广东省揭阳市2015年高中毕业班高考第一次模拟考试数学文试题（一

绝密★启用前

揭阳市2015年高中毕业班高考第一次模拟考试

数学(文科)

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：棱锥的体积公式：V?1Sh．其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高． 3导数公式： 若f(x)?sin(x?1)，则f'(x)?cos(x?1)； 若f(x)?cos(x?1)，则f'(x)??sin(x?1)．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合A?{4,5,6,8},B?{3,5,7,8}，则AB中元素的个数为

A．5 B．6 C．7 D．8 2．已知复数z?(?8?7i)(?3i)，则z在复平面内对应的点位于

A．第一象限

B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

223．“a?b”是 “a?b”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

x2y2?1(a?0)的离心率为 4．双曲线2?2a4aA.

5 B.5 C.2 D. 23 5．已知a?(sin?,cos?),b?，若a?b，则tan?的值为 （-2,1）11 D. ? 2216．已知函数y?logax(a?0,a?1)的图象经过点(2,)，则其反函数的解析式为

2A. ?2 B. 2 C.

·1·

A. y?4x B.y?log4x C.y?2x D. y?()

7．某单位200名职工的年龄分布情况如图1示，该单位为了 50岁以上 解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取 20% 40名职工进行调查.则应从40-50岁的职工中抽取的人数为 40 岁以下 30P%A.8 B.12 C.20 D.30 40 － 50 岁 12x?5x?3y?15，?8．不等式组?y?x+1，表示的平面区域的面积为 图1

?x?5y?3.?A. 14 B.5 C. 3 D. 7

9．设l,m是两条不同的直线，?,?是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是

A.若m//l,m//?,则l//?；

C.若?//?,l??,m//?,则l?m；

B.若m??,l?m,则l//?；

D.若m??,m//?,l??,l//?,则?//?.

10. 对任意的a、b?R，定义：min{a,b}=?则下列各式中恒成立的个数为

?a,(a?b)?a,(a?b)；max{a,b}=?.

?b.(a?b)?b.(a?b) ①min{a,b}?max{a,b}?a?b ②min{a,b}?max{a,b}?a?b

③(min{a,b})?(max{a,b})?a?b ④(min{a,b})?(max{a,b})?a?b A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）

11．不等式x?3x?10?0的解集为 ．

12．在△ABC中，?A、?B、?C的对边分别为a、b、c，若a?3，?B?2?A，cosA? 则b? ．

13．已知函数f(x)?x对应的曲线在点(ak,f(ak))(k?N?)处的切线与x轴的交点为(ak?1,0)，

326， 3f(3a1)?f(3a2)??f(3a10)? ． 若a1?1，则2101?()3（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线?sin(??·2·

?F4E)?2 ABC

被圆?=4截得的弦长为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图2，BE、CF分别为钝角

△ABC的两条高，已知AE?1,AB?3,CF?42,

则BC边的长为 ． 图2 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.(本小题满分12分)

已知函数f(x)?2sin(?x?)(??0,x?R)的最小正周期为?. （1）求?的值； （2）若f(?)??6?2，??(0,)，求cos2?的值.

8317.(本小题满分12分)

图3是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI）的趋势图. AQI指数 200196 183159 160139

126124134 120109120 93102979888 80697575706671 454649（）40363616284785148图3

日期

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图； （2）当空气质量指数（AQI）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？

（图中纵坐标1/300即

图4

18．（本小题满分14分）

如图5，已知?BCD中，?BCD?90,BC?CD?1，

1，以此类推） 300AB?6，AB⊥平面BCD，E、F分别是AC、AD的中点．

·3·

（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；

（2）设平面BEF平面BCD?l，求证CD//l； （3）求四棱锥B-CDFE的体积V．

图5

19. (本小题满分14分)

已知Sn为数列?an?的前n项和，Sn?nan?3n(n?1)（n?N），且a2?12．

* （1）求a1的值；

（2）求数列?an?的通项公式； （3）求证：

11??S1S2?11?． Sn320. (本小题满分14分)

已知抛物线C：x2?2py(p?0)的焦点为F，点P是直线y?x与抛物线C在第一象限的交点，且|PF|?5.

