的焦点坐标为F （1,0），A 为抛物线上任意一点（原点除外），直线AB 过焦点F 交抛物线于B 点，直线AC 过点M （3，0）交抛物线于C 点，连结CF 并延长交抛物线于D 点.

（1）若弦|AB |的长度为8，求?OAB 的面积；

（2）求||||?AB CD 的最小值.

22.（15分）已知正实数a ，设函数()22ln =-f x x a x x .

（1）若2=a )(x f 在[1，e ]的值域； （2）对任意实数1,2??∈+∞????

x 均有()21≥-f x x a 的取值范围.

参考答案

一、选择题

1 答案D 解析：{1

0,1,2,3}A =-，，(0,)B =+∞，={1,2,3}A B ?共3个元素，故选择D. 2. 答案D 解析：焦点在x 轴上，22213,1,22

a b c ===，故选D 3. 答案 A 【解析】可行域如图所示，易知目标函数y x z -=2有最小值0，不存在最大值，故选A 。

4.答案C

5. 答案A

6. 答案B 【解析】函数3cos sin )(x

x x x x f -=是奇函数，并且当+∞→x 时,0)(→x f 恒成立，故选B 。 7.答案D 解析：由()21E X a b c a c =++==和可得

()(2)D X D X =-

因此做随机变量2X -的分布列。2Y X =-令

()222()()()()=1D Y E Y E Y a c c a a c b =-=+--+=-，则()D X 减小。故选D

8.答案C

9.答案B

【解析】令???>-≤+=-=0

,)1

(0,)()()(x x a x e a x ax x f x g x ，则条件等价为方程b x g =)(有3个实数根。

当0≤x 时，)1()('++=a x e x g x

.

对A 选项分析：当1>a ，0>b 时，)(x g 在()↓+-∞-)1(,a ，()↑+-0),1(a ，↓+∞),0(，)(x g 图像如图所示：

，此时方程b x g =)(最多只有1个实数根，所以A 选项错误。

对B 选项分析：当1>a ，0

，故方程b x g =)(可能会出现3个实数根，所以B 选项正确。

对C 选项分析：当1b 时，)(x g 在↑+∞),0(，)(x g 图像如图所示：

，

此时方程b x g =)(最多只有2个实数根，所以C 选项错误。

对D 选项分析：当1

此时方程b x g =)(最多只有2个实数根，所以D 选项错误。

所以，本题的正确选项是B.

10. 答案C 解答：1ln 3222-≤=-a a d a ，则122+≥a d .又02>a ，所以0>d ，则430a a <<，故43a a <. 1221--≤-=a d a a ，112211+=+≥-=a a a a ，故21a a >.

二、填空题

11.

答案：

6

5

解析：

33(12)36

12(12)(12)5

i i

z

i i i

++

===

--+

，故虚部是

6

5

。

55

z==

12.

13.答案：2,4

解析：3

1

)(21)

n x

x

+中令1

x=可得3

23108

n?=，可得2

n=。

22

2323

33

1

)(21)=(+2+)(21)

x x x x x

x

-

-

++，

22

2

33

+2+

x x x

-

-

中只有一项为有理项，因此展开式中有理项是4个。

14.答案：3

,

3

6

3

6

3

3

3

2

2

3

6

3

1

)

sin(

sin

3

2

2

cos

,

3

1

sin

3

6

cos

,

3

3

6

2

sin

6

,2

,2

,

:

=

?

+

?

=

∠

+

∠

=

∠

∴

=

∠

∴

=

∠

=

∠

=

=

∠

∴

=

∴

=

=

?

ABM

BAM

AMB

BAM

BAM

ABC

ABC

AB

BC

AC

ABC

Rt

Θ

Θ

又

中

解析

AMB

AB

ABM

AM

∠

=

∠sin

sin

,

由正弦定理3

3

6

3

3

6

sin

sin

=

?

=

∠

∠

?

=

∴

AMB

ABM

AB

AM

15.

