2005年全国各地高考题归类精析圆锥曲线

本课件系统介绍了高考圆锥曲线常用的方法,高考常考点,圆锥注意的问题等等

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中学数学杂志(高中)　2006年第1期

2005年全国各地高考题归类精析圆锥曲线

山西省长治市第五中学　　046000　　岳剑兰

山西长治学院附属太行中学　　046011　　金　良

2005年的全国各地高考题在《圆锥曲线方程》一章中涉及到哪些考点?这些考点被考查的概率有多大?难度几何?2006点?.

考点一,知识.40%,难度指数0.70.

考题1　(江苏)抛物线y=4x上的一点M到

焦点的距离为1,则点M的纵坐标是(B)

A.

2

,.、习惯,尤其是涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的距离等相关问题时,联想圆锥曲线的定义,特别是第二定义,是能力高的一种集中释放.

考点二　以圆锥曲线的性质为考点,考查基本量的运算,以及运算能力.出题概率85%,难度指数

0.65.

B.　　C.　　D.016168

考题2　(全国卷Ⅱ文科)抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4,则点A与抛物线焦点的距离为

(D)

A.2　　B.3　　C.4　　D.5

考题7　(北京文科)抛物线y2=4x的准线方程是;焦点坐标是.(答案:x

=-1;(1,0))

考题8　(广东)若焦点在x轴上的椭圆+

2m

2

2

考题3　(上海)过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之

和等于5,则这样的直线(B)

A.有且仅有一条　B.有且仅有两条C.有无穷多条　　D.不存在

2

=1的离心率为

,则m=(B)2

C.　　D.233

2

A.　　B.

考题9　(全国卷Ⅱ文科)双曲线

2=1的

4

-

2

9

=1

)已知双曲线x2-考题4　(全国卷Ⅲ

的渐近线方程是(C)

A.y=C.y=焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF1MF20,则点M到x轴的距离为(C)

A.

x　　B.y=x39x　　D.y=x24

2-2

ab

2

2

B.　　C.　　D.333

)设椭圆的两个焦点分别为考题5　(全国卷Ⅲ

F1、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若

考题10　(福建)已知F1、F2是双曲线

=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段F1F2为边作正

△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是

(D)

A.

三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是(D)

A.4+2　　B.-1C.

　B.　C.2-22

　D.-1

考题6(福建文科)已知定点A、B且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值

是(C)

A.

D.+12

2-2=1(a>0,ab

2

2

考题11　(山东)设双曲线

B.　　C.　　D.5222

b>0)的右焦点为F,右准线l与两条渐近线交于P、Q两点,如果△PQF是直角三角形,则双曲线的

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中学数学杂志(高中)　2006年第1期离心率e=

.(答案:)

2

2

51

指数0.55.

)已知双曲线考题17　(全国卷Ⅰ

2

考题12　(湖南)已知双曲线2-2=1(a>

ab

2

=2-y

a

2

0,b>0)的右焦点为F,右准线与一条渐近线交于

1(a>0)的一条准线与抛物线y=-6x的准线重

点A,△OAF的面积为线的夹角为(D)

2

2

(O为原点),则两条渐近

合,则该双曲线的离心率为(D)

A.

　B.　C.　D.2223

A.30°　B.45°　C.60°　D.90°

考题18　(辽宁),离

2

)已知双曲线考题13　(全国卷Ⅱ

6

-

2

3

=1

24x的准,y2(B)

.　　B.

的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF1⊥x轴,则F1到直线F2M的距离为(C)

A.

2

2

B..56

C.18+12　　D.21

考题19　(湖北)双曲线-=1(mn≠0)

mn

(重庆(填写所有正确选项的)序号).(答案:②③⑤

的离心率为2,有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点

重合,则mn的值为(A)

A.

