初三数学《一元二次方程》全部解法

第四章《一元二次方程》课时学案（一）

4.1一元二次方程

【目标导航】

1、经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型；

2、了解一元二次方程的概念和它的一般形式ax2+bx+c= 0（a≠0），正确理解和掌握一般形式中的a≠0，“项”和“系数”等概念；会根据实际问题列一元二次方程； 必做题：一、磨刀不误砍柴工，上新课之前先来热一下身吧！

1、下列方程：(1)x2-1=0； (2)4 x2+y2=0； (3)（x-1）（x-3）=0； (4)xy+1=3． (5)

12??3其中，一元二次方程有（ ） x2xA．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2、一元二次方程（x+1）（3x-2）=10的一般形式是 ，二次项 ，二次项系数 ，一次项 ，一次项系数 ，常数项 。

二、牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！

3、小区在每两幢楼之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？

4、一个数比另一个数大3，且两个数之积为10，求这两个数。 5、下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A.3(x+1)2= 2(x+1) B.

11??5?0 2xxC.ax2+bx+c= 0 D.x2+2x= x2-1

6、把下列方程化成ax2+bx+c= 0的形式，写出a、b、c的值： (1)3x2= 7x-2 (2)3(x-1)2 = 2(4-3x)

选做题：7、当m为何值时，关于x的方程(m-2)x2-mx+2=m-x2是关于x的一元二次方程？

8、若关于的方程(a-5)x∣a∣-3+2x-1=0是一元二次方程，求a的值?

一元二次方程

1

必做题：三、新知识你都掌握了吗？课后来这里显显身手吧！ 9、一个正方形的面积的2倍等于15，这个正方形的边长是多少？

10、一块面积为600平方厘米的长方形纸片，把它的一边剪短10厘米，恰好得到一个正方形。求这个正方形的边长。

11、判断下列关于x的方程是否为一元二次方程： (1)2（x2－1）=3y； (2)

1?4； x2?1(3)（x－3）2=（x＋5）2； (4)mx2＋3x－2=0； (5)（a2＋1）x2＋（2a－1）x＋5―a =0.

选做题：12、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数，一次项系数及常数项。

(1)(3x-1)(2x+3)=4； (2)(x+1)(x-2)=-2.

13、关于x的方程(2m2+m-3)xm+1-5x+2=13是一元二次方程吗？为什么？

一元二次方程

2

4.2一元二次方程的解法（1）第一课时

【目标导航】

1、了解形如x2=a(a≥0)或(x＋h)2= k(k≥0)的一元二次方程的解法 —— 直接开平方法

2、理解直接开平方法与平方根的定义的关系，会用直接开平方法解一元二次方程

一、必做题：磨刀不误砍柴工，上新课之前先来热一下身吧！

1、3的平方根是 ；0的平方根是 ；-4的平方根 。 2、一元二次方程x2=4的解是 。 二、牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！

3、方程(x?5)2?36?0的解为（ ）

A、0 B、1 C、2 D、以上均不对 4、已知一元二次方程mx2?n?0(m?0)，若方程有解，则必须（ ）

A、n=0 B、n=0或m，n异号 C、n是m的整数倍 D、m，n同号

5、方程(1)x2＝2的解是 ； (2)x2=0的解是 。 6、解下列方程：

(1)4x2－1＝0 ； (2)3x2+3=0 ；

(3)(x-1)2 =0 ； (4)(x+4)2 = 9； 7、解下列方程：

(1)81(x-2)2=16 ； (2)(2x+1)2=25； 8、解方程：

(1) 4(2x+1)2-36=0 ； (2)(x?2)2?(2x?3)2。 三、选做题：新知识你都掌握了吗？课后来这里显显身手吧！

9、用直接开平方法解方程（x＋h）2=k ，方程必须满足的条件是（ ） A．k≥o B．h≥o C．hk＞o D．k＜o 10、方程（1-x）2=2的根是（ ）

A.-1、3 B.1、-3 C.1-2、1+2 D.2-1、2+1

一元二次方程

3

必做题：11、下列解方程的过程中，正确的是（ ） (1)x2=-2,解方程，得x=±2 (2)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4

(3)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1=714;x2=4

(4)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4 12、方程 (3x－1)2=－5的解是 。 13、用直接开平方法解下列方程： (1)4x2=9； (2)（x+2）2=16

