【数学】2016年上海市杨浦区中考一模数学试题带答案解析

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2016年上海市杨浦区中考数学一模试卷

一、选择题（本题共6个小题，每个小题4分，共24分）

1．（4分）将抛物线y＝2x2向上平移2个单位后所得抛物线的解析式是（）A．y＝2x2+2B．y＝2（x+2）2C．y＝2（x﹣2）2D．y＝2x2﹣2 2．（4分）以下图形中一定属于互相放缩关系的是（）

A．斜边长分别是10和5的两直角三角形

B．腰长分别是10和5的两等腰三角形

C．边长分别是10和5的两个菱形

D．边长分别是10和5的两个正方形

3．（4分）如图，已知在△ABC中，D是边BC 的中点，，，那么等于（）

A ．B

．C ．D ．

4．（4分）坡度等于1：的斜坡的坡角等于（）

A．30°B．40°C．50°D．60°

5．（4分）下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是（）A．∠A＝∠E且∠D＝∠F B．∠A＝∠B且∠D＝∠F

C．∠A＝∠E 且D．∠A＝∠E 且

6．（4分）下列图象中，有一个可能是函数y＝ax2+bx+a+b（a≠0）的图象，它是（）

A ．B

．

第1页（共21页）

C ．

D ．

二、填空题（本大题共12个小题，每个小题4分，共48分）

7．（4分）如果，那么＝．

8．（4分）如图，点G为△ABC的重心，DE过点G，且DE∥BC，EF∥AB，那么CF：BF＝．

9．（4分）已知在△ABC中，点D、E分别在AB和BC上，AD＝2，DB＝1，BC ＝6，要使DE和AC平行，那么BE＝．

10．（4分）如果△ABC与△DEF相似，△ABC 的三边之比为

的最长边是10cm，那么△DEF的最短边是cm．

11．（4分）如果AB∥CD，2AB＝3CD ，与的方向相反，那么＝．12．（4分）计算：sin60°﹣cot30°＝

13．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，如果sin A＝，AB＝6，那么BC＝．14．（4分）如果二次函数y＝x2+bx+c配方后为y＝（x﹣2）2+1，那么c的值为．

15．（4分）抛物线y＝﹣2x2+4x﹣1的对称轴是直线．

16．（4分）如果A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）是二次函数y＝x2+m图象上的两个点，那么y1y2（填“＜”或者“＞”）

17．（4分）请写出一个二次函数的解析式，满足：图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，且与y轴的交点在x轴的下方，那么这个二次函数的解析式可以为．

18．（4分）如图，已知△ABC沿角平分线BE所在的直线翻折，点A恰好落在边BC的中点M处，且AM＝BE，那么∠EBC的正切值是．

第2页（共21页）

第3页（共21页）

三、解答题（共78分）

19．（10分）如图，已知两个不平行的向

量

．先化简，再求作

：

．

（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）

20．（10分）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象上部分点的横坐标x 与

纵坐标y 的对应值如下表所示：

BE 交AC 于点F ．求：

（1）AF ：FC 的值；

（2）EF ：BF 的值．

22．（10分）如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD 的A ，C

两点测得该塔顶端F 的仰角分别为和β，矩形建筑物宽度AD ＝20m ，高度DC ＝33m ．求：

（1）试用α和β的三角比表示线段CG 的长；

（2）如果α＝48°，β＝65°，请求出信号发射塔顶端到地面的高度FG 的值．（结

果精确到1m ）（参考数据：sin48°＝0.7，cos48°＝0.7，tan48°＝1.1，sin65°

＝0.9，cos65°＝0.4，tan65°＝2.1）

23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D．E分别在AB，AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2＝BF?BA，CF与DE相交于点G．

（1）求证：DF?AB＝BC?DG；

（2）当点E为AC 的中点时，求证：．

24．（12分）已知在平面直角坐标系中，抛物线y

＝﹣+bx+c与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，直线y＝x+4经过A，C两点，

（1）求抛物线的表达式；

（2）如果点P，Q在抛物线上（P点在对称轴左边），且PQ∥AO，PQ＝2AO，求P，Q的坐标；

（3）动点M在直线y＝x+4上，且△ABC与△COM相似，求点M的坐标．

25．（14分）已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动点，点F在射线AD上，且∠ECF＝∠B，直线CF交直线AB于点M．

第4页（共21页）

（1）求∠B的余弦值；

（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图形，并求出BM的长；

（3）当点M在边AB的延长线上时，设BE＝x，BM＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．

第5页（共21页）

2016年上海市杨浦区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共6个小题，每个小题4分，共24分）

1．（4分）将抛物线y＝2x2向上平移2个单位后所得抛物线的解析式是（）A．y＝2x2+2B．y＝2（x+2）2C．y＝2（x﹣2）2D．y＝2x2﹣2

【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（0，2），可设新抛物线的解析式为：y＝2（x﹣h）2+k，代入得：y＝2x2+2．

