概率论与数理统计第二版课后答案科学出版社王松桂张忠占参考答案

习题2参考答案

2.1XP

21/36

31/18

∞

41/12

51/9

∞

65/36

k

71/6

85/36

91/9

101/12

111/18

121/36

2.2解：根据∑P(X=k)=1，得∑ae

k=0

k=0

ae 1

=1，即=1。

1 e 1

故a=e 1

2.3解：用X表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7)用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数,Y~B(2,0.4)(1)两人投中的次数相同

P{X=Y}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=2}=

C20.700.32×C20.400.62+C20.710.31×C20.410.61+C20.720.30×C20.420.60=0.3124

(2)甲比乙投中的次数多

P{X>Y}=P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0}+P{X=2,Y=1}=

001122

C20.710.31×C20.400.62+C20.720.30×C20.400.62+C20.720.30×C20.410.61=0.5628

2.4解:（1）P{1≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=(2)P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+P{X=2}=

121+=15155

1232++=1515155

102021

11[1 (k]

1111=12.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=2+4+6+ 2k=limk→∞1222231

4111

（2）P{X≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}-P{X=2}=1 =

244

2.6解：设Ai表示第i次取出的是次品，X的所有可能取值为0，1，2

P{X=0}=P{A1A2A3A4}=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)=1817161512×××=2019181719

P{X=1}=P{A1A2A3A4}+P{A1A2A3A4}+P{A1A2A3A4}+P{A1A2A3A4}

218171618217161818216181716232=×××+×××+×××+×××=2019181720191817201918172019181795P{X=2}=1 P{X=0} P{X=1}=1

12323 =199595

2.7解：(1)设X表示4次独立试验中A发生的次数，则X~B(4,0.4)

P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=C40.430.61+C40.440.60=0.1792(2)设Y表示5次独立试验中A发生的次数，则Y~B(5,0.4)

P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=C50.430.62+C50.440.61+C50.450.60=0.31744

3

4

5

34

2.8（1）X～P(λ)=P(0.5×3)=P(1.5)1.50 1.5 1.5

P{X=0}=e=e

0!（2）X～P(λ)=P(0.5×4)=P(2)

20 221 2

P{X≥2}=1 P{X=0} P{X=1}=1 e e=1 3e 2

0!1!

2.9解：设应配备m名设备维修人员。又设发生故障的设备数为X，则X~B(180,0.01)。

依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99，即P(X≤m)≥0.99，也即

P(X≥m+1)≤0.01

因为n=180较大，p=0.01较小，所以X近似服从参数为λ=180×0.01=1.8的泊松分布。查泊松分布表，得，当m+1=7时上式成立，得m=6。故应至少配备6名设备维修人员。

2.10解：一个元件使用1500小时失效的概率为

100010001

P(1000≤X≤1500)=∫= =

1000x2x10003

1500

1500

设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y，则Y~B(5,)。所求的概率为

1

3

1280

P(Y=2)=C52(2×()3=5=0.329

333

2.11解：(1)P(X<2)=F(2)=ln2

P(0<X<3)=F(3) F(0)=1 0=1

P(2<X≤2.5)=F(2.5) F(2)=ln2.5 ln2=ln1.25 x 11≤x<e

f(x)=F′(x)=

其它 0

(2)

a=1

2.12解：(1)由F(+∞)=1及limF(x)=F(0)，得 ，故a=1,b=-1.

