2016届辽宁省沈阳市高考数学复习试卷(2)解析版

2016年辽宁省沈阳市高考数学复习试卷（2）

一、解答题（共5小题，满分0分）

1．如图1，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的方程为

+

=1，A，B为椭圆的左右顶

点，F1、F2是左、右焦点．

（1）已知椭圆内有一点P（1，﹣1），在椭圆上有一动点M，则求|MP|+|MF|的最大值和最小值分别是多少？

（2）如图1，若直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M，设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．

（3）如图2，若直线l过左焦点F1交椭圆于A，B两点，直线MA，MB分别交直线x=﹣4于C，D两点，求证：以线段CD为直径的圆恒过两个定点．

（4）如图3，若M，N是椭圆E上关于原点对称的两点，点P是椭圆上除M，N外的任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN为定值．

（5）如图4，若动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2面积S的最大值．

（6）如图5，若过点F2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点．试探究：线段OF2上是否存在点M（m，0）使得

，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，

说明理由．

2

（7）如图6，若点P为抛物线D：y=4x上的动点，设O为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的△APM？①点M在椭圆C上；②点O为△APM的重心，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

2．已知椭圆

+y=1，则：

2

（1）求过点P（，）且被P平分的弦所在的直线方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过A（2，1）引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kOP?kOQ=﹣，求线段PQ中点M的轨迹方程． 3．已知双曲线

2

，左、右焦点分别为F1、F2．

（1）若曲线C1：y=2px（p＞0）的焦点恰是双曲线的右焦点，且交点连线过点F2，则求双曲线离心率．

（2）过双曲线右焦点F2且倾斜角为60°的线段F2M与y轴交于M，与双曲线交于N，已知

，则求该双曲线的离心率；

（3）若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则求此双曲线离心率的取值范围；

（4）若离心率，令双曲线的两条渐近线构成的角中，以实轴为平分线的角为θ，则求θ的取值范围；

（5）若存在两条直线x=±m与双曲线相交于A，B，C，D，且四边形ABCD为正方形，则求双曲线离心率的取值范围．

2

4．已知抛物线C的方程：x=2py（p＞0）．

（1）设AB是过抛物线焦点F的弦，A（x1，y1），B（x2，y2）． ①证明：y1y2为定值，并求出此定值； ②证明

+

为定值，并求出此定值：

③试判断以AB为直径的圆与准线的位置关系并加以证明：

④证明：过A，B分别作抛物线的切线，则两条切线的交点T一定在准线上： （2）当p=2时，直线y=1交抛物线于A．B两点．已知P（0，﹣1），Q（x0，y0）（﹣2≤x0≤2）是抛物线C上一动点，抛物线C在点Q处的切线为l，l与PA，PB分别交于点D，E，求△QAB与△PDE的面积之比：

（3）当p=时，若抛物线C上存在关于直线l：y=kx+1对称的两点，求k的取值范围．

5．已知椭圆+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，P为椭圆上任意一点．

（1）当a=2，b=时，

①cos∠F1PF2的最小值是 ； ②|PF1|?|PF2|的取值范围是 ； ③

+

的最小值是 ．

时，椭圆的离心率是 ；

（2）若满足|PF1|=2|PF2|，且∠F1PF2=

（3）若满足|PF1|=2|PF2|时，椭圆离心率的取值范围是 ；

（4）若满足=0时，椭圆的离心率的取值范围是 ．

（5）过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，若△ABF1是锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是 ；

（6）A，B是椭圆左、右顶点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0）时，若|k1|+|k2|的最小值为1，则椭圆离心率是 ．

2016年辽宁省沈阳市高考数学复习试卷（2）

参考答案与试题解析

一、解答题（共5小题，满分0分）

1．如图1，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的方程为

+

=1，A，B为椭圆的左右顶

点，F1、F2是左、右焦点．

（1）已知椭圆内有一点P（1，﹣1），在椭圆上有一动点M，则求|MP|+|MF|的最大值和最小值分别是多少？

（2）如图1，若直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M，设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．

（3）如图2，若直线l过左焦点F1交椭圆于A，B两点，直线MA，MB分别交直线x=﹣4于C，D两点，求证：以线段CD为直径的圆恒过两个定点．

（4）如图3，若M，N是椭圆E上关于原点对称的两点，点P是椭圆上除M，N外的任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN为定值．

