2022年甘肃省陇南市中考数学试卷及答案

2019年甘肃省陇南市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.下列四个几何体中，是三棱柱的为（）

A. B. C. D.

2.如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1，那么点B表示的数是（）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

3.下列整数中，与√10最接近的整数是（）

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

4.华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数

据0.000000007用科学记数法表示为（）

A. 7×10?7

B. 0.7×10?8

C. 7×10?8

D. 7×10?9

5.如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）

A. 平移变换

B. 相似变换

C. 旋转变换

D. 对称变换

6.如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）

A. 180°

B. 360°

C. 540°

D. 720°

7.不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）

A. x≤3

B. x≤?3

C. x≥3

D. x≥?3

8.下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（）

A. ①

B. ②

C. ③

D. ④

9.如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的√

2倍，

则∠ASB的度数是（）

A. 22.5°

B. 30°

C. 45°

D. 60°

10.如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A

出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋

盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，-2），“马”位于点（4，-2），则“兵”位于点______．

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12.一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”

的实验数据：

实验者德?摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基

掷币次数61404040100003600080640

出现“正面朝上”的次

3109204849791803139699数

频率0.5060.5070.4980.5010.492

请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为______（精确到0.1）．

13.因式分解：xy2-4x=______．

14.关于x的一元二次方程x2+√m x+1=0有两个相等的实数根，则m的取值为______．

15.将二次函数y=x2-4x+5化成y=a（x-h）2+k的形式为______．

16.把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星

图形，那么这个恒星图形的面积等于______．

17.定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特

征值”．若等腰△ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=______．

18.已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9

个数是______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

19.计算：（-2）2-|√2-2|-2cos45°+（3-π）0

四、解答题（本大题共9小题，共82.0分）

20.小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价

分别是多少元？

21.已知：在△ABC中，AB=AC．

（1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留

作图痕迹，不写作法）

（2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，

BC=6，则S⊙O=______．

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22.图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），

其中灯臂AC=40cm，灯罩CD=30cm，灯臂与底座构成的∠CAB=60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：√3取1.73）．

23.2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日

在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．

（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？

（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．

24.为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、

八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：

收集数据：

七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．

八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．

整理数据：

分析数据：

应用数据：

（1）由上表填空：a=______，b=______，c=______，d=______．

（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？

（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．25.如图，已知反比例函数y=k

（k≠0）的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一象限交

x

于A（1，3），B（3，1）两点

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交

上的图象于点N．若PM＞PN，一次函数y=-x+b的图象于点M，交反比例函数y=k

x

结合函数图象直接写出a的取值范围．

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26.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B

且与BC边相交于点E．

（1）求证：AC是⊙D的切线；

（2）若CE=2√3，求⊙D的半径．

27.阅读下面的例题及点拨，并解决问题：

例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC 的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．

点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为

∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．

问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．

28.如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（-3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，

连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】

解：A、该几何体为四棱柱，不符合题意；

B、该几何体为四棱锥，不符合题意；

C、该几何体为三棱柱，符合题意；

D、该几何体为圆柱，不符合题意．

故选：C．

分别判断各个几何体的形状，然后确定正确的选项即可．

考查了认识立体图形的知识，解题的关键是能够认识各个几何体，难度不大．

2.【答案】D

【解析】

解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1，

∴点B表示的数是：3．

故选：D．

直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案．

此题主要考查了实数轴，正确应用数形结合分析是解题关键．

3.【答案】A

【解析】

解：∵32=9，42=16，

∴3＜＜4，

10与9的距离小于16与10的距离，

∴与最接近的是3．

故选：A．

由于9＜10＜16，于是＜＜，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．

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本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．

4.【答案】D

【解析】

解：0.000000007=7×10-9；

故选：D．

由科学记数法知0.000000007=7×10-9；

本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．

5.【答案】B

【解析】

解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．

故选：B．

根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．

本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．

6.【答案】C

【解析】

解：黑色正五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°，

故选：C．

根据多边形内角和公式（n-2）×180°即可求出结果．

本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．

7.【答案】A

【解析】

解：去括号，得2x+9≥3x+6，

移项，合并得-x≥-3

系数化为1，得x≤3；

故选：A．

先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可．

本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．

解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．

8.【答案】B

【解析】

解：-

=-

=

=．

故从第②步开始出现错误．

故选：B．

直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．

此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

9.【答案】C

【解析】

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解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，

