2013届高三物理一轮复习专题训练17 共点力平衡问题解题方法与技

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1．平衡问题与正交分解法 题型 1．物体在粗糙水平面上的匀速运动 例 1． 如图所示， 物体与水平面间的动摩擦因数为 μ＝0.3, 物体质量为 m=5.0kg． 现 对物体施加一个跟水平方向成 θ=37°斜向上的拉力 F，使物体沿水平面做匀速运 动．求拉力 F 的大小． 解析：物体受四个力：mg 、 FN、f、F ．建立坐标系如图所示．将拉力 F 沿 坐标轴分解． Fx = F cosθ Fy = Fsinθ 根据共点力平衡条件，得 X 轴：∑ Fx = 0 Fcosθ — f = 0 ………⑴ Y 轴：∑ Fy = 0 Fsinθ + FN — mg = 0………⑵ 公式 f = μ FN ………⑶ 将⑵⑶代入⑴ F cosθ= μ FN = μ (mg — Fsinθ )?mg0.3 ? 5.0 ? 9.8
解得
F = cos ? ? ? sin ? = 0.8 ? 0.3 ? 0.6
? 15 N
归纳解题程
序：定物体，分析力→建 坐标，分解力→找依据，列方程→解方程，得结果． 变式 1：如果已知 θ 、m、F，求摩擦因数 μ。
变式 2：如果将斜向上的拉力改为斜向下的推力 F，θ、m、μ 均不变，则推力需要多大，才 能使物体沿水平面做匀速运动。?mg
结果
F = cos ? ? ? sin ?
?
0.3 ? 5.0 ? 9.8 0.8 ? 0.3 ? 0.6
?
23.71N
讨论：当 θ 增大到某一个角度时，不论多大的推力 F,都不能推动物体。求这个临界角。这里 的无论多大，可以看成是无穷大。则由上式变形为?mg
cosθ—μsinθ =
F
时
?mg
当 F→∞时，
F
→ ０ 则令 cosθ—μsinθ = 01 1
所以有 co t θ= μ 或 tanθ = ?
θ = tan—1 ?
变式 3．如果先用一个水平拉力 F0 恰好使物体沿水平面做匀速运动．则这个 F0 有多大？现 在用同样大小的力 F0 推物体，使物体仍然保持匀速运动，则这个推力跟水平方向的夹角多 大？ 解法一：物体受五个力：mg 、 FN、f 、两个 F0。由共点力平平衡条件得 当只有一个 F0 沿水平方向作用时，物体匀速运动 F0 = f = μ mg 水平方向∑Fx = 0 F0+ F0cosθ — f = 0
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竖直方向∑Fy=0 FN— F0sinθ —mg = 0 解得 μ = cotθ θ = cot —1μ . 解法二：物体保持原来的速度匀速运动，则施加推力 F0 后，增加的动力部分跟增加的阻力 部分相等，则有 F0 cosθ = △ f = μ Fsinθ 所以得 co t θ = μ 题型 2．物体在粗糙斜面的匀速运动 例 2．（见教材 P65 例 2）物体 A 在水平力 F1=400N 的作用下，沿倾角 θ =60°的斜面 匀速下滑，如图⑴所示，物体 A 受的重力 G =400N.．求斜面对物体 A 的支持力和 A 与斜面间的动摩擦因数 μ． 解析：物体匀速下滑，摩擦力 f 沿斜面向上，物体受力： mg ，FN ，f．F．如图所 示．建立坐标系，分解 mg 和 F．由共点力平衡

条件得 x 轴 mgsin60°—f—Fcos60°= 0………⑴ y轴 FN —mgcos60° —Fsin60°= 0 ………⑵ 公式 f = μ FN ……… ⑶ 由⑴ f= mg sin60° Fcos60°= 400× 3 /2 —400× = 146N — 0.5
由⑵ FN =mgcos60°+ Fsin60°= 546N 由⑶ μ = f / FN = 146 /546 = 0.27． 变式 1．如果 m、θ= 60°、μ= 0..27 保持不变，要使物体沿斜面向上匀速运动，需要 多大的水平推力？ 解析：物体沿斜面向上做匀速运动，只将动摩擦力 f 改为沿斜面向下。 物体匀速下滑，摩擦力 f 沿斜面向上，物体受力： mg ，FN ，f．F．如图所示．建立坐标 系，分解 mg 和 F．由共点力平衡条件得 x轴 Fcos60° —f—mgsin60° 0………⑴ = y轴 FN —mgcos60° —Fsin60°= 0 ………⑵ 公式 f = μ FN ……… ⑶ 由以上三式得sin 60 ? ? cos 60o o o
F=
cos 60 ? ? sin 60o
mg ?
