2017年重点高中自主招生适应性数学试卷及答案(4)

2017年重点高中自主招生适应性考试

数 学 试 题 卷

本次考试不能使用计算器，没有近似计算要求的保留准确值.

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选，均不给分）

1．“红灯停，绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则．小刚每天从家骑自行车上学都经过两个路口，且每个路口只安装了红灯和绿灯，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家随时出发去学校，他遇到一次红灯一次绿灯的概率是( ▲ ) A．

1112 B． C． D． 43232．若关于x的一元一次不等式组 ??1?x?2 有解，则m的取值范围为（ ▲ ）

?x?mA．m?2 B．m?2 C．m?1 D．1?m?2

b）3．点M（?2，，N（?4，是所给函数图像上的点，则能使a?b成立的函数是 （ ▲ ） a）

A．y??2x?3

B．y??2(x?3)2?4

C．y?3(x?2)2?1 D．y??2 x4．据报道，日本福岛核电站发生泄漏事故后，在我市环境空气中检测出一种微量的放射性核素“碘-131”，含量为每立方米0.4毫贝克(这种元素的半衰期是8天，即每8天含量减少一半，如8天后减少到0.2毫贝克)，那么要使含量降至每立方米0.0004毫贝克以下，下列天数中，能达到目标的最少的天数是（ ▲ ）

A．64 B．71 C．82 D．104

5．十进制数2378，记作2378(10)，其实2378(10)=2?10?3?10?7?10?8?10，

3210二进制数1001(2)=1?2?0?2?0?2?1?2．有一个（0?k?10为整数）进制数

3210165(k)，把它的三个数字顺序颠倒得到的k进制数561(k)是原数的3倍，则k=（ ▲ ）

A．10 B．9 C．8 D．7 6．正方形ABCD、正方形BEFG和正方形PKRF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为2，则△DEK的面积为（ ▲ ）

A．4 B．3 C．2 D．2

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7．如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F。当线段EF最小时，cos?EFD?（ ▲ ） A．

4337 B． C． D． 55448．二次函数y?x2?bx?1的图象如图，对称轴为直线x?1，若关于x的

2一元二次方程x?2x?1?t?0（t为实数）在?1?x?4的范围内有实数

解，则t的取值范围是（ ▲ ）

A．t??2 B．?2?t?7 C．?2?t?2 D．2?t?7

D ． O

A （第8题）

（第9题）

（第10题）

C B

9．已知，在△ABC中，D是BC边上一点，∠ABC=30°，∠ADC=45°. 若D是BC边的中点，则∠ACB的度数为（ ▲ ）

A．95 B．100 C．105 D．110

10．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A=52，∠B =98，∠AOB=120，AB=a，BC=b，

CD=c，DA=d，则此四边形的面积为（ ▲ ）（用含a，b，c，d的代数式表示） A．(ab?cd) B．(ac?bd) C．(ad?bc) D． 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11．已知a是64的立方根，2b?3是a的平方根，则

???????1212121(ab?bc?cd?ad) 411 a?4b的算术平方根为 ▲ ．412．直线l：y?kx?5k?12(k?0)，当k变化时，原点到这条直线的距离的最大值为 ▲ ．

13．如图，在“镖形”ABCD中，AB=83 ，BC=16，∠A=∠B=∠C=30，则点D到AB的距离为 ▲ ． 14．已知实数a,b满足5a?1?11?403，403b?2015，则?? ▲ ．

ab15．AB为半圆O的直径，C为半圆弧的一个三等分点，过B，C两点的半圆O的切线交于

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点P，则

PA= ▲ ． PC16．如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB中点，F在线段BC上，且

BF1?，AF分别与DE、DB交于点M、FC2N．则MN= ▲ ．

三、解答题（本题有8小题，第17题6分，第18~20题每题8分，第21~23题每题12分，第24题14分，满分80分）

17．市种子培育基地用A，B，C 三种型号的甜玉米种子共1500粒进行发芽试验，从中选出发芽率高的种子进行推广．如图是根据试验数据绘制的统计图：

（1）请你分别计算A，B，C三种型号的种子粒数； （2）请通过计算加以说明，应选哪种型号的种子进行推广？ 18．若实数a、b满足

（1）求

112??. aba?baba2（1?）?2 的值； （2）求证：

ba2?b219．某位市民想为贫困山区的孩子们献一份爱心，准备购买一批书包捐赠给他们．经调查有这样的一批书包，原售价为每只220元．甲商店用如下方法优惠出售：买一只单价为218元，买两只每只都为216元，依次类推，即每多买一只，则所买每只书包的单价均再减2元，但最低不能低于每只116元；乙商店一律按原售价的75%出售． （1）若这位市民需购买20只书包，应去哪家商店购买花费较少？ （2）若此人恰好花费6000元，在同一家商店购买了一定数量的书包，请问是在哪家商店购买的？数量是多少？