∵弦AB的长度等于圆半径的倍，

即AB=OA，

∴OA2+OB2=AB2，

∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB=90°，

∴∠ASB=∠AOB=45°．

故选：C．

设圆心为0，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到

∠AOB=90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数．

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

10.【答案】B

【解析】

解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP 面积最大为3．

∴AB?=3，即AB?BC=12．

当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，

∴AB+BC=7．

则BC=7-AB，代入AB?BC=12，得AB2-7AB+12=0，解得AB=4或3，

因为AB＜AD，即AB＜BC，

所以AB=3，BC=4．

故选：B．

当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，

△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．

本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．

11.【答案】（-1，1）

【解析】

解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于（-1，1）．

故答案为：（-1，1）．

直接利用“帅”位于点（0，-2），可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．

本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．

12.【答案】0.5

【解析】

解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，

所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．

故答案为0.5．

由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，则根据频率估计概率可得到硬币出现“正面朝上”的概率．

本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可

第14页，共25页

以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．

13.【答案】x（y+2）（y-2）

【解析】

解：xy2-4x，

=x（y2-4），

=x（y+2）（y-2）．

先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．

14.【答案】4

【解析】

解：

由题意，△=b2-4ac=（）2-4=0

得m=4

故答案为4

要使方程有两个相等的实数根，即△=b2-4ac=0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．

此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．

15.【答案】y=（x-2）2+1

【解析】

第16页，共25页 解：y=x 2-4x+5=x 2-4x+4+1=（x-2）2+1，

所以，y=（x-2）2+1．

故答案为：y=（x-2）2+1．

利用配方法整理即可得解．

本题考查了二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 为常数）；

（2）顶点式：y=a （x-h ）2+k ；

（3）交点式（与x 轴）：y=a （x-x 1）（x-x 2）．

16.【答案】4-π

【解析】

解：如图：

新的正方形的边长为1+1=2，

∴恒星的面积=2×

2-π=4-π． 故答案为4-π．

恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．

本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积．

17.【答案】85或1

4

【解析】 解：

①当∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：=50°

∴特征值k==

②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°-80°-80°=20°

∴特征值k==

综上所述，特征值k为或

故答案为或

可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解

本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．

18.【答案】13a+21b

【解析】

解：由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b，故答案为：13a+21b．

由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．

本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律．

19.【答案】解：（-2）2-|√2-2|-2cos45°+（3-π）0，

+1，

=4-（2-√2）-2×√2

2

=4-2+√2-√2+1，

=3．

【解析】

先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．

第18页，共25页 本题考查的是实数的运算，熟知零指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．

20.【答案】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x 元、y 元，根据题意可得： {12x +20y =14412y+20x=112

，

解得：{y =6x=2，

答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元．

【解析】

根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案．

此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键． 21.【答案】25π

【解析】

解：（1）如图⊙O 即为所求．

（2）设线段BC 的垂直平分线交BC 于点E ．

由题意OE=4，BE=EC=3，

在Rt △OBE 中，OB=

=5， ∴S 圆O =π?52=25π．

故答案为25π．

（1）作线段AB ，BC 的垂直平分线，两线交于点O ，以O 为圆心，OB 为半径作

⊙O，⊙O即为所求．

（2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题．

本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

22.【答案】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．

∵∠CEH=∠CFH=∠FHE=90°，

∴四边形CEHF是矩形，

∴CE=FH，

在Rt△ACE中，∵AC=40cm，∠A=60°，

∴CE=AC?sin60°=34.6（cm），

∴FH=CE=34.6（cm）

∵DH=49.6cm，

∴DF=DH-FH=49.6-34.6=15（cm），

在Rt△CDF中，sin∠DCF=DF

CD =15

30

=1

2

，

∴∠DCF=30°，

∴此时台灯光线为最佳．

【解析】

如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF 即可判断．

本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

23.【答案】解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，

∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是1

4

；

（2）画树状图分析如下：

共有16种等可能的结果，

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/exdq.html