故选：A．

2．（4分）以下图形中一定属于互相放缩关系的是（）

A．斜边长分别是10和5的两直角三角形

B．腰长分别是10和5的两等腰三角形

C．边长分别是10和5的两个菱形

D．边长分别是10和5的两个正方形

【解答】解：斜边长分别是10和5的两直角三角形，直角边不一定成比例，所以不一定属于互相放缩关系，A不正确；

腰长分别是10和5的两等腰三角形不一定属于互相放缩关系，B不正确；

边长分别是10和5的两个菱形不一定属于互相放缩关系，C不正确；

边长分别是10和5的两个正方形属于互相放缩关系，D正确，

故选：D．

3．（4分）如图，已知在△ABC中，D是边BC 的中点，，，那么等于（）

A ．B

．C ．D ．【解答】解：∵在△ABC中，D是边BC的中点，

∴

＝

＝，

第6页（共21页）

∴＝﹣

＝

﹣．

故选：B．

4．（4分）坡度等于1：的斜坡的坡角等于（）

A．30°B．40°C．50°D．60°

【解答】解：坡角α，则tanα＝1

：，

则α＝30°．

故选：A．

5．（4分）下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是（）A．∠A＝∠E且∠D＝∠F B．∠A＝∠B且∠D＝∠F

C．∠A＝∠E 且D．∠A＝∠E 且

【解答】解：A、∠D和∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；

B、∠A＝∠B，∠D＝∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，

故此选项错误；

C、由可以根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可

以判断出△ABC与△DEF相似，故此选项正确；

D、∠A＝∠E

且不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，

故此选项错误；

故选：C．

6．（4分）下列图象中，有一个可能是函数y＝ax2+bx+a+b（a≠0）的图象，它是（）

A ．B

．

第7页（共21页）

第8页（共21页） C ． D ．

【解答】解：在函数y ＝ax 2+bx +a +b （a ≠0）中，

当a ＜0，b ＜0时，则该函数开口向下，顶点在y 轴左侧，一定经过点（0，a +b ），

点（0，a +b ）一定在y 轴的负半轴，故选项A 、B 错误；

当a ＞0，b ＜0时，若函数过点（1，0），则a +b +a +b ＝0，得a 与b 互为相反数，

则y ＝ax 2﹣ax ＝ax （x ﹣1），则该函数与x 轴的两个交点是（0，0）或（1，0），故选项D 错误；

当a ＞0，b ＜0时，若函数过点（0，1），则a +b ＝1，只要a 、b 满足和为1即可，

故选项C 正确；

故选：C ．

二、填空题（本大题共12个小题，每个小题4分，共48分）

7．（4分）如果

，那么＝ ．

【解答】解：∵

， ∴2y ＝3（x ﹣y ），

整理，得3x ＝5y ，

∴＝．

故答案为．

8．（4分）如图，点G 为△ABC

的重心，DE 过点G ，且DE ∥BC ，EF ∥AB ，那

么CF ：BF ＝ 1：2 ．

【解答】解：如图，连接AG 并延长，交BC 于H ．

∵点G 为△ABC 的重心，

∴AG ＝2GH ．

∵DE ∥BC ，

∴CE：AE＝GH：AG＝1：2，

∵EF∥AB，

∴CF：BF＝CE：AE＝1：2．

故答案为1：2．

9．（4分）已知在△ABC中，点D、E分别在AB和BC上，AD＝2，DB＝1，BC ＝6，要使DE和AC平行，那么BE＝2．

【解答】解：BE＝2，

理由是：如图：

∵AD＝2，DB＝1，

∴AB＝2+1＝3，

∵BC＝6，BE＝2，

∴＝，

∵∠B＝∠B，

∴△BED∽△BCA，

∴∠BED＝∠C，

∴DE∥AC．

故答案为：2．

10．（4分）如果△ABC与△DEF相似，△ABC的三边之比为3：4：6，△DEF 的最长边是10cm，那么△DEF的最短边是5cm．

【解答】解：设△DEF的最短边为x，△ABC的三边分别为3a，4a，6a，

∵△ABC与△DEF相似，

∴3a：x＝6a：10，

∴x＝5，

即△DEF的最短边是5cm．

第9页（共21页）

故答案为5．

11．（4分）如果AB∥CD，2AB＝3CD ，

与

的方向相反，那么＝﹣

．

【解答】解：∵AB∥CD，2AB＝3CD ，与的方向相反，∴2＝﹣3，

∴

＝﹣．

故答案为：﹣．

12．（4分）计算：sin60°﹣cot30°＝

【解答】解：原式＝﹣＝﹣．

13．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，如果sin A ＝，AB＝6，那么BC＝2．【解答】解：sin A ＝＝，得