20．如图，在△ABC中，∠BAC=60， D是AB上一点，AC=BD，P是CD中点。求证：AP=

?A D

C P 1BC。 2（第20题）

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B

21．已知二次函数y??1213x?在a?x?b（a?b）时的最小值为2a，最大值为2b．求22?a,b的值。

22．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90，AD是高，P为AD的中点，BP的延长线交AC于E，EF⊥BC于点F。若AE=3，EC=12，试求EF、BC的长。

（第22题）

23．如图①，AB是⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD于E，点M为?ACB上一动点（不包括A，B两点），射线AM与射线EC交于点F．

（1）如图②，当F在EC的延长线上时，求证：∠AMD=∠FMC． （2）已知，BE=2，CD=8．

①求⊙O的半径；

②若△CMF为等腰三角形，求AM的长（结果保留根号）．

24．一只青蛙，位于数轴上的点ak，跳动一次后到达ak?1，且ak?1?ak?1（k为任意正整数），青蛙从a1开始，经过(n?1)次跳动的位置依次为a1，a2，a3，……，an． （1）写出一种跳动4次的情况，使a1?a5?0，且a1?a2???a5?0； （2）若a1?7，a2016?2020，求a2000；

（3）对于整数n(n?2)，如果存在一种跳动(n?1)次的情形，能同时满足如下两个条件： ①a1?2，②a1+a2+a3+??an=2． 求整数n被4除的余数．

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数学试题参考答案及评分

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选，均不给分） 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 C 5 D 6 A 7 B 8 B 9 C 10 B 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 题号 答案 11 1或3 12 13 13 2 14 1 15 16 21或13 395 28说明：第14题第一空2分，第2空3分

三、解答题（本题有8小题，第17题6分，第18~20题每题8分，第21~23题每题12分，第24题14分，满分80分） 17．（本题6分）

解：（1）A型号种子数为：1500×36％＝540（粒），----------------------------------------- 1分

B型号种子数为：1500×24％＝360（粒）， ------------------------------ 2分 C型号种子数为：1500×（1-36%-24％）＝600（粒），-------------------3分

答：A、B、C三种型号的种子分别有540粒，360粒，600粒 ．

420×100％≈77.8％．----------------------------------- 4分 540320 B型号种子发芽率＝×100％≈88.9％．---------------------------------- 5分

360480C型号种子发芽率＝×100％=80％．

600 （2）A型号种子发芽率＝

∴选B型号种子进行推广． ------------------------------------------- 6分

18．（本题8分） 解：（1）由

112a?b2???得，……① --------------------2分 aba?baba?b数学试题卷 第5页共10页

∴

ab1ab1? ------------------------- 4分 ?，即222a?b(a?b)(a?b)2（2）由①得，(a?b)(a?b)?2ab, ∴a2?b2?2ab，--------------6分 又由题意得，b?0，

2 ∴两边同除以b2得，()?2?abaaa?1，∴()2?2??1?2， bbb∴(aa2?1)2?2，即（1?）?2 ------------------------- 8分 bb19．（本题8分）

解：（1）在甲商店购买所需费用：20?(220?20?2)?3600（元）

在乙商店购买所需费用：75%?220?20?3300?3600，应去乙商店购买----2

分

（2）设此人买x只书包

①若此人是在甲商店购买的

则x(220?2x)?6000，解得x1?50,x2?60---------------------------------------4分 当x?50时，每只书包单价为220?50?2?120?116

当x?60时，每只书包单价为220?60?2?110?116不合舍去----------------6分 ②若此人在乙商店购买磁，则有165x?6000，解得x?364不合舍去--------711分

故此人是在甲商店购买书包，买了50只-------------------------------------------------8分 20．（本题8分）

证明：延长AP至点F，使得PF = AP，连结BF，DF，CF--------------------------1分

A ? P是CD中点

∴四边形ACFD是平行四边形，--------------------------------------------2分

D

∴DF=AC=BF， P C DF∥AC，----------------------------------------------------------------4分 ∴∠FDA=CAB=60°-------------------------------------------------------5分 F B ∴△BDF是等边三角形-------------------------------------------------6分

（第20题）

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可证△ABC≌△BAF ----------------------------------------------------7分 ∴AP=