选做题：(3)(2x-1)2=3;

(4)3(2x+1)2=12

一元二次方程

4

4.2一元二次方程的解法（2）第二课时

【目标导航】

1、经历探究将一元二次方程的一般式转化为（x＋h）2= k（n≥0）形式的过程，进一步理解配方法的意义；

2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，体会转化的思想方法 一、磨刀不误砍柴工，上新课之前先来热一下身吧！ 1、必做题：填空：

（1）x2+6x+ =(x+ )2；(2)x2-2x+ =(x- )2； (3)x2-5x+ =(x- )2；(4)x2+x+ =(x+ )2； (5)x2+px+ =(x+ )2；

2、将方程x2+2x-3=0化为(x+h)2=k的形式为 ； 二、牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！

3、用配方法解方程x2+4x-2=0时，第一步是 ，第二步是 ，第三步是 ，解是 。

4、用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可变形为（ ） A.(x-4)2=9 B.(x+4)2=9 C.(x-8)2=16 D.(x+8)2=57

565、已知方程x2-5x+q=0可以配方成(x- )2=的形式，则q的值为（ ）

242519196A. B. C. D. - 44446、已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p )2=7的形式，那么q的值是（ ） A.9 B.7 C.2 D.-2 7、选做题：用配方法解下列方程：

（1）x2-4x=5； （2）x2-100x-101=0；

（3）x2+8x+9=0； （4）y2+22y-4=0；

3158、试用配方法证明：代数式x2+3x-的值不小于-。

24

一元二次方程

5

必做题：三、新知识你都掌握了吗？课后来这里显显身手吧！ 9、完成下列配方过程：

（1）x2+8x+ =(x+ )2 （2）x2-x+ =(x- )2 （3）x2+ +4=(x+ )2

9=（x- ）2 449710、若x2-mx+ =(x+ )2，则m的值为（ ）.

255771414A. B.- C. D. -

5555211、用配方法解方程x2-x+1=0，正确的解法是（ ）.

3 （4）x2- +

A.(x-

12812218)= ,x= ± B.(x- )2=-,方程无解

3393392?5225251)= ,x= D.(x- )2=1, x1=;x2=-

339333C.(x-

选做题：12、用配方法解下列方程： (1)x2-6x-16=0；

(2)x2+3x-2=0；

(3)x2+23x-4=0；

22 (4)x2-x-=0.

3313、已知直角三角形的三边a、b、b，且两直角边a、b满足等式(a2+b2)2-2(a2+b2)-15=0，求斜边c的值。

一元二次方程

6

4.2一元二次方程的解法（3）第三课时

【目标导航】

1、掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤和方法

2、使学生掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，进一步体会配方法是一种重要的数学方法

一、必做题：磨刀不误砍柴工，上新课之前先来热一下身吧！ 1、填空：

(1)x2-13x+ =(x- )2, (2)2x2-3x+ =2(x- )2.

2、用配方法解一元二次方程2x2-5x-8=0的步骤中第一步是 。二、牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！

3、2x2-6x+3=2（x- ）2- ；x2+mx+n=（x+ ）2+ . 4、方程2(x+4)2-10=0的根是 . 5、用配方法解方程2x2-4x+3=0，配方正确的是（ ） A.2x2-4x+4=3+4 B. 2x2-4x+4=-3+4

C.x2-2x+1=32+1 D. x2-2x+1=-32+1

6、用配方法解下列方程，配方错误的是（ ） A.x2+2x-99=0化为(x+1)2=100 B.t2-7t-4=0化为(t-72)2=654 C.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25

D.3x2-4x-2=0化为(x-23)2=109

7、选做题：用配方法解下列方程：

（1）2t2?7t?4?0； （2）3x2?1?6x； （3）2t2?2t?2?0； （4）2x2-4x+1=0。 8、试用配方法证明：2x2-x+3的值不小于238.

一元二次方程

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必做题：三、新知识你都掌握了吗？课后来这里显显身手吧！ 9、用配方法解方程2y2-5y=1时，方程的两边都应加上（ ） A.

52 B. 54 C. 54 D. 516 10、a2+b2+2a-4b+5=(a+ )2+(b- )2 11、用配方法解下列方程：

(1)2x2+1=3x； (2)3y2-y-2=0； (3)3x2-4x+1=0； (4)2x2=3-7x. 12、已知(a+b)2=17，ab=3.求(a-b)2的值.