x→0

a+b=0

x 2

(2)f(x)=F′(x)= xe

0

2

x≥0

x<0

(3)P(ln4<X<

ln162

ln16)=F(ln16) F(ln4)

ln42

=(1 e

2.13（1）

) (1 e

)=

1

=0.254

假设该地区每天的用电量仅有80万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：

P{0.8<X≤1}=∫12x(1 x)2dx=(6x2 8x3+3x4)|=0.0272

0.8

0.8

11

（2）假设该地区每天的用电量仅有90万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：

P{0.9<X≤1}=∫12x(1 x)2dx=(6x2 8x3+3x4)|=0.0037

0.9

0.9

11

2.14解:要使方程x+2Kx+2K+3=0有实根则使 =(2K) 4(2K+3)≥0

2

2

解得K的取值范围为[ ∞, 1]∪[4,+∞],又随机变量K~U(-2,4)则有实根的概率为

p=

[ 1 ( 2)+4 3]1

=

4 ( 2)3

1

)200

111

x100 1 200

edx=e200|=1 e2

0200

2.15解：X~P(λ)=P(

(1)P{X≤100}=∫

100

113 x∞ 1 200

200

（2）P{X≥300}=∫edx=e=e2|300300200

∞

（3）P{100≤X≤300}=∫

300

100

1113

x300 1 200

edx=e200|=e2 e2

100200

P{X≤100,100≤X≤300}=P{X≤100}P{100≤X≤300}=(1 e)(e

1

2

12

e)

32

2.16解：设每人每次打电话的时间为X，X~E(0.5)，则一个人打电话超过10分钟的概率

为

P(X>10)=∫0.5e 0.5xdx= e 0.5x

10

+∞+∞10

=e 5

又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y，则Y~B(282,e 5)。

因为n=282较大，p较小，所以Y近似服从参数为λ=282×e 5≈1.9的泊松分布。

所求的概率为

P(Y≥2)=1 P(Y=0) P(Y=1)

=1 e 1.9 1.9e 1.9=1 2.9e 1.9=0.56625

105 110

2.17解：(1)P(X≤105)=Φ(=Φ( 0.42)=1 Φ(0.42)

12

=1 0.6628=0.3372

(2)P(100≤X≤120)=Φ(

120 110100 110

Φ()1212

=Φ(0.83) Φ( 0.83)=2Φ(0.83) 1=2×0.7967 1=0.59342.18解：设车门的最低高度应为a厘米，X~N(170,62)

P{X≥a}=1 P{X≤a}≤0.01

a 170

P{X≤a}=Φ(≥0.99

6a 170

=2.336a≈184厘米

2.19解：X的可能取值为1,2,3。

C426

因为P(X=1)=3==0.6；

C510

P(X=3)=

11==0.1；3

C510

P(X=2)=1 0.6 0.1=0.3

所以X的分布律为

XP

X的分布函数为

10.6

20.3

30.1

x<1 0

0.61≤x<2

F(x)=

0.92≤x<3 1x≥3

2.20(1)

π

P{Y=0}=P{X==0.2

2

P{Y=π2}=P{X=0}+P{X=π}=0.3+0.4=0.7

3π

P{Y=4π2}=P{X==0.1

2

Y00.2

π20.7

4π20.1

qi(2)

P{Y= 1}=P{X=0}+P{X=π}=0.3+0.4=0.7

π3π

P{Y=1}=P{X=+P{X==0.2+0.1=0.3

22Y

-10.7

10.3

qi

2.21（1）

当 1≤x<1时，F(x)=P{X= 1}=0.3

当1≤x<2时，F(x)=P{X= 1}+P{X=1}=0.3+P{X=1}=0.8

P{X=1}=0.8 0.3=0.5

当x≥2时，F(x)=P{X= 1}+P{X=1}+P{X=2}=0.8+P{X=2}=1

P{X=2}=1 0.8=0.2XP（2）

-10.3

10.5

20.2

P{Y=1}=P{X= 1}+P{X=1}=0.3+0.5=0.8P{Y=2}=P{X=2}=0.2Y

10.8

20.2

qi

2.22∵X

~N(0,1)∴fX(x)=

x22

（1）设FY(y)，fY(y)分别为随机变量

Y的分布函数和概率密度函数，则

FY(y)=P{Y≤y}=P{2X 1≤y}=P{X≤

y+1

=∫2

y+12 ∞

x22

dx

对FY(y)求关于y

的导数，得fY(y)=y+12

) 2

2(

(y+1) y+1()′=8

22

y∈( ∞,∞)

