2012-2013重庆邮电大学高数上期末试题

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2012-2013《高等数学》（上） 联考试卷

试卷 A ,(A/B),考核方式 闭卷 (闭卷/开卷)，考试时间（120分钟）

题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 分数 得 分 评卷人 一、单项选择题（本大题共五个小题，每小题3分，总计 15分）：

1、下列极限存在的是 ( )。

密 (A) lim1x22； x?1x?1 (B) limx??x2?1；

(C) limx2?1x??； (D) limx。

xx?0x 2、如果函数f(x)在xf(x0?h)?f(x0)0处满足：lim h?0h2?2013。则f(x)在x0

处（ ）。

封 (A) 不可导； (B) 可导，且f'(x0)?2013； (C) 可导性不确定； (D) 可导，且f'(x0)?0。 3、当x?0时，下面不等式正确的为（ ）。

(A)

x 1?x?ln(1?x)?x； (B) x1?x?x?ln(1?x)； 线(C) x?ln(1?x)?x； (D) x?x?ln(1?x)。 1?x1?x

4、设F(x)是f(x)的一个原函数，下列各等式正确的是（ ）。 (A) ?F(x)dx?f(x)?c； (B)(?f(x)dx)??f(x) ； (C)d(?f(x)dx)?f(x)?c ； (D) ?f?(x)dx?f(x)。

1 5、反常积分 ?lnxdx（ ）。

0 (A)收敛于?1； (B)收敛于0； (C) 收敛于1 ； (D) 发散。

得 分 评卷人 二、填空题（本大题共五个小题，每小题3分，总计15分）

6、若当x?0时，2ax?3x2?x3与sin4x为等价无穷小，则常数a?_______。

3x7、设函数y??ln(1?t2)dt，则微分dy= 。

0?18、函数f(x)?ksinx?sin3x在x?处取得极值，则常数k= 。

339、（交大学生做）不定积分?3x?21?x2dx= 。

9、（重邮学生做）微分方程y???3y??2y?0的通解为_____ 。

110、定积分?(?1xcosx?1)dx? 。 21?x得 分 评卷人 三、计算题（本大题共两个小题，每小题5分，满分10分）

ex?e?x?2n?23n11、求函数的极限：1）lim( )； 2）limx?01?cos3xn???n

得 分 评卷人 四、计算题（本大题共两个小题，每小题5分，满分10分）

?x?arctan(t)12、已知函数y?y(x)由参数方程 ?确定。

y?t?ln(1?t)?d2ydy试求: 1） ； 2）

dxt?1dx2。

t?1

得 分 评卷人 五、计算题（本大题共两个小题，每小题5分，满分10分）

x213、求下列不定积分：（1）?（2）?xcosxdx。 dx；21?x 得 分 评卷人 六、计算题（本大题满分10分）：

414、计算定积分：I??011?xdx

得 分 评卷人 七、应用题（本大题满分10分）：

15、如图所示,圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l，问当圆柱体高h与底

半径r分别为多少时，圆柱体的体积最大？ l

得 分 评卷人 八、综合题（本大题共两个小题，每小题10分，满分20分）

16、（交大学生做）已知曲线y?y(x)由方程x?y?ey确定，

dy；(2)求该曲线在x?1处的切线方程。 dx16、（重邮学生做）设可导函数y?y(x)满足方程：xdy?2ydx?0，且y(1)?1

(1)求函数y?y(x)；

(2)求曲线y?y(x)与直线y?2x?3所围成的平面图形的面积。

(1)求

17、讨论函数f(x)?

1xe,(x?0)的单调性,由此证明:lim?1xn2?nn??n2?f(x)dx?1。

一．1、B 2、D 3、A 4、B 5、A 二．6、2； 7、3ln(1?9x2)dx； 8、2；

9、（交大）?31?x2?2arcsinx?c，9（重邮）y?C1e?x?C2e?2x 10、

?2 2?n三．解：1) 原式?lim[(1???n)2]?6n ?e?6 原式?limex?e?xx?03sin3x ?limex?e?x x?09cos3x ?29 10四．解：1)

dy1tdxdt?1?1?t?1?t,dt?11?t?12t 2dy3dx?dydt/dxdt?2t2?dydx?2； 5t?1d 2)d2y(dy)1dx?dtdxdx?3t221?6t(1?t)。 8dt2t(1?t) d2ydx2?12 10t?1五．（1）?x2x2?1?x2dx=?1?11?x2dx = ?(1?11?x2)dx=x?arctanx?C （2）?xcosxdx=?xd(sinx) 3分

分

分

分

分 分 分 分

分 2分 5分 7分

5 7 9

=xsinx-?sinxdx 8分 =xsinx?cosx?C 10分 六．解：令t?x,x?t2,dx?2tdt 3分

112tdt?2?(1?)dt 6分 原式=?1?t1?t00?2[t?ln(t?1)]2022?4?2ln3。 10分

七．解：圆柱体高h与底半径r满足 h2?r2?l2

圆柱体的体积公式为 V??r2h?π(l2?h2)h 3分 求导并令 V??π(l2?3h2)?0 5分 得h?36l，并由此解出r?l． 7分 33d2V3??6h?3??23?l?0 8分 2dhh?lh?l33即当底半径r?63l，高h?l时，圆柱体的体积最大． 10分 33八．解：（1）将方程x?y?ey两边对x求导，1?y/?ey?y/, 3分

dy1 5分 ?ydxe?1（2）将x?1代入方程x?y?ey得y?0 6分 该曲线在x?1处的切线斜率为k?dy11?y? 8分

dxx?1e?1x?1,y?021所求切线方程为y?(x?1) 10分

2解：（1）xdy?2ydx?0可化为

12dy?dx，两边积分lny?2lnx?lnC, 3分 yx得y?Cx2，由条件y(1)?1，得C?1，故所求函数为y?x2 5分

?y?x2?x??1?x?3（2）?，解得?、? 6分

?y?1?y?9?y?2x?33A??(2x?3?x2)dx 8分

?113322?(x?2x?x)=6 10分

3?13解：1）∵f'(x)?2?xx5e?1?0?x?2, x2 ∴ 当0?x?2时,f(x)单调增加；当x?2时,f(x)单调减少；n2?n 2）∵

n2?n) n?f(x)dx?f(?)n,(n2???2n2?n从而,当x?2,f'(x)?0?nf(n2?n)?x)dx?nf(n2), 7n?f(2n2?nlimn2?nn??(n2?n)dx?limn?1 8n?fn2?ne?12n??n2?n limn?1n2n??n2)dx?limn?f(2n??n2e?1 n2?n故由夹逼准则知limn??f(x)dx?1 10n?2注： 2）的前面部分也可如下求解

∵当x?2时,f(x)单调减少，n??,不妨设n?2,

当n2?x?n2?n时，有f(n2?n)?f(x)?f(n2) 6n2?nn2?nn2?n有nf(n2?n)?n2?n)dx?(x)dx?n2)dx?nf(n2) n?f(2n?f2n?f(2

分

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7分

3 5 6 9

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