选做题：13、解方程： (x-2)2-4(x-2)-5=0

一元二次方程

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4.2一元二次方程的解法（4）第四课时

【目标导航】

1、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b2－4ac≥0

2、会用公式法解一元二次方程

一、必做题：磨刀不误砍柴工，上新课之前先来热一下身吧！

1、把方程4-x2=3x化为ax2+bx+c=0(a≠0)形式为 ，b2-4ac= . 2、方程x2+x-1=0的根是 。 二、牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！

3、用公式法解方程2x2+43x=22,其中求的b2-4ac的值是（ ） A.16 B. ?4 C.

32 D.64

4、用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac= ，方程的根是 .。 5、用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（ ） A.x1.2=

12?144?12?12?144?12 B. x1.2=

2212?144?1212?144?48 D. x1.2=

26C. x1.2=

6、三角形两边长分别是3和5，第三边的长是方程3x2-10x-8=0的根，则此三角形是 三角形.

x2?x?27、如果分式的值为零，那么x= .

x?1选做题：8、用公式法解下列方程：

(1) 3 y2-y-2 = 0 (2) 2 x2+1 =3x

(3)4x2-3x-1=x-2 (4)3x(x-3)=2(x-1)(x+1)

一元二次方程

9

必做题：三、新知识你都掌握了吗？课后来这里显显身手吧！

9、把方程(2x-1)(x+3)=x2+1化为ax2 + bx + c = 0的形式，b2-4ac= ，方程的根是 . 10、方程(x-1)(x-3)=2的根是（ ） A. x1=1,x2=3

B.x=2?23 C.x=2?3 D.x=-2?23

11、关于x的一元二次方程x2+4x-m=0的一个根是5-2，则m= ，方程的另一个根是 .

12、若最简二次根式m2?7和8m?2是同类二次根式，则的值为（ ） A.9或-1 B.-1 C.1 D.9

选做题：13、用公式法解下列方程：

（1）x2-2x-8=0； （2）x2+2x-4=0； （3）2x2-3x-2=0； （4）3x(3x-2)+1=0.

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一元二次方程

4.2一元二次方程的解法（5）第五课时

【目标导航】

1、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用

2、能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况

一、必做题：磨刀不误砍柴工，上新课之前先来热一下身吧！

1、方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= ，所以方程的根的情况是 . 2、一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是（ ）

A.有两个不等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 二、牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！ 3下列方程中，没有实数根的方程式（ ） A.x2=9 B.4x2=3(4x-1) C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=0

4、方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（ ） A.b2-4ac＞0 B. b2-4ac＜0 C. b2-4ac≤0 D. b2-4ac≥0

5、如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k= . 6、不解方程，判别下列方程根的情况.

（1）2x2+3x+4=0； （2）2x2-5=6x； （3）4x(x-1)-3=0； （4）x2+5=25x.

7、选做题：试说明关于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0必定有两个不相等的实数根. 8、已知一元二次方程(m-2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求的取值范围.

一元二次方程

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必做题：三、新知识你都掌握了吗？课后来这里显显身手吧！ 9、方程(2x+1)(9x+8)=1的根的情况是（ ）

A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定

10、关于x的方程x2+2kx+1=0有两个不相等的实数根，则k( ) A.k＞-1 B.k≥-1 C.k＞1 D.k≥0

11、已知方程x2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m，n的值可以是m= ,n= .

选做题：12、不解方程，判断下列方程根的情况：

（1） 3x2－x＋1 = 3x （2）5（x2＋1）= 7x （3）3x2－43x =－4

13、当k为何值时，关于x的方程kx2－（2k＋1）x＋k＋3 = 0有两个不相等的实数根？

一元二次方程

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4.2一元二次方程的解法（6）第六课时

【目标导航】

1、会用因式分解法解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法

2、能根据一元二次方程的特征，选择适当的求解方法，体会解决问题的灵活性和多样性

一、必做题：磨刀不误砍柴工，上新课之前先来热一下身吧！

1、一元二次方程(x-1)(x-2)=0可化为两个一次方程为 和 ，方程的根是 .

