2011高考数学知识点一本全

高中数学 知识点精析

2. 圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是

(x?a)2?(y?b)2?r2.

特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2?y2?r2.

注：特殊圆的方程：①与x轴相切的圆方程(x?a)2?(y?b)2?b2

[r?b,圆心(a,b)或(a,?b)]

②与y轴相切的圆方程(x?a)2?(y?b)2?a2 [r?a,圆心(a,b)或(?a,b)] ③与x轴y轴都相切的圆方程(x?a)2?(y?a)2?a2 [r?a,圆心(?a,?a)] 3. 圆的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0 .

DE?当D?E?4F?0时，方程表示一个圆，其中圆心C?半径r???,??，

2??222D2?E2?4F2.

当D2?E2?4F?0时，方程表示一个点????x?a?rcos??y?b?rsin?DE?,??. 22??当D2?E2?4F?0时，方程无图形（称虚圆）. 注：①圆的参数方程：?（?为参数）.

②方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆的充要条件是：B?0且A?C?0且

D2?E2?4AF?0.

③圆的直径或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)?(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0（用向量可征）.

4. 点和圆的位置关系：给定点M(x0,y0)及圆C:(x?a)2?(y?b)2?r2. ①M在圆C内?(x0?a)2?(y0?b)2?r2

（x0?a)2?(y0?b)2?r2 ②M在圆C上?③M在圆C外?(x0?a)2?(y0?b)2?r2 5. 直线和圆的位置关系：

设圆圆C：(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0)； 直线l：Ax?By?C?0(A2?B2?0)；

— 1 — 高中数学知识点精析

圆心C(a,b)到直线l的距离d?①d?r时，l与C相切；

Aa?Bb?CA?B22.

22??x?y?D1x?E1y?F1?0?相减为公切线方程. 附：若两圆相切，则?22??x?y?D2x?E2y?F2?0②d?r时，l与C相交；

附：公共弦方程：设 C1:x2?y2?D1x?E1y?F1?0 22C2:x?y?D2x?E2y?F2?0有两个交点，则其公共弦方程为(D1?D2)x?(E1?E2)y?(F1?F2)?0. ③d?r时，l与C相离.

22??x?y?D1x?E1y?F1?0?相减为圆心O1O2的连线的中与附：若两圆相离，则?22??x?y?D2x?E2y?F2?0线方程.

??(x?a)2?(y?b)2?r2 由代数特征判断：方程组?用代入法，得关于x（或y）的

?Ax?Bx?C?0?一元二次方程，其判别式为?，则：

??0?l与C相切； ??0?l与C相交； ??0?l与C相离.

注：若两圆为同心圆则x2?y2?D1x?E1y?F1?0，x2?y2?D2x?E2y?F2?0相减，不表示直线.

6. 圆的切线方程：圆x2?y2?r2的斜率为k的切线方程是y?kx?1?k2r过圆

x2?y2?Dx?Ey?F?0

上一点P(x0,y0)的切线方程为：x0x?y0y?Dx?x0y?y0?E?F?0. 22①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地，过圆

x2?y2?r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x?y0y?r2.

?y1?y0?k(x1?x0)?b?y1?k(a?x1)，联立求出k?切线方②若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则?R??R2?1?程.

7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：

— 2 — 高中数学知识点精析

AABCD四类共圆. 已知?O的方程x2?y2?Dx?Ey?F?0…① 又以ABCD为圆为方程为(x?xA)(x?a)?(y?yA)(x?b)?k2…②

(xA?a)2?(yA?b)2…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求. R?42

第四部分 三角函数

1. ①与?（0°≤?＜360°）终边相同的角的集合（角?与角?的终边重合）：

▲??|??k?360??,k?Z?

?y2sinx1cosxcosx②终边在x轴上的角的集合： ??|??k?180,k?Z?

?3sinx4cosxcosx③终边在y轴上的角的集合：??|??k?180?90,k?Z?

??x④终边在坐标轴上的角的集合：??|??k?90?,k?Z? ⑤终边在y=x轴上的角的集合：??|??k?180?45,k?Z? ??1sinx2sinx34⑥终边在y??x轴上的角的集合：??|??k?180??45?,k?Z?

SIN\\COS三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域⑦若角?与角?的终边关于x轴对称，则角?与角?的关系：??360?k?? ⑧若角?与角?的终边关于y轴对称，则角?与角?的关系：??360?k?180??? ⑨若角?与角?的终边在一条直线上，则角?与角?的关系：??180?k?? ⑩角?与角?的终边互相垂直，则角?与角?的关系：??360?k???90? 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2? 180°=? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

3. 三角函数的定义域： 三角函数 定义域 ?x|x?R? f(x)?sinx f(x)?cosx ?x|x?R? — 3 — 高中数学知识点精析

f(x)?tanx f(x)?cotx f(x)?secx f(x)?cscx 1???x|x?R且x?k???,k?Z? 2???x|x?R且x?k?,k?Z? 1???x|x?R且x?k???,k?Z? 2???x|x?R且x?k?,k?Z? 4. 三角函数的公式： （一）基本关系

公式组一公式组二 公式组三 sinx·cscx=1tanx=sinxcosxsin2x+cos2x=1 cos tan x 222k(??x)?tanxx=cosx·secx=11+tanx=secxsinxco2tk(??x)?coxttanx·cotx=1 1+cot2x=csc2x

sin(2k??x)?sinxcos2k(??x)?coxssin(?x)??sinxcos(?x)?cosxtan(?x)??tanx

cot(?x)??cotx

公式组四 公式组五 公式组六 sin(??x)??sinxcos(??x)??cosxtan(??x)?tanxcot(??x)?cotxsin2?(?x)??sinxcos2?(?x)?coxsco2t?(?x)??coxtsin?(?x)?sinxco?s(?x)??coxsco?t(?x)??coxt tan?(?x)??tanx 2?(?x)??tanx tan（二）角与角之间的互换

公式组一 公式组二

2??2sin?co?s cos(???)?cos?cos??sin?sin? sincos(???)?cos?cos??sin?sin?co2s??co2s??si2n??2co2s??1?1?2si2n? sin(???)?sin?cos??cos?sin? tan2??2ta?n1?tan?2

— 4 — 高中数学知识点精析

sin(???)?sin?cos??cos?sin? sin??2?1?co?s2

tan(???)?tan??tan?1?tan?tan?tan??tan?1?tan?tan? cos??2?1?co?s2tan(???)? tan ? ??1?cos??sin??1?cos?21?cos?1?cos?sin?公式组三 公式组四 公式组五 1?sin??????sin??????22tan12 sin??cos?sin???sin??????sin???????21?tan221cos?cos???cos??????cos??????22?11?tan?cos??????cos??????sin?sin???2 cos??2???????1?tan2sin??sin??2sincos222??????sin??sin??2cossin?222tan??????2 cos ??cos??2coscostan??22?1?tan2??????cos??cos???2sinsin222?sin?cos??6?2,sin75??cos15??41cos(???)?sin?21sin(???)?cos?21tan(???)?cot?21cos(???)??sin?21tan(???)??cot?21sin(???)?cos?2sin15??cos75??6?2,tan15??cot75??2?3,tan75??cot15??2?3. 45. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： y?sinx y?cosxy ?tanx定义域 值域 R [?1,?1] y?cotxR [?1,?1] 1???x|x?R且x?k???,k?Z?2?? ?x|x?R且x?k?,k?Z?R ? （A、?＞0） R y?Asin??x???R ? ??A,A? 2?周期性 2? 奇偶性 奇函数 2? ? 偶函数 奇函数 奇函数 当??0,非奇非偶 当??0,奇函数 单调性 [??2?2k?,[?2k?1??,2k?]??；???k?,?k???22????k?,?k?1???上为减?2?2k?]上为增函上为增函数函数（k?Z） 数（k?Z） 上为增函[2k?, 数；?2k?1??]上为减函数 （k?Z） ??2k?????2k?????2(A),????1?????2(?A)???????上为增函数； — 5 — 高中数学知识点精析