（2）设FY(y)，fY(y)分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则当y≤0时，FY(y)=P{Y≤y}=P{e X≤y}=P{ }=0当y>

0时，有

x2

dx2

FY(y)=P{Y≤y}=P{e X≤y}=P{ X≤lny}=P{X≥ lny}=∫对FY(y)求关于y

的导数，得

(lny) ( lny) 2( lny)′=2 fY(y)= 0

2

2

∞

lny

y>0y≤0

（3）设FY(y)，fY(y)分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则当y≤0时，FY(y)=P{Y≤y}=P{X2≤y}=P{ }=0

x2

dx2

当y>0

时，FY(y)=P{Y≤y}=P{X2≤y}=P{≤X≤=对FY(y)求关于y

的导数，得 fY(y)= 0

′′=

(lny)2

2

y>0y≤0

1

2.23∵X～U(0,π)∴fX(x)= π

0（1）

当2lnπ<y<∞时

0<x<π其它

FY(y)=P{Y≤y}=P{2lnX≤y}=P{lnX2≤y}=P{ }=0当

∞<y≤2lnπ时

y

FY(y)=P{Y≤y}=P{2lnX≤y}=P{lnX2≤y}=P{X2≤ey}=P{X≤=∫

yy

1212

e (e)′=

对FY(y)求关于y的导数，得到fY(y)= π2π

0

e2

1π

∞<y≤2lnπ2lnπ<y<∞

（2）

当y≥1或 y≤-1时，FY(y)=P{Y≤y}=P{cosX≤y}=P{ }=0当 1<y<1时,FY(y)=P{Y≤y}=P{cosX≤y}=P{X≥arccosy}=∫对FY(y)求关于y

的导数，得到 1′ (arccosy)=

fY(y)= π 0

1<y<1其它

1arccosyπ

π

（3）当y≥1或 y≤0时FY(y)=P{Y≤y}=P{sinX≤y}=P{ }=0当0<y<1时，

答案仅供参考

FY(y)=P{Y≤y}=P{sinX≤y}=P{0≤X≤arcsiny}+P{π arcsiny≤X≤π}arcsiny1π1=∫+∫0π arcsinyππ对FY(y)求关于y

的导数，得到

1 1′′arcsiny (π arcsiny)= πfY(y)= π 0

0<y<1其它

习题3参考答案

3.1P{1<X≤2,3<Y≤5}=F(2,5)+F(1,3)--F(1,5)—F(2,3)=

3128

3.2

Y

X

2

01

2

c

345

222

=

35

3

c

345

312

2=5

3.4（1）a=

（2）

19

512

（3）

P{(X,Y)∈D}=∫dy∫

1 y1111

x y)dx=∫[(6 y)x x2]|dy

0009902

11121113111882

=∫(y 6y+5dy=(y 3y+5y)|=×=902296209327

1

1 y

3.5解：（1）

F(x,y)=∫

（2）

y

∫

x

2e

(2u+v)

yx

dudv=∫edv∫2e 2udu=( e v|0)( e 2u|0)=(1 e y)(1 e 2x)

y

v

x

P(Y≤X)=∫=∫2e

0∞

2x

x

∫

∞

2e

(2x+y)

dxdy=∫2e

∞

2x

x

dx∫edy=∫2e 2x( e y|0)dx0

x

v

∞

221∞∞

(1 e)dx=∫(2e 2x 2e 3x)dx=( e 2x|0)+e 3x|0=1 =

0333

x

∞

2πa1r

3.6解：P(x+y≤a)=∫∫=dθ222∫0∫0π(1+r2)2dr

222π(1+x+y)x+y≤a

2

2

2

=∫dθ∫

2πa

a11111a22

d(1+r)= ×2π×|=1 1+a2=1+a2

π(1+r2)2π2(1+r2)0

3.7参见课本后面P227的答案

1

3.8fX(x)=

∫

323y31x

f(x,y)dy=∫xydy=x|=

022302

12

fy(y)=∫f(x,y)dx=∫

2

3232122

xydx=yx|=3y22220

3y20≤y≤1

fY(y)=

0其它

x0≤x≤2 ,

fX(x)= 2

0,其它

3.9解：X的边缘概率密度函数fX(x)为：

①当x>1或x<0时，f(x,y)=0，

12111

fY(y)=∫4.8y(2 x)dx=4.8y[2x x]|=4.8y[1 2y+y2]