（5）如图4，若动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2面积S的最大值．

（6）如图5，若过点F2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点．试探究：线段OF2上是否存在点M（m，0）使得说明理由．

（7）如图6，若点P为抛物线D：y=4x上的动点，设O为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的△APM？①点M在椭圆C上；②点O为△APM的重心，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

2

，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，

【分析】（1）设F′为椭圆的左焦点，连结MF′，作过P、F′的直线交椭圆于M1、M2两点．根据椭圆的定义算出|MP|+|MF|=|MP|+（2a﹣|MF'|）=4+（|MP|﹣|MF′|），由平面几何知识得﹣|PF′|≤|MP|﹣|MF′|≤|PF′|，再利用两点间的距离公式加以计算，即可得到|MP|+|MF|的取值范围． （2）设P（x0，y0）（y0≠0），即可得出直线AP的方程，令x=2，即可得到点M的坐标，利用斜率计算公式即可得出k1，k2，再利用点P在椭圆上即可证明； （3）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB：x=my﹣1，代入椭圆方程

2

，得（3m+4）

2

y﹣6my﹣9=0，由此利用已知条件能证明以线段CD为直径的圆过x轴上的两个定点（﹣1，0）和（﹣7，0）． （4）设出点的坐标，表示出kPM、kPN，即可证明kPM?kPN为定值．

22

（5）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x+4y=12中，得到关于x的一元二次方程，由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=0，即可得到m，k的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到d1=|F1M|，d2=|F2N|．

法一：当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1﹣d2|=|MN|×|tanθ|，即可得到四边形F1MNF2面积S的表达式，利用基本不等式的性质即可得出S的最大值； 法二：利用d1及d2表示出

及d1d2，进而得到

，再利用二次函数的单调性即可得出其最大

值．

（6）存在这样的点M符合题意．设线段PQ的中点为N，P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），直线PQ的斜率为k（k≠0），注意到F2（1，0），则直线PQ的方程为y=k（x﹣1），与椭圆方程联立得到根与系数的关系，利用中点坐标公式即可得到点N，再利用向量

可得

，因此PQ⊥MN，利用k?kMN=﹣1即可得

到m与k的关系．

（7）不存在．可用反证法证明．若这样的三角形存在，由题可设

，由条件知点M在椭圆上可得

，由

三角形的重心定理可得

，及点A（﹣2，0），代入化简即可得到x2，判断即

可．

【解答】解：（1）设F′为椭圆的左焦点，连结MF′，作过P、F′的直线交椭圆于M1、M2两点，如图所示 ∵∴c=

中，a=2，b=

，

=1，可得F（1，0），F′（﹣1，0）．

由椭圆的定义，得|MF|+|MF′|=2a=4，

∴|MP|+|MF|=|MP|+（4﹣|MF′|）=4+（|MP|﹣|MF′|） 由平面几何知识，得﹣|PF′|≤|MP|﹣|MF′|≤|PF′|，

∴当M与M1重合时，|MP|﹣|MF′|达到最大值|PF′|；当M与M2重合时，|MP|﹣|MF′|达到最小值﹣|PF′|． 由|PF′|=

=

，可得|MP|﹣|MF′|的最大值为

，4+，

]．

，

，最小值为﹣

．

∴|MP|+|MF|=4+（|MP|﹣|MF′|）的取值范围为[4﹣（2））设P（x1，y1）（y1≠0），M（2，y0），则

∵A，P，M三点共线，∴，

设直线BP的斜率为，直线m的斜率为，

则直线m的方程为，

==

==，

即．

所以直线m过定点（﹣1，0）．

（3）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB：x=my﹣1， 代入椭圆方程

，整理，得（3m+4）y﹣6my﹣9=0，

2

2

∴，

∵MC：y=，∴，

∵MD：y=，∴，

∴=

=

=，

设CD与x轴交于点N，以线段CD为直径的圆与x轴交于点P，Q，

22

则NP=NQ=NC?ND=|yCyD|=9，NP=NQ=3， ∵N（﹣4，0），∴点P，Q的坐标为（﹣1，0），（﹣7，0），

∴以线段CD为直径的圆过x轴上的两个定点（﹣1，0）和（﹣7，0）． 证明：设M、N是椭圆上关于原点对称点，设M（x0，y0），则N（﹣x0，﹣y0）， （4）设P点坐标为（x，y），则