1481.5N
变式 2． 如果物体 A 的质量 m， 与斜面间的动摩擦因数 μ， A 斜面倾角 θ=60° 是已知，假设物体的滑动摩擦力等于它的最大静摩擦力，则水平推力 F 多大时，物体能保 持不动． 解析：⑴用滑动摩擦力等于最大静摩擦力，当物体恰好不下滑时，最大静摩擦 力 fmax= μ FN ,方向沿斜面向上， 物体受力： mg ，FN ，fmax．F．如图⑴所示．建立坐标系，分解 mg 和 F． 由共点力平衡条件得 x 轴 mgsinθ —fmax—Fcosθ = ………0⑴ y轴 FN —mgcosθ—Fsinθ = 0……… ⑵ 公式 f = μ FN ……… ⑶sin ? ? ? cos ?
由⑴⑵⑶解得
F = cos ? ? ? sin ?
mg
⑵当物体恰好不上滑时，fmax 沿斜面向上，物体受力如图⑵所示，在两坐轴上
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的方程如下 x轴 Fcosθ—fmax—mgsinθ= 0………⑷ y轴 FN —mgcosθ—Fsinθ = 0 ………⑸ 公式 f = μ FN ……… ⑹sin ? ? ? cos ?
由以上三式解得
F = cos ? ? ? sin ?
mg
要使物体能在斜面上保持静止，则水平推力 F 的取值范围是sin ? ? ? cos ? cos ? ? ? sin ? mg sin ? ? ? cos ?
≤ F≤ cos ? ? ? sin ?
mg
变式练习：如果推力 F 沿斜面向上，要使物体在斜面上保持静止，则这个推力的取值范围 如何？ 题型 3．物体沿竖直墙壁运动 例 3．物体与竖直墙壁之间的动摩擦因数为 μ，用一个斜向上的推力 F 可以使物体沿竖直墙 壁做匀速运动，物体质量为 m．求 F 的大小． 解析：题中没有指明运动方向，所以有两种可能情况。 ⑴物体沿墙壁向上做匀速运动，受力情况及力的分解如图⑴所示。由共点力平衡条件得 x 轴 F1sinθ = FN………1 ⑴ y轴 F1cosθ = mg + f1……… ⑵ 公式 f1 = μ FN1 ………⑶mg
由⑴⑵⑶得 F1 = cos ? ? ? sin ?
变式 1．如图所示，物体重 10N，物体与竖直墙的动摩

擦因数为 0.5，用一个与水平成 45° 角的力 F 作用在物体上，要使物体 A 静止于墙上，则 F 的取值是____________。 变式 2．重为 30N 的物体与竖直墙壁的动摩擦因数为 0.4，若用斜向上与水平面成 θ=53° 的 推力 F=50N 托住物体。物体处于静止，如图所示。这时物体受到的摩擦力是多 少？ 题型 4．质量为 5kg 的木块放在木板上，当木板与水平方向的夹角为 37° 时,木块
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恰能沿木板匀速下滑．当木板水平放置时，要使木块能沿木板匀速滑动，给木块施加的水平 拉力应多大？（sin37° =0.6, cos37° =0.8,g=10N/kg）. 解析：木块沿木板匀速下滑时，有 mgsinθ = f = μ mgcosθ 得 μ = tan θ = 0.75 当木板在水平状态时，要木块沿木板匀速运动，所施加的水平拉力 F = f = μ mg = 0.75×5×10 N = 37.5N 变式题．质量为 3kg 的物体，放在倾角为 30° 的斜面上恰能匀速下滑，若要使该物体