yy222

1

fX(x)=0y>1或y<0

0≤y≤1

fX(x)=∫4.8y(2 x)dy=2.4y2(2 x)|=2.4x2(2 x)

xx

②当0≤x≤1时，fX(x)=

∫

x

4.8y(2 x)dy=2.4y2(2 x)|=2.4x2(2 x)

x

Y的边缘概率密度函数fY(y)为：

当y>1或y<0时，f(x,y)=0，fY(y)=0当0≤y≤1时，fY(y)=

∫

1

y

4.8y(2 x)dx=4.8y[2x

12111x]|=4.8y[1 2y+y2]y222

=2.4y(3 4y+y2)

3.10（1）参见课本后面P227的答案

x

6dy

（2）fX(x)= ∫x2

0

xx）0≤x≤

10≤x≤1 6（1-=

其它其它 0

dx0≤y≤

1 6y）0≤y≤1

= fY(y)= y

其它其它 0 0

3.11参见课本后面P228的答案3.12参见课本后面P228的答案3.13（1）

0≤x≤1 220≤x≤1 22xy

(x+)dy 2x+x

fX(x)= ∫0= 33

其它其它 0 0

答案仅供参考

0≤y≤2 1y 12xy

(x+dx +

fY(y)= ∫0=3 36

其它 0 0

对于0≤y≤2时，fY(y)>0，

0≤y≤2其它

2xy

x+f(x,y)

所以fX|Y(x|y)== 1+y

fY(y) 36

0

对于0≤x≤1时，fX(x)>0

6x2+2xy

0≤x≤1 0≤x≤1

2+y = 其它其它0

2xy0≤y≤2 3x+y 6x+2 x+ f(x,y)

所以fY|X(y|x)== = 2x2+2x

fX(x) 3

0 其它 0

0≤y≤2

其它

P{Y<

111

|X==∫fY|X(y|)dy=∫222

1

20120

113×+y+y13×7=∫2=

05406×+2

2

3.1413Y的边缘分布

Y

00.150.050.2

20.250.180.43

50.350.020.37

X的边缘分布

0.750.251

由表格可知P{X=1;Y=2}=0.25≠P{X=1}P{Y=2}=0.3225故P{

X=x;Y=y}≠P{X=x}P{Y=y}

i

i

i

i

所以X与Y不独立3.151

Y

1

2

3

X的边缘分布

161312

i

i

19

a

118

b

131

+a+b3

2

Y的边缘分布

a+

19

i

b+

118

i

1

由独立的条件P{

X=x;Y=y}=P{X=x}P{Y=y}则

P{X=2;Y=2}=P{X=2}P{Y=2}P{X=2;Y=3}=P{X=2}P{Y=3}

∑P{X=i}=1

可以列出方程

11

(+a+b)(+a)=a3911

(+b)(+a+b)=b18311

++a+b=133

a≥0,b≥0

解得a=

21,b=99

0≤x≤2其它

3y20≤y≤1

fY(y)=

0其它

x

3.16解（1）在3.8中fX(x)= 2

0

当0≤x≤2，

0≤y≤1时，fX(x)fY(y)=

32

xy=f(x,y)2

当x>2或x<0时，当y>1或y<0时，fX(x)fY(y)=0=f(x,y)所以，X与Y之间相互独立。

2.4x2(2 x)0≤x≤1

（2）在3.9中，fX(x)=

其它 0 2.4y(3 4y+y2)