，

=1．

即，，

∴==为

定值．

22222

（5）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x+4y=12中，得（4k+3）x+8kmx+4m﹣12=0．

由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=64km﹣4（4k+3）（4m﹣12）=0，

22

化简得：m=4k+3． 设

，

，

2

2

2

2

法一：当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ， 则|d1﹣d2|=|MN|×|tanθ|，

∴，

=，

∵m=4k+3，∴当k≠0时，

当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，所以四边形F1MNF2面积S的最大值为法二：∵

22

，

． ．

，．

，

．

∴=．

四边形F1MNF2的面积

=，

=．

当且仅当k=0时，，故．

所以四边形F1MNF2的面积S的最大值为．

（6）存在这样的点M符合题意．设线段PQ的中点为N，P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），

直线PQ的斜率为k（k≠0），注意到F2（1，0），则直线PQ的方程为y=k（x﹣1）， 由

消去y得：（4k+3）x﹣8kx+4k﹣12=0，

2

2

2

2

所以，

故

，y0=k（x0﹣1）=

．

又点N在直线PQ上，所以N，

由可得，

∴PQ⊥MN，∴kMN=

，

整理得=，

所以，在线段OF2上存在点M（m，0）符合题意，其中（7）不存在，理由如下：若这样的三角形存在，由题可设

，

．

由条件①知，

由条件②得，又因为点A（﹣2，0），

所以即，

故

解之得x2=2或

， （舍），

当x2=2时，解得P（0，0）不合题意，

所以同时满足两个条件的三角形不存在．

【点评】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、等差数列、二次函数的单调性、基本不等式的性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．综合性较强，难度较大．

2．已知椭圆

+y=1，则：

2

（1）求过点P（，）且被P平分的弦所在的直线方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过A（2，1）引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kOP?kOQ=﹣，求线段PQ中点M的轨迹方程． 【分析】（1）设出直线被椭圆所截两个端点A，B的坐标，直接利用点差法求得直线斜率，则答案可求；

（2）设出斜率为2的弦的中点的坐标及弦的两个端点坐标，借助于点差法列式得答案； （3）设割线被椭圆所截的两个端点的坐标及弦中点的坐标，利用点差法列式得弦的中点的轨迹方程；

（4）设p（x1，y1），Q（x2，y2），M（x，y），然后结合点差法及直线的斜率列式，整体化简得答案．

【解答】解：（1）设直线被椭圆所截两个端点为A（x1，y1），B（x2，y2）， 则

，

，作差并整理得：

，

即直线的斜率为，

，即2x+4y﹣

∴过点P（，）且被P平分的弦所在的直线方程为

3=0；

（2）设斜率为2的弦的中点为（x0，y0），两个端点A（x1，y1），B（x2，y2）， 则

，

，作差并整理得：

，

（3）解：设两点G、H关于直线y=kx+1对称，故可设直线GH方程为y=﹣x+m，代入y=x，

得：x+x﹣m=0．

22

设G（x1，y1）、H（x2，y2），则GH中点K（x0，y0），则x0=∵点M（x0，y0）在直线y=kx+1上， ∴∴m=

+m=k（﹣

．

+4m＞0．

）+1，

，y0=

+m．

又∵GH与抛物线交于不同两点，∴△=

把m代入得+4（）＞0，化简得＜2，解得k＜﹣或k＞．

故k的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（）．

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系、直线与圆的位置关系，考查抛物线的定义，考查了轨迹方程，训练了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了整体运算思想方法，是难题．

5．已知椭圆+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，P为椭圆上任意一点． 时，

；

（1）当a=2，b=

①cos∠F1PF2的最小值是

②|PF1|?|PF2|的取值范围是 [3，4] ； ③

+

的最小值是 8 ．

时，椭圆的离心率是 ；

（2）若满足|PF1|=2|PF2|，且∠F1PF2=

（3）若满足|PF1|=2|PF2|时，椭圆离心率的取值范围是 [，1） ； （4）若满足

=0时，椭圆的离心率的取值范围是 [

，1） ．

（5）过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，若△ABF1是锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是 （﹣1，1） ；

（6）A，B是椭圆左、右顶点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0）时，若|k1|+|k2|的最小值为1，则椭圆离心率是 【分析】（1）①利用余弦定理可得cos∠F1PF2=合配方法求出|PF1|?|PF2|的最大值得答案； ②由①中过程可得|PF1|?|PF2|的取值范围； ③把

