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概率论课程设计论文

1104202班 1110420211 蒋瑞晔

概率论在不等式中的应用

摘要：应用概率方法证明不等式，是个很有用的方法，建立适当概率模型，选择合适

的公式使不等式的证明得到简化。本文主要研究了应用概率论的方法证明代数不等式、积分不等式和相关理论的应用。

关键字：概率论 不等式 证明 广义积分

概率论是从数量侧面研究随机现象规律性的数学学科，它有自己独特的概念和

方法，内容丰富，应用广泛。不等式是数学中一项非常重要的内容，它的应用也相当广泛，尤其是不等式的证明在数学中也越来越受到人们的重视 。因为把概率论的思想方法渗透到高等数学的中, 有助于加深和巩固对高等数学和概率论知识的

［1］

理解掌握, 了解各学科之间的紧密联系, 提高分析问题和解决问题的能力。

马尔科夫不等式是许多概率不等式的基础，从马尔科夫不等式很容易得到切比雪夫不等式，从切比雪夫不等式得到大数定理，大数定理从理论上解释了用频率近似地作为事件发生概率的基本思想。中心极限定理则说明：独立同分布随机序列的前n 项和可以用正态分布近似。 中心极限定理是数理统计的理论基础，从另一角度解释了为什么在抽样分析中我们只考虑由标准正态分布的组合形成的三大分布（?2(n) -分布、t -分布、F -分布）。此外，泊松分布是二项分布序列的另一种极限表示。这些结果所表现的是一种极限性质，为某些分布下概率的近似计算提供了

［2］便捷方法。

（一）首先，介绍几个常用的不等式。

定理1( 马尔可夫 Markov 不等式) 设X 为只取非负值的随机变量, 数学期望EX = L, 则对于任意正数E, 成立不等式:［3］

?p(X??)??

定理2( Jensen 不等式) 设随机变量N取值于区间(a, b) , ???a?b??? , 若g( x ) 是区间(a, b) 上连续的凸函数, 则当E?,Eg(?)存在时, 有g(E?)?Eg(?)。

定理3( 切比雪夫 Chebyshev 不等式) 设随机变量X 的数学期望EX = ?, 方差DX = ?2 , 则对于任意正数?, 成立不等式: P(X???2??)?

?2 定理4 设随机变量X 的数学期望EX = 0, 方差DX =?2, 则对于任意正数?, 成立不等式:

P(X??)??2?2??2

定理5( 切尔诺夫Chernoff 不等式) 设随机变量X的特征函数为M(t)?EetX,则任给正 数?, 当t > 0 时, 成立不等式P(X不等式P(X

(二）下面介绍一下用概率论方法证明代数积分不等式。

不等式有许多种类型，如数论与组合不等式、代数不等式、几何不等式、多项式函数不等式、行列式与矩阵不等式、微分不等式、积分不等式和概率不等式等等。在本文中主要研究应用概率论思想证明两种类型的不等式。一是积分不等式; 二是代数不等式。

1. 用概率论证明积分不等式

例1 ( 三角不等式)［4］

设f( x) 与g( x) 是［a，b］上的正值连续函数，则

b??)?e?t?M(t);当t < 0 时, 成立

??)?e?t?M(t)

{?[f(x)?g(x)]dx}?[?f2(x)dx]?[?g2(x)dx]aaa212b12b12

证明设随机变量ξ 的概率分布及其概率密度函数分别为:

?0,x?a?x?a?F(x)??,x?[a,b],?b?a??1,x?b,?1,x?[a,b] ?p(x)??b?a??0,x?[a,b]则

1E[f(?)?g(?)]??[f(x)?g(x)]p(x)dx?[f(x)?g(x)]dx ?b?aa??22??b12Ef(?)??f(x)p(x)dx?f(x)dx ?b?aa??22??b1Eg2(?)??g2(x)p(x)dx?g2(x)dx ?b?aa??1E[f(?)?g(?)]??f(x)g(x)p(x)dx?f(x)g(x)dx ?b?aa??由于f( x) ，g( x) 是［a，b］上的正值连续函数，

所以E［f( ξ) g( ξ) ］≥0，又由引理3 知:E[f(?)?g(?)]?]Ef(?)]?[Eg(?)]