[?2k?,23??2k?]2? 上为减函数（k?Z） 对称性 对称轴为对称轴为无对称轴， 无对称轴， x?k?，对称中心为对称中心为 ?x?k??2对称中心k?k?(,0) k?Z(,0) k?Z 22，对称中为 心为?(k????2k?????2k?????2(A),????3?????2(?A)???????上为减函数（k?Z） 对称轴是直线 ?x???k???2(k?Z)(k?,0) ， k?Z2,0)凡是该图象与直线 y?0的交点都是 k?Z ▲该 图象的对称中心 注意：①y??sinx与y?sinx的单调性正好相反；y??cosx与y?cosx的单调性也同样相反.一般地，若y?f(x)在[a,b]上递增（减），则y??f(x)在[a,b]上递减（增）. ②y?sinx与y?cosx的周期是?.

?x??)或y?cos(?x??)（??0）的周期T?③y?sin(y?tanx22?Oxy?.

的周期为2?（T????T?2?，如图，翻折无效）.

?oc?x??)?x??)的对称轴方程是x?k??（k?Z）④y?sin(，对称中心（k?,0）；y?(s2的对称轴方程是x?k?（k?Z），对称中心（k??1?,0）；y?na(t2?x??)的对称中

心（

k?,0）. 2??y?cos2x?原点对称????y??cos(?2x)??cos2x

tan??1,????k??(k?Z)；tan?·tan???1,????k??(k?Z). ⑤当tan?·

22??⑥y?cosx与y?sin??x??2k??是同一函数,而y?(?x??)是偶函数，则

?2?1y?(?x??)?sin(?x?k???)??cos(?x).

2⑦函数y?tanx在R上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，y?tanx为增函数，同样也是错误的].

— 6 — 高中数学知识点精析

⑧定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：

f(?x)?f(x)，奇函数：f(?x)??f(x)）

奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：y?tanx是奇函数，y?tan(x?1?)是非奇非

3偶.（定义域不关于原点对称）

奇函数特有性质：若0?x的定义域，则f(x)一定有f(0)?0.（0?x的定义域，则无此性质）

▲⑨y?sinx不是周期函数；y?sinx为周期函数（T??）； ；y?cosxy?cosx是周期函数（如图）

1y?cos2x?2y▲yx1/2x为周期函数（T??）； y=cos|x|图象的周期为?（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：

y=|cos2x+1/2|图象y?f(x)?5?f(x?k),k?R.

⑩y?acos??bsin??a2?b2sin(???)?cos?? 有a2?b2?y.

第五部分 向量与解三角形

1. 长度相等且方向相同的两个向量是相等的量.

注意：①若a,b为单位向量，则a?b. （?） 单位向量只表示向量的模为1，并未指明向量的方向.

????②若a?b，则a∥b. （√）

2. ①???a?=????a ②?????a??a??a ③??a?b???a??b

?????ba????????④设a??x1,y1?,b??x2,y2?,??R a?b??x1?x2,y1?y2? a?b??x1?x2,y1?y2?

????22?a???x1,?y2? a?b?x1x2?y1y2 a?x1（向量的模，针对向量坐标求?y1????模）

⑤平面向量的数量积：a?b?a?bcos? ⑥a?b?b?a ⑦

?????a??b???a?b??a???b? ???????⑧a?b?c?a?c?b?c

?????????????????????a注意：①a?b?c?a?b?c不一定成立；?b?b?c??????a?c.

— 7 — 高中数学知识点精析

②向量无大小（“大于”、“小于”对向量无意义），向量的模有大小.

???③长度为0的向量叫零向量，记0，0与任意向量平行，0的方向是任意的，零

??向量与零向量相等，且?0?0. ④若有一个三角形ABC，则

??0；此结论可推广到n边形.

?⑤若ma?na（m,n?R），则有m?n. （?） 当a等于0时，ma?na?0，而m,n不一定相等.

a=|a|2，|a|=a2（针对向量非坐标求模）⑥a·，|a?b|≤|a|?|b|. ?????????????????????aa?0a?b?0b?0b⑦当时，由不能推出，这是因为任一与垂直的非零向量，都

??b=0. 有a·

⑧若a∥b，b∥c，则a∥c（×）当b等于0时，不成立.

3. ①向量b与非零向量使得b??a（平．．．．a共线的充要条件是有且只有一个实数?，行向量或共线向量）.

当??0,a与b共线同向：当??0,a与b共线反向；当向量共线.

注意：若a,b共线，则a??b （×）

若c是a的投影，夹角为?，则cos??a?c，cos??a?c （√）

??②设a=?x1,y1?，b??x2,y2?

??a∥b????b则为0,0与任何

?x1y2?x2y1?0?a??b?a?b?a?b

??a⊥b?a?b?0?x1x2?y2y1?0

③设A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?，则A、B、C三点共线?（??0） ?（x2?x1,y2?y1）=?（x3?x1,y3?y1）·（y3?y1）=（x3?x1）·（y2?y1） ?（x2?x1）

??④两个向量a、b的夹角公式：

cos??x1x2?y1y22222x1?y1?x2?y2∥

?=?（??0）

?y1??y2⑤线段的定比分点公式：（??0和?1） 设 推广

?y?????1??P1P=?PP2（或P2P=1PP1）（x1,y1）,(x,y),(x2,y?，且P1,P,P2的坐标分别是2)，则

y?y2?y?1??2??x?x1?x2 1：当??1时，得线段P1P2的中点公式：?2?BM?x?x1??x2?1???A — 8 — 高中数学知识点精析

P1图

推广2：AM??则PM?PA??PB（?对应终点向量）.

MB1??三角形重心坐标公式：△ABC

x?x2?x3?x?1??3???xy2??y,y的顶点A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?，重心坐标：3 ?y?y1G?3?注意：在△ABC中，若0为重心，则OA?OB?OC?0，这是充要条件. ⑥平移公式：若点

?P?x,y?按向量a=?h,k?平移到

P

‘?'??x?x?h x,y，则?'??y?y?k''?4. ?正弦定理：设△ABC的三边为a、b、c，所对的角为A、B、C，则

abc???2R. sinAsinBsinC?a2?b2?c2?2bccosA?222?余弦定理：??b?a?c?2accosB

?2c?b2?a2?2abcosC??A?B2?正切定理：a?b?A?Ba?btan2tan

?三角形面积计算公式：

设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r.

①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R ④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△=P?P?a??P?b??P?c? [海伦公式]

⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb

[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.

A如图： 图1中的I为S△ABC的内

Acb心， S△=Pr

a c D F b B E C A 图2中的I为S△ABC的一

DrFcI个旁心，S△=1/2rCrBbaEO（b+c-a）ra IA C a B

E F

图2 C 图3

N图4 B附：三角形的五个“心”；

aaa — 9 — 高中数学知识点精析

重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.

旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.

