江苏自考《概率论与数理统计》第七章 参数估计
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第7章 参数估计2011.6-2011.10
参数:反映总体某方面特征的量例:设浙江大学大一学生某学年的《微积分I》成绩X 服从正态分布,当X 90时为优秀,则优秀率 p P X 90 1 ( 90
)
也是一个参数,它是 和 2的函数。
当总体的参数未知时,需利用样本资料对其 给出估计——参数估计。
两类参数估计方法:点估计和区间估计
点估计 直接用来估计未知参数 的统计量 ( x1 , ... , xn )
称为参数 的点估计量,简称点估计。 常见的点估计法:矩法和极大似然法。
(一)矩估计法替换原理: 以样本矩替换总体矩(原点矩或中心矩) 以样本矩的函数替换总体矩的函数 E( X ) x ( X ) s 2 1 ( x x )2 D n n i 1 i注:也可以用 s 2 估计 D( X )n
基本步骤(1)求总体前k阶矩关于k 个参数的函数
i E ( X i ) hi ( 1 , , k ),
i 1, , k
(2)求各参数关于k阶矩的反函数
i gi ( 1 , , k ),
i 1, , k
(3)以样本各阶矩A1 , ,A k 代替总体各阶矩 1 , , k, 得各参数的矩估计 i =g i(A1 , ,A k ), i 1, , k 6
例:
3.设总体X 服从均匀分布U (a, b),a和b是 未知参数,样本X 1 , , X n,求a和b的矩估计。
二
最大似然估计法:
最大似然估计的原理介绍
考察以下例子:
假设在一个罐中放着许多白球和黑球,并假定已经知道两种球的数目之比是1:3,但不知道哪种颜色的球
多。如果用放回抽样方法从罐中取5个球,观察结果为:黑、白、黑、黑、黑,估计取到黑球的概率p.
解:设抽到黑球的概率为p, 则本例中,p 1 或 3 . 4 4当p 1 时,出现本次观察结果的概率为 1 4 4当p 3 时,出现本次观察结果的概率为 3 4 4由于4
4
3 3 . 4 1024
81 1 1024 . 4
3 81 ,因此认为p 3 比p 1 更有可能, 1024 1024 4 4 于是p取为 3 更合理. 49
极大似然估计法一般地,设离散型总体X ~ p( x; ), , 未知。
从总体X 中取得样本X1 , , X n,其观察值为x1 , , xn,则事件 X 1 x1 , , X n xn 发生的概率为 L( ) P X 1 x1 , , X n xn p ( x1 ; )... p ( xn ; ) p ( xi ; ).i 1 n
似然 函数 极大似然原理:L( ( x1 , , xn )) max L ( ).
称(x1 , , xn)为 的极大似然估计 10
说明 1. 在求L 的最大值时,通常转换为求:lnL 的最大值, lnL 称为对数似然函数. 利用 lnL 0, i 1, 2,..., k .解得 i,i 1, 2,..., k . i
2. 若L 关于某个 i 是单调增 减
函数, 此时 i的极大似然估计在其边界取得;
3. 若 是 的极大似然估计,则g 的极大似然估计为g 。
例:
点估计的评价标准从前一节看到,对总体的未知参数可用不同方 法求得不同的估计量,如何评价好坏?
三条评价准则:相合性准则、无偏性准则、有效性准则
1.相合性准则 定义:设 n x1 , , xn 为参数 的估计量, 若对于任意 ,当n 时, 依概率收敛于 , 即 0, 有: lim P n 0成立,n
n
则称 n为 的相合估计
定理:设 n x1 , , xn 是 的一个估计量,若n
lim E ( n ) , lim D( n ) 0n 14
则 n是 的相合估计。
2.无偏性准则 定义:若参数 的估计量 x1 , x2 , , xn , 满足E , 则称 是 的一个无偏估计。
注:1、x 是E ( X )的无偏估计; 样本k阶原点矩ak 是总体k阶原点矩 k的无偏估计2 但sn 不是 2的无偏估计 2、 是 的无偏估计,一般而言,g ( )不是g ( )的无偏估计
例:
3.有效性准则
定义:设 1 , 2是 的两个无偏估计, 如果D 1 D 2 , 对一切 成立, 且不等号至少对某一 成立,则称 1比 2有效。
例:
区间估计假设 X 1 , , X n 是总体X 的一个样本, 区间估计的方法是给出两个统计量 1 1 X 1 , , X n , 2 2 X 1 , , X n 使区间 1 , 2 以一定的可靠程度盖住 .
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