2、方程3x2=0的根是 ，方程(y-2)2=0的根是 ，方程(x+1)2=4(x+1)的根是 .

二、牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！ 3、已知方程4x2-3x=0，下列说法正确的是（ ）

3A.只有一个根x= B.只有一个根x=0

433C.有两个根x1=0,x2= D.有两个根x1=0,x2=-

444、如果(x-1)(x+2)=0，那么以下结论正确的是（ ） A.x=1或x=-2 B.必须x=1 C.x=2或x=-1 D.必须x=1且x=-2 5、方程（x+1）2=x+1的正确解法是（ ）

A.化为x+1=1 B.化为（x+1）（x+1-1）=0 C.化为x2+3x+2=0 D.化为x+1=0

6、解方程x（x+1）=2时，要先把方程化为 ；再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1= ,x2= . 选做题：7、用因式分解法解下列方程：

（1）x2+16x=0 （2）5x2-10x=-5

（3）x（x-3）+x-3=0 （4）2(x-3)2=9-x2

一元二次方程

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必做题：8、用适当的方法解下列方程： （1）(3x-1)(x-2)=(4x+1)(x-2)

(2) 4x2-20x+25=7

(3)3x2-4x-1=0

(4)x2+2x-4=0

三、新知识你都掌握了吗？课后来这里显显身手吧！

9、用因式分解法解方程5（x+3）-2x（x+3）=0，可把其化为两个一元一次方程 、 求解。

10、如果方程x2-3x+c=0有一个根为1，那么c= ，该方程的另一根为 ， 该方程可化为（x-1）（x ）=0 11、方程x2=x的根为（ ）

A.x=0 B. x1=0,x2=1 C. x1=0,x2=-1 D. x1=0,x2=2 12、用因式分解法解下列方程：

（1）（x+2）2=3x+6； （2）（3x+2）2-4x2=0；

（3）5（2x-1）=(1-2x)(x+3)； （4）2（x-3）2+(3x-x2)=0.

选做题：13、用适当方法解下列方程：

（1）（3x-1）2=1； （2）2（x+1）2=x2-1；

（3）(2x-1)2+2(2x-1)=3； （4）(y+3)（1-3y）=1+2y2.

一元二次方程

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4.2一元二次方程的解法（7）第七课时

一元二次方程的解法——十字相乘法

一、学习目标：

1、利用十字相乘法分解因式 2、利用十字相乘法解一元二次方程

解一元二次方程十字相乘法专项练习题

必做题：(1) a2－7a+6=0；

(3)18x2－21x+5=0；

(5)2x2+3x+1=0；

(7)6x2－13x+6=0；

(9)6x2－11x+3=0；

(11)10x2－21x+2=0；

(2)8x2+6x－35=0； (4) 20－9y－20y2=0； (6)2y2+y－6=0； (8)3a2－7a－6=0； (10)4m2+8m+3=0； (12)8m2－22m+15=0； 一元二次方程

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选做题：(13)4n2+4n－15=0； (14)6a2+a－35=0；

(15)5x2－8x－13=0； (16)4x2+15x+9=0；

(17)15x2+x－2=0； (18)6y2+19y+10=0；

(19) 2(a+b) 2+(a+b)(a－b)－6(a－b) 2=0； (20)7(x－1) 2+4(x－1)－20=0

一元二次方程

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一元二次方程答案

第一节 4.1

1、B 点拨：判定一个方程是一元二次方程，看它是否符合3个条件（1）是整式方程，（2）只含有一个未知数，（3）最高次数为2.（2）、（4）含有两个未知数，（5）是分式方程.

2、3x2+x-12=0，3x2，3，x，1，-12. 点拨：注意项与项的系数的区别，并注意系数的符号。

3、解：设宽为xm，列方程得 x（x+10）=900 4、解：设另一个数为x，列方程得 x（x+3）=10

5、A 点拨：B是分式方程，C的二次项系数a值为确定，D的二次项抵消为0. 6、（1）3x2-7x=2=0，a=3，b=-7，c=2；（2）3x2-5=0，a=3，b=0，c=-5. 点拨 一元二次方程的各项系数中除a不能为0外，b、c可以为0。 7、解：整理得：（m-1）x2-mx+2-m=0，当m-1≠0即m≠1时，方程是一元二次方程。点拨：判定一个方程是一元二次方程，首先把方程化为ax2+bx+c=0的形式后再作判定。

8、解;由题意得:∣a∣-3=2且a-5≠0 ∴a=-5 点拨：注意a≠0. 9、解：设这个正方形的边长为x，列方程得：2x2=15.