?已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s为△ABC的半周长,即

a?b?c] 2则：①AE=s?a=1/2（b+c-a） ②BN=s?b=1/2（a+c-b） ③FC=s?c=1/2（a+b-c）

综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）. 特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=

a?b?cab（如图3）. ?2a?b?ctanA?tanB??tanC，?结

1?tanAtanB?在△ABC中，有下列等式成立tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC. 证明：因为A?B???C,所以tan?A?B??tan???C?，所以论！

?在△ABC中，D是BC

AC2BD?AB2BC?BD?DC. 上任意一点，则AD?BC2证明：在△ABCD中，由余弦定理，有AD2?AB2?BD2?2?AB?BDcosB?① 在△ABC

AB2?BC2?AC2?②，②代入①，化简 中，由余弦定理有cosB?2AB?BC2AAC2BD?AB2BC?BD?DC（斯德瓦定理） 可得，AD?BCB图5①若AD是BC上的中线，ma?②若AD是∠A的平分线，ta?③若AD是BC上的高，ha??△ABC的判定：

2a12b2?2c2?a2； 2DC2bc?p?p?a?，其中p为半周长； b?cp?p?a??p?b??p?c?，其中p为半周长.

c2?a2?b2?△ABC为直角△?∠A + ∠B =?

2c2＜a2?b2?△ABCc2＞a2?b2?△ABC

为钝角△?∠A + ∠B＜为锐角△?∠A + ∠B＞

? 2? 2a2?b2?c2附：证明：cosC?2ab，得在钝角△ABC中，cosC?0?a2?b2?c2?0,?a2?b2?c2

?平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.

a?b2?a?b2?2(a2?b2)

— 10 — 高中数学知识点精析

第六部分 数列

1. ?等差、等比数列： 等差数列 an?1?an?d 定义 递推公式 通项公式 中项 an?an?1?d等比数列 an?1?q(q?0) an；an?am?n?md an?an?1q；an?amqn?m an?a1?(n?1)dan?a1qn?1（a1,q?0） A?an?k?an?k2G??an?kan?k(an?kan?k?0)（n,k?N*,n?k?0） 前n项和 Sn?n(a1?an) 2（n,k?N*,n?k?0） ?na1(q?1)?Sn??a11?qn a1?anq?(q?2)?1?q?1?qn(n?1)Sn?na1?d 2??重要性 质 *am?an?ap?aq(m,n,p,q?N*,m?n?p?q) am?an?ap?aq(m,n,p,q?N, m?n?p?q)?看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①an?an?1?d(n?2,d为常数) ②2an?an?1?an?1(n?2) ③an?kn?b(n,k为常数).

?看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①an?an?1q(n?2,q为常数,且?0)

① 2②an?an?1?an?1(n?2，anan?1an?1?0)

注①：i. b?ac，是a、b、c成等比的双非条件，即b?ac列.

ii. b?ac（ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要. iii. b??ac→为a、b、c等比数列的必要不充分. iv. b??ac且ac?0→为a、b、c等比数列的充要.

a、b、c等比数

— 11 — 高中数学知识点精析

注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.

③an?cqn(c,q为非零常数).

④正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}（x?1）成等比数列. ?数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：an??11

s?s(n?2)n?1?n[注]： ①an?a1??n?1?d?nd??a1?d?（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d不为0，则是等差数列充分条件）.

d?2?d?d②等差{an}前n项和Sn?An2?Bn????n??a1??n →可以为零也可不为零→

?2??2??s?a(n?1)2为等差的充要条件→若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件. ③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比．．数列）

2. ①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍

Sk,S2k?Sk,S3k?S2k...；

②若等差数列的项数为2n?n?N??，则S偶?S奇?nd，S奇S偶?anan?1；

?n n?1③若等差数列的项数为2n?1?n?N??，则S2n?1??2n?1?an，且S奇?S偶?an，S奇

?代入n到2n?1得到所求项数.

S偶

n?n?1? 23. 常用公式：①1+2+3 ?+n =②12?22?32??n2?③13?23?33?n3???n?n?1??2n?1?

62n?n?1??? ?2?[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…?an?10n?1； 5，55，555，…?an??10n?1?.

594. 等比数列的前n项和公式的常见应用题：

?生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为1?r. 其中第n年产量为a(1?r)n?1，且过n年后总产量为：

a?a(1?r)?a(1?r)?...?a(1?r)2n?1a[a?(1?r)n]?. 1?(1?r) — 12 — 高中数学知识点精析

?银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为a(1?r)n元. 因此，第二年年初可存款：

a(1?r)12?a(1?r)?a(1?r)1110a(1?r)[1?(1?r)12]. ?...?a(1?r)=

1?(1?r)?分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；r为年利率.

a?1?r??x?1?r?mm?1?x?1?r?m?2?......x?1?r??x?a?1?r?mx?1?r?m?1ar?1?r?m ??x?r?1?r?m?15. 数列常见的几种形式：

?an?2?pan?1?qan（p、q为二阶常数）?用特证根方法求解.

具体步骤：①写出特征方程x2?Px?q（x2对应an?2，x对应an?1），并设二根x1,x2②

nn若x1?x2可设an.?c1xn1?c2x2，若x1?x2可设an?(c1?c2n)x1；③由初始值a1,a2确定

c1,c2.

?an?Pan?1?r（P、r为常数）?用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为an?2?Pan?1?qan的形式，再用特征根方法求an；④an?c1?c2Pn?1（公式法），c1,c2由a1,a2确定.

①转化等差，等比：an?1?x?P(an?x)?an?1?Pan?Px?x?x?②选代法：an?Pan?1?r?P(Pan?2?r)?r???an?(a1??Pn?1a1?Pn?2?r???Pr?r.

r. P?1rr)Pn?1??(a1?x)Pn?1?x P?1P?1③用特征方程求解：

an?1?Pan?r?（P?1）an?Pan?1. ?an?1?an?Pan?Pan?1?an?1??相减，an?Pan?1?r?④由选代法推导结果：c1?rrrr. ，c2?a1?，an?c2Pn?1?c1?（a1?）Pn?1?1?PP?1P?11?P6. 几种常见的数列的思想方法：

?等差数列的前n项和为Sn，在d?0时，有最大值. 如何确定使Sn取最大值时的

n值，有两种方法：

— 13 — 高中数学知识点精析

一是求使an?0,an?1?0，成立的n值；二是由Sn?n2?(a1?)n利用二次函数的性质求n的值.

?如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：

1111?,3,...(2n?1)n,... 242d2d2?两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.

第七部分 不等式

1. ?平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：

a2?b2a?b2（当

??ab?1122?aba = b时取等）

2222a?ba?ba?ba?b22特别地，ab?(（当a = b时，()?)??ab）

2222a2?b2?c2?a??b?c????(a,b,c?R,a?b?c时取等) 33??21(a1?a2?...?an)2 n?含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）： ①a3?b3?a2b?ab2

22?...?an??幂平均不等式：a12?a2②a3?b3?c3?3abc?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?ac?bc)

； ?a3?b3?c3?3abc（a?b?c?0等式即可成立，a?b?c或a?b?c?0时取等）

3333a?b?ca?b?c?3a?b?c?abc? ?abc????333??1ab?ba?ac?(a??b?c)2（a?b?c时取等）

3?绝对值不等式：

a1?a2?a3?a1?a2?a3a?b?a?b?a?b(ab?0时,取等)

a1?a2???ann?a1a2?ann?算术平均≥几何平均（a1、a2…an为正数）：（a1=a2…=an时取等）

?柯西不等式：设ai,bi?R(i?1,2,?,n),则

22222(a1b1?a2b2???anbn)2?(a2?a???a)(b?b???b12n12n)

— 14 — 高中数学知识点精析

等号成立当且仅当

aa1a2????n时成立.（约定ai?0时，bi?0） b1b2bn例如：(ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2). ?常用不等式的放缩法：①1?1?nn?111111?2???(n?2) n(n?1)nn(n?1)n?1n②n?1?n?1n?n?1?12n?1n?n?1?n?n?1(n?1)