BC＝AB ×＝6×＝2，

故答案为：2．

14．（4分）如果二次函数y＝x2+bx+c配方后为y＝（x﹣2）2+1，那么c的值为5．

【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+1

＝x2﹣4x+4+1

＝x2﹣4x+5，

∴c的值为5．

故答案是：5．

15．（4分）抛物线y＝﹣2x2+4x﹣1的对称轴是直线x＝1．

【解答】解：抛物线y＝﹣2x2+4x﹣1的对称轴是直线x ＝﹣＝1．

故答案为x＝1．

16．（4分）如果A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）是二次函数y＝x2+m图象上的两个点，那么y1＜y2（填“＜”或者“＞”）

【解答】解：∵二次函数y＝x2+m中a＝1＞0，

第10页（共21页）

第11页（共21页） ∴抛物线开口向上．

∵x ＝﹣＝0，﹣1＜﹣2，

∴A （﹣1，y 1），B （﹣2，y 2）在对称轴的左侧，且y 随x 的增大而减小， ∴y 1＜y 2．故答案为：＜．

17．（4分）请写出一个二次函数的解析式，满足：图象的开口向下，对称轴是

直线x ＝﹣1，且与y 轴的交点在x 轴的下方，那么这个二次函数的解析式可以为 y ＝﹣x 2﹣2x ﹣1 ．

【解答】解：设所求二次函数的解析式为y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．

∵图象的开口向下，∴a ＜0，可取a ＝﹣1；

∵对称轴是直线x ＝﹣1，∴﹣＝﹣1，得b ＝2a ＝﹣2；

∵与y 轴的交点在x 轴的下方，∴c ＜0，可取c ＝﹣1；

∴函数解析式可以为：y ＝﹣x 2﹣2x ﹣1．

故答案为：y ＝﹣x 2﹣2x ﹣1．

18．（4分）如图，已知△ABC 沿角平分线BE 所在的直线翻折，点边BC

的中点M 处，且AM ＝BE ，那么∠EBC 的正切值是

【解答】解：设AM 与BE 交点为D ，过M 作MF ∥BE 交AC 于F ，如图所示： ∵M 为BC 的中点，

∴F 为CE 的中点，

∴MF 为△BCE 的中位线，

∴MF ＝BE ，

由翻折变换的性质得：AM ⊥BE ，AD ＝MD ，

同理：DE 是△AMF 的中位线，

∴DE ＝MF ，

设DE ＝a ，则MF

＝2a ，AM ＝BE ＝4a ，

∴BD ＝3a ，MD ＝AM ＝2a ，

∵∠BDM＝90°，

∴tan∠EBC ＝＝＝．故答案为：．

三、解答题（共78分）

19．（10分）如图，已知两个不平行的向

量．先化简，再求作

：

．

（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）

【解答】解：

＝+3

﹣﹣＝﹣+2．

如图：＝2，＝﹣，

则＝﹣+2，

即即为所求．

20．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：

求：

（1）这个二次函数的解析式；

（2）这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．

第12页（共21页）

【解答】解：（1）依题意，得，解得；

∴二次函数的解析式为：y＝﹣2x2+4x+1．

（2）当x＝4时，m＝﹣2×16+16+1＝﹣15，

由y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，故其顶点坐标为（1，3）．

21．（10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，点E为边DC的中点，BE交AC于点F．求：

（1）AF：FC的值；

（2）EF：BF的值．

【解答】解：（1）延长BE交直线AD于H，如图，

∵AD∥BC，

∴△DEH∽△CEB，

∴＝，

∵点E为边DC的中点，

∴DE＝CE，

∴DH＝BC，

而BC＝2AD，

∴AH＝3AD，

∵AH∥BC，

∴△AHF∽△CFB，

∴AF：FC＝AH：BC＝3：2；

（2）∵△DEH∽△CEB，

∴EH：BE＝DE：CE＝1：1，

∴BE＝EH

＝BH，

∵△AHF∽△CFB，

第13页（共21页）

∴FH：BF＝AF：FC＝3：2；

设BF＝2a，则FH＝3a，BH＝BF+FH＝5a，∴EH ＝a，

∴EF＝FH﹣EH＝3a

﹣a ＝a，

∴EF：BF ＝a：2a＝1：4．

22．（10分）如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A，C 两点测得该塔顶端F的仰角分别为和β，矩形建筑物宽度AD＝20m，高度DC ＝33m．求：

（1）试用α和β的三角比表示线段CG的长；

（2）如果α＝48°，β＝65°，请求出信号发射塔顶端到地面的高度FG的值．（结果精确到1m）（参考数据：sin48°＝0.7，cos48°＝0.7，tan48°＝1.1，sin65°＝0.9，cos65°＝0.4，tan65°＝2.1）