①菱形　②有3条边相等的四边形③梯形　④平行四边形

⑤有一组对角相等的四边形

考题15　(江西)题中:A、B为两个定点,k为非零常数,|PA

|-|PB=k,则动点P的轨迹为双曲线;②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB,O为坐标原点,若O　　B.　　C.　　D.16833

2

考题20　(天津)设双曲线以椭圆

25

+

2

9

=1

长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双

曲线的渐近线的斜率为(C)

A.±2　B.(OAOB,则动点P的轨迹为椭圆;③方2

2

　C.　D.324

友情提示　圆锥曲线与圆锥曲线的位置关系类题目最能考查考生对圆锥曲线基本内容的掌握程度,攻克此类题的关键是搞清两圆锥曲线的交错位置意味着哪些基本参数值相等,然而在各自理论体系内分别计算.

考点四　以轨迹方程为考点,综合考查解析几

何中各种曲线(含直线)的位置关系,以及综合处理问题的能力.出题概率25%,难度指数0.50.

考题21　(上海)中,若定点

A(1,2)与动点P(x,y)满足OOA4,则点P

程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;④双曲线

25

-2

9

=1和椭圆

2

35

+y

2

=1有相同的焦点.其中真命题的序号为

(写出所有真命题的序号)(答案:③④)

2-2=1(a>0,ab

2

2

考题16　(浙江)过双曲线

b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交

于M、N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的

右顶点,则双曲线的离心率等于.(答案:

2)

的轨迹方程是.(答案:x+2y-4=0)

考题22　(广东)在平

友情提示　依据圆锥曲线的性质所作的运算

面直角坐标系xoy中,抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B

满足AO⊥BO(如图1所示).

(Ⅰ)求△AOB的重

是本章的基本功,各地高考题都要求考生能够熟练地进行有关长半轴(实半轴)长a、短半轴(虚半轴)长b、半焦距长c、离心率e及抛物线中的焦准距p等几何量之间的换算,并进而辐射到准线、渐近线等知识点.

考点三　考查圆锥曲线与圆锥曲线的位置关系,以及思维能力和运算能力.出题概率30%,难度

心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;

图1

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(Ⅱ)△AOB的面积是否存在最小值?若存在,

中学数学杂志(高中)　2006年第1期

x0x1+

请求出最小值;若不存在,请说明理由.

)设A(x1,y1),B(x2,y2),G(x,简解　(Ⅰ

y).则x=

=

x0x1+

|,同法cos∠BFP=

|,所以

3

,y=

∠PFA=∠PFB.

友情提示　依据曲线所满足的条件求出曲线的方程,并进而根据求得的方程研究曲线的性质是解析几何的主要内容,因此求轨迹方程是解析几何家族中的半边天.的关系,,考查综合,、思维能力.出题概35,难度指数0.35.

)已知椭圆的中心为坐标考题24　(全国卷Ⅰ原点O,焦点在x轴上,斜率为F

的直线交椭圆于A、B两点,OAOBa=(3,-1)共线.

(Ⅰ)求椭圆的离心率;

Ⅱ)设M为椭圆上任意一点,且OMλOA22μOB,μ∈R),证明λ+μ为定值.

3

2

.由AO⊥BO得

2

x1x2+y1y2=-1,又y1=x1,y2=x2,代入前式

得x1x2=-1,所以y=

=

y+y3

(x12+x22)=3

2

[(x1+x2)-2x1x2]=×(3x)2+,故333

2

所求轨迹方程为y=3x+.

3

(Ⅱ)|AB|=(x1+2)=

2

2

k2

x2O |AB| d=2

k1以AOB=

2

,故当k=0,△AOB的面积有最小值1.

考题23　(江西)设抛物线C:y=x2的焦点为F,动点P在直线l:x-y-2=0上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.

(Ⅰ)求△APB的重心G的轨迹方程;(Ⅱ)证明∠PFA=∠PFB.

