1988年全国初中数学联合竞赛试题及解答

1988年全国初中数学联合竞赛试题

第一试

一、选择题

1．下面四个数中最大的是（ ）

A．tan48 cot48 C．tan48 cos48

B．sin48 cos48 D．cot48 sin48

1988

5a 1

2

．在实数范围内，设x

1 a 1 1 a

，则x的个位数字是

（ ）

A．1

B．2

C．4

D．6

3．如图，在直角梯形ABCD中，AB 7，AD 2，BC 3，如果这AB上的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有（ ）

A．1个 C．3个

4．下面有四个命题：

⑴一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；

⑵一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；

B．2个

D．4个

P

⑶一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；

⑷一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形．

其中，正确的命题的个数是（ ）

A．1

二、填空题

1．如果质数p，q满足关系式3p 5q 31，那么log2

p

的值是________． 3q 1

B．2 C．3 D．4

2．如图，△ABC的边AB 2，AC 3，1，2，3分别表示以AB，BC，CA为边的正方形，则图中三个阴影部分面积的和的最大值是_________．

3．如果自然数x1，x2，x3，x4，x5，满足x1 x2 x3 x4 x5 x1x2x3x4x5，那么x5的最大值是_______．

4．如图，A，B，C，D四点在同一圆周上，且BC CD 4，AE 6，线段BE和DE的长都是正整数，则BD的长等于_________．

第二试

一、一串数1，4，7，10，…，697，700的规律是：第一个数是1，以后的每一个数等于它

前面的一个数加3，直到700为止，将所有这些数相乘，试求所得数的尾部零的个数（例如12003000尾部零的个数是3）．

二、如果p，q，

2p 12q 1

，都是整数，并且p 1，q 1，试求p q的值． qp

三、如图，△PQR和△P Q R 是两个全等的等边三角形，六边形ABCDEF的边长分别记为：

AB a1，BC b1，CD a2，DE b2，EF a3，FA b3．

求证：a222221 a2 a3 b1 b2 b23．

Ab1

P'

bC1a2Q

ba2

R

1988年全国初中数学联合竞赛试题

答案

第一试

一、选择题 1．A

【解析】 ∵0 cos48 1，0 sin48 1，

sin48 cos48

sin48 cos48 cos48

sin48

tan48 cot48 ，

tan48 cos48 tan48 cos48

sin48

tan48 cot48 ，

cot48 sin48 cot48

sin48

cos48

cot48 tan48 ，

所以最大的是tan48 cot48 ． 故选A

2．D

【解析】 要使两个根式都有意义，必须(a 2)(|a| 1)≥0，且(a 2)(1 |a|)≥0，

但(a 2)(1 |a|) (a 2)(|a| 1)， 所以只能是(a 2)(|a| 1) 0，

解得a1 2，a2 1，a3 1． 若a1 2，则1

1

0， 1 a

若a2 1，则1 a 0，均使分母为零． 因而仅有a3 1适用． 5 ( 1) 1

此时x

1 ( 1)

1988

( 2)1988 24 497 16497．

所以x的个位数字是6．故选D．

3．C

【解析】 如图，设AP x，则PB 7 x，

⑴ 如果△PAD∽△PBC，则∴x

14

7，符合条件． 5

x2

，

37 x

x2 ， 7 x3

P

⑵如果△PAD∽△CBP，则

∴x1 1，x2 6也都符合条件． 所以满足条件的点p有3个．故选C．

4．A

【解析】 对于⑴、⑵、⑷可分别给出反例，例如：

⑴如下左图中四边形ABCD，其中△ABC是等腰三角形，△ADC与△CEA关于AC的中垂线对称．

A

⑵如上右图，作等腰△ADE，延长底边ED至任意点O，以O为对角线的交点可作出平行四边形ABCE，而此时的四边形ABCD满足条件AD AE BC，且AO CO，但不是平行四边形．

