控制工程基础第八章离散控制系统

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第八章

离散控制系统

主要内容 第一节 线性离散系统概述 第二节 离散控制系统的数学基础 第三节 脉冲传递函数 第四节 离散系统的性能分析

控 制 工 程 基 础

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离散控制系统

控 制 工 程 基 础

前面研究的系统所处理的信号都是时间上的连续信号， 称之为连续时间系统，简称连续系统(Continuous System)。随着脉冲技术和数字信号技术的发展，在自动 控制系统中，出现了离散化的控制器。离散控制器利用采 样技术，将连续信号变成时间上离散的信号来处理，这种 具有离散控制器的系统称为离散控制系统，简称离散系统 (Discrete System)。离散控制技术目前已广泛地应用于 航天、航空、建筑、交通等各领域的信号监测和控制过程 中。

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离散控制系统

第一节

线性离散系统概述

一、离散系统的基本结构在离散系统中，有一处或多处的信号不是连续的模拟信 号，而在时间上是离散的脉冲序列或数码，称之为离散信号 (Discrete Signal)。在工程上，离散信号是按照一定的时间 间隔对连续的模拟信号进行采样(取值)而得到的，故又称 采样信号(Sampling Signal)。一种典型的离散控制系统如 图8-1-1所示。给定值 控制器 D/A A/D 执行机构 检测装置 被控对象 输出值

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图8-1-1 离散控制系统page3

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二、信号的采样按照一定的时间间隔将连续信号转换为在时间上离散 的脉冲序列的过程称为采样过程(Sampling Process)。对 采样过程来说，若在系统各处的采样周期T均相等，则称为 周期采样(Period Sampling)。若系统在各处以两种或以上 的采样周期采样则称为多频率采样。 本章中只讨论周期采样，也是最常见的采样形式。采样 过程是由采样开关实现的，采样开关每隔一定时间T闭合一 次，闭合的时间为 ,于是将连续时间信号f t 变成离散的 采样信号 f p* t ,如图8-1-2所示。

控 制 工 程 基 础

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第八章fp*(t)

离散控制系统

f(t)

f(t) T控 制 工 程 基 础

fp*(t) 0

0

t

采样开关

t

图8-1-2 采样过程

通常采样持续时间 与采样周期T相比很短，在理想采 样开关的情况下有 0 。这时可以将采样信号 f * t 看成 是一有强度，无宽度的脉冲序列： T (t )

k

(t kT)page5

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通过 f t 调幅后的结果为f t f t t kT * k

f 0 t f T t T f 2T t 2T

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f kT t kT k 0

从物理意义上讲，采样过程可以理解为脉冲调制过程。这 里，采样开关起着脉冲发生器的作用，通过它将连续信号 f t 调制成脉冲序列 f * t 。图8-1-3是采样过程的图解，其中图81-3(a)与图8-1-3(b)相乘等于图8-1-3(c)。

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机电工程学院 f(t)

第八章k -

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t k T ×

fp*(t)

=0 (b) 图8-1-3 采样过程图解 t

0控 制 工 程 基 础

t

0(c)

t

(a)

三、采样定理理想单位脉冲序列是一个以T为周期的周期函数，可以展 成为傅立叶级数，其复数形式为 角频率 s 2

t C k eT

jk s t

T

傅氏级数的系数page7

机电工程学院T

第八章1 2 1 jk s t C k T T t e dt T 2 T

离散控制系统

从而有控 制 工 程 基 础

1 jk st T t e T k 1 f * t f t T t f t e jk st T k * *

由上式可得 f * t 的另一个表达式为

则

1 F ( s ) L[ f (t )] L f (t )e jk st T k 1 F [ s jk s ] T k

1 其傅立叶变换 F * j F j jk s T k page8

机电工程学院F ( j )

第八章F * ( j )

离散控制系统理想滤波器n=1 n=2

n=-2

1 n=-1 n=0 T

控 制 工 程 基 础

max 0

maxF*

- 2 s

- s - s 2

0 s2

s

2 s

(a) 连续波谱

j 1 T

(b) s 2 max

- s

s

(c) s 2 max

图8-1-4 采样前后频谱的变化page9

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于 2 c 即

2 香农采样定理：如果对信号 f t 的采样频率 s 大于或等 T

s 2 c控 制 工 程 基 础

式中 c 为 f t 的有限带宽，则可由 f t 的采样信号 f * t 不失 真的恢复到 f t 。

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第二节 离散控制系统的数学基础一、z变换控 制 工 程 基 础

线性连续系统的数学模型是线性微分方程。为了对线性 连续系统进行定量的分析和研究，采用了拉普拉斯变换；而 对于线性离散系统，可用差分方程(Difference Equation) 来描述。为了对这类系统进行定量的分析和研究，采用了z 变换(Z Transform)。因此，在线性离散系统中z变换是线 性变换，具有与拉普拉斯同样重要的作用，它是研究线性离 散系统的重要数学基础。

