2018届天津市和平区高三上学期期末考试数学（理）试题

2018届天津市和平区高三上学期期末考试数学（理）试题

第Ⅰ卷（共40分）

一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

21．设集合A??0,?1,?2,?3,4?，B?xx?12，则AIB?（ ）

??A．?4? B．??1,2,?3?

C．?0,?1,2,?3? D．??3,?2,?1,0,1,2,3?

22．“a?2”是“关于x的方程x?3x?a?0有实数根”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

?x?2y?4,?3．设变量x、y满足约束条件?x?2y?0,则目标函数z?3x?y的最大值为（ ）

?x?2?0,?A．9 B．5 C．1 D．-5

x2y2??1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线4．已知双曲线

412斜率的取值范围是（ ） A．??????33?33??3,3?3,3?,, B． C． ???? D．????33??33???5．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（ ）

A．72 B．90 C．101 D．110 6．将函数y?sin?????1x??的图象向左平移个单位，得到图象对应的解析式为（ ）

33??2?? ?A．y?sin12??1x B．y?sin?x?23?2 1

C．y?sin??????1?1x?? D．y?sin?x??

2?6??2?2uuuruuurruuru7．如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，DF?2FC，且AE与BF相交于点G，则AGBF?的值为（ ）

A．

4433 B．? C． D．? 7755??x2?ax,x?1,8．已知函数f?x???若始终存在实数b，使得函数g?x??f?x??b的零点不唯一，则a?2ax?5,x?1,的取值范围是（ ）

A．?2,4? B．???,2? C．???,4? D．???,4?

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）

9．已知i是虚数单位，则复数

63?i? ． 2?i1??3x10．?2x?的展开式中的系数为 ．（用数字作答） ?2x??11．一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．

12．已知a?0，则

?a?1??4a?1?的最小值为 ．

a4?x213．已知函数f?x??，若f?a???4，则f??a?的值为 ．

x?3?314．现有6个人排成一横排照相，其中甲不能被排在边上，则不同排法的总数为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

2

15．在?ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，且a?2bc. （Ⅰ）若sinA?sinC，求cosA； （Ⅱ）若cos2A22，a?6，求?ABC的面积. ?233、416．甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为

21、，笔试、口试、实验通过考试分别记4分、2分、4分，没通过的项目记0分，各项成绩互不影响. 32（Ⅰ）若规定总分不低于8分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率； （Ⅱ）记三个项目中通过考试的个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.

17．如图，在三棱锥P?ABC中，PA?平面ABC，AC?BC，D为PC的中点，E为AD的中点，点F在线段PB上，PA?AC?4，BC?2. （Ⅰ）求证：AD?平面PBC； （Ⅱ）若

PF3?，求证：EF∥平面ABC； PB4（Ⅲ）求PE与平面ADB所成角的正弦值.

18．已知?an?是等差数列，?bn?是等比数列，其中a1?b1?1，a2?b3?a4，a3?b4?a7. （Ⅰ）求数列?an?与?bn?的通项公式； （Ⅱ）记cn?1?a1?a2?L?an??b1?b2?L?bn?，求数列?cn?的前n项和Sn. n1x2y219．已知椭圆E:2?2?1?a?b?0?的离心率为，以椭圆的短轴为直径的圆与直线x?y?6?0相

2ab切.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

CD（Ⅱ）设椭圆过右焦点F的弦为AB、过原点的弦为CD，若CD∥AB，求证：为定值.

AB20．已知函数f?x??ax?x，g?x??blnx，且曲线f?x?与g?x?在x?1处有相同的切线.

22 3

（Ⅰ）求实数a,b的值；

（Ⅱ）求证：f?x??g?x?在?0,???上恒成立；

n（Ⅲ）当n??6,???时，求方程f?x??x?ng?x?在区间1,e内实根的个数.

??

和平区2017—2018学年度第一学期高三年级数学（理）学科

期末质量调查试卷参考答案

一、选择题

1-4:CABD 5-8:BDAC

二、填空题

9．1?i 10．60 11．

42?? 3312．-1 13．4 14．480

三、解答题

15．解：（Ⅰ）由sinA?sinC及正弦定理，得a?c. ∵a?2bc，

4

2∴a?c?2b.

b2?c2?a2由余弦定理，得cosA?

2bcb2?4b2?4b21??.

4b242（Ⅱ）由已知a?2bc，a?6，得bc?18.

