2019年江苏省南通市通州区高考数学模拟试卷（4月份）（解析版）

2019年江苏省南通市通州区高考数学模拟试卷（4月份）

一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）

1. 已知集合A={x|-2＜x＜3}，B={x|x=2n，n∈Z}，则A∩B=______．

2. 已知复数z1=1+2i，z2=1-i，其中i为虚数单位，则复数z1z2的实部为______． 3. 如图是一个算法的伪代码，若输入x的值为3时，则输出的y的值为______． 4. 某同学近5次考试的数学附加题的得分分别为30，26，32，27，35，则这组数据

的方差为______．

5. 设不等式log2x＜1的解集为D，在区间[-3，5]上随机取一个实数x，则x∈D的概

率为______．

6. 已知圆锥的底面面积为2π，侧面积为 π，则该圆锥的体积为______．

7. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=0，S3+S4=6，则a5+a6的值为______． 8. 已知α∈（0， ），tan2α= ，则 的值为______． 9. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：

（1）若PA∥平面MBD，求证：点M为PC中点； （2）求证：平面MBD⊥平面PCD．

17. 某公司代理销售某种品牌小商品，该产品进价为5元/件，销售时还需交纳品牌使用费3元/件，售价为

x元/件，其中10≤x≤30，且x∈N*．根据市场调查，当10≤x≤15，且x∈N*时，每月的销售量h（万件）

与（18-x）成正比；当15≤x≤30，且x∈N时，每月的销售量h（万件）与

2

*

成反比．已知售价为 （a＞0，b＞0）的右焦点为F2，左顶点为A，

15元/件时，月销售量为9万件．

（1）求该公司的月利润f（x）（万件）与每件产品的售价x（元）的函数关系式； （2）当每件产品的售价为多少元时，该公司的月利润f（x）最大？并求出最大值．

18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

过点F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于P，Q两点．若AP⊥AQ，则双曲线的离心率为______．

3

10. 已知函数f（x）满足f（x-a）=x+1，且对任意实数x都有f（x）+f（2-x）=2，则f（0）的值为______．

=3，AB∥CD，AB=4，CD=2，AD=3，11. 在梯形ABCD中，若 则 ， 的值为______．

2222

12. 若a，b∈R，且a+2ab-3b=1，则a+b的最小值为______．

22

13. 在平面直角坐标系xOy中，△ABC的外接圆方程为x+y=4，∠ACB= ，AB边的中点M关于直线y=x+2

的对称点为N，则线段ON长度的取值范围是______．

2

14. 已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x+（a+12）x+2a，若不等式f（x）≤g（x）的解集中恰有两个整数，

则实数a的取值范围是______．

二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）

15. 已知函数 ．

（a＞b＞0）的短轴长为2，椭圆C上的点到右

（1）若x∈[0， ]，求函数f（x）的值域；

（2）在△ABC中，已知C为锐角， ，AB=3，A= ，求边BC的长．

16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AD=2，AB=1，∠BAD=60°，平面PCD⊥平面