配方，转化为含有|PF1|?|PF2|的代数式求得最小值；

．

，再利用椭圆的定义结

（2）由已知结合椭圆定义求出|PF1|，|PF2|，然后结合余弦定理求得椭圆的离心率； （3）由（2）中求得的|PF2|，再由|PF2|≥a﹣c求得椭圆离心率的取值范围； （4）由点P满足

=0，可得点P的轨迹是以F1F2为直径的圆，其方程为x+y=c．进

2

2

2

一步得到椭圆短轴的顶点在圆上或在圆的内部，可得b≤c，两边平方后结合隐含条件求得椭圆的离心率；

（5）由椭圆的对称性，结合△ABF1是锐角三角形，可得∠AF1F2＜45°，即tan∠AF1F2＜1，转化为a，b，c的不等式求得椭圆离心率的范围；

（6）先设出点M，N，A，B的坐标，然后表示出两斜率的关系，再由|k1|+|k2|的最小值为1，运用基本不等式的知识可得到当x0=0时可取到最小值，进而找到a，b，c的关系，求得离心率的值．

【解答】解：（1）当a=2，b=

时，椭圆方程为

①∵cos∠F1PF2=

=

=

故当|PF1||PF2|取得最大值时，cos∠F1PF2取最小值． ∵|PF1|+|PF2|=4，∴|PF2|=4﹣|PF1|，

2

∴|PF1|?|PF2|=|PF1|（4﹣|PF1|）=﹣（|PF1|﹣2）+4， ∵1=2﹣1=a﹣c≤|PF1|≤a+c=2+1=3，

2

∴3≤﹣（|PF1|﹣2）+4≤4，

∴|PF1|?|PF2|的最大值为4，最小值为3， ∴cos∠F1PF2的最小值是；

②由①可得，|PF1|?|PF2|的取值范围是[3，4]； ③∵

，

=（|PF1|+|PF2|）﹣2|PF1|?|PF2|=16﹣2|PF1|?|PF2|，

2

由②知|PF1|?|PF2|的最大值为4， ∴

的最小值为16﹣8=8；

（2）∵椭圆

中，|PF1|+|PF2|=2a，

，|PF2|=

，

∴由|PF1|=2|PF2|，得|PF1|=∵cos∠F1PF2=cos

2

2

，

2

∴|F1F2|=|PF1|+|PF2|﹣2|PF1|?|PF2|cos∠F1PF2， 可得4c=

2

=，

∴，得椭圆的离心率e=；

（3）由（2）得，|PF2|=则

又0＜e＜1，

，解得

， ，

∴椭圆离心率的取值范围是[，1）； （4）∵点P满足

=0，

2

2

2

∴点P的轨迹是以F1F2为直径的圆，其方程为x+y=c．

又∵椭圆上存在点P，满足=0，

∴以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点，

由此可得椭圆短轴的顶点在圆上或在圆的内部， ∴b≤c，即a﹣c≤c，化简得a≤2c，解得又0＜e＜1，

∴椭圆C的离心率e∈[

，1）；

2

2

2

2

2

．

（5）∵点F1、F2分别是椭圆

+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，

过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点， ∴F1（﹣c，0），F2（c，0），A（c，∵△ABF1是锐角三角形，

∴∠AF1F2＜45°，∴tan∠AF1F2＜1， ∴

2

），B（c，﹣），

，

整理得b＜2ac，

22

∴a﹣c＜2ac，

22

两边同时除以a，并整理，得e+2e﹣1＞0， 解得e＞﹣1，或e＜﹣﹣1，（舍）， 又0＜e＜1，

∴椭圆的离心率e的取值范围是（﹣1，1）； （6）设M（x0，y0），N（x0，﹣y0），A（﹣a，0），B（a，0）， 则

，即有

，

k1=，k2=

，

|k1|+|k2|=|

|+||≥2，

当且仅当

，即x0=0，y0=b时等号成立．

∴2

2

2

2

=2?=1，∴a=2b，

又∵a=b+c，∴c=，

∴e==．

故答案为：（1）①；②[3，4]；③8； （2）

；（3）[，1）；（4）[

，1）；（5）（

﹣1，1）；（6）

．

【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆的定义，训练了涉及焦点三角形问题的解法，考查数学转化思想方法，考查学生的推理论证能力和数学求解能力，是中档题．

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