物体能否保持匀速运动 解析：物体自由地匀速下滑时，有 mgsinθ — μ mgcosθ = 0………⑴ 或变为 sinθ — μ cosθ = 0………⑵ 当对物体施加一个竖直向下的力 F 时，将 F 和 mg 等效为一个竖直向下的作用力 G′ = F + mg ………⑶ 则物体沿斜面方向受的合力为 ∑F = G′sinθ—μG′cosθ = ( F + mg)sinθ—μ (F+ mg)cosθ………⑷ 将⑴式代入⑶得∑ F = F (sinθ — μ cosθ ) = 0 即物体仍然做匀速运动。 变式题：如图所示，一个空木箱恰好能沿斜面匀速下滑．现将质量为 m 的 球放到箱子中，这时木箱能否保持匀速运动，这时球与木箱之间的相互作用力有多大？ 解析：设木箱的质量为 M，木箱匀速下滑时，有：Ｍgsinθ — μＭgcosθ = 0 在木箱中放一质量为 m 的小球后，整体受合力为 ∑F =( M +m) g sinθ— μ( M+m) g cosθ = mg ( sinθ —μ cosθ ) = 0 木箱仍然能保持匀速运动。小球与木箱前壁之间存在弹力，对小球有 FN = mgsinθ 题型 6．如图所示，质量为 m＝5kg 的物体，置于倾角为?＝30°的粗糙斜面块上，用
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小等于 3N 的力推物块，物块仍保持静止，如图（原图所示，则物块所受的摩擦力大小等于 ( ) B．4N C．3N D． 3 3 N
A．5N
解答：在斜面平面内物体的受力分析如图 1-33 所示，根据平衡条件得f ? F ? ? mg sin ? ?2 2
，其中 F＝3N，m＝0.8kg， θ=30°，代入得 f=5N。
本题的正确选项为（A）。 题型 7．如图所示，OA、OB、OC 三条轻绳共同连接于 O 点，A、B 固定 在天花板上，C 端系一重物，绳的方向如图。OA、OB、OC 这三条绳能够 承受的最大拉

力分别为 150N、100N 和 200N，为保证绳子都不断，OC 绳所 悬重物不得超过多重？ 解析：结点 O 受三个力： FAO 、FBO、 FCO 而平衡，根据任两个力的 合力与第三个力等大反向完成矢量图 设 BO 绳恰好拉断，即 FBO =100N，则 FAO = FBO cot 30°= 100 3 N＞150N，FCO= FBO / sin30° 2 FBO = 200N, CO 绳 = 也恰好拉断。所以，在 BO 和 CO 还达到承受限度之前，AO 绳已被拉断。 应设 AO 绳恰好被拉断，由此得到悬持的重物的最大重力为
G = FAO / cos30°= 150 /
3 /2 = 100
3N
/ 0.8=250N ＜300N， 绳不会被拉断。 CO 所以， 绳悬挂的重物的最大质量为 m， mg = FCO． = FCO CO m / g = 25 kg 变式 2．如图，不计重力的细绳 AB 与竖直墙夹角为 60o ，轻杆 BC 与竖直墙夹角为 30o ，杆 可绕 C 自由转动，若细绳承受的最大拉力为 200N，轻杆能承受的最大压力为 300N，则在 B 点最多能挂多重的物体？
题型 8（整体法也隔离法的应用）
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例题．如图所示，光滑的金属球 B 放在纵截面为等腰三角形的物体 A 与竖直墙壁之间，恰 好匀速下滑，已知物体 A 的重力是 B 的重力的 6 倍，不计球跟斜面和墙壁之间摩擦，问： 物体 A 与水平面之间的动摩擦因数 μ 是多少？（ 3 / 7 ）
变式 1．如图所示，质量为 M 的直角三棱柱 A 放在水平地面上，三棱柱的斜 面是光滑的，且斜面倾角为 θ。质量为 m 的光滑球放在三棱柱和光滑竖直墙 壁之间， 和 B 都处于静止状态， A 求地面对三棱柱支持力和摩擦力各为多少？
变式 2．如图所示，一个质量为 m、顶角为 α 的直角劈和一个质量为 M 的正方 体放在两竖直墙壁之间，若不计摩擦，求地面对正方体的支持力 F1，左右墙壁 对正方体的压力 F2、F3 分别是多大？
变式 3．如图所示，直角劈 A 插在墙壁和物体 B 之间，劈跟竖直墙壁的夹角为 37，劈的质量为 m1，表面光滑，物体 B 的质量为 m2，两物体均处于静止状态， 求 B 受到的静摩擦力