2. 常用不等式的解法举例（x为正数）： ①x(1?x)2??2x(1?x)(1?x)?()3?221212234 272x2(1?x2)(1?x2)123423②y?x(1?x)?y? ?()??y?223279类似于y?sinxcos2x?sinx(1?sin2x) ③|x?1|?|x|?|1|(x与1同号，故取等)?2

xxx

第八部分 导数

1. 导数（导函数的简称）的定义：设x0是函数y?f(x)定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量?x，则函数值y也引起相应的增量?y?f(x0??x)?f(x0)；比值

?yf(x0??x)?f(x0)称为函数y?f(x)在点x0到x0??x之间的平均变化率；如果极??x?x限limf(x0??x)?f(x0)?y存在，则称函数y?f(x)在点x0处可导，并把这个?lim?x?0?x?x?0?x极限叫做y?f(x)在x0处的导数，记作f'(x0)或y'|x?x0，即

f'(x0)=limf(x0??x)?f(x0)?y. ?lim?x?0?x?x?0?x注：①?x是增量，我们也称为―改变量‖，因为?x可正，可负，但不为零. ②以知函数y?f(x)定义域为A，y?f'(x)的定义域为B，则A与B关系为A?B. 2. 函数y?f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系：

?函数y?f(x)在点x0处连续是y?f(x)在点x0处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果y?f(x)在点x0处可导，那么y?f(x)点x0处连续.

— 15 — 高中数学知识点精析

事实上，令x?x0??x，则x?x0相当于?x?0. 于是limf(x)?limf(x0??x)?lim[f(x?x0)?f(x0)?f(x0)]

x?x0?x?0?x?0?lim[?x?0f(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)??x?f(x0)]?lim?lim?limf(x0)?f'(x0)?0?f(x0)?f(x0).?x?0?x?0?x?0?x?x?如果y?f(x)点x0处连续，那么y?f(x)在点x0处可导，是不成立的. 例：f(x)?|x|在点x0?0处连续，但在点x0?0处不可导，因为0时，

?y?y?y不存在. ?1；当?x＜0时，??1，故lim?x?0?x?x?x?y|?x|，当?x＞??x?x注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义：

函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y?f(x)在点(x0,f(x))处的切线的斜率，也就是说，曲线y?f(x)在点P(x0,f(x))处的切线的斜率是f'(x0)，切线方程为y?y0?f'(x)(x?x0). 4. 求导数的四则运算法则：

(u?v)'?u'?v'?y?f1(x)?f2(x)?...?fn(x)?y'?f1'(x)?f2'(x)?...?fn'(x) (uv)'?vu'?v'u?(cv)'?c'v?cv'?cv'（c为常数）

''?u?vu?vu(v?0) ???v2?v?'注：①u,v必须是可导函数.

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它

们的和、差、积、商不一定不可导.

例如：设f(x)?2sinx?，g(x)?cosx?，则f(x),g(x)在x?0处均不可导，但它们和f(x)?g(x)?

sinx?cosx在x?0处均可导.

2x2x5. 复合函数的求导法则：fx'(?(x))?f'(u)?'(x)或y'x?y'u?u'x 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性：

?函数单调性的判定方法：设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f'(x)＞0，则

— 16 — 高中数学知识点精析

y?f(x)为增函数；如果f'(x)＜0，则y?f(x)为减函数.

?常数的判定方法；

如果函数y?f(x)在区间I内恒有f'(x)=0，则y?f(x)为常数.

注：①f(x)?0是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y?2x3在(??,??)上并不是都有f(x)?0，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样f(x)?0是f（x）递减的充分非必要条件. ②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.

7. 极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值，极小值同理） 当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么f(x0)是极小值.

也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是f'(x)=0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.

注①： 若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f'(x)=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数y?f(x)?x3，x?0使f'(x)=0，但x?0不是极值点.

②例如：函数y?f(x)?|x|，在点x?0处不可导，但点x?0是函数的极小值点. 8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.

注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：

)'?coxs I.C'?0（C为常数） (sixn(xn)'?nxn?1（n?R） (coxs)'??sinx

— 17 — 高中数学知识点精析

II. (lnx)'? (loagx)'?loage

(ex)'?ex (ax)'?axlna

1x1xIII. 求导的常见方法： ①常用结论：(ln|x|)'?.

②形如y?(x?a1)(x?a2)...(x?an)或y?转化求代数和形式.

③无理函数或形如y?xx这类函数，如y?xx取自然对数之后可变形为lny?xlnx，对两边求导可得

y'1?lnx?x??y'?ylnx?y?y'?xxlnx?xx yx(x?a1)(x?a2)...(x?an)(x?b1)(x?b2)...(x?bn)1x两边同取自然对数，可

第九部分 立体几何 一、 平面.

1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.

注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.

2. 两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交） 3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）

[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个. 4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X、Y、Z三个方向） 二、 空间直线.

1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内

[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）

②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交

③若直线a、b异面，a平行于平面?，b与?的关系是相交、平行、在平面?内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）

⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点向这．．个平面所引的垂线段和斜线段）

⑦a,b是夹在两平行平面间的线段，若a?b，则a,b的位置关系为相交或平行或异面.

2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线） 3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

— 18 — 高中数学知识点精析

4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.

（二面角的取值范围

??） ???0?,180112 2 （直线与直线所成角

方向相同 ???0?,90??）

方向不相同 （斜线与平面成角

???0?,90??）

（直线与平面所成角

???0?,90??）

（向量与向量所成角

??[0?,180?])

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角

（或直角）相等.

5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.

空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.

l1,l2是异面直线，则过l1,l2外一点

P，过点P且与l1,l2都平行平面有一个或没有，

但与l1,l2距离相等的点在同一平面内. （L1或L2在这个做出的平面内不能叫L1与

L2平行的平面）

三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.

1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.

2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”） [注]：①直线a与平面?内一条直线平行，则a∥?. （×）（平面外一条直线） ②直线a与平面?内一条直线相交，则a与平面?相交. （×）（平面外一条直线） ③若直线a与平面?平行，则?内必存在无数条直线与a平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之） ④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）

⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交） ⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面） ⑦直线l与平面?、?所成角相等，则?∥?.（×）（?、?可能相交） 3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）

— 19 — 高中数学知识点精析

4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. ? 若PA⊥?，a⊥AO，得a⊥PO（三垂线定理）， 得不出?⊥PO. 因为a⊥PO，但PO不垂直OA. ? 三垂线定理的逆定理亦成立. 直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）

直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.

推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. [注]：①垂直于同一平面的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线．．．．．．．．．

POaA的两个平面平行）

②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）

③垂直于同一平面的两条直线平行.（√） 5. ?垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段．．中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.

[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）] ?射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 四、 平面平行与平面垂直.

1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.

2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”） 推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行. [注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.

3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）

4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.

两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）

注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系. 5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们

P交线的直线也垂直于另一个平面.

??推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面. 证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于l1,l2，

θBMAO因为PM??,OA??,PM??,OB??则PM?OA,PM?OB.

6. 两异面直线任意两点间的距离公式：l?m2?n2?d2?2mncos?（?为锐角取加，

— 20 — 高中数学知识点精析

?为钝取减，综上，都取加则必有???0,?）

2?????7. ?最小角定理：cos??cos?1cos?2（?1为最小角，如图）

?最小角定理的应用（∠PBN为最小角）

θ简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条. θθ成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.

图1成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条. 成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有. 五、 棱锥、棱柱. 1. 棱柱.

?①直棱柱侧面积：S?Ch（C为底面周长，h是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.

12图2②斜棱住侧面积：S?C1l（C1是斜棱柱直截面周长，l是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.

?{四棱柱}?{平行六面体}?{直平行六面体}?{长方体}?{正四棱柱}?{正方体}.