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(一)z变换的定义f * t 是 f t 的采样函数，则有 设：

f * t f kT t kT k 0

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其拉氏变换 令

F s f (t ) f kT e kTS * k 0

z eTsF s z eTs f kT z k* k 0 * z eTs

代入上式得 则

Z f (t ) F s

F z f kT z kk 0

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需要强调几点： k Z (1) [ f (t )] Z [ F ( s)] Z [ F ( s)] Z [ f (t )] Z [ f (kT )] F ( z ) f (kT ) z (2)z变换 F ( z ) 只与 f (t ) 或 f (kT ) 有一对一的对应关系， 即 f (t ) 或 f (kT ) 通过z变换可以得到唯一与之对应的F ( z ) ,由 F ( z ) 通过 z反变换也可以得到唯一与之对应的 f (t ) 或 f (kT ) 。 F 但是， ( z )与连续信号 f (t ) 之间不存在唯一的对应关系，两个 不同的连续信号 f1 (t ) f 2 (t ) ,只要它们以同一采样周期的所 有采样值相等，它们的z变换就是相同的，即 Z[ f1 (t )] Z[ f 2 (t )] 如图8-2-1所示。f (t ) f1 (t )f 2 (t ) k 0

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0 T 2T 3T …图8-2-1

tpage13

F ( z )与 f (t ) 非唯一对应关系

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离散控制系统 k

(3)在z变换的定义式中，其一般项 f kT z 中的 f kT 即序列或采样信号在第k个采样时刻的幅值， k 表示第k 个 z 采样时刻，可见z变换和离散序列有着非常明确的“幅值” 和“定时”的对应关系。 (二)z变换法 控 制 由z变换导出的过程看到，z变换实质上是拉普拉斯变换 工 程 的一种推广，所以它也称为采样拉普拉斯变换，或离散拉普 基 拉斯变换。 求z变换有以下方法： 础 1.级数求和法 2.部分分式法 3.留数计算法page

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1.级数求和法 例8-1 求 f (t ) u (t )的z变换，其中u(t ) 为单位阶跃函数。 解：控 制 工 程 基 础

因为 f

kT 1, k 0,1, 2, ,由z变换的定义有：F z Z [ f (t )] z kk 0

1 z 1 z 2 z k 1 1 z 1page15

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例8-2 求 f t e at 的z变换。 解：控 制 工 程 基 础

因为 f kt e akT ,则

F z Z [ f (t )] e akT z kk 0

1 eaT z 1 e2 aT z 2 eakT z k 1 1 eaT z 1

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2.部分分式法

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设：连续函数 f (t ) 的拉普拉斯变换 F ( s) 为 s 的有理函数，将 F ( s ) 展开成部分分式形式 常系数 n Ai F ( s) F(s)的非重极点 i 1 s siAi s t 与 相应的时间函数为 Ai e i ,由例8-2得 s si

Z [ Ai e则

si t

]

Ai

1 e siT z 1n

F ( z ) Z [ f (t )] Z [ F ( s)]

Ai

1 e siT z 1 i 1page

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第八章1 的z变换。 s s 1

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例8-3 求 F s 解： 由控 制 工 程 基 础

F s

1 1 1 s s 1 s s 1

得

f t 1 t e tz z F z Z [1(t )] Z [e ] T z 1 z e z 1 z e T t

z 1 e T

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3.留数计算法 已知 F ( s )及其全部极点 pi i 1, 2, n),则 (

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z F ( z ) Re s[ F ( pi ) ] piT z e i 1 1 d ri 1 z ri 1 ( s pi )ri F ( s ) (ri 1)! ds z e sT i 1 n

n

s pi

r n 式中， 为全部极点数， i 为极点 s pi 的重数， 为采样周期。 T

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(三)z变换的定理1.线性定理 对于任何常数 a1 和 a2 ,若 Z [ f1 (kT )] F1 ( z ) , [ f 2 (kT )] F2 ( z ), Z 则

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Z[a1 f1 (kT ) a2 f 2 (kT )] a1F1 ( z ) a2 F2 ( z )Z [ f (kT nT )] z n F ( z )

2.滞后定理

z n 代表滞后环节，表示把信号滞后 n个采样周期。

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第八章n j

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3.超前定理

Z [ f (kT nT )] z n F ( z ) z n j f ( jT )j 0控 制 工 程 基 础

期。

z n 代表超前环节，表示输出信号超前输入信号Z [ f (kT T )] zF ( z ) f (0)

n个采样周

当n=1时 4.位移定理

若 Z[ f (kT )] F ( z ) , 则

Z [e at f (kT )] F (e aT z )

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