专题1-极值点偏移问题利器极值点偏移判定定理-玩转压轴题，突破1

一、极值点偏移的判定定理

对于可导函数y?f(x)，在区间(a,b)上只有一个极大（小）值点x0，方程f(x)?0的解分别为x1,x2，且a?x1?x2?b，

（1）若f(x1)?f(2x0?x2)，则极（小）大值点x0右（左）偏；

（2）若f(x1)?f(2x0?x2)，则极（小）大值点x0右（左）偏.

证明：（1）因为对于可导函数y?f(x)，在区间(a,b)上只有一个极大（小）值点x0，则函数f(x)的单调递增（减）区间为(a,x0)，单调递减（增）区间为(x0,b)，由于有x1?x0，且2x0?x2?x0，又f(x1)?f(2x0?x2)，故x1?(?)2x0?x2，a?x1?x2?b，所以

x1?x2?(?)x0，即函数y?f(x)在区间(x1,x2)上2x1?x2?(?)x0，即函数y?f(x)在区间(x1,x2)上2x1?x2?(?)x0，即函数极（小）大值点x0右（左）偏； 2（2）证明略.

左快右慢（极值点左偏?m?x?x2x1?x2） 左慢右快（极值点右偏?m?1） 22

左快右慢（极值点左偏?m?x1?x2x?x2） 左慢右快（极值点右偏?m?1） 22二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述：

（1）求出函数f(x)的极值点x0；

（2）构造一元差函数F(x)?f(x0?x)?f(x0?x)； （3）确定函数F(x)的单调性；

（4）结合F(0)?0，判断F(x)的符号，从而确定f(x0?x)、f(x0?x)的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. 2、抽化模型

答题模板：若已知函数f(x)满足f(x1)?f(x2)，x0为函数f(x)的极值点，求证：

x1?x2?2x0.

（1）讨论函数f(x)的单调性并求出f(x)的极值点x0；

假设此处f(x)在(??,x0)上单调递减，在(x0,??)上单调递增.（2）构造F(x)?f(x0?x)?f(x0?x)；

注：此处根据题意需要还可以构造成F(x)?f(x)?f(2x0?x)的形式.

[KS5UKS5U][KS5UKS5U.KS5U

（3）通过求导F'(x)讨论F(x)的单调性，判断出F(x)在某段区间上的正负，并得出

f(x0?x)与f(x0?x)的大小关系；

假设此处F(x)在(0,??)上单调递增，那么我们便可得出

F(x)?F(x0)?f(x0)?f(x0)?0，从而得到：x?x0时，f(x0?x)?f(x0?x).

（4）不妨设x1?x0?x2，通过f(x)的单调性，f(x1)?f(x2)，f(x0?x)与f(x0?x)的大小关系得出结论；

接上述情况，由于x?x0时，f(x0?x)?f(x0?x)且x1?x0?x2，f(x1)?f(x2)，故f(x1)?f(x2)?f[x0?(x2?x0)]?f[x0?(x2?x0)]?f(2x0?x2)，又因为x1?x0，

从而得到x1?2x0?x2，从而x1?x2?2x0得2x0?x2?x0且f(x)在(??,x0)上单调递减，证.

（5）若要证明f'(x1?x2x?x2x?x2)?0，还需进一步讨论1与x0的大小，得出1所在的222x1?x2?x0，由于f(x)在(??,x0)上单2单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.

此处只需继续证明：因为x1?x2?2x0，故调递减，故f'(【说明】

（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；

（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求f(x)的单调性、极值点，证明f(x0?x)与f(x0?x)（或f(x)与f(2x0?x)）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如x1?x2?2x0或f'(小问分解为三问逐步解题.

[KS5UKS5U.KS5Ux1?x2)?0. 2x1?x2)?0的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该2

三、对点详析，利器显锋芒 ★已知函数f(x)?xe(x?R). (1)求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)若x1?x2，且f(x1)?f(x2)，证明：x1?x2?2.

?x

∵x2?1，∴2?x2?1，f(x)在(??,1)上单调递增，∴x1?2?x2，∴x1?x2?2. ★函数f(x)?x?证明：x1?x2?2.

4431x与直线y?a(a??)交于A(x1,a)、B(x2,a)两点. 33

2?lnx，若x1?x2，且f(x1)?f(x2)，证明：x1?x2?4. x2【解析】由函数f(x)??lnx单调性可知：若f(x1)?f(x2)，则必有x1?2?x2，。

x★已知函数f(x)?所以4?x1?2， 而f(x1)?f(4?x1)?22?lnx1??ln(4?x1)， x14?x1令h(x)?22??lnx?ln(4?x)，则 x4?x2211?2(4?x)2?2x2?x(4?x)2?x2(4?x)h'(x)??2????2x(4?x)x4?xx2(4?x)2??8(x?2)?0x2(4?x)22

所以函数h(x)在(0,2)为减函数，所以h(x)?h(2)?0，

所以f(x1)?f(4?x1)?0即f(x1)?f(4?x1)，所以f(x2)?f(4?x2)，所以

x1?x2?4.

x★已知函数f?x???x?2?e?a?x?1?有两个零点.设x1,x2是f?x?的两个零点，证明：

2x1?x2?2.

四、招式演练

x★已知函数g?x??e?a2x，其中a?R,e?2.718282为自然对数的底数，f?x?是

g?x?的导函数.

（Ⅰ）求f?x?的极值；

（Ⅱ）若a??1，证明：当x1?x2，且f?x1??f?x2?时， x1?x2?0. 【答案】(1) 当a?0时，

f?x?无极值; 当a?0时, f?x?有极小值

f?ln??a????a?aln??a?;(2)详见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；

（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，设函数F（x）=f（x）﹣f（﹣x），求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可． 试题解析：

（Ⅰ）f?x??g??x??e?ax的定义域为???,???， f??x??e?a

xx当a?0时， f??x??0在x????,???时成立

?f?x? 在???,???上单调递增， f?x?无极值.

当a?0时， f??x??e?a?0解得x?ln??a?

x由f??x??0 得x?ln??a?；由f??x??0 得x?ln??a?

所以f?x?在??,ln??a?上单调递减，在ln??a?,??上单调递增， 故f?x?有极小值fln??a???a?aln??a?.

（Ⅱ）当a??1时， f?x??e?x的定义域为???,???， f??x??e?1，

xx??????由f??x??e?1?0，解得x?0.当x变化时， f??x?， f?x?变化情况如下表：

xx f??x? f?x? ???,0? ? 单调递减 0 ?0,??? + 0 极小值 单调递增 ∵x1?x2，且f?x1??f?x2?，则x1?0?x2（不妨设x1?x2）

★已知函数f?x??lnx?ax，其中a?R

2（1）若函数f?x?有两个零点，求a的取值范围； （2）若函数f?x?有极大值为?1，且方程f?x??m的两根为x1,x2，且x1?x2，证明： 2x1?x2?4a.

【答案】（1）0?a?1;（2）见解析. 2e（1）当a?0时， f??x??0函数f?x?在?0,???上单调递增，不可能有两个零点 （2）当a?0时， f??x??0,x?1 2a

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