【解答】解：（1）设CG＝xm，

由图可知：EF＝（x+20）?tanα，FG＝x?tanβ，

则（x+20）tanα+33＝x tanβ，

解得x ＝；

（2）x ＝＝＝55，

则FG＝x?tanβ＝55×2.1＝115.5≈116．

答：该信号发射塔顶端到地面的高度FG约是116m．

第14页（共21页）

23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D．E分别在AB，AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2＝BF?BA，CF与DE相交于点G．

（1）求证：DF?AB＝BC?DG；

（2）当点E为AC 的中点时，求证：．

【解答】证明：（1）∵BC2＝BF?BA，

∴BC：BF＝BA：BC，

而∠ABC＝∠CBF，

∴△BAC∽△BCF，

∵DE∥BC，

∴△BCF∽△DGF，

∴△DGF∽△BAC，

∴DF：BC＝DG：BA，

∴DF?AB＝BC?DG；

（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，

∵DE∥BC，

∴AH∥DE，

∵点E为AC的中点，

∴AH＝2EG，

∵AH∥DG，

∴△AHF∽△DGF，

∴＝，

∴．

第15页（共21页）

24．（12分）已知在平面直角坐标系中，抛物线y

＝﹣+bx+c与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，直线y＝x+4经过A，C两点，

（1）求抛物线的表达式；

（2）如果点P，Q在抛物线上（P点在对称轴左边），且PQ∥AO，PQ＝2AO，求P，Q的坐标；

（3）动点M在直线y＝x+4上，且△ABC与△COM相似，求点M的坐标．

【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，即C（0，4），

当y＝0时，x+4＝0，解得x＝﹣4，即A（﹣4，0），

将A、C点坐标代入函数解析式，得

，

解得，

抛物线的表达式为y ＝﹣﹣x+4；

（2）PQ＝2AO＝8，

又PQ∥AO，即P、Q关于对称轴x＝﹣1对称，

PQ＝8，﹣1﹣4＝﹣5，

当x＝﹣5时，y

＝﹣×（﹣5）2﹣（﹣5）+4＝﹣，即P（﹣5，﹣）；﹣1+4＝3，即Q（3，﹣）；

第16页（共21页）

P点坐标（﹣5，﹣），Q点坐标（3，﹣）；（3）∠MCO＝∠CAB＝45°，

①当△MCO∽△CAB 时，＝，即＝，CM ＝．

如图1，

过M作MH⊥y轴于H，MH＝CH ＝CM ＝，

当x ＝﹣时，y

＝﹣+4＝，

∴M （﹣，）；

当△OCM∽△CAB 时，＝，即＝，解得CM＝3，

如图2，

过M作MH⊥y轴于H，MH＝CH ＝CM＝3，

当x＝﹣3时，y＝﹣3+4＝1，

∴M（﹣3，1），

综上所述：M 点的坐标为（﹣，），（﹣3，1）．

25．（14分）已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动点，点F在射线AD上，且∠ECF＝∠B，直线CF交直线AB于点M．（1）求∠B的余弦值；

第17页（共21页）

第18页（共21页）

（2）当点E 与点A 重合时，试画出符合题意的图形，并求出BM 的长；

（3）当点M 在边AB 的延长线上时，设BE ＝x ，BM ＝y ，求y 关于x 的函数解

析式，并写出定义域．

【解答】解：（1）连接BD 、AC 交于点O ，作AH ⊥BC 于H ，如图1所示： 则AO ＝OC ＝3，BO ＝4，

∵S △ABC ＝BC ×AH ＝AC ×BO ＝×6×4＝12， ∴×5×AH ＝12，

解得：AH ＝，

由勾股定理得：BH ＝＝＝， ∴cos ∠B ＝＝＝；

（2）当点E 与点A 重合时，符合题意的图形，如图2所示：

∵四边形ABCD 为菱形，

∴∠F AC ＝∠ACB ，

∵∠ECF ＝∠B ，

∴△ABC ∽△ECF ， ∴＝，即＝

， 解得：EF ＝

， ∵BC ∥AF ，

∴△MBC ∽△MAF ，

**==(

**==(

∴＝＝＝，

∴＝，

解得：BM ＝；

（3）作EH⊥BC于H，作EG∥BC交CF于G，如图3所示：由（1）知cos∠B ＝，BE＝x，

∴BH ＝x，EH

＝＝＝x，

∴CE ＝＝＝，∵EG∥BC，

∴∠GEC＝∠ECB ，，

∴△BCE∽△CEG，

∴，

则EG ＝＝，

∴，

整理得：y ＝，

即y关于x的函数解析式为y ＝（＜x≤5）．

第19页（共21页）

第20页（共21页）

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