江阴高中高三数学专题复习 转化与化归思想2013.3
更新时间:2024-01-16 04:43:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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江阴高中高三数学专题复习⑶ 转化与化归思想2013.3
【知识归纳】
1.数学问题的解决,总离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.高考试题主要体现以下几个方面的考查:
(1)常量与变量的转化:如分离变量,求范围等.
(2)数与形的互相转化:若解析几何中斜率、函数中的单调性等. (3)数学各分支的转化:函数与立体几何、向量与解析几何等的转化. (4)实际问题向数学模型的转化问题. 2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时,思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形,也就是转化到另一种情境使问题得到解决,常见的转化方法有:
(1)直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题;
(2)换元法:运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题; (3)参数法:引进参数,使原问题的变换具有灵活性,易于转化; (4)构造法:“构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题;
(5)坐标法:以坐标系为工具,用代数方法解决解析几何问题,是转化方法的一种重要途径; (6)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定转化的途径;
(7)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的结论适合原问题; (8)一般化方法:若原问题是某个特殊形式且较难解决,可将问题通过一般化的途径进行转化; (9)等价问题法:把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到转化目的;
(10)补集法:(正难则反)若过正面问题难以解决,可通过解决全集U及补集CUA获得原问题的解决. 3.注意非等价转化要对结论进行必要的修正(如无理方程化有理方程要求验根),它能带来思维的闪光点,找到解决问题的突破口.
【基础演练】
1. 已知圆C:x2+y2=12,直线l:4x+3y=25.圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________. 0≤x≤
2,
2.
已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组???????????y≤2,
x≤ 2y
给定,若M(x,y)为D上的动点,
点A的坐标为(2,1),则z=OM·
OA?的最大值为 . 已知椭圆x24+y2
3.2
=1,A,B是其左、右顶点,动点M满足MB⊥AB,连结AM交椭圆于点P,在x轴上
有异于点A,B的定点Q,以MP为直径的圆经过直线BP,MQ的交点,则点Q的坐标为________. 4. 已知集合A={x|x2+a≤(a+1)x,a∈R},存在a∈R,使得集合A中所有整数元素的和为28,则实数a
的取值范围是________.
5. 若x≥0,y≥0,且x+2y=1,则2x+3y2的最小值是 .
6. 已知,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,BC=2,AC= 5,AA1=3,M为线段BB1上的一动点,
则当AM+MC1最小时,△AMC1的面积为________.
【考点例析】
例题1 ⑴已知函数f(x)=x3
+(1-a)x2
-a(a+2)x+b(a,b∈R).若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,则实数a的取值范围是________.
x2⑵若不等式108+y24≥xy
3k对于任意正实数x,y总成立的必要不充分条件是k∈[m,+∞),则正整数m
只能取________.
变式题1.已知函数f(x)=-1
2x2+4x-3ln x在[t,t+1]上不是单调函数,则t的取值范围是________.
变式题2.已知函数f(x)=ln x-1
2ax2-2x(a≠0)存在单调递减区间,则实数a的取值范围是________.
变式题3.若不等式|ax3-ln x|≥1对任意x∈(0,1]都成立,则实数a取值范围是________.
例题2 已知函数f(x)=x3+ax2-a2x+2,a∈R.
(1)若a<0时,试求函数y=f(x)的单调递减区间;
(2)若a=0,且曲线y=f(x)在点A,B(A,B不重合)处切线的交点位于直线x=2上,证明:A,B两点的横坐标之和小于4;
(3)如果对于一切 x1,x2,x3∈[0,1],总存在以f(x1),f(x2),f(x3)为三边长的三角形,试求正实数a的取值范围.
2
例题3 已知中心在原点,焦点在x轴上,离心率为的椭圆C经过点(6,1).
2
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线l1、l2分别与椭圆交于A,B和C,D,那么是否存在常数λ使得AB+CD=λ·AB·CD?若存在,求出实数λ的值;若不存在,请说明理由.
例题4已知曲线C:y2?2x(y?0),A1(x1,y1),A2(x2,y2),???,An(xn,yn),???是曲线C上的点,且满足0?x1?x2?????xn????,一列点Bi(ai,0)(i?1,2,???)在x轴上,且?Bi?1AiBi(B0是坐标原点)是以Ai为直角顶
点的等腰直角三角形.
(Ⅰ)求A1,B1的坐标; (Ⅱ)求数列{yn}的通项公式;
1(Ⅲ)令bi?,ci?,是否存在正整数N,当n≥N时,都有
ai2的最小值并证明;若不存在,说明理由.
??2?yi?b??c,若存在,写出N
iii?1i?1nn
【方法技巧】
1.熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础;丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁;培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼,要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系.
2.为了实施有效的化归,既可以变更问题的条件,也可以变更问题的结论,既可以变换问题的内部结构,又可以变换问题的外部形式,既可以从代数的角度去认识问题,又可以从几何的角度去解决问题.
3.必须注意化归的等价性,确保逻辑上的正确.等价化归后的新问题与原问题实质是一样的,不等价化归则部分地改变了原对象的实质,需对所得结论进行必要的修正.
江阴高中高三数学作业(转化与化归思想) 姓名 .
一、填空题
12. 设x,y为正实数,a=
x2+xy+y2,b=pxy,c=x+y.
(1)如果p=1,则是否存在以a,b,c为三边长的三角形?请说明理由;
11. 若tan?+ =4,则sin2?= .
tan? x?1?0的解集为 . 2. 不等式
2x?1实数c的取值范围是________.
4. 函数f(x)=x+1-x的值域为________.
(2)对任意的正实数x,y,试探索当存在以a,b,c为三边长的三角形时p的取值范围.
13. 已知函数f(x)?ax?e(a?R).
(Ⅰ)当a?1时,试判断f(x)的单调性并给予证明; (Ⅱ)若f(x)有两个极值点x1,x2(x1?x2).
(i) 求实数a的取值范围;
(ii)证明:?
2x3. 在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则
5. 已知函数f(x)=-sin2x+sin x+a,若1≤f(x)≤
17
对一切x∈R都成立,则参数a的取值范围为______. 4
6. 若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]内至少有一个值c,使f(c)>0,则实数p的取
值范围为____________.
7. 已知函数f(x)=(4a-3)x+b-2a,x∈[0,1],若f(x)≤2恒成立,则a+b的最大值为________.
?????????????8. 已知直线kx-y+1=0与圆C:x+y=4相交于A,B两点,若点M在圆C上,且有OM=OA+OB
2
2
(O为坐标原点),则实数k=________.
3acb
,则+的最大值为________. 6bc
10. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1=2,P是BC1上9. 在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,且BC边上的高为
一动点,则CP+PA1的最小值是________.
x2y2
11. 已知A、B为椭圆+=1的左、右顶点,F为椭圆的右焦点,P是椭圆上异于A、B的任意一点,直
43
线AP、BP分别交直线l:x=m(m>2)于M、N两点,l交x轴于C点. (1)当PF∥l时,求点P的坐标;
(2)是否存在实数m,使得以MN为直径的圆过点F?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由.
e?f(x1)??1. (注:e是自然对数的底数) 2
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