)设切点A(x0,x02)、简解　(ⅠB(x1,

x1)(x1≠x0),则切线AP、BP的方程为:2x0x-y

2

)设椭圆方程为2+2=1(a>0,简解　(Ⅰ

abb>0),F(c,0),则直线AB方程为y=x-c,代入

22

化简得(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0.设

A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=

2

2

2

2

22,x1x2a+b

2

-x0

2

=0、2x1x-y-x1

xx2

=0,联立解得交点P的

x0x1.又xG坐标为xP=

2=

,yp=

=

===

=.由OAOB(x1+x2,y1+y2)22

a+b

与a共线,得3(y1+y2)+(x1+x2)=0又y1=x1

-c,y2=x2-c,所以x1+x2=c,即22=2a+b,解得离心率e=.23

(Ⅱ):由(Ⅰ)知椭圆方程为x2+3y2=

2

3b.设OM(x,y),而(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2

2

3x2

2

xP,yG

3

+x+xx3

2

=

(x+x)2-xx3

2

,故yP=-3yG+4xG,又点P在直线l

3

上,所以xG-(-3yG+4xG2)-2=0,故重心G的(4x2-x+2).轨迹方程为y=3

(Ⅱ)因为FA(x+x2

=(x0,x0-

+y2),所以x=λx1+μx2,y=λy1+μy2.因为M

2在椭圆上,所以(λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)=2222222

3b,即λ(x1+3y1)+μ(x2+3y2)+

),4

=

2

),FB(x1,x12-),所以,x0x1-4

||FAμ(x1x2+3y1y2)=3b2①.由(Ⅰ)x1+x2=2λ

a

2

,2

2

cos∠AFP=

x+x=

22

c,b=22c,x1x2=222a+b

222

=

=

)(x02-) x0+(x0x1-222

)|x0+(x0-4

2

c,所以x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-8

c)=4x1x2-3(x1+x2)c+3c=0,x1+3y1

2

2

2

=

2

3b,x2+3y2

222

=3b,代入①得λ+μ=1,故λ

222

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+μ为定值1.

2

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(Ⅱ)因为PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+

考题25　(江西文科)M是抛物线上y2=x上的一点,动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点,且MA=MB.

(Ⅰ)若M为定点,证明:直线EF的斜率为定值;

(Ⅱ)若M为动点,且∠EMF=90°,求△EMF重心G的轨迹方程.

)设M(y02,y0),ME的斜率为k(k简解　(Ⅰ

>0),则MF的斜率为-k,直线ME的方程为y-y0=k(x-y0),与抛物线联立消x得ky-y+0(-ky0)=0,解得yE=()

k

2

2

2

2

∠BAF1为钝角,要使△PF1F2为等腰三角形,须有

|PF1|=|F1F2|,即

|PF1|=c.设点F1到l的2

距离为d,由

c,解得e=

2

|PF1|=d==221+e2,故λ=1-e=,λ=时,333

△PF1F2.

山东)(x),且与

,以x=xE-xF

p>0.

(Ⅰ)求动圆圆心C的轨迹的方程;

=

(Ⅱ)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不

,于EF1-()2

k

2

+ky-()2-2

k

同点,直线OA和OB的倾斜角分别为α和β,当α,β

)时,证明直线AB变化且α+β为定值θ(0<θ<π恒过定点,并求出该定点的坐标.

)设M为动圆圆心,记(简解　(Ⅰ,0)为F,

2

=

(定值).=-2y0

2k

过点M作直线x=-

2

的垂线,垂足为N,由题意

(Ⅱ)当∠EMF=90°时,∠MAB=45°,k=1,

知:|MF|=|MN|,即动点M到定点F与定直线

x=-此时直线ME的方程为y-y0=x-y02,与抛物线联立解得E((1-y0)2,1-y0),同理可得F((1+

2

y0),-(1+y0)).设重心G(x,y),则有x=

2

的距离相等,所以点M的轨迹为抛物线,

轨迹方程为y2=2px(x>0).

(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2(否

),故直线AB方程为y=kx+b,与y2则α+β=π

=2px联立消去x得ky-2py+2pb=0,于是y1+y2=

k

2

x+x+x3=

=

2+3yy2

,y=-,消去y0得y

33

2

(x>).x-9273

,y1y2=

k

①.