⑷如下左图中的四边形ABCD，其中B，D是AC的垂直平分线上的任意两点．

A

A

以下证明命题⑶是正确的．

如上右图，已知 BAD DCB，且OB OD．

以O为中心，将△ABD逆时针旋转180度，由于OB OD，所以D与B重合，B与D重合，点A与射线OC上的某点A 重合．

如果A 不是C，则 BA D BCD（A 在线段OC内部）或 BA D BCD（A 在OC的延长线上），都与 BA D BAD BCD矛盾！

从而A 即是C．即OA OA OC，所以四边形ABCD是平行四边形． 综上，仅有命题⑶正确． 故选A．

二、填空题 1． 3或0

【解析】 由条件知，3p和5q中必有一个是偶数，而另一个是奇数，若3p是偶数，则只有

p 2，从而q 5，这时 log2

p21

log2 log2 3 3q 13 5 18

若5q是偶数，则只有q 2，从而p 7，这时 log2

p7

log2 log21 0． 3q 13 2 1

所以log2

2．9

p

的值是 3或0． 3q 1

1

【解析】 利用公式S absinC和sin(180 ) sin ，

2

易知，三个阴影三角形的面积都分别等于△ABC的面积，

1

因此三个阴影部分与面积的和 3 3 sin BAC 9sin BAC≤9．

2

当 BAC 90 时，等号成立．

所以三个阴影部分面积的和的最大值是9．

3．5

【解析】 方法一：由条件等式的对称性，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5，

由1

11111

x2x3x4x5x1x3x4x5x1x2x4x5x1x2x3x5x1x2x3x4

≤

111113 x4 x5

，

x4x5x4x5x4x5x5x4x4x5

得x4x5≤3 x4 x5． ∴(x4 1)(x5 1)≤4．

若x4 1，则x1 x2 x3 x4 1这时，题设等式成为4 x5 x5，矛盾！ 若x4 1，则x5 1≤4，即x5≤5．

若x5 5时，容易找到满足条件的解组：（1，1，1，2，5）， 所以，最大值是5．

方法二（LTX）：由条件等式的对称性，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5， 则x1 x2 x3 x4 x5 x1x2x3x4x5≤5x5，即x1x2x3x4≤5，

7

从而易枚举得所有的解为：（1，1，1，2，5），（1，1，1，3，3），（1，1，1，4，），

3

（1，1，2，2，2），其中符合题意并且x5取到最大值的解为：（1，1，1，2，5）. 所以，最大值是5．

【点评】 给出一个一般的结论，满足等式x1 x2

xi(i 1，2，，n)至少有一组：1，1，，1，2，n．

(n 2)个

xn x1x2xn的自然数

利用它我们不难解答下面的问题： 试写出方程x1 x2 答案x1 x2

4．7

【解析】 如图，设EC x，BE y，ED z．

由△DCE∽△ACD，得

CDEC4x

，即 ，

CADC6 x4 x1987 x1x2

x1987的在自然数集中的一组解．

x1985 1，x1986 2，x1987 1987．

解得x 2（x 8不合题意），

又由AE EC BE ED，得yz 6 2 12， 但在△BCD中，又可得y z 4 4 8，

y 3 y 4

从而，只能求出正整数解组 或 ，此时，都有BD y z 7．

z 4z 3

第二试

一、

【解析】 首先，求出积中含有因数5的个数．

数组中：10，25，40，35，…，700均含有因数5．这一组数共有 (700 10) 15 1 47个，

如果每一个数各计一个5，共47个5，

但是，其中：25，100，175，…，700还有含有第二个因数5，这些数共计有 (700 25) 75 1 100

因此，就该再添上10个5．

类似地，250，625还会有第三个因数5，625还会有第四个因数5． 这样，积中因数5的个数为47 10 2 1 60个

至于积中因数2的个数显然多于60个，所以，积的尾部共有60个零．

二、

【解析】 解法1：首先有p q．

事实上，若p q，则

2p 1q 2p 1p 2 1p，因为p 1，2p 1

q

不是整数，与题设矛盾． 由对称性，不妨设p q，且令2q 1

p

m，则m为正整数． ∵mp 2q 1 2p 1 2p， ∴m 1． 这样p 2q 1， 据此，

2p 1q 4q 3q 4 3q，但2p 1

q

也是正整数，且q 1， ∴q 3，

于是p 2q 1 5， ∴p q 8．

解法2：由解1知p q，不妨设p q， 令

2p 1

q

m，① 2q 1

p

n．② 则m，n都是正整数，且易知m n．

由②，q

np 1

，③ 2

np 1

将③代入①，得2p 1 mq m 2

， ∴(4 mn)p m 2， ∴4 mn是正整数．

即mn 1，mn 2或mn 3， 再注意到m n，因而仅有

m 2，或 n 1 n 3

，

n 1 当m 2，n 1时，由①、②解得 p 2，q

3

2

，不合题意． 当m 3，n 1时，由①、②解得 p 5，q 3．

∴p q 8．

三、

【解析】 证明：首先容易证明△PAB∽△Q CB∽△QCD∽△R ED∽△REF∽△P AF，依次记上述六个三角形的面积为S1，S1 ，S2，S 2，S3，S3 ．易知 S1 S2 S3 S1 S2

S3 ， 由b22

1S1 b2S b23S3 a ， 2

22，2 ， 1S1a1S1a1S12

得b21 b2 b23 S3 a2 S1 S2

1S1

即a21S1

b222

1 b2 b3S1 S2 S3

， 同理a2

2S2

a23S3b222 1 b2 b3S1 S2 S，b22

， 3 1 b2 b23S1 S2 S3 ∴a2 a22

12 a3S1 S2 S3b22

2 1 b2 b3S1 S2

S 1， 3 ∴a2 a22 b22

12 a31 b2 b23

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