变式４．如图所示，一个底面粗糙，质量为 m 的斜面体静止在水平地面上，斜面体的斜面 部分是光滑的，倾角为 30° 。现用一端固定的轻绳系一质量也为 m 的小球，小球静止时轻绳 与斜面的夹角也是 30° 。试求：⑴当斜面体静止时绳的拉力大小？⑵若地面 对斜面体的最大静摩擦力等于地面对斜面体支持力的 k 倍， 为了使整个系统 始终保持静止状态，k 值必须满足什么条件？
题型 9． 例题．如图所示，在水平地面上放一木板 B，重力为 G2=100N，再在木板上放一货箱 A， 重力为 G1=500N，设货箱与木板、木板与地面的动摩擦因数 μ 均为 0.5，先用绳子把货

箱与 墙拉紧，如图所示，已知 tgθ=3/4，然后在木板上施一水平力 F，想把木板从货箱下抽出来， F 至少应为多大？（Fmin= 413.6N）
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变式 1．如图所示，物体 A、B 叠放在倾角为?＝37° 的斜面上，并通过细线跨过光滑滑轮相 连，细线与斜面平行，两物体质量分别为 mA＝5kg，mB＝10kg，A、B 间动摩擦因数为? μ1＝0.1，B 与斜面间的动摩擦因数为 μ2＝0.2，现对 A 施一平行于斜面向下的拉力 F，使 A 平行于斜面向下匀速运动，求 F 的大小。
解答 A、B 的受力分析如图所示，对于 A 根据平衡条件可得 F+ mAgsina＝T+ f1 ， ① N1=mAgcosa ， ② f1=μ1N1 ， ③ 对于 B 有 f1 + f2 + mBgsina=T ， ④ N2= N1 + mBgcosa ， ⑤ f2=μ2 N2 ， ⑥ 由以上各式可解得 F =2μ2mAgcosα +μ2(mA+mB)gcosα +(mB—mA)gsinα 代入数据可得 F=62N。 所以沿斜面向下拉力 F 的大小为 62N。 变式 2．如图，A、B 两物体质量相等，B 用细绳拉着，绳与倾角 θ 的斜面平行。A 与 B，A 与斜面间的动摩擦因数相同，若 A 沿 斜面匀速下滑，求动摩擦因数的值。
题型 9．固定在水平面上的光滑半球，球心 O 的正上方固定一小定滑轮，细线一端拴一小球 A，另一端绕过定滑轮，今将小球从图示的位置缓慢地拉至 B 点，在小球到达 B 点前的过 程中，小球对半球的压力 N，细线的拉力 T 的大小变化情况 C A．N 变大，T 变大 B..N 变小，T 变大 C．N 不变，T 变小 D.N 变大，T 变小 解析：小球受三个力：mg、T、N ,如图所示。由于 T 与 N 的合力与 mg 等大反向，画矢量图如图所示。力三 角形与空间三角形相似，有大T mg ? L h?R , N mg ? R h?R
mg、R、h 是不变量，小球沿大球面缓慢向上移动，L 减小，所以 T 减小，N 不变。 变式 1．质量为 m 的小球（半径不计）用一根细绳悬挂在 A 点，放在半径为 R 的 光滑大球体表面上，悬点 A 恰好在大球体的球心 O 的正上方，且悬点到大球面的
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最小距离为 d，d 小于细绳的长度．若细绳恰与球面相切，求小球对大球面的压力为多大？ 细绳的张力是多大？
变式 2．如图所示，轻杆 AC 和 BC 固定在墙上，AC=90cm，BC =120cm，AB=60cm， 在 C 处挂一个 G =10N 的路灯，求 AC 和 BC 杆所受的力各是多大？
变式 3．一球重为 G，固定的竖直大圆环半径为 R，轻弹簧原长为 L(L＜2R)，其劲度系 数为 k，一端固定在圆环最高点，另一端与小球相连，小球套在环上，所有接触面均光 滑，则小球静止时，弹簧与竖直方向的夹角 θ 为多少

？
变式 4．如上图，如果已知 m、大球半径 R、弹簧原长 L，求当球静止时弹簧的长度
