2022-2022学年度北师大版高中数学必修一学案：第二章 5 简单的幂

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度北师大版高中数学必修一学案：第二章 5

简单的幂函数（一）

______年______月______日

____________________部门

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20xx最新20xx北师大版高中数学必修一学案：第二章 5 简单的

幂函数（一）

知识点一幂函数的概念

思考y＝，y＝x，y＝x2三个函数有什么共同特征？

梳理如果一个函数底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．

知识点二幂函数的图像与性质

思考如图在同一坐标系内作出函数(1)y＝x；(2)；(3)y＝x2；(4)y

＝x－1；(5)y＝x3的图像．

1

2 y x =

填写下表：

y＝x y＝x2y＝x312

y x

=y＝x－1定义域

值域

单调性增在[0，＋∞)

上______，

在(－∞，0]

上______

在(0，＋∞)

上______，

在(－∞，0)上__

____

梳理根据上表，可以归纳一般幂函数特征：

(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图像都过点________；

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3 / 9 (2)α>0时，幂函数的图像通过________，并且在区间[0，＋∞)上是________函数．特别地，当α>1时，幂函数的图像下凸；当0<α<1时，幂函数的图像上凸；

(3)________时，幂函数的图像在区间(0，＋∞)上是减函数；

(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图像关于直线y ＝x 对称；

(5)在第一象限，作直线x ＝a(a>1)，它同各幂函数图像相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从________到________的顺序排列． 类型一 幂函数的概念

例1 已知y ＝(m2＋2m －2)＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．2

2m x － 反思与感悟 只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x ，指数为常量这三个条件，才是幂函数．如：y ＝3x2，y ＝(2x)3，y ＝4都不是幂函数．

跟踪训练 1 在函数y ＝，y ＝2x2，y ＝x2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

类型二 幂函数的图像及应用

例2 若点(，2)在幂函数f(x)的图像上，点(2，)在幂函数g(x)的图像上，问当x 为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；

(3)f(x)

反思与感悟 幂函数由于指数α的不同，它们的定义域也不同，性质也不同，幂函数的图像主要分0<α<1，α>1和α<0三种情况讨论． 跟踪训练2 幂函数y ＝x α(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间

[0,1]上它们的图像是一簇美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，

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连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图像三等分，即有BM ＝MN ＝NA.那么αβ等于( ) A ．1 B ．2

C ．3

D ．无法确定

类型三 幂函数性质

例3 探讨函数f(x)＝的单调性．12

x -

反思与感悟 研究函数单调性要先研究函数定义域．幂函数的定义域主要受两个因素影响：偶次根式被开方数不小于零；分式的分母不为零．

跟踪训练3 已知幂函数f(x)＝(m∈N＋)．2

1m m

x

+

试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性． 例4 (1)比较，的大小．3

2312

25

(2)若(a ＋1) <(3－2a) ，则a 的取值范围是________．

12-12

-

反思与感悟 应用幂函数性质比大小解不等式，首先是根据研究目标的特征构造幂函数，其次是根据所构造的幂函数性质如定义域、单调性来解决问题．

跟踪训练4 (1)比较，，的大小．132-

43

223

3

(2)若幂函数f(x)＝ (m∈N＋)过(2，)，解不等式f(2－a)>f(a －1)．2

1m m

x

+

1．已知幂函数f(x)＝k·x α的图像过点，则k ＋α等于( ) A. B ．1 C. D ．2

2．已知幂函数f(x)的图像经过点(2，)，则f(4)的值等于( )

A．16 B. C．2 D.1

2

3．设α∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为( )

A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3

4．下列是的图像的是( )

2

3 y x

5．以下结论正确的是( )

A．当α＝0时，函数y＝xα的图像是一条直线

B．幂函数的图像都经过(0,0)，(1,1)两点

C．若幂函数y＝xα的图像关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大

D．幂函数的图像不可能在第四象限，但可能在第二象限

1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准．

2．幂函数y＝xα的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α>0时，图像过(0,0)，(1,1)在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．

3．在具体应用时，不一定是y＝xα，α＝－1，，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质．

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6 / 9 答案精析

问题导学

知识点一

思考 底数为x ，指数为常数．

知识点二

思考 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}

R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}

增加 减少 增 增 减少 减少

梳理 (1)(1,1) (2)原点 增

(3)α<0 (5)小 大

题型探究

例1 解 由题意得??? m2＋2m －2＝1，2n －3＝0，

解得??? m ＝－3或1，

n ＝32，

所以m ＝－3或1，n ＝.

跟踪训练1 B [因为y ＝＝x －2，

所以是幂函数；

y ＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；

y ＝x2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图像比幂函数y ＝x0的图像多了一个点(0,1), 所以常函数y ＝1不是幂函数．]

例2 解设f(x)＝xα，因为点(，2)在幂函数f(x)的图像上，所以将点(，2)代入f(x)＝xα中，得2＝()α，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2.

在同一坐标系内作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图像(如图所示)，观察图像可得：

(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；

(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；

(3)当－1

跟踪训练2 A [由条件知，

M(，)、N(，)，

∴＝()α，＝()β，

∴()αβ＝[()β]α＝()α＝，

∴αβ＝1.故选A.]

例3 解 f(x)＝的定义域为(0，＋∞)．

1

2 x-

任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1

则f(x2)－f(x1)＝－＝－

1

2

2

x-

1

2

1

x-1

x1

＝＝\r(x1)＋\r(x2)).

因为x2>x1>0，所以x1－x2<0，且·(＋)>0，

于是f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)

所以f(x)＝在区间(0，＋∞)内是减函数．

1

2 x-

跟踪训练3 解∵m∈N＋，

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∴m2＋m＝m×(m＋1)为偶数．

令m2＋m＝2k，k∈N＋，则f(x)＝，∴f(x)的定义域为[0，＋∞)，

在[0，＋∞)上为增函数．

例4 (1) 解

31 22 327,

=

∵在[0，＋∞)上是增函数，27>25，

1

2 y x =

∴即

11

22

2725,

>

31

22

325.

>

(2)(，)

解析由(1)知f(x)＝x在区间(0，＋∞)内是减函数．

1 2 -

所以(a＋1)<(3－2a)等价于

1

2

-

1

2

-

?

?

?a＋1>0，

3－2a>0，

a＋1>3－2a，

解得

跟踪训练4 解

11

33

1

2(),

2

-

=41

33

2(16),

=

21

33

39,

=

∵在R上为增函数，

1

3 y x =

且<9<16，

∴

111

333 1

()916, 2

<<

即

124

333 232. -

<<

(2) ∵＝＝，∴m2＋m＝2，

1

2

22

1

2m m+

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解得m＝1或m＝－2(舍去)，∴f(x)＝，

1 2 x

由(1)知f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，∴f(2－a)>f(a－1)等价于2－a>a－1≥0，

解得1≤a<.

当堂训练

1．C [由幂函数的定义知k＝1.

又f＝，所以α＝，

解得α＝，从而k＋α＝.]

2．D 3.A 4.B 5.D

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