ABCD，点M为PC上一点．

0）B两点k＞0）焦点距离的最大值为 ．过点P（m，作斜率为k的直线l交椭圆C于A，（m＞0，，

D是线段AB的中点，直线OD交椭圆C于M，N两点． （1）求椭圆C的标准方程；

，求k的值； （2）若m=1，

（3）若存在直线l，使得四边形OANB为平行四边形，求m的取值范围．

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x

19. 已知函数f（x）=lnx-ax+1，g（x）=x（e-x）．

（1）若直线y=2x与函数f（x）的图象相切，求实数a的值；

（2）若存在x1∈（0，+∞），x2∈（-∞，+∞），使f（x1）=g（x2）=0，且x1-x2＞1，求实数a的取值范围；

2

（3）当a=-1时，求证：f（x）≤g（x）+x．

（2）若存在x∈R，使 成立，求实数a的取值范围．

24. 已知动圆过点S（2，0），且在y轴上截得的弦长为4．

（1）求动圆圆心C的轨迹方程；

， ，求证：λ+μ （2）过点S的直线l与曲线C交于点A，B，与y轴交于点T，设

是定值．

25. 设 ∈ ．

（1）若m=2，求a1+2a2+…+2020a2020的值；

（2）若m=-1，求

的值．

20. 已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，首项为2．若 对任意的

正整数m，n恒成立．

（1）求a2，a3，a4；

（2）求证：{an}是等比数列；

*

（3）设数列{bn}满足 ，若数列 ， ，…， （n1＜n2＜…＜nt，t∈N）为等差数列，求t的最大值．

的两个特征值为λ1=2，λ2=3．求直线l：x-y+2=0在矩阵M对应变换作用下的直线21. 已知矩阵M=

l'的方程．

22. 在极坐标系中，已知圆C的方程为ρ=2sinθ，直线l的方程为 ．若直线l与圆C相切，求实数a的值．

23. 设函数f（x）=|x+1|-|x-4|-a．

（1）求函数f（x）的最大值；

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答案和解析

1.【答案】{0，2}

【解析】

解：某同学近5次考试的数学附加题的得分分别为30，26，32，27，35， ∴某同学近5次考试的数学附加题的得分平均数为： =（30+26+32+27+35）=30， 则这组数据的方差为：

S2=[（30-30）2+（26-30）2+（32-30）2+（27-30）2+（35-30）2]=故答案为：

．

．

解：∵集合A={x|-2＜x＜3}，B={x|x=2n，n∈Z}， ∴A∩B={0，2}． 故答案为：{0，2}． 利用交集定义直接求解．

本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】3

【解析】

先求出某同学近5次考试的数学附加题的得分平均数，由此能求出这组数据的方差． 本题考查方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5.【答案】 【解析】

解：∵z1=1+2i，z2=1-i， ∴z1z2=（1+2i）（1-i）=3+i， ∴复数z1z2的实部为3， 故答案为：3．

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

解：由log2x＜1，得0＜x＜2．

∴在区间[-3，5]上随机取一个实数x，则x∈D的概率为故答案为：．

．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3.【答案】15

【解析】

求解对数不等式得x的范围，再由测度比是长度比得答案． 本题考查几何概型概率的求法，考查对数不等式的解法，是基础题． 6.【答案】 【解析】

解：由题意，本题是一个条件型的程序，若x≤0，y=2，否则y=2x-x， 由于输入的x的值是3， 32-3=15， 由0＜3，可得：y=2×则输出y的值是20． 故答案为：15．

x2

本题是一个条件型的程序，若x≤0，y=2，否则y=2x-x，由于输入的x的值是3，即可计算得解．

x2

解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l， 则

所以高h=2， 所以V=故答案为：

．

=

．

，解得r=

，l=

，

本题考点是伪代码，考查读懂一些简单程序的能力，对程序语句的了解是解题的关键，属于基础题． 4.【答案】

【解析】

设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由圆柱的侧面积、圆面积公式列出方程组求解，代入柱体的体积公式求解．

本题考查圆柱的侧面积、体积公式，以及方程思想，属于基础题．

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7.【答案】21

【解析】

e==2． 故答案为：2．

右焦点为F2（c，0），左顶点为A（-a，0），令x=c，求得P，Q的坐标，可得三角形APQ为等腰直角三角形，可得|AF2|=|PQ|，化简整理，由离心率公式可得所求值．

本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查等腰直角三角形的性质，化简运算能力，属于基础题． 10.【答案】0

【解析】

33

解：根据题意，函数f（x）满足f（x-a）=x+1，则f（x）=（x+a）+1，

2

，可得：3tanα+8tanα-3=0，

解：因为数列{an}是等差数列，a2=0则a1=-d， 所以S3+S4=7a1+9d=2d=6，即d=3． 7=21． 所以a5+a6=2a1+9d=7d=3×故填：21．

