吉林省吉林市第一校高中数学 1.2应用举例练习 新人教A必修5

吉林省吉林市第一中学校高中数学 1.2应用举例练习 新人教A版必

修5

一、本节学习目标

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决有关计实际问题，了解常用的测量相关术语．

二、重难点指引 重点：从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解．能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系． 难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题． 三、学法指导

对于未知的距离和高度等，一般有多种方案可供选择．但在实际问题中应注意实效性． 四、教材多维研读 ▲ 一读教材

1．在三角形ABC中，A?B?C =_________________ 2．正弦定理：在三角形ABC中，________=________=_______ 3．余弦定理：在三角形ABC中，a=________________________ cosA=_______________________ 4．三角形的面积公式：

2S?ABC?__________=__________=___________

北DC西45030 km▲ 二读教材

1. 台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中 心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（ ） A．0.5小时 B．1小时 C．1.5小时 D．2小时

A40 kmB东2．在?ABC中，A:B?1:2，C的平分线CD把三角形面积分成3:2 南两部分，则cosA?（ ）

113A．3 B．2 C．4 D．0

3．在中?ABC，bcosA?acosB，则三角形的形状为（ ）

Ａ．直角三角形 Ｂ．锐角三角形 Ｃ．等腰三角形 Ｄ．等边三角形 4．如图，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15?，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45?，假设建筑物高50m，设山对于地平面的斜 度?，则cos?= .

1

▲ 三读教材

1．△ABC中，AB＝1，AC＝3，∠C＝30°，则△ABC的面积为________

2．已知sin A∶sin B∶sin C＝(3＋1)∶(3－1)∶10，则最大角为_________．

3．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长．已知b2＝ac且a2－c2＝ac－bc.

(Ⅰ)求∠A的大小； bsin B(Ⅱ)求的值．

c

五、典型例析

例1 AB是底部B不能到达的烟囱，A是烟囱的最高点，选择一条水平基线HG，使得H、

G、B三点在同一条直线上，在相距为d的G、H两点用测角仪测得A的仰角分别为?、

?，已知测角仪器高h?1.5m，试完成如下《实验报告》（要求：1. 计算两次测量值的平

均值,填入表格；2. 利用?、?、d的平均值，求AB的值，写出详细计算过程；3. 把计算结果填入表格） 相关数据：2?1.4,3?1.7..

题目 测量底部不能到达的烟囱的高 测量项目 测 量数 据 第一次 74°52' 30°12' 第二次 75°8' 29°48' 60.22 平均值 计算过程 ? ? d (m) 59.78 2

测量目标 （附图） 结果

1例2 在?ABC中，sin(C?A)?1, sinB=3.

（I）求sinA的值；

(II)设AC=6，求?ABC的面积.

六、课后自测 ◆ 基础知识自测

1．钝角?ABC 的三边长为连续自然数，则这三边长为（ ） Ａ.1、2、3、 Ｂ.2、3、4 Ｃ.3、4、5 Ｄ.4、5、6

2．在?ABC 中，已知角B?45?,c?22,b?2，则角C的值有（ Ａ.0个 Ｂ.1个 Ｃ.2个 Ｄ.个

3．在?ABC 中，已知a?6,b?63,A?30?,则B= _______ ．

4．在?ABC 中，若sin2A?sin2B?sin2C?sinAsinB，则C?5．在?ABC 中，已知a?3,b?2,B?45?,解三角形．

6．在?ABC 中，已知A?120?,2b?3c,a?319，求b，c．

．3

）

7. A、B、C是一条直路上的三点，AB＝BC＝1 km，从这三点分别遥望一座电视发射塔P，A见塔在东北方向，B见塔在正东方向，C见塔在南偏东60°方向．求塔到直路的距离．

◆ 能力提升训练

１．a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积．若a＝4，b＝5，S＝53，则c=___________________ 2．在△ABC中，A＝60°，AC＝16，面积为2203，那么BC的长度为( ) A．25 B．51 C．493 D．49

3．一艘船以20 km/h的速度向正北航行，船在A处看见灯塔B在船的东北方向，1 h后船在C处看见灯塔B在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC等于________． 4．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a＝2， 3

cos B＝.