考题26　(湖南)已知椭圆C:

2+2=1(a>ab

22

⑴当θ=α+β=

-y1y2

2

b>0)的左右焦点分别为F1、F2,离心率为e,直线l:y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A、B,M是直

yyπ

时,=1,即x1x22x1x2

2

线l与椭圆C,P是点F1关于直线l的对称点,设AMλAB(Ⅰ)证明λ=1-e2;(Ⅱ)确定λ的值,使得△PF1F2是等腰三角形.

)显然A、简解　(ⅠB的坐标分别为(-,0)、

e

=0,也即2

4p

2

-y1y2=0,所以y1y2=

4p,由①知

k

=4p,所以b=2pk,此时直线AB

2

(0,a).联立直线l与椭圆C的方程解得M(-c,).由AMλAB(-c+,)=λ(,a),即aeae-c=λee=λaa

2

2

2

2

的方程为y=kx+2pk,恒过定点(-2p,0);⑵当θπ≠时,由θ=α+β,得tanθ==21-tanαtanβ()θ=,则b2,将①式代入得:tanb-2pky1y2-4p

=

+2pk,此时直线AB的方程为y=kx+tanθtanθ

)=0,所以此时直tanθ

+2pk,即k(x+2p)-(y-,解得λ=1-e.

线AB恒过定点(-2p,

).综上略.tanθ

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)设A(x1,y1),B(x2,y2)考题30　(全国卷Ⅲ

友情提示　定值与定点问题是解析几何内容的一个传统专题,此类问题的综合性强、档次高,加之与向量等新内容的交汇使得题目颇有活力.探寻解题思路时要认准问题的所属类型,分清主要矛盾和次要矛盾,选好切入点和切入角度,并能娴熟地进行推理和运算

.

考点六　以范围与最值问题为考点,考查综合应用解析几何知识的能力,以及思维能力和运算能力.出题概率70%,难度指数0.25～0.45.

考题28　(福建)设a,b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最小值是(C)

A.-2B.-

两点在抛物线y=2x2上,l是AB的垂直平分线.

(Ⅰ)当且仅当x1+x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论;(Ⅱ)当直线l的斜率为2时,求l在y轴上截距的取值范围.

)F∈lΖ|FA|=|FBΖA、简解　(ⅠB两

.是x的平线,述于y1=

22

2

x2(x1+)x,因为x1

x,x1+x2=0.即当且仅当12=0时,l经过抛物线的焦点F.

(Ⅱ)设l的方程为y=2x+b,直线AB的方程

2

x+m,代入抛物线得2x+x-m=22+8m>0且x1+x2=-,即m>-44

-2

为y=-2

考题　(重庆)已知椭圆C1的方程为

4

+y

2

0,则Δ=

=1,双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶

点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.

(Ⅰ)求双曲线C2的方程;

(Ⅱ)若直线l:y=kx+与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点,且l与C2的两个交点A

(x1+x2).设N(x0,y0)是AB中点,则x0=

322=-,y0=+m,由N∈l得+m=-+816164

+m>,所以所求取值范围为(,+163232

2

b,故b=

和B满足OAOB6.(其中O为原点),求k的取值范围.

)设C2:2-2=1,则a2=4-1简解　(Ⅰ

ab

2

2

).∞

考题31　(上海)点A、B分别是椭圆

36

+

2

20

=

1长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭

=3,所以b=1,故C2的方程为

(Ⅱ)将y=kx+代入

2

2

2

3

-y

2

2

=1.

4

+y=1得(1+

圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.

(Ⅰ)求点P的坐标;(Ⅱ)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线

AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距

222

4k)x+8kx+4=0,故Δ1=16(4k-1)>0,

即k2>

①;同理直线与双曲线有两不同交点得14

且k23

222

-3k≠0且Δ2=36(1-k)>0,即k离d的最小值.