{直四棱柱}?{平行六面体}={直平行六面体}.

四棱柱底面是平行四边形平行六面体侧棱垂直底面直平行六面体底面是矩形长方体底面是正方形正四棱柱侧面与正方体底面边长相等

?棱柱具有的性质：

①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是．．．．．．矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形. ．．．．．．．

②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形. ．．③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.

注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×） （直棱柱不能保证底面是钜形可如图）

②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直. ?平行六面体：

定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分. ．．．．．．．．．．．．．[注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.

定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为?,?,?，则

222cos??cos??cos??1.

推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为?,?,?，则

cos2??cos2??cos2??2.

[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面

— 21 — 高中数学知识点精析

可以为矩形）

②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直棱．柱才行）

③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体（.×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）

④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件） 2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形. [注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.

②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以V棱柱?Sh?3V棱柱.

?①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心. [注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形） ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等

iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积：S?Ch'（底面周长为C，斜高为h'） ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：S侧?a12S底cos?12（侧面与底面成的二面角为?）

附： c 以知c⊥l，cos??a?b，?为二面角a?l?b.

l b 则S1?a?l①，S2?l?b②，cos??a?b③ ?①②③得S侧?S底cos?12.

注：S为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）. ?棱锥具有的性质：

①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.

②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形. ?特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：

①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.

③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.

④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.

⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.

⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；

⑧每个四面体都有内切球，球心I是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面

— 22 — 高中数学知识点精析

的距离等于半径. [注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各

A个侧面的等腰三角形不知是否全等） baii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直. c简证：AB⊥CD，AC⊥BD? BC⊥AD. 令AB?a,AD?c,ACB?b 得BC?AC?AB?b?a,AD?c?BC?AD?bc?ac，已知a??c?b??0,b??a?c??0 ?ac?bc?0则BC?AD?0.

ADCDEFO'CHGiii. 空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩B形.

iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.

简证：取AC中点

O'，则

oo??AC,BO??AC?AC?平面

EFGH为平行四边形?EFGH为长方形.若对角

线等，则EF?FG?EFGH为正方形. 3. 球：?球的截面是一个圆面. ①球的表面积公式：S?4?R2. ②球的体积公式：V??R3.

?纬度、经度：

①纬度：地球上一点P的纬度是指经过P点的球半径与赤道面所成的角的度数. ②经度：地球上A,B两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B点的经度.

附：①圆柱体积：V??r2h（r为半径，h为高） ②圆锥体积：V??r2h（r为半径，h为高） ③锥形体积：V?Sh（S为底面积，h为高）

h?4. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，

OO?B?AC?BO??FGH?90°易知

431313Or63232a，S底?a，S侧?a 344得

326321322426a?a?a?R??a?R?R?a/3?a?3?a. 434344344注：球内切于四面体：VB?ACD??S侧?R?3?S底?R?S底?h

R1313O②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式. 六. 空间向量.（空间向量部分 文科生不做要求）

1. （1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.

— 23 — 高中数学知识点精析

注：①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线.（×） [当b?0时，不成立] ②向量a,b,c共面即它们所在直线共面.（×） [可能异面]

③若a∥b，则存在小任一实数?，使a??b.（×）[与b?0不成立] ④若a为非零向量，则0?a?0.（√）[这里用到?b(b?0)之积仍为向量] （2）共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(b?0)，a ∥b的充要条件是存在实数?（具有唯一性），使a??b.

（3）共面向量：若向量a使之平行于平面?或a在?内，则a与?的关系是平行，记作a∥?.

（4）①共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，则向量P与向量a,b共面的充要条件是存在实数对x、y使P?xa?yb.

②空间任一点和不共线三点、B、C，则OP?xOA?yOB?zOC(x?y?z?1)是PABC．．．O．．．．．．．A．．．．．四点共面的充要条件.（简证：OP?(1?y?z)OA?yOB?zOC?AP?yAB?zAC?P、A、B、C四点共面） 注：①②是证明四点共面的常用方法.

2. 空间向量基本定理：如果三个向量，那么对空间任一向量P，存．．．．a,b,c不共面．．．在一个唯一的有序实数组x、y、z，使p?xa?yb?zc.

推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实数组x、y、z使 OP?xOA?yOB?zOC(这里隐含x+y+z≠1). 注：设四面体ABCD的三条棱，AB?b,AC?c,AD?d,其

BGM1C中Q是△BCD的重心，则向量AQ?(a?b?c)用AQ?AM?MQ即证. 3AD3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a=(a1,a2,a3),b?(b1,b2,b3)，则

a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)?a?(?a1,?a2,?a3)(??R)a?b?a1b1?a2b2?a3b3

— 24 — 高中数学知识点精析

a∥b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)?a?a?a?a12?a22?a3a2?a?a?a?a?a)

2a1a2a3??b1b2b3 a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0

(用到常用的向量模与向量之间的转化：

??a1b1?a2b2?a3b3??a?b cos?a,b?????222222|a|?|b|a1?a2?a3?b1?b2?b3②空间两点的距离公式：d?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2.

（2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面?，则称这个向量垂直于平面?，记作a??，如果a??那么向量a叫做平面?的法向量.

（3）用向量的常用方法：

①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面?的法向量，AB是平面?的一条射线，其中A??，则点B到平面?的距离为|AB?n||n|.

②利用法向量求二面角的平面角定理：设n1,n2分别是二面角??l??中平面?,?的法向量，则n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n1,n2方向相同，则为补角，n1,n2反方，则为其夹角）.

③证直线和平面平行定理：已知直线a??平面?，A?B?a,C?D??，且CDE三点不共线，则a∥?的充要条件是存在有序实数对???使AB??CD??CE.（常设

AB??CD??CE求解?,?若?,?存在即证毕，若?,?不存在，则直线AB与平面相

交）.

第十部分 圆锥曲线 （本部分参考08大纲，部分内容09不做要求） 一、椭圆方程.

1. 椭圆方程的第一定义：

PF1?PF2?2a?F1F2方程为椭圆,PF1?PF2?2a?F1F2无轨迹,PF1?PF2?2a?F1F2以F1,F2为端点的线段

?①椭圆的标准方程：

— 25 — 高中数学知识点精析

i. 中心在原点，焦点在x轴上：x2?y2aby2a222?1(a?b?0). ii. 中心在原点，焦点在y轴上：

?x2b2?1(a?b?0).

2②一般方程：Ax为??x?acos??y?bsin?2?By?1(A?0,B?0).③椭圆的标准参数方程：

x2a2?y2b2?1的参数方程

（一象限?应是属于0????2）.

?①顶点：(?a,0)(0,?b)或(0,?a)(?b,0).②轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b.③焦点：(?c,0)(c,0)或(0,?c)(0,c).④焦距：F1F2a2或y??ca2准线：x???2c,c?a?b.⑤

c22.⑥离心率：e?(0?e?1).⑦焦点半径：

x2a2cai. 设P(x0,y0)为椭圆

?y2b2PF1?a?ex0, PF2?a?ex0??1(a?b?0)上的一点，F1,F2为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设P(x0,y0)为椭圆

x2b2?y2a2PF1?a?ey 0,PF2?a?ey0??1(a?b?0)上的一点，F1,F2为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出. 由椭圆第二定义可知：来为―左加右减‖.