5

(Ⅰ)若b＝4，求sin A的值；

(Ⅱ)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．

466

5． 在△ABC中，已知AB＝，cos B＝，AC上的中线BD＝5，求sin A的值．

366． (2009·辽宁)如图

A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(结果保留根号)．

◆ 能力拓展训练

sinC?23sinB，1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a?b?3bc，

则A=

00003060120150A. B. C. D.

22 4

AC

BC?1,B?2A,则cosA的值等于 ，AC的取值范围为 _________ 2．在锐角?ABC中，

3．在△ABC中，a, b, c分别为内角A， B， C的对边，且

A??2b?c?sinB??2c?b?sinC 2asin（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）求sinB?sinC的最大值

4.在三角形ABC中，A,B为锐角，cosA2?35,sBin?1010

（I）求A?B的值； （II）若a－b?2?1，求a,b,c的值．

角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，且

5

1.2 应用举例 参考答案： 教材多维研读 ▲ 一读教材

abcB sinC； 1．?； .2．sinA sinb2?c2?a2222bc 3．b?c?2bccosA ； 4．； 111absinCacsinBbcsinA2225． ．

◆ 二读教材

1．B 2． C ；3． C ； （4） ◆ 三读教材 1．

33

或； 24

3?1．

2π

2．．

3

【解析】根据正弦定理可知

a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝(3＋1)∶(3－1)∶10， ∴边c最大，即角C最大．

设a＝(3＋1)k，b＝(3－1)k，c＝10k，

a2＋b2－c2(3＋1)2＋(3－1)2－(10)21

则cos C＝＝＝－.

2ab22(3＋1)(3－1)2π

∵C∈(0，π)，∴C＝. 3

【反思提升】 已知三角形的两边和其中一边的对角，应用正弦定理解三角形时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．

3．【分析】(Ⅰ)利用cos A＝

b2＋c2－a2

求解；

2bc

bsin B

(Ⅱ)利用正弦定理对代数式进行转化．

c

【解析】(Ⅰ)∵b2＝ac且a2－c2＝ac－bc，∴a2－c2＝b2－bc， b2＋c2－a2bc1

∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝＝，∴A＝60°.

2bc2bc2

bsin Abc

(Ⅱ)（方法一） 在△ABC中，由正弦定理得：sin B＝，∵b2＝ac，∴＝. aabbsin Ac·sin Absin B3

∴sin B＝＝，∴＝sin A＝sin 60°＝. abc2

6

11

（方法二） 在△ABC中，由面积公式得：bcsin A＝acsin B

22bsin B3

∵b2＝ac，∴bcsin A＝b2sin B，∴＝sin A＝sin 60°＝. c2

【反思提升】(1)灵活应用正弦定理和余弦定理．

（2）解题的方法往往有多种，不必拘泥于某一固定的模式． 课后自测

◆ 基础知识自测

1． B 2 . B 3．60?或120? 4．60? A?60?,C?75?,c?6?2A?120?,C?15?,c?2 或

6?22，

5.

6．b?9,c?6，

7. 解

如图所示，过C、B、P分别作CM⊥l，BN⊥l，PQ⊥l，垂足分别为M、N、Q.

设BN=x，则PQ=x，PA=2x. ∵AB=BC，∴CM=2BN=2x，PC=2x. 在△PAC中，由余弦定理得

AC2=PA2+PC2?2PA·PC·cos 75°，

2(4?3)6?2134即4=2x2+4x2?42x2·，解得x2=，过P作PD⊥AC，垂足为D，

则线段PD的长为塔到直路的距离．

11在△PAC中，由于2AC·PD=2PA·PC·sin 75°，

PA?PC?sin75022x2?sin750??AC2得PD，

2(4?3)6?27?532???13413 (km)．

=

7?53答 塔到直路的距离为13 km.