数列{an}是等差数列，a2=0则a1=-d，S3+S4=7a1+9d=2d=6，所以d=3，所以a5+a6=2a1+9d=7d，可得．

本题考查了等差数列的前n项和公式，通项公式，属于基础题． 8.【答案】-2

【解析】

解：∵α∈（0，），tan2α==∴解得：tanα=，或-3（舍去）， ∴

=

=

=-2．

则f（2-x）=（2-x+a）3+1，

33

若对任意实数x都有f（x）+f（2-x）=2，则有f（x）+f（2-x）=（x+a）+1+（2-x+a）+1=2，

变形可得（x+a）3+（2-x+a）3=0，分析可得a=-1 则f（x）=（x-1）3+1，

故答案为：-2．

2

由已知利用二倍角公式可求3tanα+8tanα-3=0，结合角的范围可求tanα的值，根据同角三角函

则f（0）=（0-1）3+1=（-1）+1=0； 故答案为：0．

33

根据题意，由函数的解析式可得f（x）=（x+a）+1，进而可得f（x）+f（2-x）=（x+a）+1+（2-x+a）3

数基本关系式即可求解．

本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 9.【答案】2

【解析】

+1=2，变形分析可得a的值，即可得函数的解析式，将x=0代入计算可得答案．

本题考查函数解析式的计算，关键是求出a的值． 11.【答案】7

【解析】

解：右焦点为F2（c，0），左顶点为A（-a，0）， b令x=c，可得y=±可设P（c，

），Q（c，-=±， ），

解：∵AB∥CD，AB=4，CD=2，∴∵∴∴即9-又

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=，

，

，∴

=

+=（

=+

=+）?（

=，

由AP⊥AQ，可得三角形APQ为等腰直角三角形， 可得|AF2|=|PQ|， 即a+c=

=

，

）==4． -=

-

--=3，

-=3，∴

=

=

化为c-a=a，即c=2a， ，

∴=?（-）=-=9-2=7．

置关系分析可得答案．

本题考查直线与圆的综合应用，涉及直线与圆的位置关系，属于综合题．

故答案为：7． 用

表示出各向量，根据

=3计算

，再计算

的值．

【解析】

14.【答案】[

，

）

本题考查了平面向量的基本定理，数量积运算，属于中档题． 12.【答案】

【解析】

22

解：由a+2ab-3b=1得（a+3b）（a-b）=1，

解：f′（x）=lnx+1，故当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0， ∴f（x）在（0，）上单调递减，（，+∞）上单调递增，且f（1）=1 又g（x）的函数图象开口向下，对称轴为x=6+，

要使不等式f（x）≤g（x）的解集中恰有两个整数，其图象如下：

令x=a+3b，y=a-b，则xy=1且a=

22

所以a+b=（2

当且仅当x=

2）+（2，y=

2）=

，b=

≥

，

=

，

，时取等．

故答案为．

22

由a+2ab-3b=1得（a+3b）（a-b）=1，再换元令x=a+3b，y=a-b，然后利用基本不等式可得．

本题考查了基本不等式及其应用，属中档题． 13.【答案】[2 -1，2 +1]

【解析】

22

解：根据题意，△ABC的外接圆方程为x+y=4，其半径为2，

不等式f（x）≤g（x）的解集中恰有两个整数是1，2， ∴

?

，

若∠ACB=，则∠AOB=，M为AB的中点，则|OM|=1，

解得

≤a＜

．

，）．

）．

则M在以O为圆心，半径为1的圆上，

又由点N与点M关于直线y=x+2对称，且（0，0）与（-2，2）关于直线y=x+2对称， 则点N的轨迹为以（-2，2）为圆心，半径为1的圆， 设P（-2，2），则|OP|=2则有2

-1≤|ON|≤2

-1，2

，

+1，即线段ON长度的取值范围是[2+1]．

，进而可得|OM|=1，据此可得M在以O为圆心，

-1，2

+1]；

∴实数a的取值范围是[故答案为：[

，

推导出f′（x）=lnx+1，f（x）在（0，）上单调递减，（，+∞）上单调递增，且f（1）=1，f（x）的函数图象开口向下，对称轴为x=6+，利用数形结合法求出不等式f（x）≤g（x）的解集中恰有两个整数是1，2，列出不等式组，能求出实数a的取值范围．

本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查换元法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

故答案为：[2

根据题意，由圆心角定理分析可得∠AOB=

半径为1的圆上；进而分析可得点N的轨迹为以（-2，2）为圆心，半径为1的圆，结合点与圆的位

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