（1）求抛物线C的方程；

（2）设直线l:y?kx?m与抛物线C有唯一公共点M，且直线l与抛物线的准线交于点Q,试探究，在坐标平面内是否存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由. 21. (本小题满分14分)

已知函数f(x)?ax，g(x)?lnx，其中a?R．

（1）若函数F(x)?f(x)?g(x)，当a?1时，求函数F(x)的极值；

（2）若函数G(x)?f(sin(x?1))?g(x)在区间(0,1)上为减函数，求a的取值范围；

（3）证明：

?sink?1n1?ln(n?1)． k?1揭阳市2015年高中毕业班高考第一次模拟考试

数学(文科)参考答案及评分说明

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难

·4·

度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一、选择题：BBDAC ABDCB

解析：10. 由定义知⑴、⑶恒成立，⑵⑷不恒成立，正确答案B.

二、填空题： 11. {x|?2?x?5}；12.26；13. 3；14.43；15.57.

232解析：13.由f'(x)?3x2得曲线的切线的斜率k?3ak，故切线方程为y?ak令y?0?3ak(x?ak)，

得ak?1?22a2ak?k?1?，故数列{an}是首项a1?1，公比q?的等比数列，又 33ak3f(3a1)?f(3a2)??f(3a10)?a1?a2?a1(1?q10)?a10??3(1?q10)，所以

1?qf(3a1)?f(3a2)??f(3a10)?3.

2101?()315．依题意得BE?22，因△BEA∽△CFA得

AEBEAB??,所以AF?2,AC?6, AFFCACBC?BE2?EC2?57．

三、解答题： 16．解：（1）由

2π??π得?=2----------------------------------------------------2分

π2π1 得sin(2??)? -----------------------3分

6363???5π)， --------------------------------------------4分 ∵??(0,)，∴2???(, 86612（2）解法1：由f(?)?2sin(2??)?∴cos(2??)?1?sin(2??)?∴cos2??cos[(2??π62π622-----------------------------------------6分 3?)?]----------------------------------------------------8分 66??cos(2??)cos?sin(2??)sin ----------------------------------------10分

6666????·5·

?2231126?1----------------------------------------------------12分 ????32326π62π1 得sin(2??)?，--------------------------3分 363[解法2：由f(?)?2sin(2??)?即sin2?cos?6?cos2?sin?6?1-------------------------------------------------5分 32?cos2?3-----------------------①---------------------------------6分 ?sin2??3将①代入sin2??cos2??1并整理得4cos2??12cos2??23?0，---------------8分 解得：cos2??∵??(0,22212?2461?26，--------------------②---------------------10分 ?726?8) ∴0?2???4，∴cos2??0，故②中负值不合舍去，----------------11分

∴cos2??1?26.-----------------------------------------------------------12分] 617．解：（1）

---4分 ----8分

(2) 由频率分布表知，该市本月前30天中空气质量优良的天数为19，------------------9分 故此人到达当天空气质量优良的概率：

P?19?0.63>0.6-------------------------------------------------------------11分 30AB⊥平面BCD，CD?平面BCD ?AB?CD，----------------1分

故可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60% ----------------------------12分 18.解：（1）证明：又BC?CD， ABBC?B， ?CD?平面ABC，------------------------------2分

·6·

又E、F分别是AC、AD的中点，∴EF//CD.---------------------------------------3分 ∴EF⊥平面ABC

又EF?平面BEF，?平面BEF⊥平面ABC -----------------------------------------4分 （2）

CD // EF，CD?平面BEF，EF?平面BEF

∴CD//平面BEF，----------------------------6分 又CD?平面BCD，且平面BEF平面BCD?l

∴CD//l．------------------------------------8分 （3）解法1：由（1）知EF//CD ∴?AEF?ACD------------------------------9分