∵在?ABC中，

AA22为锐角，且cos?， 223∴sinAA1?1?cos2?. 223AA12242. cos?2???22339142及公式S?bcsinA，

29∴sinA?2sin由bc?18，sinA?∴?ABC的面积S?142?18??42. 2916．解：（Ⅰ）记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件A,B,C， 则事件“甲同学进入复赛的”表示为ABCUABC. ∵ABC与ABC互斥，且A,B,C彼此独立， ∴PABCUABC?P?ABC??PABC

?????P?A?P?B?P?C??P?A?P?B?P?C?

3213113???????. 4324328（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

?3??2??1?1， P?X?0???1????1????1???43224??????1111213111?????????， 432432432412131132111P?X?2???????????，

43243243224P?X?1?? 5

3211P?X?3?????.

4324所以，随机变量X的分布列为

数学期望E?X??0?1111123?1??2??3??. 2442441217．（Ⅰ）证明：∵PA?平面ABC，BC?平面ABC， ∴PA?BC.

∵AC?BC，PAIAC?A， ∴BC?平面PAC. ∵AD?平面PAC， ∴BC?AD.

∵PA?AC，D为PC的中点， ∴AD?PC. ∵PCIBC?C， ∴AD?平面PBC.

（Ⅱ）证明：依题意，PA?平面ABC，AC?BC，如图，

uuruuuruuur以A为原点，分别以CB,AC,AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.

可得A?0,0,0?，B?2,4,0?，C?0,4,0?，P?0,0,4?，D?0,2,2?，E?0,1,1?，F?

?3?,3,1?. ?2?uuuruuur?3?∵平面ABC的一个法向量AP??0,0,4?，EF??,2,0?，

?2?

6

uuuruuur∴AP?EF?0，即AP?EF.

∵EF?平面ABC， ∴EF∥平面ABC.

rruuurruuur（Ⅲ）解：设平面ADB的法向量为n??x,y,z?，则n?AD?0，n?AB?0. uuuruuur?2y?2z?0,AD?0,2,2AB?2,4,0由 ??，??，得?2x?4y?0,?r令z?1，得y??1，x?2，即n??2,?1,1?.

设PE与平面ADB所成角为?，

uur∵PE??0,1,?3?，

uurruurrPE?n∴sin??cosPE,n?uurr

PE?n?0?2?1???1????3??110?6?215. 15215. 15∴PE与平面ADB所成角的正弦值为18．解：（Ⅰ）设数列?an?的公差为d，数列?bn?的公比为q， 由a1?b1?1，得an?1??n?1?d，bn?qn?1， 由a2?b3?a4，a3?b4?a7，得q?2d，q?4d， ∴d?q?2.

∴?an?的通项公式an?2n?1，?bn?的通项公式bn?2n?1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a1?a2?L?an?n，b1?b2?L?bn?2?1， 故cn?2n2312nn?2?1??n?2n?n. n2n则Sn?1?2?2?2?L?n?2??1?2?L?n?.

??令Tn?1?2?2?2?3?2?L?n?2，① 则2Tn?1?2?2?2?3?2?L?n?2234n?123n，②

7

n?123n由②-①，得Tn?n?2?2?2?2?L?2??n?1??2n?1?2.

??∴Sn??n?1??2n?1?2??1?2?L?n???n?1??2n?1?n?n?1??2. 219．解：（Ⅰ）依题意，原点到直线x?y?6?0的距离为b， 则有b?61???1?22?3. 4a2?b21由?，得a2?b2?4.

3a2x2y2??1. ∴椭圆E的方程为43（Ⅱ）证明：（1）当直线AB的斜率不存在时，易求AB?3，CD?23，

CD?4. 则

AB（2）当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的斜率为k，依题意k?0，

则直线AB的方程为y?k?x?1?，直线CD的方程为y?kx. 设A?x1,y1?，B?x2,y2?，C?x3,y3?，D?x4,y4?，

2?x2y2?1??2222由?4得?3?4k?x?8kx?4k?12?0， 3?y?k?x?1??8k24k2?12则x1?x2?，x1x2?， 223?4k3?4kAB?1?k2x1?x2

?8k2??4k2?12?2 ?1?k???4?2?2?3?4k3?4k????2?12?1?k2?3?4k2.

?x2y212?143??2x?由?4整理得，则. x?x?334223?4k3?4k?y?kx?

8

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