)设P(x,y,则点A(-6,0),F(0,　(Ⅰ

4),故A(x+6,y),(x-4,y),由PA⊥

PF得(x+6)(x-4)+y

2

<1②.设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA+xB=xB=OB6得xAxB2,xA 2,由OA1-3k1-3k+yAyB

=xAxB+(kxA+)(kxB+)=2

3k-1

2

2

=0,又

2

36

+

2

20

=1,解

得点P的坐标是(

,.22

(Ⅱ)直线AP:x-y+6=0,M(m,0)到AP

的距离是

<6,即k>

2

或k2<,结合①②得<k<1534

)15

.所以=|m-6|,又22

222

-6≤m≤6,所以m=2.又d=(x-2)+y=

2

或<k<1,故k的取值范围为(-1,-315

2(x-)+15,所以当x=时,d取得最小值

92215.

∪(-

)∪(,-,)∪(

3223,1).15

考题32　(广东)在平面直角坐标系中,已知矩

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形ABCD的长为2,宽为1,AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上,A点与坐标原点重合.将矩形折叠,使A点落在线段DC上.(Ⅰ)若折痕所在直线的斜率为k,试写出折痕所在直线的方程;(Ⅱ)求折痕的长的最大值.

)当k=0时,A点与D点重合,折痕简解　(Ⅰ

所在的直线方程y=;当k≠0时,将矩形折叠后

2A点落在线段CD上的点为G(a,1),则A与G关于

55

2(1-)是t的增函数,故当t=2,即k=±15+2t

,且≤SPMQN<2;当k=099

时,面积取最小值

时,MN为椭圆长轴,|MN|=2,|PQ|=,所以SPMQN=2.

综上,四边形PMQN的最大值为2,最小值为

.9

折痕所在的直线对称,有kOG k=-1,即a=-k故G(-k,1),段OGyk(x+

)ax2(a,(00)x0≠0)作斜率为k1,2C于A(x1,y1),

B(2y2)两点(P、A、B三点互不相同),且满足k2

=2

+λk1=0(λ≠0且λ≠-1).

(Ⅰ)求抛物线C;(Ⅱ)设直线AB上一点M,BMλMAy=+

2

2

+

2

.综上略.

(Ⅱ)当k=0时,折痕的长为2;当k≠0时,折

痕所在的直线与坐标轴的交点为N(0,

P(-,0),2ky

2

2

2

),

段PM的中点在y轴上;

(Ⅲ)当λ=1时,若点P坐标为(1,-1),求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围.

)由C的方程得y=ax2(a<0),焦简解　(Ⅰ

令=PN

2

=

23

,2

4k

则y′=

点坐标为(0,

),准线方程为y=-.

4a4a

22223

2k 4k 8k

,令4

16k

(Ⅱ)证明:设直线PA、PB的方程分别为y-y0

=k1(x-x0)、y-y0=k2(x-x0).将C的方程代

y′=0得k=-

,所以PNmax=<2,所以折痕216

入PA的方程得ax2-k1x+k1x0-y0=0,所以x1

+x0=

kkk,故x1=-x0;同理得x2+x0=,aaaλ-x0.而k2=-λk1,故x2=-k-aa1

的长度的最大值为2.

)P、考题33　(全国卷ⅡQ、M、N四点都在椭圆x+

2

2

2

=1上,F为椭圆在y轴正半轴上的点.已

即x2=

知,MFN,且M0.求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.

简解　由MN和PQ交于F(0,1),且PQ⊥MN,设PQ方程为y=kx+1,代入椭圆得(2+22

k)x+2kx-1=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则|

PQ|=

x0.设M(xM,yM),由BM=λMAxMλ=

1+λ

,故xM=

λ=-x0,即xM+x0

1+λ

=0.所以线段PM中点在y轴上.