?S?AEF1V1?, ∴B?AEF?------------------11分 S?ACD4VB?ACD4331116?V?VB?ACD?VA?BCD?S?BCD?AB???1?1?6?.------------------14分

444428[解法2：取BD中点G，连结FC和FG，则FG//AB，-----9分 ∵AB⊥平面BCD，∴FG ⊥平面BCD，-----------------10分 由（1）知EF⊥平面ABC， ∴V?VF?EBC?VF?BCD?11S?EBC?EF?S?BCD?FG------12分 331611166??????1?1??.----------------14分] 3423228

19.解：（1）由S2?a1?a2?2a2?3?2(2?1)和a2?12.可得a1?6，------------------2分 （2）解法1：当n?2时，由an?Sn?Sn?1

得an?nan?3n(n?1)?(n?1)an?1?3(n?1)(n?2)，---------------------------------4分

?(n?1)an?(n?1)an?1?6(n?1)?an?an?1?6(n?2,n?N?)---------------------6分

∴数列{an}是首项a1?6，公差为6的等差数列，∴an?a1?6(n?1)?6n-------------8分

·7·

[解法2：当n?2时，由Sn?nan?3n(n?1)?n(Sn?Sn?1)?3n(n?1)------------------4分 可得(n?1)Sn?nSn?1?3n(n?1) ?∴数列{SnSn?1??3,---------------------------------6分 nn?1SnS}为首项1?6,公差为3的等差数列， n1?Sn?6?3(n?1)?3n?3，即Sn?3n2?3n. n∴an?6n---------------------------------------------------------------------8分] （3）证明：由（2）知Sn?n(a1?an)?3n(n?1)-----------------------------------10分 211111??(?)--------------------------------------------------12分 Sn3n(n?1)3nn?1?11??S1S2?11111?[(1?)?(?)?Sn322311111)?， ?(?)]?(1?3n?13nn?1命题得证．---------------------------------------------------------------------14分 20.解：(1)解法1： ∵点P是直线y?x与抛物线C在第一象限的交点，

∴设点P(m,m)(m?0),----------------------------------------------------------1分 ∵抛物线C的准线为y??pp，由|PF|?5结合抛物线的定义得m??5-------①-----2分 222又点P在抛物线C上，∴m?2pm(m?0)?m?2p.----------------------②-----3分

2由①②联立解得p?2，∴所求抛物线C的方程式为x?4y.-------------------------5分

[解法2：∵点P是直线y?x与抛物线C在第一象限的交点，

∴设点P(m,m)(m?0),----------------------------------------------------------1分

∵抛物线C的焦点为F(0,即m?(m?2pp)，由|PF|?5得m2?(m?)2?5, 22p2)?25，-------------------------------------------①-------------2分 22又点P在抛物线C上，∴m?2pm(m?0)?m?2p.--------------②-------------3分

·8·

由①②联立解得p?2，∴所求抛物线C的方程式为x2?4y.-------------------------5分] （2）解法1：由抛物线C关于y轴对称可知，若存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N， 则点N必在y轴上，设N(0,n)，--------------------------------------------------6分

2x0又设点M(x0,)，由直线l:y?kx?m与抛物线C有唯一公共点M知，直线l与抛物线C相切，

4由y?1211x得y'?x，∴k?y'|x?x0?x0，---------------------------------------7分 4222x0x?0(x?x0)，--------------------------------------------8分 ∴直线l的方程为y?422x0?2x22令y??1得x?，∴Q点的坐标为(0?,?1)，-----------------------------9分

x02x02x0x2?NM?(x0,?n),NQ?(0?,?1?n)--------------------------------------10分

42x0∵点N在以MQ为直径的圆上，

222x0x0x0?2?(1?n)(?n)?(1?n)?n2?n?2?0∴NM?NQ?244(*)--------------12分

?1?n?0要使方程(*)对x0恒成立，必须有?2解得n?1，-------------------------13分

?n?n?2?0∴在坐标平面内存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，其坐标为(0,1)．--------14分 [解法2：设点M(x0,y0)，由l:y?kx?m与抛物线C有唯一公共点M知，直线l与抛物线相切，