题型 10 例题．（临界问题）3．跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体 A 和 B，物体 A 放在倾角为 θ 的斜面上，如图。已知物体 A 的质量为 m，物体 A 与斜面间的动 摩擦因数为 μ（μ＜tanθ），滑轮的摩擦不计，要使物体 A 静止在斜面上，求物 体 B 的质量取值范围。
变式 1．如图所示，物体的质量为 2kg，两根轻绳 AB 和 AC 的一端连接于竖直墙 上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成 θ=600 的拉力 F， 若要使两绳都能伸直，求拉力 F 的大小范围。
题型 11．如图所示，长为 5m 的细绳的两端分别系于竖立在地面上相距为 4m 的两杆的顶端 A、B，绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一个重为 12N 的物体，平衡时，问： ①绳中的张力 T 为多少? ②A 点向上移动少许，重新平衡后，绳与水平面夹角，绳中张力如何变化? ? 分析与解： 6 中因为是在绳中挂一个轻质挂钩， 例 所以整个绳子处处张力相 同。而在例 7 中，OA、OB、OC 分别为三根不同的绳所以三根绳子的张力 是不相同的。 对于例 6 分析轻质挂钩的受力如图所示，由平衡条件可知，T1、T2 合力与 G 等 大反向，且 T1=T2。所以 T1sinα +T2sinα =T3= G
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即 T1=T2= 2 sin ? ，而 AO·cosα+BO.cosα= CD，所以
cosα =0.8
sin ? =0.6，T1=T2=10N 同样分析可知：A 点向上移动少许，重新平衡后，绳与水平面夹角，绳中张力均保持不变。 变式 1．如图所示，A、B 两物体重均为 G =100N，A 拴在绕过定滑轮 O1 的细绳一端，B 吊在动滑轮 O2 上。整个装置静止不动，两个滑轮 和细绳的重量及摩擦不计。求绕过动滑轮 O2 的两细绳间的夹角 α 。 解：动滑轮两边细绳的拉力 F1、F2 大小相等，动滑轮在三个力作用 下平衡（两边绳子的拉力 F1、F2 和重物向下的拉力 F3）。F 竖直向下，F1、F2 以竖直线 为对称轴。由后力与分力的关系，得 2 F1cos (α /2) = F3= G ， = GA =100N， = F2= 100N， F1 F1 所以 cos(α /2) = 1/2 α =120°。 变式 2．如图（a）所示，将一条轻而柔软的细绳一端固定在天花板上的 A 点， 另一端固定在竖直墙上的 B 点，A、B 两点到 O 点的距离相等，绳的长度为 OA 的两倍。图（b）所示为一质量和半径中忽略的动滑轮 K，滑轮下悬挂一 质量为 m 的重物，设摩擦力可忽略。现将动滑轮和重物一起挂到细绳上，在达到平衡时， 绳所受的拉力是多大？ 解：将滑轮挂到细绳上，对滑轮进行受力分析如图，滑轮受到重力和 AK 和 BK 的拉力 F，且两拉

力相等，由于对称，因此重力作用线必过 AK 和 BK 的角平分线。延长 AK 交墙壁于 C 点，因 KB =KC，所以由 已知条件 AK+ KC = AC=2AO，所以图中的角度 α =30°，此即两拉力与重力 作用线的夹角。两个拉力的合力 R 与重力等值反向，所以： 2 F cos30°= R =G， 所以 F = mg/2cos30°=3 mg/3 。