(Ⅲ)因为点P(1,-1)在抛物线上,所以a=-2

)知x1=-k1-1,1,抛物线方程为y=-x.由(Ⅱ

1+k|x2-x1|==-2

2

2

.当k≠2

2+k

代入y=-x2得y=-(k1+1)2,同法得y2-(k2+1)2,于是A=k1+,k12+2k1),AB(2k1,4k1).由题意AAB=2k1(k1+2)+

2

4k1(k1+2k1)=2k1(k1+2)(2k1+1)<0,即k1

0时,kMN

k

,同法得|MN|=

2(1+(1-2+(-k

2

))

,故SPMQN=

)

2

|PQ||MN2

<-2或-

<k1<0.又点A的纵坐标y1满足y12

).4

4(2+k+|=

5+2k+

2

k

2

)

.令t=k+

2

2

=-(k1+1),故y1∈(-∞,-1)∪(-1,-

k

2

2

≥2,则SPMQN=考题35　(浙江)已知椭圆的中心在坐标原点,左、右焦点F1,F2在x轴上,长轴A1A2的长为

本课件系统介绍了高考圆锥曲线常用的方法,高考常考点,圆锥注意的问题等等

56

4(A1为左顶点),左准线l与x轴的交点为M,|MA1|:|A1F1|=2:1.

中学数学杂志(高中)　2006年第1期

A1(x1,0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距

离,…,点Pn+1(xn+1,2n)在抛物线Cn:y=x2+anx

+bn上,点An(xn,0)到Pn+1的距离是An到Cn上

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)若直线l1:x=m(|m|>1),P为l1上的

动点,使∠F1PF2最大的点P记为Q,求点Q的坐标(用m表示).

)设椭圆方程为2+2=1(a>b简解　(Ⅰ

ab

2

2

点的最短距离.

(Ⅰ)求x2及C1的方程;

(Ⅱ)证明{xn}是等差数列.

)x2=3,y=x2-7x+14.简解或提示　(Ⅰ

(Ⅱ)xn=21,.

>0),则2a=4,|MA1|=

2

-a,|A1F1|=ac

2

,、数学素养的要求较.题意,从错综复杂的几何关系中,抽象出具有数列性质的等量或不等量关系,然后用数列理论、数列方法来探索.

考点八　以探索型、开放性问题形式考查综合应用解析几何、向量、不等式等知识解决问题的能力,以及推理能力、运算能力、创新意识和个性品质.出题概率40%,难度指数0.40.

考题37　(福建)已知方向向量为v=(1,)的直线l过点(0,-2)和椭圆C:

2+2=1(aab

2

2

222

-c,故-a=2(a-c),又a=b+c,c

=2,b=,c2

2

3

=((,y.当0=0,∠F1PF2=0;

当y0≠<∠F1PF2<∠PF1M<直线PF1与PF2的斜率分别为k1=

m-1

π

.此时2

,k2=|=

m+1

,故tan∠F1PF2=|

1+k2k1

2

y0|=22,当且仅当|

m-1+y0

m-1时,

∠F1PF2最大,此时Q(m,±m-1)|m|>1.

2

>b>0)的焦点,且椭圆C的中心关于直线l的对称

友情提示　处理解析几何中的范围与最值问题的关键是建立不等式,高考题中的不等式的建立方法有:(1)据一元二次方程根的判别式产生不等式,如考题29、30;(2)建立函数关系,由函数单调性或最值理论产生不等式,如考题31、32、33;(3)用向量的各种运算的坐标表示产生不等式,如考题34;(4)用基本不等式产生不等式,如考题35;(5)结合参数方程,利用参数的几何意义或三角的有界性产生不等式,如考题28;(6)用圆锥曲线中的固有范围产生不等式;如考题31;(7)结合定义、圆锥曲线的光学性质,利用图形中几何量之间的大小关系(如三角形两边之差(和)不大(小)于第三边)产生不等式.

考点七　以曲线上的点列为考点,考查综合应用解析几何、数列及导数等知识解决问题的能力,以及考查思维能力、运算能力和想像能力.出题概率

10%,难度指数0.35.

点在椭圆C的右准线上.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)是否存在过点E(-2,0)的直线m交椭圆C于点M、N,满足OMON3

∠MON≠

0.(O为原点).若存在,求直线m的方程;若不存在,

请说明理由.