10、解：设这个正方形的边长为xcm，列方程得：x（x+10）=600 11、解：是一元二次方程的有：（5）；不是一元二次方程的有：（1）、（2）、（3）、（4）. 点拨：判定的方法是根据一元二次方程的定义。 12、解：（1）6x2+7x-7=0，a=6，b=7，c=-7；（2）x2-x=0

13、解：由题意得 由m+1=2 得m=1，当m=1时，2m2+m-3=0，∴原方程不可能是一元二次方程。 第二节 4.2

第一课时

1、?3，0，没有平方根。点拨：运用平方根的性质。 2、x=±2.

3、D 点拨：正数有两个平方根，方程有两解。 4、B 点拨：形如x2=a的方程有根的条件是a≥0.

5、x=?2，x1=x2=0. 点拨：注意一元二次方程根的写法。

1116、解：(1) 4x2=1，x2=，∴x1=，x2=-.

42222

(2)3x=-3，x=-1＜0，∴原方程无解. (3)x1=x2=1. (4)x+4=±3，∴x1=-1，x2=-7.

16221447、解：(1) (x-2)2=，∴x-2=?，∴x1=，x2=.

81999 (2)2x+1=±5，∴x1=2，x2=-3.

8、解：(1)4（2x+1）2=36，∴（2x+1）2=9，∴2x+1=±3，∴x1=1，x2=-2.

一元二次方程

17

1 (2)（x-2）=±（2x+3），∴x-2=2x+3或x-2=-（2x+3）∴x1=-5，x2=-. 点拨：解形

3如a（x+b）2=c的一元二次方程，一般情况下，总是把方程转化为（x+h）=k的形式.解(2)时把（2x+3）2当作常数。

9、A 点拨：用直接开平方法解形如（x+h）=k的方程，k≥0. 10、C 点拨：k＞0时方程两解。 11、（4）

12、方程无解.

93313、解：(1) x2=，∴x1=，x2=-.

422(2)x+2=±4，∴x1=2，x2=-6.

(3)2x-1=?3，∴x1=

1?31?3，x2=. 2213(4)（2x+1）2=4，∴x1=，x2=-.

224.2

第二课时

25511pp，；(4) ， ；(5) ，. 点拨：当二次项系424242数为1时，所配的常数项是一次项系数一半的平方。 2、（x+1）2=4.

3、把-2移到方程的右边；方程两边都加上4；配成完全平方，运用直接开平方法求

1、(1)9，3；(2)1，1；(3)

解；x1=-2+6，x2=-2-6.

4、B 5、C

6、C 点拨：方程x2-6x+q=0配方后是x2-6x+9=-q+9，∴-q+9=7，∴q=2. 7、解：(1) x2-4x+4=5+4，∴（x-2）2=9，∴x-2=±3，∴x1=5，x2=-1. (2)x2-100x=101，x2-100x+2500=2601，∴x-50=±51，∴x1=101，x2=-1. (3)x2+8x+16=7，∴（x+4）2=7，∴x-4=±7，∴x1=-4+7，x2=-4-7.

2 (4)y2+22y+2=6，∴（x+2）=6，∴x+2=±6，∴x1=-2+6，x2=-2-6.

39153158、解：x2+3x-=x2+3x+-=（x+）2-，

24424331515∵（x+）2≥0,∴（x+）2-≥-

22441139、(1)16,4; (2) , ；(3) ±4x，±2；(4) ±3x，±. 点拨：完全平方式缺2ab这

422一项时，可填±2ab.

14710、D 点拨：方程右边是已知的，∴-m=?2，∴m=-.

5511、B

一元二次方程

18

12、解：(1) x2-6x+9=25，（x-3）2 =25，∴x-3=±5，∴x1=8，x2=-2； (2)x2+3x+

?3?17； 217?3?179173317=，（x+）2= ，∴x+=±，∴x1=，

2242244x2=

(3)x2+23x+3=7，（x+3）2=7，∴x+3=±7，∴x1=?3?7，x2=?3?7；

71?71?7217171(4)x2-x+=，（x-）2=，∴x-=±，∴x1=，x2=.