注意：椭圆参数方程的推导：得N(acos?,bsin?)?方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：d??共离心率的椭圆系的方程：椭圆

x2a2?y2b22b2a2a2a2pF1?e(x0?)?a?ex0(x0?0),pF2?e(?x0)?ex0?a(x0?0)归结起

cc▲y(bcos?,bsin?)(acos?,asin?)Nxb2b2(c,) (?c,)N和的轨迹是椭圆aa?1(a?b?0)的离心率是

x2y2cc22e?(c?a?b)，方程2?2?t(t是大于0的参数，a?b?0)的离心率也是e? aaab我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ?若P是椭圆：

?2x2a2?y2b2?1上的点.F1,F2为焦点，若?F1PF2??，则?PF1F2的面积

?2为b2tan（用余弦定理与PF1?PF2?2a可得）. 若是双曲线，则面积为b2?cot. 二、双曲线方程.

1. 双曲线的第一定义：

PF1?PF2?2a?F1F2方程为双曲线PF1?PF2?2a?F1F2无轨迹

PF1?PF2?2a?F1F2以F1,F2的一个端点的一条射线 — 26 — 高中数学知识点精析

?①双曲线标准方程：

Ax2?Cy2?1(AC?0).

x2a2?y2b2?1(a,b?0),y2a2?x2b2?1(a,b?0). 一般方程：

?①i. 焦点在x轴上：

顶点：(a,0),(?a,0) 焦点：(c,0),(?c,0)

x2a2?y2b2?0

a2准线方程：y??ca2准线方程x??c 渐近线方程：??0或

xaybii. 焦点在y轴上：顶点：(0,?a),(0,a). 焦点：(0,c),(0,?c). . 渐

?x?asec??x?btan?y2x2yx近线方程：??0或2?2?0，参数方程：?或? .

abab?y?btan??y?asec?②轴x,y为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率e?. ④准

2a2线距

c2b2（两准线的距离）；通径

aca. ⑤参数关系c2?a2?b2,e?c. ⑥焦点半径a公式：对于双曲线方程曲线的上下焦点） “长加短减”原则：

MF1?ex0?aMF2?ex0?ax2a2?y2b2?1（F1,F2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双

构成满足MF1?MF2?2a

M?F1??ex0?aM?F2??ex0?a（与椭圆焦半径不同，椭圆

▲焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号） ▲yyF1MMF1?ey0?aMF2?ey0?aM?F1??ey0?a?M?F2??ey0?a?M'M

xF1F2M'F2x?等轴双曲线：双曲线x2?y2??a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y??x，离心率e?2.

?共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双

x2y2x2y2曲线的共轭双曲线.2?2??与2?2???互为共轭双曲线，它们具有共同的渐

abab近线：

x2a2?y2b2?0.

x2a2?y2b2??(??0)的渐近线方程为

x2a2?y2b2?0如果双

?共渐近线的双曲线系方程：

— 27 — 高中数学知识点精析

x2y2xy曲线的渐近线为??0时，它的双曲线方程可设为2?2??(??0).

abab例如：若双曲线一条渐近线为y?x且过p(3,?)，求双曲线的方程？ x2y21x22?1. 解：令双曲线的方程为：?y??(??0)，代入(3,?)得?822411212▲y43212?直线与双曲线的位置关系： FF区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；

3 区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；

区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；

区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条. （2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入“?”法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ?若P在双曲线

x2a2?y2b2?1，则常用结论

53x1：P到焦点的距离为m = n，则P到两

准线的距离比为m︰n.

PF1简证：

d1?ed2PF2e =

m. n常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b. 三、抛物线方程.

3. 设p?0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 图形 y2?2px ▲y2??2px ▲x2?2py y▲x2??2py ▲yyyxOxOxOxO 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 F(p,0) 2F(?x?p,0) 2 F(0,p) 2 F(0,?y?p) 2 p 2x?0,y?R x??p 2x?0,y?R p 2x?R,y?0 y??p 2x?R,y?0 x轴 y轴 （0，0） — 28 — 高中数学知识点精析

离心率 焦半径 2e?1 PF?p?x1 2PF?p?x1 2PF?p?y1 2PF?p?y1 24ac?b2b?). 注：①ay?by?c?x顶点(4a2a②y2?2px(p?0)则焦点半径PF?x?P2;x2?2py(p?0)则焦点半径为PF?y?P2.

③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.

?x?2pt2④y?2px（或x?2py）的参数方程为??y?2pt22（或??x?2pt2?y?2pt）（t为参数）.

四、圆锥曲线的统一定义..

4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹.

当0?e?1时，轨迹为椭圆； 当e?1时，轨迹为抛物线； 当e?1时，轨迹为双曲线；

当e?0时，轨迹为圆（e?，当c?0,a?b时）.

5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.

因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.

第十一部分 复数

1. ?复数的单位为i，它的平方等于－1，即i2??1. ?复数及其相关概念： ① 复数—形如a + bi的数（其中a，b?R）； ② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a； ③ 虚数—当b?0时的复数a + bi； ④ 纯虚数—当a = 0且b?0时的复数a + bi，即bi. ⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数） ⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示. ?两个复数相等的定义：

a?bi?c?di?a?c且b?d（其中，a，b，c，d，?R）特别地a?bi?0?a?b?0. ?两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.

注：①若z1,z2为复数，则1?若z1?z2?0，则z1??z2.（×）[z1,z2为复数，而不是实数]

2?ca若z1?z2，则z1?z2?0.（√）

— 29 — 高中数学知识点精析

②若a,b,c?C，则(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0是a?b?c的必要不充分条件.（当

(a?b)2?i2，

(b?c)2?1,(c?a)2?0时，上式成立）

2. ?复平面内的两点间距离公式：d?z1?z2.

其中z1，z2是复平面内的两点z1和z2所对应的复数，d表示z1和z2间的距离. 由上可得：复平面内以z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：z?z0?r（r?0）.

3. 共轭复数的性质：

z?z z1?z2?z1?z2

z?z?2a，z?z?2bi（z?a + bi）

z?z?|z|2?|z|2

z1?z2?z1?z2 z1?z2?z1?z2

?z1??z2??z1??（z2?0） zn?(z)n ?z2?注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] 4. ?①复数的乘方：zn??z??z??z?...z(n?N?) ?n②对任何z，z1,z2?C及m,n?N?有

n③zm?zn?zm?n,(zm)n?zm?n,(z1?z2)n?zn1?z2

注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如

i??1,i?1若由i?2421142(i)?12?1就会得到?1?1的错误结论.

②在实数集成立的|x|?x2. 当x为虚数时，|x|?x2，所以复数集内解方程不能采用两边平方法. ?常用的结论：

i2??1,i4n?1?i,i4n?2??1,i4n?3??i,i4n?1

in?in?1?in?2?in?3?0,(n?Z)

(1?i)2??2i,1?i1?i?i,??i 1?i1?i — 30 — 高中数学知识点精析

若

?是1的立方

322n?1n?2虚，??i(n?Z??1,?数??,?根?,1，????即?0,?n???????0)22?113则 .

5. ?复数z是实数及纯虚数的充要条件： ①z?R?z?z.

②若z?0，z是纯虚数?z?z?0.

?模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零. 注：|z|?|z|.

第十二部分 概率与统计（部分内容文科不作要求，请参考文科教材） 一、概率.

1. 概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率P(A)?m. n1n3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：P(A1?A2???An)?P(A1)?P(A2)???P(An). ②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如：从1～52张．．．．．．．．．．．．．．．扑克牌中任取一张抽到―红桃‖与抽到―黑桃‖互为互斥事件，因为其中一个不可能互斥同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到―红色牌‖

对立与抽到黑色牌―互为对立事件，因为其中一个必发生. 注意：i.对立事件的概率和等于1：P(A)?P(A)?P(A?A)?1.

ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件. ③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P（AB）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一张设A：―抽到老K‖；B：―抽到红牌‖则 A应与B互为独立事件[看上去A与B有关系很有可能不是独立事件，但P(A)?412611.又事件AB表示―既抽到老K对抽到红牌‖?,P(B)??,P(A)?P(B)?52135222621，因此有P(A)?P(B)?P(A?B). ?5226即―抽到红桃老K或方块老K‖有P(A?B)?推广：若事件A1,A2,?,An相互独立，则P(A1?A2?An)?P(A1)?P(A2)?P(An). 注意：i. 一般地，如果事件A与B相互独立，那么A 与B,A与B，A与B也都

— 31 — 高中数学知识点精析

相互独立.

ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的. iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件. ④独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为

kn?kP，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率：Pn(k)?Ck. nP(1?P)4. 对任何两个事件都有P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A?B)

二、随机变量.

1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验.

2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则

??a??b也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，f(x)是连续函数或单调函

数，则f(?)也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量ξ可能取的值为：x1,x2,?,xi,?

ξ取每一个值x1(i?1,2,?)的概率P(??xi)?pi，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. ? x1 p1 P x2 p2 … … xi pi … … 有性质①p1?0,i?1,2,?； ②p1?p2???pi???1.

注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：??[0,5]即?可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 3. ?二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复

kn?kP(ξ?k)?Ck试验中这个事件恰好发生k次的概率是：[其中k?0,1,?,n,q?1?p] npq于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，

kn?k记作?～B（n·p），其中n，p为参数，并记Ck?b(k;n?p). npq?二项分布的判断与应用. ①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立

— 32 — 高中数学知识点精析

重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布. ②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.

4. 几何分布：―??k‖表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为Ak，事A不发生记为Ak,P(Ak)?q，那么

P(ξ?k)?P(A1A2?Ak?1Ak).根据相互独立事件的概率乘法分式：

k?1?qP(ξ?k)?P(A1)P(A2)?P(Ak?1)Pk()Ap(k?1,2,3,?)于是得到随机变量ξ的概率分布列.

? P 1 q 2 qp 3 q2p … … k qk?1p … … 我们称ξ服从几何分布，并记g(k,p)?qk?1p，其中q?1?p.k?1,2,3?

5. ?超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取n(1?n?N)件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为

P(ξ?k)?kkCM?CNn??MCnN?(0?k?M,0?n?k?N?M).〔分子是从M件次品中取k件，从N-M

件正品中取n-k件的取法数，如果规定m＜r时Cmr?0，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕 ?超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为P(ξ?k)?Ca?Cnkn?kbCa?bk?0,1,?,n..

?超几何分布与二项分布的关系.

设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数?的分布列可如下求得：把a?b个产品

kn?k编号，则抽取n次共有(a?b)n个可能结果，等可能：(η?k)含Ck个结果，故nabkn?kCknabP(η?k)?(a?b)n?Ckn(aakan?k).[我们先为)(1?),k?0,1,2,?,n，即?～B(n?a?ba?ba?bk个

次品选定位置，共Ckn种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，P(ξ?k)?P(η?k)，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.

三、数学期望与方差.

— 33 — 高中数学知识点精析

1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 ? x1 x2 xi … p1 p2 pi P … … … 则称E??x1p1?x2p2???xnpn??为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2. ?随机变量??a??b的数学期望：E??E(a??b)?aE??b ①当a?0时，E(b)?b，即常数的数学期望就是这个常数本身.

②当a?1时，E(??b)?E??b，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.

③当b?0时，E(a?)?aE?，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.

?单点分布：E??c?1?c其分布列为：P(??1)?c. ξ P ?两点分布：E??0?q?1?p?p，其分布列为：（p + q = 1）

?二项分布：E???k?率）

?几何分布：E??1 pn!pk?qn?k?np

k!(n?k)!0 q 1 p 其分布列为?～B(n,p).（P为发生?的概

其分布列为?～q(k,p).（P为发生?的概率）

3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为P(??xk)?pk(k?1,2,?)时，则称D??(x1?E?)2p1?(x2?E?)2p2???(xn?E?)2pn??为ξ的方差. 显然D??0，故???D?.??为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.D?越小，稳定性越高，波动越小. ．．．．．．．．．．．．．．4.方差的性质.

?随机变量??a??b的方差D(?)?D(a??b)?a2D?.（a、b均为常数） ?单点分布：D??0 其分布列为P(??1)?p ?两点分布：D??pq 其分布列为：（p + q = 1）

?二项分布：D??npq

— 34 — 高中数学知识点精析

ξ P 0 q 1 p ?几何分布：D??qp2

5. 期望与方差的关系.

?如果E?和E?都存在，则E(???)?E??E?

?设ξ和?是互相独立的两个随机变量，则E(??)?E??E?,D(???)?D??D? ?期望与方差的转化：D??E??E??E??0.

2?(E?)2 ?E(??E?)?E(?)?E(E?)（因为E?为一常数）

四、正态分布.

1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间[a,b)内的概率等于它与x轴.直线x?a与直线x?b▲所围成的曲边梯形的面积

y（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为 图像的函数f(x)叫做ξ的密度函数，由于―x?(??,??)‖ 是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1. aby=f(x)x2. ?正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：f(x)?12??e?(x??)22?2.

（x?R,?,?为常数，且??0），称ξ服从参数为?,?的正态分布，用?～N(?,?2)表示.f(x)的表达式可简记为N(?,?2)，它的密度曲线简称为正态曲线.

?正态分布的期望与方差：若?～N(?,?2)，则ξ的期望与方差分别为：

E???,D???2.

?正态曲线的性质. ①曲线在x轴上方，与x轴不相交. ②曲线关于直线x??对称.

③当x??时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出―中间高、两边低‖的钟形曲线.

④当x＜?时，曲线上升；当x＞?时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.

⑤当?一定时，曲线的形状由?确定，?越大，曲线越―矮胖‖.表示总体的分布越分散；?越小，曲线越―瘦高‖，表示总体的分布越集中.

— 35 — 高中数学知识点精析

3. ?标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为?(x)?12?e?x22(???x???)，则

称ξ服从标准正态分布. 即?～N(0,1)有?(x)?P(??x)，?(x)?1??(?x)求出，而P（a＜ξ≤b）的计算则是P(a???b)??(b)??(a).

注意：当标准正态分布的?(x)的X取0时，有?(x)?0.5当?(x)的X取大于0的

▲数时，有?(x)?0.5.比如?(0.5???)?0.0793?0.5则

0.5??yS?必然小于0，如图. xa?正态分布与标准正态分布间的关系：若?～N(?,?2)则ξ的分布函数通 常用F(x)表示，且有P(ξ?x)?F(x)??(x?μ). σ标准正态分布曲线S阴=0.5Sa=0.5+S4.?―3?‖原则.

假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N(?,?2).②确定一次试验中的取值a是否落入范围(??3?,??3?).③做出判断：如果a?(??3?,??3?)，接受统计假设. 如果

a?(??3?,??3?)，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.

?―3?‖原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布N(?,?2)则 ξ落在(??3?,??3?)内的概率为99.7％ 亦即落在(??3?,??3?)之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.

第十三部分 计数原理与二项式定理 一、两个原理.

1. 乘法原理、加法原理. 2. 可以有重复元素的排列. ．．．．．．．

从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = mn.. 例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：mn种） 二、排列. 1. ?对排列定义的理解.

定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做．．．．．．从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

— 36 — 高中数学知识点精析

?相同排列.

如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ?排列数.

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m

m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号An表

示. ?排列数公式：

Am?n(n?1)?(n?m?1)?n!(m?n,n,m?N) (n?m)!注意：n?n!?(n?1)!?n! 规定0! = 1

mmmm?1mm?110 Anm?nAnm?? 规定Cn?CnAn?n?1 1?An?Am?Cn?An?mAn12. 含有可重元素的排列问题. ．．．．．．

对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其

中限重复数为n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 则S的排列个数等于

n?n!.

n1!n2!...nk!1!2!例如：已知数字3、2、2，求其排列个数n?(1?2)!?3又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数n?3!?1.