)直线l的方程为:y=x-2,简解　(Ⅰ

),所以=3,

c

2

原点关于直线l的对称点是(3,-2

2

又l过椭圆的焦点,所以c=2,a2=6,b2=2,故椭圆方程为

6

+

2

=1.

33

∠MON,即|OM|,即S△OMN=

3

设

(Ⅱ)OMONONsin∠MON=

考题36　(浙江)设点An(xn,0),Pn(xn,2

2

n-1

)

M(x1,y1),N(x2,y2),当直线m不垂直于x轴时,

和抛物线Cn:y=x2+anx+bn(n∈N3),其中an

=-2-4n-n-1

方程设为y=k(x+2),代入椭圆得(3k2+1)x2+

12kx+12k-6=0,则x1+x2=-,x1x22

3k+1

2

2

22=,故|MN|=,而O到直线22

3k+13k+1

2

,xn由以下方法得到:x1=1,点

2

P2(x2,2)在抛物线C1:y=x+a1x+b1上,点

本课件系统介绍了高考圆锥曲线常用的方法,高考常考点,圆锥注意的问题等等

中学数学杂志(高中)　2006年第1期

MN的距离d=

57

3

(Ⅲ)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,

+k

2

,所以|MN| d=,

使△F1MF2的面积S=b2?若存在,求∠F1MF2的正切值;若不存在,请说明理由.

)由椭圆的第二定义或两点间的距简解　(Ⅰ离公式可得(略).

(Ⅱ)设(x,y),当|=0(±a,0)迹上;当|PT≠0时,由PTTF2|PQ=|

PF2得T为线段F2Q的中点.1F2中,|QT解得k=3-

;当直线m⊥x轴时也满足S△OMN=3

x+,或y=-x333

,故m的方程为y=,或x=-2.3

22

考题38　(湖北)设A、B是椭圆3x+y=λ上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的

2

|1|=,Cx+2

2

垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.

(Ⅰ)确定的取值范围,并求直线;

(Ⅱ)A、.

(Ⅲ)M(x0,y0)使S=b2的充要条

2

2c|y0|=b,由①2

.

)设x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程作差得:kAB=-3(x+x)

,由N是线段AB

y1+y2

件是x02+y02=a2①且

2

|y0|≤a,故≤a时,即0<e≤时,存在

c2

的中点,得x1+x2=2,y1+y2=6,所以kAB=-1,故直线AB的方程为x+y-4=0;又N在椭圆内,

22

所以3 1+3<λ,所以λ的取值范围是(12,+

).∞

(Ⅱ)直线的方程为x-y+2=0,代入椭圆得4x+4x+4-λ=0,则xC+cD=-1,故CD中点M(-2

点M使S=b2.因为kF1M=

yx0-c

x0+c

,kF2M=

,由|F1F2|<2a知∠F1MF2<90°,kFM-kFM

tan∠F1MF2=|

1+kF1MkF2M

|=2.

友情提示　以趣味性、灵活性、深奥性和综合性著称的解析几何探索性、开放性问题给考生得高分带来很大的困难.其实,不断重温“死马当活马医”的故事是突破求解此类题瓶颈的秘密武器.

考点九　以解析几何基础知识为平台命制创新性问题,考查创新意识和个性品质,以及综合处理问题的能力.出题概率25%,难度指数0.60～0.45.

)设l为平面上过点(0,1)考题40　(全国卷Ⅲ的直线,l的斜率等可能地取-2,-,-,0,2

,).由弦长公式得22

(λ-3),|AB|=

2(λ-12).当λ>

|CD|=

12时,|CD|>|AB|,若A、B、C、D四点共圆,则CD必为圆的直径,点M为圆心.而M到直线AB的

距离为d=,所以|MA|

2(

2

=|MB|

2

=d+

2

2λ-122

)=),故当λ>12+=(2222

为半径的2

2

时,A、B、C、D四点在以M为圆心,圆上.