1211x得y'?x，∴k?y'|x?x0?x0，-----------------------------------6分 422x∴直线l的方程为y?y0?0(x?x0)，---------------------------------------------7分

2由y?令y??1得x?2(y0?1)2(y0?1),?1)，-------------------------8分 ，∴Q点的坐标为(x0x0·9·

∴以MQ为直径的圆方程为：(y?y0)(y?1)?(x?x0)[x?2(y0?1)]?0--------③----10分 x0分别令x0?2和x0??2，由点M在抛物线C上得y0?1，

将x0,y0的值分别代入③得：(y?1)(y?1)?(x?2)x?0-------------------------------④

(y?1)(y?1)?(x?2)x?0--------------------------------------------------------⑤

?x?0,?x?0,④⑤联立解得?或?，-----------------------------------------------12分

y?1.y??1.??∴在坐标平面内若存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，则点N必为(0,1)或(0,?1)， 将(0,1)的坐标代入③式得， 左边=2(1?y0)?(?x0)[?2(y0?1)]?2(1?y0)?2(y0?1)?0=右边， x0将(0,?1)的坐标代入③式得， 左边=(?x0)[?2(y0?1)]?2(y0?1)不恒等于0，------------------------------------13分 x0∴在坐标平面内是存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，点N坐标为为(0,1)．--14分] 21.解：（1）∵当a?1时， 函数F(x)?x?lnx，(x?0) ∴F'(x)?1?1x?1?，---------------------------------------------------------1分 xx令F'(x)?0得x?1，

当x?(0,1)时F'(x)?0，当x?(1,??)时，F'(x)?0，即函数F(x)在(0,1)单调递减，在(1,??)单调递增，---------------------------------------------------------------3分 ∴函数F(x)在x?1处有极小值，

∴F(x)极小?1?ln1?1.----------------------------------------------------------4分 （2）解法1：∵函数G(x)?f(sin(x?1))?g(x)=asin(x?1)?lnx在区间(0,1)上为减函数

·10·

∴G'(x)?acos(x?1)?11?0在(0,1)上恒成立?a?在(0,1)上恒成立，----5分 xxcos(x?1)设H(x)?1??cos?x?1??xsin?x?1??xsin?x?1??cos?x?1?，则H'(x)? ---7分 ?2222xcos(x?1)xcos(x?1)xcos(x?1)当x??0,1?时，sin?x?1??0，cos?x?1??0

所以H'(x)?0在?0,1?上恒成立，即函数H(x)在?0,1?上单调递减，-------------------8分 ∴当x??0,1?时，H(x)?H(1)?1，

∴a?1.-----------------------------------------------------------------------9分 [解法2：∵函数G(x)?f(sin(x?1))?g(x)=asin(x?1)?lnx在区间(0,1)上为减函数 ∴对?x?(0,1) ，G'(x)?acos(x?1)?∵x?(0,1)，∴cos(x?1)?0，

当a?0时，（?）式显然成立；----------------------------------------------------6分 当a?0时，（?）式?1?0-----------（?）恒成立，--------------5分 x1?xcos(x?1)在(0,1)上恒成立， a设h(x)?xcos(x?1)，易知h(x)在(0,1)上单调递增，-------------------------------7分 ∴h(x)?h(1)?1， ∴

1?1?0?a?1，------------------------------------------------------------8分 a综上得a?(??,1].-------------------------------------------------------------9分] （3）由（2）知，当a?1时，G(x)?sin(x?1)?lnx?G(1)?0,

1?sin(x?1)?lnx?sin(1?x)?ln，------------------------②----------------10分

x∵对?k?N有在②式中令x??k?(0,1)， k?1kk1k?1)?sin?ln得sin(1?，--------------------------12分

k?1k?1k?1k1113n?1?ln2?ln??ln∴sin?sin??sin

23n?12n34n?1?ln(2???)?ln(n?1)，

23n·11·

即

?sink?1n1?ln(n?1)．-------------------------------------------------------14分 k?1欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org ·12·

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