222212212??b??b212212从而E[f(?)?g(?)]?Ef(?)?Eg(?)?2E[f(?)?g(?)]?[Ef(?)]?[Eg(?)]

2 用概率方法证明代数不等式

例1 (平均数不等式) 设a1，a2，…，an为n 个正数，则有

1n1n2?a1a2?an??ai?ai,(i?1,2,?n), ?n1ni?1ni?1?i?1ainn

证明设随机变量ξ的概率分布为p(??ai)?1 其中ai≥0，(i = 1，2，…，n) ． 由: nE2(?)?E2(?) 得 E(ln?)?lnE(?)

1n1n得 ?lnai?ln?ai,

ni?1ni?1

1n即a1a2?an??ai

ni?1n在式( 1) 中若令随机变量ξ 的概率分布为P(??11)?,(i?1,2,?,n),则有ain1n11n1ln?ln? 即?ni?1aini?1ain1?i?1ain?na1a2?an

1n1n2?a1a2?an??ai?因此: nai ?1ni?1ni?1?i?1ainn （三）概率论解决积分问题

我们可以把概率论中的积分分为两类：概率积分、函数积分。概率积分是求事件概率使用的，或求解相关问题的，结果为一个数值时的积分；函数积分是指求解问题时结果为一个函数的积分。概率积分的情况有：概率密度函数的正则性、求取值在区间（区域）的概率、求边际分布、求数学期望、方差、求函数的数学期望；函数积分的情况主要有求分布函数、求函数分布。我们可以用概率论的思想方法来

［5］

解决积分中的问题。

1、利用密度函数来解决某些积分问题设f（x）为ξ 的密度函数，则

?????f(x)dx?p(???????)?1如果被积函数是某个随机变量的密度函数的形式，可

??以利用

???f(x)dx?p(???????)?1

来解决。

例1.利用正态分布的密度函数解决某些积分求解问题

x2证明：(?exp(?)dx)2?2?

??2??考虑到

??1x2ex?p()为标准正态分布的密度函数。故可以利用

22?(???1x2exp(?)dx)?1 来解决。

22?

??证明：由于(?????1x2ex?p()dx)?1所以

22?x2ex?p()dx)2?2?,所以，?2????x2(?ex?p()dx)2?2? 即已经证明。 ??22、一维连续随机变量，一重积分、二重积分的问题

??0 例1.密度函数f(x)??

???x?1 求：P（x<2）

解：由于f(x)在x<2 为分段函数，故所以概率必须分段来求。显然，在（-2，-1）和（1，2）上f(x）取值为0，在（-1，0）上f（x）取值为x+1，在（0，1）上f(x)取

?1值

0为

1-x+1

20，

1则：

P(x?2)??0dx??(x?1)dx??(?x?1)dx??0dx??(x?1)dx??(?x?1)dx?1对于

?2?101?10这个问题的解答，以上计算方法还显得有些复杂，我们还可以利用定积分的几何意义，曲线y=f(x）在x 轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和。

依前面的分析可知，所求概率其实就是三角形的面积，而三角形的面积很容易求出，S=1，即P（x<2）=1。以二维连续型随机变量计算公式和数学分析中二重积分可以知道计算二重积分的步骤：（1 画出积分区域D 的图形，（2）判定D 的类型（X 型或Y型），确定积分顺序， （3）把二重积分化为二次积分，正确写出积分上下限，（4）计算二次积分得到二重积分值。注：计算时可以考虑积分区域的对称性，二重积分的性质可以类比一重积分的性质进行推广。显然，求联合分布函数、边际分布函数就是求一变上限函数，求某一概率就是求一二重积分。故可以模仿二重积分的计算步骤。首先需要画出概率密度函数的非零积分区域、确定类型和积分范围，然后按积分范围内函数取值分段积分。 3、用随机变量证明积分不等式