,,2,用ξ表示坐标原点到l的距离,则随机变2

考题39　(辽宁)已知椭圆2+2=1(a>b

a

b

2

ξ=量ξ的数学期望E.(答案:

)7

友情提示　解析几何创新题的主要类型有:新的知识载体型、新的知识交汇型、新的设问型、新的解题入口型.解决这类题时要综合应用所学数学知识、思想和方法理解陈述的材料;透过现象看本质,进行必要、及时的信息迁移;并能用数学语言正确地表述和演绎.

考点十　以解析几何知识为背景命制应用性题目,考查建立简单数学模型解决实际问题的实践能力.出题概率20%,难度指数0.55.

>0)的左、右焦点分别是1(-c,0)、F2(c,0),Q是

椭圆外的动点,满足|F1=2a,点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足PT TF20,|TF2≠0.

(Ⅰ)设x为点P的横坐标,证明|F1=a+x;a

(Ⅱ)求点T的轨迹C的方程;

本课件系统介绍了高考圆锥曲线常用的方法,高考常考点,圆锥注意的问题等等

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中学数学杂志(高中)　2006年第1期

考题41　(天津)某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔,如图所示,塔高BC

=80(米),塔所在的山高OB=220(米),OA

=200(米),图中所示的

利

润

产品

甲乙

图2

等级

一等

5(万元)2.5(万元)

二等

2.5(万元)1.5(万元)

山坡可视为直线l且点P在直线l上,l与水平地面的夹角为α,tanα=

,试问此人距水平地面多高2

)已知生产一件产品需用的工人数和资金额如　　(Ⅲ

表三所示.该工厂有工人40名,可用资金万元.设x、

,x、y乙产品的数量ξ?y,zxE?

时,观看塔的视角∠BPC最大(不计此人的身高简解　以O为原点,x、yx坐标系l甲乙

目

工人(名)

82

资金(万元)

810

设x2

)(x>200),又kPC=

)P甲=0.8×　　简解　(Ⅰ0.85=0.68,P乙=0.75×0.8=0.6.

(Ⅱ)随机变量ξ、η的分布列是:

k-k,kPB=,故tan∠BPC=2x2x1+kPBkPC

=x+

x

(x>200).-288x

ξ

P

50.682.50.6

2.50.321.50.4

因为x+

-288≥2160×640-

η

P

288,所以当x=320时,tan∠BPC最大,∠BPC最

大,此时y=

=60.

2

故当此人距水平地面60米高时,观看铁塔的视角∠BPC最大.

考题42　(辽宁)某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都是经过第一和第二工序加工而成,两道工序的加工结果相互独立,每道工序的加工结果均有

A、B两个等级.对每种产品,两道工序的加工结果

都为A级时,产品为一等品,其余均为二等品.

(Ⅰ)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结

ξ=5×0.68+2.5×0.32=4.2,Eη=　　所以E

2.5×0.6+1.5×0.4=2.1.

(Ⅲ)由题设知5x+10y≤608x+2y≤40

,目标

x≥0y≥0

ξ+yEη=函数为z=xE

4.2x+2.1y,可行域如右图:作直线l:4.2x+2.1y=0,将l向右上方图3平移至l1位置时,直线

经过可行域上的点M,此时z=

5x+10y=60

4.2x+2.1y取最大值.得x=4,

8x+2y=40

y=4时,z取最大值25.2.

友情提示　如果说考题四十二这种建立不等式模型的应用题是循规蹈的解析几何应用的经典之作,那么考题四十三以相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划为模型的解析几何应用是不折不扣的时尚一族了.“老内容”与“新知识”的牵手是新教材高考的新动向,日常教学中刻意追求知识的交汇是值得的、应该的和必要的.

果为A级的概率如表一所示,分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙;

概

率

产品

甲

乙

0.80.75

0.850.8

工序

第一工序

第二工序

)已知一件产品的利润如表二所示,用ξ、η　　(Ⅱ

)的条件下,分别表示一件甲、乙产品的利润,在(Ⅰ

η的分布列及Eξ、η;求ξ、E

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/exyl.html