11AF=BC------------------------------------------------------8分 2221．（本题12分）

1213?2b??a???a?1?22 解：（1）当0?a?b时，则 ? ，解得? ；------------------3分

113b?3??2a??b2???223913??a?2b???a?b??642（2）当a?0?时，则?，解得?（矛盾，舍去）----6

113213?2a??b2??b????22?4分

13??a??2?172b??a?b??2?0?b时，则?（3）当，解得?， 131132?2a??a2??b??4??22?a??2?17a?b??0?b，得 ?由---------------------------------------------------9分 132?b??41213?2a??a???22（4）当a?b?0时，?，所以a,b是一元二次方程

113?2b??b2???221213x?2x??0的两根，它的两根一正一负，与a?b?0矛盾，不可能。 2213综上所述：a?1,b?3或a??2?17，b? -------------------------------12分

422．（本题12分）

解：延长BA、FE交于点G， ? AD是高，EF⊥BC ? AD∥EF

?△BAP∽△BGE，△BPD∽△BEF----------------------------------2分

数学试题卷 第7页共10页

?APEG?BPBE?PDEF ----------------------------------------------------3分 ? P为AD的中点，即AP=PD

? EG=EF---------------------------------------------------------------6分 ?∠GAE=∠EFC=90?，又∠GEA=∠FEC

?△GAE∽△CFE-------------------------------------------------------7分 ?EFECAE?EG ?EF2?AE?EC?36

?EF=6--------------------------------------------------------------------9分

?EF=12EC ，∠EFC=90?

?∠C=30? ?BC=233AC=103 ----------------------------------------------12分 23．（本题12分）

（1）证法一：连结BM

? AB是直径，AB⊥CD于E

? ∠AMB=90?，CB??DB? -----------------------------------2分 ?∠CMB=∠DMB

?∠AMD=∠FMC．----------------------------------------------------------------4分

证法二：连结AD

? AB是直径，AB⊥CD于E

? CA??DA? ?∠AMD=∠ADC--------------------------------------------2分 ?四边形ADCM内接于⊙O ?∠ADC+∠AMC=180? ?∠AMC+∠FMC=180?

?∠FMC=∠ADC

?∠AMD=∠FMC．----------------------------------------------------------------4分

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G A E P B D

F

（第22题）

）（图②

（2）①设⊙O的半径为r，连结OC

? BE=2，CD=8 ?OE=r?2，CE=4

?r2?(r?2)2?42 ----------------------------------------------------------------6分

解得：r?5 -------------------------------------------------------------------------7分 ②由（1）知：∠AMD=∠FMC 同理可得：∠MAD=∠FCM

M C ∠MDA=∠MFC ?G 当FM=MC时，AM=MD

如图①，连结MO并延长交AD于H ． A B OEH 则AH⊥AD，AH=HD=25，AO=5

D ?OH=5 （图①）

?AM=(25)2?(5?5)2=50?105 ----------------------------------9分

当FM=FC时，连结DO并延长交AM于G

此时△AOG≌△DEO ?AG=DE=4

?AM=8----------------------------------------------------------------------------------11分 当MC=FC时，AM=AD=AC=45，此时M、F均与C重合

△CMF不存在---------------------------------------------------------------------------12分 综上所述：AM=8或50?105 24．（本题14分）

解：（1）这样的跳动之一是：0，1，2，1，0（也可以是0，1，0，1，0）-----------2分 （2）从a1经2013步到达a2014，不妨设向右跳了x步，向左跳了y步， 则??x?y?2015，------------------------------------------------------5分

?7?x?y?2020?x?2014解得：?-----------------------------------------------------------6分

y?1?数学试题卷 第9页共10页

即向左跳动仅一次，若这次跳动在1999次及以前，则a2000=7+1998-1=2004；

--------------------------------------------7分

若这次跳动在1999次后，则a2000=7+1999=2006--------------------------------------------------8分 （3）因为这个(n?1)次跳动的情形，能同时满足如下两个条件：

①a1?2，②a1+a2+a3+??an=2．

经过(k?1)步跳动到达ak，假设这(k?1)步中向右跳了xk步，向左跳了yk步， 则ak?2?xk?yk，xk?yk?k?1（k?2的正整数）--------------------9分 ?a1+a2+a3+??an=2n+（x2?y2）+（x3?y3）+??(xn?yn)

=2n+2（x2?x3?x4???xn）?[(x2?y2)?(x3?y3)???(xn?yn)] =2n+2（x2?x3?x4???xn）?(1?2?3???n?1) =2n+2（x2?x3?x4???xn）?n(n?1) 2?2（a1+a2+a3+??an）=4n+4（x2?x3?x4???xn）?n(n?1)

22（a1+a2+a3+??an）=?n?5n+4（x2?x3?x4???xn）

?n2?5n?4（a1+a2+a3+??an)?4

?n(n?5)?4（a1+a2+a3+??an)?4-------------------------------------------------11分

?n(n?5)能被4整除，所以n被4除的余数为0或1---------------------------------14分

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