fY(y)=

0

当0≤x≤1，0≤y≤1时，

0≤y≤1其它

fX(x)fY(y)=2.4x2(2 x)2.4y(3 4y+y2)=5.76x2(2 x)y(3 4y+y2)≠f(x,y)，所以X与Y之间不相互独立。

3.17解：

fff

x

(x)=∫f(x,y)dy=∫

∞

+∞+∞

xe

x

1

(1+y)

x

=xe2

x

y

(y)=∫f(x,y)dy=∫

∞

+∞+∞

xe

1

(1+y)

=f(x,y)

=2

1

(1+y)

2

x

(x) f(y)=xe

y

x

1

(1+y)

2

故X与Y相互独立

3.18参见课本后面P228的答案

习题4参考答案

4.1解：E(X)=

∑xp

ii

i

=1

E(Y)=∑yipi=0.9

i

∵甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零件次品数，又∵两台机床的总的产量相同

∴乙机床生产的零件的质量较好。4.2解：X的所有可能取值为：3，4，5

P{X=3}=

1

CC

35

=0.1

P{X=4}=3=0.33

5

4P{X=5}=3=0.6

2

2

C

5

E(X)=∑xipi=3×0.1+4×0.3+5×0.6=4.5

i

4.3参见课本230页参考答案4.4解：

P{X=n}=p(1 p)n 1,n=1,2,3......E(X)=∑xipi=∑np(1 p)n 1=

i

n=1∞

p1

=

[1 (1 p)]2p

4.6参考课本230页参考答案

4.7解：设途中遇到红灯次数为X，则X~B(3,0.4)

E(X)=np=4×0.3=1.2

4.8解

+∞

E(X)=

∞

∫f(x)xdx

1500

=

1+ x 3000)xdx∫∫

15001500

3000

2

2

1500

2

=500+1000

=1500

4.9参见课本后面230页参考答案4.10参见课本后面231页参考答案4.11解:设均值为µ,方差为

σ

2

,则X~N(µ,σ2)根据题意有:

P(X>96)=1 P(X<96)

=1 P(

X µ96 72

<)σσ

=1 Φ(t)=2.3%

Φ(t)=0.997,解得t=2即σ=12

所以成绩在60到84的概率为

P(60≤X≤84)=P(

60-72X-µ84-72

≤≤12σ12

=Φ(1)-Φ(-1)=2Φ(1)-1

=2×0.8413-1=0.6826

4.12E(X2)=0×0.4+12×0.3+22×0.2+32×0.1=2

E(5X2+4)=4×0.4+(5×12+4)×0.3+(5×22+4)×0.2+(5×32+4)×0.1=14

E(Y)=E(2X)=∫2xedx=2∫xd( e)=2[ xe

∞

x

∞

x

x∞

4.13解：

|+∫

∞

e xdx]

=2( e)|=2

x

2X

∞

E(Y)=E(e

)=∫e

∞

2x x

edx=∫e

∞

3x

1 3x∞1dx= e|=

033

4πR3

4.14解：V=

3

1

设球的直径为X,则：f(x)= b a

0

4π(

a<x<b其它

E(V)=E(

X3

)

=E(πX3)=bπx31=π×1×1x4b=π(b+a)(b2+a2)

∫a6b a6b a4|a2436

4.15参看课本后面231页答案4.16解:

ff

y

x

(x)=∫f(x,y)dy=∫

∞+∞

1

+∞x

12ydy=4x

2

2

3

(y)=∫f(x,y)dy=∫12ydx=12y 12y

∞

23

y

E(X)=∫E(Y)=∫

+∞

∞

ff∫∫

x

(x) xdx=∫

1

4xdx=

3

4

45

4

+∞

∞y

(x) ydy=∫12y 12ydy=

1

35

1

E(XY)=f(x,y)xydxdy=

0≤y≤x≤10≤y≤x≤1

∫∫12xydxdy=∫

3

00

∫

x

12xydydx=

3

12

答案仅供参考

E(X)=∫f(x) xdx=∫

∞

2

+∞

2

2

+∞

2

1

4xdx=

4

5

23

5

E(Y)=∫f(y) ydy=∫12y 12ydy=

∞

1

25

E(X

2

+Y

2

)=E(X)+E(Y)=

22

1615

4.17解

∵X与Y相互独立，∴

1∞21∞

E(XY)=E(X)E(Y)=∫x2xdx∫ye5 ydy=(x3|)∫yd( e5 y)

05305

∞∞2225 y∞

=×( ye|+∫e5 ydy)=×[5+( e5 y)|]=×(5+1)=4

555333

4.18，4.19，4.20参看课本后面231，232页答案

4.21设X表示10颗骰子出现的点数之和，Xi(i=1,2, 10)表示第i颗骰子出现的点数，则X=

∑X

i=1

10

i

，且X1,X2, X10是

独立同分布的，又E(Xi)=1×

10

10

11121

+2×+ +6×=6666

21

=356

所以E(X)=E(

∑Xi)=∑E(Xi)=10×

i=1

i=1

4.22参看课本后面232页答案

4.23E(X2)=0×0.4+12×0.3+22×0.2+32×0.1=2

D(X)=E(X2) [E(X)]2=2 12=1E(Y2)=0×0.3+12×0.5+22×0.2+32×0=1.3

答案仅供参考

D(Y)=E(Y2) [E(Y)]2=1.3 0.92=0.49

4.24E(X2)=

∫

2

x2

424111111114xdx+∫x2( x+1)dx=x4|+[ x4+x3]|=1+=

224416016333

D(X)=E(X2) [E(X)]2= 11+xy

4.25fX(x)= ∫ 14

0

142

4=33 1<x<1 1

= 2 其它 0

1

1<x<1其它

Var(X)=E(X2) [E(X)]2=∫113111211

=×x| ×x|=23 122 13

1112

dx [∫]2 12 12

1<y<1 1 11+xy

fY(y)= ∫ 14= 2

其它 0 0

1<y<1其它

Var(Y)=E(Y2) [E(Y)]2=∫113111211

=×y| ×y|=23 122 13

1112

ydy [∫ydy]2 12 121

4.26因为X~N(0,4),Y~U(0,4)所以有Var(X)=4Var(Y)=

4

3

故：Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=4+

416=33

4

=283

Var(2X-3Y)=4Var(X)+9Var(Y)=4×4+9×4.27参看课本后面232页答案4.28E(Z)=E(

X1+X2+ +XnXXX

)=E(1)+E(2+ +E(nnnnn

=

1111

E(X1)+E(X2)+ +E(Xn)=µ n=µnnnn

答案仅供参考

D(Z)=D(

X1+X2+ +XnXXX

=D(1)+D(2)+ +D(nnnnn

11112σ2

=2E(X1)+2E(X2)+ +2E(Xn)=2σ n=nnnnn

后面4题不作详解

习题5参考答案

5.3

解：用Xi表示每包大米的重量，，则E(Xi)=µ=10,D(Xi)=σ2=0.1

100

∑X

i=1

i

~N(nµ,nσ2)=N(100×10,100×

0.1)

100

100

Z=

∑X

100

i

nµ

=

∑

X

i

100×10

=

∑X

i

1000~N(0,1)

P(990≤∑Xi≤1010)=P≤

i=1

100

∑

X

100

i

1000≤

=Φ Φ(=Φ Φ

(=2Φ 1=0.9986

5.4解：因为Vi服从区间[0,10]上的均匀分布，

0+10

E(Vi)==5

2

20

20

20

102100

D(Vi)==

1212

100

)12

∑Vi~N[∑E(Vi),∑D(Vi)]=N(20×5,20×

i=1

i=1

i=1

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/exlm.html