设ξ 是一随机变量，取值于区间（a，b），-∞≤a＜b≤+∞，y =f（x），x∈（a，b），是连续的下凸函数，如果Eξ 和Ef（ξ）存在，则f（Eξ）≤Ef（ξ），若在（a，b）上为连续的上凸函数，则f（Eξ）≥Ef（ξ）。 例1：求证，当f(x)为[a,b]上的连续的下凸函数时，f(a?b1b)?f(x)dx ?a2b?a

a?b1b)?f(x)dx 当（f x）为≥a，b ≥上的连续的上凸函数时f(2b?a?a?1,a?x?b?证明：设连续型随机变量ξ 的密度函数为p(x)??b?a,则

??01a?bdx?

??ab?a2??b11bdx?f(x)dx 而Ef(?)?f(x)xp(x)dx??f(x)???aab?ab?aEf(?)??xp(x)dx??x??b由前叙可知，当f（x）为[a,b]上的下凸函数时，Ef（ξ）≤Ef（ξ），即：

a?b1bf()?f(x)dx 当f（x）为[a,b]上的凸函数时，E（f ξ）≥E（f ξ），

2b?a?aa?b1bf()?f(x)dx 即?a2b?a这两个不等式是数学分析中的两个重要积分不等式。

4、利用特征函数求被积函数中含有三角函数的广义积分问题

对于被积函数含有三角函数形式的广义积分，我们可以借助概率论中特征函数的知识来判断积分的敛散性，进而进行求值计算。

定理：设X 为服从概率密度为f（x）的随机变量，其特征函数为φ（t）[2]为常数，

Eei?x?Ee?i?x1?[?(?)??(??)] 则有：广义积分?cos?xf(x)dx???22??Eei?x?Ee?i?x1?[?(?)??(??)] ???sin?xf(x)dx?22i?? 在以上几例中，我们运用概率论的知识对积分相关方面的问题进行求解，旨在提供一种思考的方法，说明概率论与积分两门学科的知识是可以互相结合的，从本文实例中也可以看出，用概率论的方法来解决初等代数、数学分析中的一些问题，具有有效、简洁、优越的特点.

概率论是数学的一个重要分支，它是从数量侧面研究随机现象规律性的数学学科，它有自己独特的概念和方法进行证明，内容丰富，应用广泛。它既有严密的数学基础，又与各学科紧密联系。在自然科学、社会科学、管理科学、技术科学和工农业生产等各个学科和领域都得到了广泛的应用。不等式是数学中一项极为重要的内容，它的证明方法很多，但是采用不同的渠道，可以收到不同的效果。通过对上述不等式的证明得出，利用概率论的方法证明不等式，关键在于抓住不等式的特点，构造一个与之相应的概率模型，再结合概率论中的基本定理及性质，可以使不等式的证明过程变得非常简捷。因此，概率论方法是解决不等式证明的一项行之有效的

手段。

参考文献：

[1]第23 卷第6 期 2009 年11 月 甘肃联合大学学报( 自然科学版) 概率论的思想方法在证明数学不等式中的应用 姚志健 [2]第13 卷第6 期 铜仁学院学报 2011 年 11 月

学习《概率论与数理统计》应该注意的若干问题（6） ——极限性质及其应用 许道云，秦永彬，刘长云

[3]一类概率不等式及其应用 张玉春1 , 曾梦涵2 Vol. 13, No . 1 Jan. , 2010 高等数学研究 [4]第32 卷第6 期 聂世谦，崔小朝

[5]2009 年10 月 第5 期（总第25 期）天津市经理学院学报 概率论在积分中的应用 吕中起

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