33339939313、解：（a2+b2）2-2(a2+b2)+1=16，（a2+b2-1）2=16，∴a2+b2-1=±4, ∴a2+b2=5或a2+b2=-3，∵a2+b2≥0，∴a2+b2=5，又∵a2+b2=c2，∴c2=5，∴c=5（负值已舍去）. 4.2

第三课时

19311、(1)，；(2) ,.点拨：代数式的配方，要注意二次项的系数没有化为1，而

84366是提到刮号的前面。

2、方程两边都除以2（即二次项的系数化为1）。

4n?m233m3、，-；，.

42224、x1=?4?5，x2=?4?5 点拨：把刮号外的系数2化为1.

5、D 点拨：用配方法解二次项系数不为1的方程，先把系数化为1，再配方。

6、C

774981781797、解：(1) t2-t-2=0，t2-t+=，∴（t-）2= ∴t-=±，∴t1=4，t2=-1；

22161641644 (2)x2-2x-233?23144=0，x2-2x+1= ∴（x-1）2= ∴x-1=±，∴x1=，

33333x2=

3?23； 32219229232t-1=0，t2-t+=，∴（t-）= ∴t-=±，∴t1=2，

22444888(3)t2-

t2=?2； 2一元二次方程

19

(4)x2-2x+

22?2111=0，x2-2x+1=，∴（x-1）2= ∴x-1=±，∴x1=，

22222x2=

2?22； 8、解：2x2-x+3=2（x2-1x+1）-1+3=2（x-1234）22168+8，

∵2（x-1）2≥0,∴2（x-123234）2+8≥-

489、D

10 、1，2.点拨：a2+b2+2a-4b+5=（a2+2a+1）+（b2-4b+4）

11、解：(1) x2-3x+1=0，x2391313122-2x+16 =16 , ∴（x-4）2=16 ∴x-4=±4，

∴x1=1，x2=12；

(2)y2-1y-2=0，y211251251533-3y+36=36 ，∴（y-6）2=36 ∴y-6=±6，

∴y1=1，y2=?23；

(3) x2-43x+13=0，x2-44121213x+9 =9 , ∴（x-3）2=9 ∴x-3=±3，

∴x1=1，x2=13；

(4)2x2+7x-3=0， x2+749737737732x+16=16，（x+4）2=16，∴x+4=±4，

∴x1=

?7?734，x2=?7?734. 12、解：∵（a-b）2=a2-2ab+b2=a2+2ab+b2-4ab=（a+b）2-4ab ∴（a-b）2=17-4×3=5.

13、解析：把x-2看成一个整体

解：（x-2）2-4（x-2）+4=9 ∴（x-2-2）2=9 ∴x-4=±3

∴x1=7，x2=-1 4.2

第四课时

1、x2+3x-4=0，25.

2、x1=?1?52，x2=?1?52.点拨：直接代入公式x=?b?b2?4ac2a

3、D 点拨：求b2?4ac的值，原方程须转化为ax2?bx?c?0的形式。

一元二次方程

20

4、4，x1??3,x2??5.

5、D 点拨：代入公式时原方程须化为一般式，并注意系数的符号。

26、直角 点拨：方程的根是4、-，第三边为4.

32

7、-2 点拨：由分式概念可知x+x-2=0且x-1≠0，∴x=-2

8、解：(1) ∵a=3,b=-1，c=-2，b2-4ac=（-1）2-4×3×（-2）=25＞0，∴x=

1?251?5= 2?362∴x1=1，x2=-.

3 (2)移项，得2x2-3x+1=0. ∵a=2,b=-3，c=1，b2-4ac=（-3）2-4×2×1=1＞0，

∴x=

3?13?11= ∴x1=1，x2=. 2?242 (3)整理，得 4x2-4x+1=0. ∵a=4,b=-4，c=1，b2-4ac=（-4）2-4×4×1=0，∴x=

4?04?01= ∴x1=x2=. 2?482 (4) 整理，得x2-9x+2=0. ∵a=1,b=-9，c=2，b2-4ac=（-9）2-4×1×2=73＞0，∴x=

9?739?739?739?73= ∴x1= ，x2=. 2?1222?5?41?5?41 ，x2=. 229、41，x1=10、C

11、1，?5?2.点拨：把5?2代入方程，（5?2）2+4（5?2）-m=0，∴m=1；再把m=1代入方程，利用公式求根。

12、D 点拨：由m2-7=8m+2，得m1=9，m2=-1.但m2-7≥0，∴m=9.