3!三、组合. 1. ?组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

An?组合数公式：Cmn?mAmm?n(n?1)?(n?m?1)n! Cmn?m!m!(n?m)!n?mm?1mm?两个公式：①Cmn?Cn; ②Cn?Cn?Cn?1

①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合. （或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不

m?1m同选法，分二类，一类是含红球选法有Cm?n1?C1 1?Cn一类是不含红球的选法有Cn）

②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元

1素中再取m-1个元素，所以有Cm?n，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素

— 37 — 高中数学知识点精析

m?1mm中取出m个元素，所以共有Cmn种，依分类原理有Cn?Cn?Cn?1.

?排列与组合的联系与区别.

联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.

区别：前者是―排成一排‖，后者是―并成一组‖，前者有顺序关系，后者无顺序关系.

?①几个常用组合数公式 012n Cn?Cn?Cn???nn?2024135Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn???2n?1mmmm?1Cmn?Cm?1?Cm?2?Cm?n?Cm?n?1kC?nCknk?1n?1

11?1CkCkn?n?1k?1n?1②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如：

123n1n?111?????1???） （利用2!3!4!(n?1)!(n?1)!n!(n?1)!n!ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.

m?1m3333v. 递推法（即用CmCn?Cn?4n?Cn?Cn?1递推）如：C3?C4?C5??1.

02122nvi. 构造二项式. 如：(Cn )?(Cn)???(Cnn)?C2n证明：这里构造二项式(x?1)n(1?x)n?(1?x)2n其中xn的系数，左边为

01n?12n?2n00212n2，而右边?C2n Cn?Cnn?Cn?Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?(Cn)?(Cn)???(Cn)n四、排列、组合综合.

1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法. ③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们―局部‖的排列.它主要用于解决―元素相邻问题‖，例如，一般

?m?1m地，n个不同元素排成一列，要求其中某m(m?n)个元素必相邻的排列有Ann?m?1?Am?m?1m个.其中Ann?m?1是一个―整体排列‖，而Am则是―局部排列‖.

2又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为An?2. An?11?A2

?12. ②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有Ann?1?A22?1. ③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有An?Ann?1注：①③区别在于①是确定的座位，有A2种；而③的商品地位相同，是从n件不2同商品任取的2个，有不确定性.

— 38 — 高中数学知识点精析

④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决―元素不相邻问题‖.

例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？

?mm（插空法），当n – m+1≥m, 即m≤n?1时有意义. Ann?m?An?m?12⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其

他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用―先特殊后一般‖的解题原则. ⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全

m排列有Ann种，m(m?n)个元素的全排列有Am种，由于要求m个元素次序一定，

因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有

AnnAmm种排列方法.

例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？

m解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m！；解法二：（比例分配法）An/Anm.

nnCkn?C(k?1)nn?Cn⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有

Akk.

C2例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有4?3（平

2!均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？ （P?82C18C210C20/2!）

注意：分组与插空综合. 例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺

?mmm序不变，共有多少种排法？有An，当n – m+1 ≥m, 即m≤n?1时有意义. n?m?An?m?1/Am2⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.

例如：x1?x2?x3?x4?12的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为x1,x2,x3,x4显然x1?x2?x3?x4?12，故（x1,x2,x3,x4）

x1x2x3x4是方程的一组解.反之，方程的任何一组解(y1,y2,y3,y4)，对应着惟一的一种在12

个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方

3程的解的组数等于插隔板的方法数C11.

注意：若为非负数解的x个数，即用

a1,a2,.a.n.中ai等于

xi?1，有

— 39 — 高中数学知识点精析

x1?x2?x3...?xn?A?a1?1?a2?1?...an?1?A，进而转化为求n?1a的正整数解的个数为CA?n .

⑨定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都

?r包含在内，并且都排在某r个指定位置则有ArrAkn?r.

例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？

m1m?1?1或?1；不在某一位置上：m固定在某一位置上：Am（一类是不取An?An?Am1?Am?1?An?1n?1n?1出特殊元素a，有An?m，一类是取特殊元素a，有从m-1个位置取一个位置，然后1再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）

⑩指定元素排列组合问题.

i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元

?rkrk?r素都包含在内 。先C后A策略，排列CrrCnk?rAk；组合CrCn?r.

ii. 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素

k都不包含在内。先C后A策略，排列Cn?rkAkk；组合Cn?r.

iii 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或

?sk组合）都只包含某r个元素中的s个元素。先C后A策略，排列CrsCnk?rAk；组合

?sCrsCkn?r.

II. 排列组合常见解题策略：

①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；

⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨―小集团‖排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略. 2. 组合问题中分组问题和分配问题. ①均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为A/Ar（其中A为非均匀不编号分组中分法r数）.如果再有K组均匀分组应再除以Ak. k44例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为C102C8.C4/A22?157522224若分成六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为C101C91C8 C6C4C2/A22?A4②非均匀编号分组: n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为A?Am m — 40 — 高中数学知识点精析

例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法

233为：C10种. ?C8?C55?A3若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排

3方法有C102C83C4种 5?A3③均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间

m的顺序，其分法种数为A/Ar. r?Am例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为C10C8C4?A3 3A22244④非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为

mkm21A?CmnCn-m1…Cn-(m1?m2?...?mk-1)

例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为C102C83C5若从5?252010人中选出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为C101C92C73?12600. 五、二项式定理.

0n01n?1rn?rrn0n1. ?二项式定理：(a?b)n?Cnab?Cnab???Cnab???Cnab.

展开式具有以下特点： ① 项数：共有n?1项；

012r② 系数：依次为组合数Cn,Cn,Cn,?,Cn,?,Cnn;

③ 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开. ?二项展开式的通项.

rn?rr（a?b)n展开式中的第r?1项为：Tr?1?Cnab(0?r?n,r?Z).

?二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项―等距离‖的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数最大. ．．．．．

nI. 当n是偶数时，中间项是第?1项，它的二项式系数C2n最大； 2n?1n?1II. 当n是奇数时，中间项为两项，即第项和第?1项，它们的二项式系

22n数

n?1n?1C2n?C2n最大.

③系数和：

— 41 — 高中数学知识点精析

01nCn?Cn???Cnn?202413Cn?Cn?Cn???Cn?Cn???2n?1

附：一般来说(ax?by)n(a,b为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根．．．．．．．．．．．据性质二求解. 当a?1或b?1时，一般采用解不等式组

?Ak?Ak?1,?Ak?Ak?1或?(Ak为Tk?1的系数或系数的绝对值）的办法来求解. ?A?AA?Ak?1k?1?k?k?如何来求(a?b?c)n展开式中含apbqcr的系数呢？其中p,q,r?N,且p?q?r?n把

r(a?b?c)n?[(a?b)?c]n视为二项式，先找出含有Cr的项Cn(a?b)n?rCr，另一方面在pqrnqn?r?qqqpq(a?b)n?r中含有bq的项为Cn?rab?Cn?rab，故在(a?b?c)中含abc的项为

rqpqrrCnCn?rabc.其系数为CnCn?qr?(n?r)!n!n!pqr???CnCn?pCr. r!(n?r)!q!(n?r?q)!r!q!p!2. 近似计算的处理方法.

当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1?a)n?1?na，因为这时

2233nn展开式的后面部分Cna?Cna???Cna很小，可以忽略不计。类似地，有

(1?a)n?1?na但使用这两个公式时应注意a的条件，以及对计算精确度的要求.

— 42 — 高中数学知识点精析

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/exsp.html