答案：

3

2

-

解析：是切线方程为y x m

=+，代入椭圆方程可得：22222222

()20

b a x a mx a m a b

+++-=因为相切222

0m a b

?=?=+，

直线y x m

=+与圆C

(1,

b m b b

=?=或（舍去）

则有2222

(1b a b

+=+，因为222

b a c

=-，

所以可得22232(221)(222)2a c e -+=+?= 16.答案是91.【解析】 函数b x ax x f --=3)(在[]1,1-上的最大值是32等价于32)(≤x f 在[]1,1-上恒成立。 所以，32)1(≤f ，32)1(≤-f ，即???

????≤--≤-+-321321b a b a ，两式相加结合绝对值不等式得： 341122≤

--+-+-≤-b a b a a ，解得3531≤≤a ，又因为31≤a ，所以3

1=a . 再把31=a 代回到32)1(≤f ，32)1(≤-f 中，解得0=b ，所以9122=+b a . 17. 答案：257

①4,4,0a b a b ==?=r r r r 且，则90a b o r r 与之间的夹角为；

②将22150c a c -?+=r r r 可以改写成

22153520()()01644

c a c a c a c a -?+=?--=r r r r r r r r 因此359044

c a c a --o r r r r 与的夹角为 因此综上条件我们可以做出如下图像

,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r

35,44

CD c a CE c a =-=-u u u r u u u r r r r r C 点在以A 点为圆心，1为半径的圆上动。

根据阿波罗尼斯圆的性质可知该圆可以看成由

4CO CG

=(15(,0)4G )所构成的圆。,a b OH a b c CH +=+-=r r u u u r r r r u u u r 144()414()4()42574

c a b c c a b c OC HC CG CH HG ++-=++-=+=+≥=r r r r r r r r

三、解答题

18.

F A B C P D ()21cos(2)336:(1)sin ()cos(2)cos(2)12323

1131313(cos 2sin 2)(cos 2sin 2)22221311(cos 2sin 2)sin(2)--------422223

x f x x x x x x x x x x x πππππ-+=+--=--=---+=-+=-+解析分 2------52T ππ∴=

=最小正周期分 由Z k k x k ∈+≤+≤+-,223222ππ

π

ππ

解得Z k k x k ∈+≤≤+-

,12125ππππ

5()[,]()-------71212

f x k k k Z ππππ∴-++∈的单调递减区间是分 （2）]34,3[32],2,0[ππππ∈+∴∈x x Θ 3sin(2)[,1]-------133x π∴+∈-分

113()[,]--------------1422f x +∴-的值域是分

19.

解：（I ） 2.ABCD BD =平面四边形中，计算得………………2分 取AD 中点F ，连,PF BF ，

∵,ADP ADB ??都是等边三角形，∴,PF

AD BF AD ⊥⊥…………4分 又PF FB F =I

∴AD ⊥平面PFB ，∵BP ?平面PFB ，∴AD BP ⊥………………………6分

（II ）法一：ADCB 在直角梯形中,3=BC ……………7分

∵AD ⊥平面PFB ，AD ?平面APD ∴平面PFB ⊥平面APD 作BG ⊥PF 交PF 为G ，则BG ⊥平面APD ，AD 、BC 交于H ，∠BHG 为直线C B 与平面P AD 所成的角…………10分

