华南理工大学高等数学统考试卷下2007

高等数学下册试卷

2008．7．4

姓名： 学院与专业： 学号：

一、填空题[共24分]

1、[4分]设z?x4y3?2x，则dz?1,2??34dx?12dy

?x?acostx?ayz???. 2、[4分]曲线?:?y?asint在点?a,0,0?的切线方程为0ac?z?ct???x2?y2?xy?,?x,y???0,0?3、[4分] 已知f(x,y)??x2?y2，则fx?0,y?? 0 ??0,?x,y???0,0?4、[4分] 函数z?x2?y2在点P,2?处沿从点P,2?到点P12,2?3方向的方0?10?1向导数是1?23

5、[4分]设L为取逆时针方向的圆周x2?y2?9，则曲线积分

22xy?2ydx?x?4x?dy??18? ?????L??6、设L为直线y?x上由点A?0,0?到点B?1,1?之间的一段，则曲线积分

2xy?ds?L2. 42二、[7分] 计算二重积分??2xy2exyd?,D.是由y?1,x?y,x?0所围成的闭区

D域

解：作图知D:0?y?1,0?x?y

e??2xyed???dy?2xyedx??y??D0002x2y1y2x2y1x2y2?dx?yey?1dy?e?1

??02y10??222??x?y?z?2三、 [7分] 计算三重积分???zdv，其中?.由?所确定 22??z?x?y?共6页第1页

222??x?y?z?22?z?z?2?0,z1?1,z2??2（舍去） 解：由交线?22??z?x?y于是投影区域为D:x2?y2?1，?柱坐标下为0???2?,0?r?1,r2?z?2?r2 2?12?r2???zdv??d??rdr??00r2?21416?7?124zdz??d??r?2?r?r?dr???1????

246?12?002?1四、 [7分] 计算??xz2dydz???2xy?2z??2?dzdxxy?2?y，其中?为半球zdxdyz?a2?x2?y2的上侧

解：令?1:z?0,x2?y2?a2取下侧。则?1??为半球体?的外侧，由高斯公式

原式?2?????x?2?y2?z2?dv???xz2dydz??x2y?z2?dzdx??2xy?y2z?dxdy

?1?2??d??00??5?2?a2?22d???sin?d????2xydxdy?2???cos??0????d??2rco??rsin??rdr?5?000D0a?a2?5?a?sin2?52?0r44a?02?5a（用对称性可以简化计算） 512x?y2??0?z?1? ?2五、 [7分] 计算???x?y?1?dS，其中?为抛物面z??解：zx?x,zy?y,dS?1?x2?y2dxdy，投影区域为D:x2?y2?2

2?2由对称性，原式???1dS???d??00322221?rrdr???1?r?32?0233?1? 3??六、[7分]求u?x?2y?2z在约束条件x2?y2?z2?1下的最大值和最小值 解：令L?x?2y?2z???x2?y2?z2?1?

?1?1?1??x?x?x??Lx?1?2?x?0???2?33?L??2?2?y?0???13?2?2?y??,??y?,????,?y?or?y?则?

?233L?2?2?z?0?z????1?2?2?x2?y2?z2?1???z?z?z?????33???144?122??122?144u??,,????????3,u?,?,?????3

333?333??333?333共6页第2页

由于最值一定存在，所以最大值为3，最小值为?3

?x??z?2z七、[7分]设z?f?x,?，其中f具有二阶连续偏导数，求,.

?x?x?y?y??z1?2z??1?x1x解：?f1?1?f2?,??f1?f2???2f12?2f2?3f22

?xy?x?y?y?y?yyy八、[7分] 求微分方程?y?x2e?x?dx?xdy?0的通解. 解：原式可以化为一阶线性微分方程y??由公式

?1?11dxln?lnx???xdx??x?x?xxy?edx?c??e??xeedx?c??x??e?xdx?c??x?c?e?x? ??xee???????1y?xe?x x九、 [7分]设f?x?具有二阶连续导数，f?0??0f,??x????xy0??，1且

??y??f??x???x?y???d2f?xydyf?x?其此全微?x?0是全微分方程，求

分方程的通解。

解：由全微分方程的条件知

x2?2xy?f?x??f???x??2xy,f???x??f?x??x2,r2?1?0,r1,2??i 有特解有形式f*?x??ax2?bx?c，代入原方程得f*?x??x2?2 从而通解f?x??c1cosx?c2sinx?x2?2,f??x???c1sinx?c2cosx?2x 由初值条件c1?2?0,c2?1,c1?2,c2?1, 因此f?x??2cosx?sinx?x2?2 原方程即为