◆ 能力提升自测

1． 21或61； 2． D； 3． 202 km

34

4． 解 (1)∵cos B＝>0，且0

55

7

42×由正弦定理得asin A＝bsin B，sin A＝asin B

b＝54＝25.

(2)∵S△ABC＝114

2acsin B＝4，∴2×2×c×5

＝4，∴c＝5.

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝22＋52－2×2×5×3

5

＝17，∴b＝17

5．解 设E为BC的中点．连接DE，则DE∥AB，且DE＝126

2AB＝3，设BE＝x.

在△BDE中利用余弦定理可得：BD2＝BE2＋ED2－2BE·EDcos∠BED， 5＝x2＋83＋2×263×67

6x，解得x＝1，x＝－3

(舍去)．

故BC＝2，从而AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝28221

3，即AC＝3.

221

又sin B＝302370

6，故sin A＝30，sin A＝14. 6

6．解 在△ACD中，∠DAC=30°，∠ADC=60°?∠DAC=30°，所以CD=AC=0.1. 又∠BCD=180°?60°?60°=60°，

故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA.

ABACBAC?在△ABC中，sin?sin?ABC，

ACsin600?32?632?6所以AB=sin15020?，∴BD=20 (km)． 32?6故B、D的距离为20km.

◆ 能力拓展自测

1．A； 2．2 ， (2,3)；

.3．解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a2?(2b?c)b?(2c?b)c 即

a2?b2?c2?b c 由余弦定理得 a2?b2?c2?2bccosA

cosA??1故

2，A=120°

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

8

31?cosB?sinBsinB?siCn?sBin?sin?(?6B022

?sin(60??B)

故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1．

sinB?10?cosB?1?sin2B?3104．解：（Ⅰ）

A、B为锐角，

10，

10 cos2A?1?2sin2A?3又

5，w.w.w.zxxk.c.o.m

?sinA?5cosA?1?sin2255A?，5，

?cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB?255?31010?51025?10?20?A?B??

?A?B??4

C?3?2（Ⅱ）由（Ⅰ）知

4?sinC?,2. w.w.w.zxxk.c.o.m

a?b?c 由正弦定理sinAsinBsinC得

5a?10b?2c，即a?2b，c?5b

∵a?b?2?1， ?2b?b?2?1，?b?1

?a?2,c?5

第一章 解三角形 单元知识小结 参考答案

1.B 2.A 3 A 4 D 5 A 6 A 7 B 8 C 9 D 10 A 11 C 12 D 13. 0 14. 60 m 15. 1∶2 16. ③

S1?ABC?bcsinA?3,bc?4,17. 解：2

a2?b2?c2?2bcosA,b?c?，而5c?b 所以b?1,c?4

9

cosA?1,0?A??22 18. 解析：

3?sinA?3 acsinA?sinC,a?2,c?32?sinC?22，c?a?0?C?A??2,?C??4

A?B?C???sinB?sin(A?C)?sin(A??4)?sinAcos?4?cosAsin?4?22(2213?3)2?2 =36 S1∴

?ABC?2acsinB?1?24

B??4B、C为△ABC的内角，且

3,cosA?19. 解Ⅰ）∵A、5，

C?2?3?A,sinA?3∴

5，

sinC?sin?∴

?2??3?A????32cosA?13?432sinA?10. sinA?33?43 （Ⅱ）由（Ⅰ）知

5,sinC?10， B??b?3 又∵

3,，∴在△ABC中，由正弦定理，得

a?bsinA∴

sinB?65.

S?1absinC?1?6?3?3?43?36?93∴△ABC的面积2251050

20. 解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a2?(2b?c)b?(2c?b)c 即

a2?b2?c2?b c 由余弦定理得 a2?b2?c2?2bccosA

10

cosA??1故

2，A=120°

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

sinB?siCn?sBin?sin?(?6B0

?32cosB?12sinB ?sin(60??B)

故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。

11

cosA??1故

2，A=120°

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

sinB?siCn?sBin?sin?(?6B0

?32cosB?12sinB ?sin(60??B)

故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。

11

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