由题意得PF =BF =3又∵BP =3

∴∠GFB =30°，BG =2

3，……………………12分 ∵90ABC BCD ∠=∠=o ，//AB CD ∴,1,2CD AB ==

C BH ∴为的中点，∴223BH BC ==……………14分

∴3sin 4

BG BHG BH ∠==……………………15分

法二：CB CD ⊥Q ，以C 为坐标原点,与平面CBD 垂直的CQ 及CD 、CB 分别为x 轴、y 轴和z 轴建立平面直角坐标系，

则(0,0,0),(0,1,0)C B D

，2(0,BA CD A =∴u u u r u u u r

Q

392,3,2(,,244PA PB PD P ===∴Q

又35(0,1,(,,)244

CB AD DP ==-=u u u r u u u r u u u r ………………10分

设平面ADP 的法向量为(,,)n x y z =r

，003500244

n AD y n DP x y z ??=?-=???=?++=??r u u u r r u u u r ，

取(2,n =-r ………………13分

直线BC 与平面ADP 所成角α

的正弦，sin BC n BC n

α?==?u u u r r u u u r r . ………………15分 20.解析(1)由题意()???+=+=++423

4321214a a a a a a ，得???=+=104423a a a ， 即1044=+q q

，解得2=q 或21=q ，已知1>q ，故2=q . 1231==

q a a ，12-=n n a .……………………………………………………………………………………3分 当1=n 时，211=b a

当2≥n 时，()()1121212--?+=?--?=n n n n n n n n b a

则()121-?+=n n n n b a ，1+=n b n .………………………………………………………………………6分 (2)n

n n c n c c 11++=+ 法1.()()222

2

1112n n n c n n c c ++++=+，()()()1211222221+>+++=-+n c n n c c n n n ………………………9分

????????>-?>-?>--n c c c c c c n n 2322221

222232122累加得当2≥n ，[]23223222-+=+++>-n n n c n Λ，722++>n n c n 当7,122++==n n c n n

2

172+>++≥∴n n n c n ………………………………………………………………………………12分 ()222212321252321+=???? ??++=??? ?

?++++>+++n n n n n c c c n ΛΛ………………………………15分 法2.先用数学归纳法证明当*∈N n ，21+

>n c n . ①当1=n 时，2

321,31=+=n c ，左式>右式，不等式成立. ②假设k n =时，不等式成立，即2

1+>k c k 当1+=k n 时，k k k c k c c 11++=+，因为()x k x x f 1++=在()

+∞+,1k 上单调递增，由 121+>+>k k c k ，得()??? ?

?+>21k f c f k ，即2

11211++++>+k k k c k ，可得231+>+k c k ， 不等式也成立.

③由①②得证当*∈N n ，2

1+>n c n .………………………………………………………………12分 ()222212321252321+=???? ??++=??? ?

?++++>+++n n n n n c c c n ΛΛ……………………………15分 21.

解析：（1）因为焦点坐标为（1,0），所以24p =

设直线AB 的方程为1x ty =+（t 为斜率的倒数）

2214404x ty y ty y x

=+??--=?=?

，则有212|||4(1)8AB y y t =-=+=--------4分 所以1t =±，

OAB ?

的面积为1211||2y y ??-=== -- --6分 另解：O 到直线AB

2=

，所以OAB ?

的面积为1822??=--6分 （2）因为A 在抛物线上可以设2(,2)A a a ，根据第（1）问可知A,B 两点的纵坐标之积为定值为4-，所以

212(,)B a a -，则有21||4(1())AB AB k =+，其中42212AB k a a a a

==--

可得：221

1||4(1())()2a a AB a a -

=+=+-----------------------------------9分 设直线AC 的方程为3x my =+，代入抛物线可得

22341204x ty y ty y x

=+??--=?=?，所以可知A,C 两点的纵坐标之积为-12 所以296(,)C a a -，同理可得23||()3a CD a

=+---------------------------12分 综上可知：||||AB CD ?=2

22222131313()()[()()](3)3333

a a a a a a a a a a +?+=+?+=+++

所以有2

222131256||||(3)(33339

a AB CD a ?=+++≥++=（等号成立条件23a =） 则有256||||9AB CD ?最小值为

-----------------15分

22.解析：（1）由()x x x x f ln 22-=，

得()()x x x f ln 12--='，（2分）()0112≥??

? ??

-=''x x f ()x f '在[]e ,1单调递增，()()01='≥'f x f

所以：()x f 在[]e ,1单调递增

所以()[]

e e x

f 2,12-∈.---------6分

（2）由题意可得：()a f ≥1，即10≤

事实上，当10≤

2≥---?-≥-x x a x a x x a x x a x 记11≥=a

t ，设()x x t x t x t g ln 1222---=，则()t g 为关于t 的二次函数，-------10分 定义域为[)+∞,1，其对称轴为2212x

x t -=.

x x x x x 22241424≥?=≥+Θ.12122<-=∴x x t ()()x x x x g t g ln 1212---=≥∴ 设()x x x x x h ln 12---=，2

1≥x ()()221211112121x x x x x x x x x x h ??? ??-+-=-----

=' 当()()x h x h x ,0,1,21<'???

???∈递增；当()()()x h x h x ,0,,1>'+∞∈递减. 所以：()()01min ==h x h

即()0≥x h ，于是有：()0≥t g 所以:10≤