2

13、解：(1)∵a=1,b=-2，c=-8，b2-4ac=（-2）-4×1×（-8）=36＞0，∴x=

2?362?6= 2?12∴x1=4，x2=-2.

(2) ∵a=1,b=2，c=-4，b2-4ac=22-4×1×（-4）=20＞0，∴x=∴x1=?1?5，x2=?1?5.

2

(3) ∵a=2,b=-3，c=-2，b2-4ac=（-3）-4×2×（-2）=25＞0，∴x=

?2?20?2?25=

2?123?253?5= 2?24一元二次方程

21

1∴x1=2，x2=-.

2 (4) 整理，得9x2-6x+1=0. ∵a=9,b=-6，c=1，b2-4ac=（-6）2-4×9×1=0，

∴x=

6?06?01= ∴x1= x2=. 2?91834.2

第五课时

1、-8，方程没有实数根.点拨：b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；b2-4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；b2-4ac＜0时，方程没有实数根； 2、B,点拨：b2-4ac=0.

3、D 点拨：计算各个方程的b2-4ac的值.

4、D 点拨：有实数根，包含两种情况：b2-4ac＞0 和b2-4ac＝0.

5、0或24 点拨:方程有两个相等的实数根，则b2-4ac＝0，即（k+6）2-4×9×（k+1）=0，解得k=0或24

6、解:(1) ∵a=2,b=3，c=4，b2-4ac=32-4×2×4=-23＜0，∴原方程没有实数根.

(2)整理，得 2x2-6x-5=0 ∵a=2,b=-6，c=-5，b2-4ac=（-6）2-4×2×（-5）=76＞0，∴原方程有两个不相等实数根.

(3) 整理，得 4x2-4x-3=0 ∵a=4,b=-4，c=-3，b2-4ac=（-4）2-4×4×（-3）=64＞0，∴原方程有两个不相等实数根.

2

(4) 整理，得 x2-25x+5=0 ∵a=1,b=-25，c=5，b2-4ac=（-25）-4×1×5=0，

∴原方程有两个相等实数根. 7、解析：只需说明b2-4ac＞0

解：b2-4ac=（2k+1）2-4（k-1） =4k2+4k+1-4k+4 =4k2+5

∵4k2≥0，∴4k2+5＞0，即b2-4ac＞0. ∴原方程必定有两个不相等的实数根.

8、解析：在运用根的判别式确定字母的取值范围时要考虑a≠0. 解：由题意得 （2m+1）2- 4（m-2）2＞0且（m-2）2≠0，

∴4m2+4m+1-4m2+16m-16＞0且m≠2，

3∴m＞且m≠2.

49、A 点拨：化为一般式后b2-4ac=121. 10、C 点拨：（2k）2-4＞0且k≥0，∴k＞1.

11、2，1 点拨：答案不惟一，只需满足m2-4n=0即可.

12、解：(1) 整理，得 3x2-4x+1=0 ∵a=3,b=-4，c=1，b2-4ac=(-4)2-4×3×1=4＞0，∴原方程有两个不相等的实数根.

(2) 整理，得 5x2-7x+5=0 ∵a=5,b=-7，c=5，b2-4ac=(-7)2-4×5×5=-51＜0，∴原方程没有实数根.

(3) 整理，得 3x2-43x+4=0，∵a=3,b=-43，c=4，b2-4ac=(-43)2-4×3×

一元二次方程

22

4=0，∴原方程有两个相等的实数根. 13、解：∵方程有两个不相等的实数根，

∴（2k+1）2-4k（k+3）＞0且k≠0 ∴-8k+1＞0且k≠0

1∴k＞且k≠0

84.2

第六课时

1、x-1=0，x-2=0 ，x1=1，x2=2.点拨：ab=0，则a=0或b=0. 2、x1=x2=0，y1=y2=2，x1= -1，x2=4

3、C 点拨：方程两边不能除以x，否则会漏根. 4、A 点拨：ab=0，a=0或b=0.