点评： ①本题中的动滑轮如果换为光滑挂钩， 则结果相同。 ②设绳子长度为 L=AC， 两悬点之间的水平距离为 d = AO ，sinα = d /L ，所以，当 L、d 不变时，任由 B 点在竖直墙壁的一条竖直线上下移动，则角度 α 为定值。滑轮两边绳子拉力 F 也 为定值。 ③对于可以改变两悬点 A、 的水平距离的情况， B 拉力的变化也可由 sinα = d/L 先分析角度，然后由平衡条件求解。 变式 3．如图所示，一根柔软的轻绳两端分别固定在两竖直的直杆上，绳上用一 光滑的挂钩悬挂一重物，AO 段中张力大小为 T1，BO 段张力大小为 T2。现将右固定端由 B 沿杆慢移到 B′点的过程中，关于两绳中张力大小的变化情况为（ ） A．T1 变大，T2 减小 B．T1 减小，T2 变大 C．T1、T2 均变大 D．T1、T2 均不变 变式 4． 如图所示的装置中， 绳子与滑轮的质量不计， 滑轮轴上的摩擦不计。 A、B 两物体的质量分别为 m1 和 m2 ，处于静止状态，则以下说法不正确 的是（ ） A．m2 一定等于 m1 B．m2 一定大于 m1g/2 C．θ1 角与 θ2 角一定 相等 D．当 B 的质量 m2 稍许增加时，θ1+θ2 一定增大，系统仍能达到平衡状态
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变式 5．如图（原图所示，相距 4m 的两根柱子上拴着一根 5m 长的细绳， 细绳上有一光滑的小滑轮，吊着 180N 的重物，静止时 AO，BO 绳所受的拉 力各是多少？ 解答 同一条绳子拉力处处相等，所以 T1=T2=T，且与竖直线夹角均为 θ， 如图所示，根据平衡条件得 ,2T cosθ = mg ① 延长 BO 至墙于 C 点， C 作水平线交右墙于 D 点， 过 根据几何关系得 AO=OC， 而 AO+BO=5m，所以 BC=OB+OC=5m，在 ΔBCD 中，有 cosθ =3/ 5 ② 由①②式得 T = 5mg /6 =150N 所以静止时 AO、BO 绳子所受拉力各是“150N，150N”。 题型 12． 例题．如图所示，水平横梁一端 A 插在墙壁内，另一端装有小滑轮 B，一 轻绳一端 C 固定于墙壁上， 另一端跨过滑轮后悬挂一质量为 m=10kg 的重物，?CBA ? 30? ，则滑轮受到绳子作用力为：
A．50N
B． 50 3 N
C．100N
D． 100 3 N
变式 1．（对称原理与隔离法）如图所示，重为 G 的均匀链条。两端用等长 的细线连接， 挂在等高的地方， 绳与水平方向成 θ 角。 试求： ⑴绳子的张力。 ⑵链条最低点的张力。
变式 2． 如图所示， 质量为

m 的小球被三根相同的轻质弹簧 a、 c 拉住， 竖 b、 c 直向下， b 、 伸长的长度之比为 3∶3∶1， a、 c 则小球受 c 的拉力大小为 （α=120°） A．mg B．0.5mg C．1.5mg D．3mg. 题型 12． 例题．如图所示，A、B 两小球固定在水平放置的细杆上，相距为 l，两小球 各用一根长也是 l 的细绳连接小球 C，三个小球的质量都是 m．求杆对小球 A 的作用力的大小和方向． 解答：C 球受力如图所示，根据平衡条件有 2Tcos30°=mg 得 T=3 mg /3
① ② ③
A 球受力如图所示，根据平衡条件有 Tsin60° =mg=N Tcos60°=f, 由①②③可得 N= 3mg/ 2, ,
f= 3 mg /6
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因此杆对小球 A 的作用力 F= a 角， tanα = f / N =
N
2
? f
2
，代入可得 F= 7 / 3mg m 7 / 3 g, 与竖直方向成
3 /9 。
所以杆对小球 A 的作用力大小为 mg,，方向为竖直向上偏左 a 角，其中 α= arctan 3 /9。 变式 1． （对称原理与整体法、隔离法）如图所示。在光滑的水平杆上，穿着两个重均为 2N 的球 A、B，在两球之间夹着一弹簧，弹簧的劲度系数为 10N/m，用两条等长的线将球 C 与 A， 相连， B 此时弹簧被压缩短 10cm， 两条线的夹角为 60° 求。 。 ⑴杆对 A 球的支持力多大？ ⑵ C 球的重力多大?
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