?xy?x?y???2cosx?sinx?x2?2?y?dx???2sinx?cosx?2x?x2y?dy?0

?????x2y2?即d???yd??2sinx?cosx?2x????2sinx?cosx?2x?dy?0

?2??x2y2?x2y2d????2sinx?cosx?2x?y??0,???2sinx?cosx?2x?y?c

2?2?xn十、 [7分]（非化工类做）求幂级数?的收敛域及其和函数

n?1n?0?共6页第3页

1a解：由limn?1?limn?2?1，从而R?1,??1,1?为收敛区间

n??an??1nn?1又x?1时级数发散（调和级数去掉第一项），x??1时级数由莱布尼茨判别法知道其收敛，从而收敛域为[?1,1)

?xnxn?1设? ?S?x?，则S?0??1,xS?x???n?1n?1n?0n?0??11n?，xSx?x???xSx?xSx?0?dx??ln?1?x? ??????????1?x1?xn?00x?1,x?0?因此S?x???ln?1?x?

,?1?x?0,0?x?1??x?十一、 [6分]（非化工类做）将函数f?x??ln1?x展开成x的幂级数 1?x解：f?x?的定义域为??1,1?，f?x??ln?1?x??ln?1?x?

??11nn??f??x???????1??1x??2x2n,f?0??ln1?0

?1?x1?xn?0?n?0从而f?x???2x2n?1,x???1,1?

n?02n?1n?1?十二、 [6分]（非化工类做）证明： 在区间???,??上等式?n?0???1?n2x2cosnx??成立

124?2x2?作周期为2?的周期延拓，再作出其证明：对???,??上的偶函数f?x??124?2傅立叶级数由收敛定理即可推出。 由公式a0?2??x?2??x??dx?x??????0

??124?1212???00?n?1?2223????2??2x2?2??2x2?sinnx1cosnx??1?n?0,an?????cosnxdx?????d?0?xd?2?0?124??0?124?nn??nn0x2???1?bn?0，从而由收敛定理知道???124n?0n2?2n?1cosnx在???,??上一定成立

共6页第4页

十、[7分]（化工类做）在曲面z?2x2?平面4x?2y?2z?1?0平行。

12y上求出切平面，使所得的切平面与2?解：曲面的法向量n??4x,y,?1?应与平面平面4x?2y?2z?1?0的法向量平行，

4xy?112?1?1??,?y??1,x?，由于切点在曲面上z?2?????1??1 从而有

4?2?22?2?221??因此切平面为4?x???2?y?1??2?z?1??0,2x?y?z?1?0

2??十一、 [6分]（化工类做）设z?z?x,y?是由方程x2?y2?z???x?y?z?所确定

的函数，其中??x?可导，求dz

解：对方程两边取微分得2xdx?2ydy?dz?????dx?dy?dz?

即?1????dz?dz????dz?2xdx?2ydy?????dx?dy???2x????dx??2y????dy

2x????dx??2y????dy? dz?1???1?2222x?ysin,x?y?0???22x?y十二、 [6分]（化工类做）证明函数f?x,y????22?0,x?y?0在原点?0,0?处可微，但fx?x,y?在点?0,0?处不连续

f?x,0??f?0,0??lim解：由定义fx??0,0??limx?0x?0x?0?x2?02?sin122x?0x?0?0?0

同理fy??0,0??0 由于

1x2?y22?xlimx?0y?02?y2?sin?fx??0,0?x?fy??0,0?y2?x?limx?0y?02?y2?sinx?y21x2?y22x?y?0

从而函数f?x,y?在原点?0,0?处可微。 当x2?y2?0

共6页第5页

?3?12?22fx??x,y??2xsin??x?y?cos????x?y??2x?

x2?y2x2?y2?2?1221fx??x,y??2xsin1x?y1x222??xx?yxx222cos1x21x?y22 由于fx??x,0??2xsin??cos,limfx??x,0?不存在，因此fx?x,y?在点

x?0fx??x,y?不存在而不连续。 ?0,0?处由于limx?0y?0共6页第6页

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