5、B 点拨：利用提公因式分解因式.

6、x2+x-2=0，1，-2.点拨：x2+x-2=（x+2）（x-1）. 7、解：(1)原方程可变形为

x（x+16）=0， x=0或x+16=0. ∴x1= 0，x2=-16. (2) 原方程可变形为

x2-2x+1=0， （x-1）2=0. ∴x1= x2=1. (3) 原方程可变形为 （x-3）（x+1）=0， x-3=0或x+1=0 ∴x1= 3，x2= -1. (4) 原方程可变形为

2（x-3）2+x2-9=0，（x-3）（2x-6+x+3）=0，即（x-3）（3x-3）=0.

x-3=0或3x-3=0. ∴x1= 3，x2= 1 . 8、解：(1) 原方程可变形为 （x-2）（3x-1-4x-1）=0，即（x-2）（-x-2）=0. x-2=0或-x-2=0. ∴x1= 2，x2= -2 . (2) 原方程可变形为

2x2-10x+9=0，∵a=2,b=-10，c=9，b2-4ac=（-10）2-4×2×9=28＞0，

∴x=

10?2810?275?75?7= ∴x1=，x2=. 2?24224?284?27= 2?362

(3)∵a=3,b=-4，c=-1，b2-4ac=（-4）-4×3×（-1）=28＞0，∴x=

∴x1=

2?72?7，x2=. 33 (4) 原方程可变形为

2

x2+2x=4，x2+2x+1=4+1，（x+1）=5. ∴x+1=?5，∴x1= -1?5，x2= -1?5.

9、x+3=0，5-2x=0；

10、2，2，-2 点拨：把x=1代入得1-3+c=0，∴c=2，把c=2代入原方程求解. 11、B 点拨：方程两边不能都除以x. 12、(1)原方程可变形为 （x+2）（x+2-3）=0，即（x+2）（x-1）=0. x+2=0或x-1=0. ∴x1= -2，x2=1.

一元二次方程

23

(2) 原方程可变形为

2 (3x+2-2x)（3x+2+2x）=0，即（x+2）（5x+2）=0.x+2=0或5x+2=0.∴x1=-2, x2= -.

5 (3) 原方程可变形为

1 （2x-1）（5+x+3）=0，即（2x-1）（x+8）=0. 2x-1=0或x+5=0 ∴x1=,x2= -8.

2 (4) 原方程可变形为

2（x-3）2-x（x-3）=0，（x-3）（2x-6-x）=0，即（x-3）（x-6）=0. x-3=0或x-6=0. ∴x1= 3，x2= 6 .

213、解：(1)直接开平方得:3x-1=±1，∴3x-1=1或3x-1=-1. ∴x1=，x2=0.

32

(2) 原方程可变形为 2(x+1)-（x+1）（x-1）=0, (x+1)（2x+2-x+1）=0， 即

（x+1）（x+3）=0. x+1=0或x+3=0. ∴x1=-1 x2= -3.

(3) 原方程可变形为 （2x-1）2+2(2x-1)-3=0，（2x-1-1）（2x-1+3）=0 即 （2x-2）（2x+2）=0 2x-2=0或2x+2=0. ∴x1=1 x2= -1.

(4) 整理，得5y2+8y-2=0. ∵a=5，b=8，c=-2，b2-4ac=82-4×5×（-2）=104

＞0，∴x=

?8?104?8?226?4?26?4?26

= ∴x1= ，x2=.

2?51055

第七课时4.2一元二次方程的解法（7）第七课时参考答案：

(1)(a-6)(a-1)， (3)(3x-1)(6x-5)， (5)(x+1)(2x+1)， (7)(2x-3)(3x-2)， (9)(2x-3)(3x-1)， (11)(x-2)(10x-1)， (13)(2n+5)(2n-3)， (15)(x+1)(5x-13)，

(17)(3x-1)(5x=2)，

(19)(3a-b)(5b-a)，

(2)(2x+5)(4x-7) (4)-(4y-5)(5y+4) (6)(y+2)(2y-3) (8)(a-3)(3a+2) (10)(2m+1)(2m+3) (12)(2m-3)(4m-5) (14)(2a+5)(3a-7) (16)(x+3)(4x+3)

(18)(2y+5)(3y+2)

(20)(x+1)(7x-17)

一元二次方程

24

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