黑龙江省哈尔滨市第六中学2022-2022学年高二上学期期中考试数学(

高二理科数学期中试题 第 页 共2页 1 哈尔滨市第六中学2019级上学期期中考试

高二数学试题

考试时间：120分钟 满分：150分

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.命题“20,0x x x ?>-≤”的否定是（ ）

A. 20000,0x x x ?>-≤

B. 20000,0x x x ?>->

C. 2

0,0x x x ?>-> D.

20,0x x x ?≤->

2.正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（ ）

A

．3 B

．3 C ．8

3 D ．8

3.已知直线a 在平面α外，则（ ）

A. //a α

B. 直线a 在平面α至少有一个公共点

C. a A α?=

D. 直线a 在平面α至多有一个公共点

4.“45m <<”是“方程2

2

151x y m m +=--表示椭圆”的（ ）条件

A. 充分不必要

B. 必要不充分

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要

5.若m 是2和8的等比中项，则椭圆2

21x

y m +=的离心率为（ ）

B. 2

C. 1

2

6.在正四面体ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AC ，BC ，BD ，CD 的中点，则EF 与GH 所成的角为（ ） A.6π B.4π

C.2π

D.3π

7.设O 为坐标原点，直线4x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于,A B 两点，若0OA OB ?=，则C 的焦点坐标为（ ）

A. ()3,0

B. 1,02??

??? C. (1,0) D. (2,0)

8. 已知两条直线,l m ，两个平面,αβ，则下列命题正确的是（ ）

A. 若//,//l αβα，则//l β

B.若//,//l m αα，则//l m

高二理科数学期中试题 第 页 共2页 2 C.若//,//,//l m αβαβ，则//l m D. //,l αβα?，则//l β

9. 如图，正方形O A B C ''''的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形

用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长是（ ）

A ．cm 8

B ．cm 6

C ．()213cm +

D ．()212cm + 10. 设双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心

率为3．P 是C 上一点，且1260o

F PF ∠=，若12F PF ?的面积为43，则a =（ ）

A. 1

B. 2

C. 4

D. 2

11. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，N M ,分别为棱1AA ，1BB 的中点，

过MN 作一平面分别交底面三角形ABC 的边BC ，AC 于点F E ,（异于端

点），则（ ）

A.//MF NE

B.四边形MNEF 为梯形

C.四边形MNEF 为平行四边形

D.11//A B NE

12. 已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且

12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2

122

e e +

的最小值为（ ）

A ．6

B ．3

C ．6

D ．3

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.若圆锥的侧面展开图是圆心角为180°，半径为4的扇形，则这个圆锥的表面积是 .

14.已知圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则p 的值

为 .

15.已知F 为双曲线22

22:1(0,0)y x C a b a b -=>>的上焦点，A 为C 的

上顶点，B 为C 上的点，且BF 平行于x 轴.若AB 的斜率为1

3，则C 的

离心率为 .

16.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点

，过1,,C M D 作正方体的截面，则截面的面积是 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证

明过程或解题步骤）

高二理科数学期中试题 第 页 共2页 3 17．（本小题满分10分）

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M GH ，的中点为N

.

（1）请将字母F G H ，，标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；

（2）证明：直线//MN 平面BDH .

18.（本题满分12分）

已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线221243x y -=的一个焦点，O 是坐标原点．

（1）求抛物线的方程；

（2）经过焦点F 作直线l ，与抛物线相交于A ，B 两点，||5AB =，若OA OB mOD +=，且D 在抛物线

上，求实数m 的值．

19.（本题满分12分）

如图,在正方体1111D C B A ABCD -中,S 是11D B 的中点,G F E ,,分别是SC DC BC ,,的中点,

(1)求异面直线SC 和BD 的成角大小

(2)求证：平面//EFG 平面11B BDD

高二理科数学期中试题 第 页 共2页 4 20．（本题满分12分） 已知椭圆2222:1(0,0)

x y C a b a b +=>>的一个顶点为(2,0)A ，离心率为2

2，直线(1)y k x =-与椭

圆C 交于不同的两点,M N .

（1）求椭圆C 的方程；

（2）当AMN ?的面积为10

3时，求k 的值.

21.（本题满分12分）

如图，过顶点在原点、对称轴为y 轴的抛物线E 上的点()2,1A 作斜率分别为1k ，2k 的直线，分别交抛物线E 于B ，C 两点.

（1）求抛物线E 的标准方程和准线方程；（2）若1212k k k k +=，证明：直线BC 恒过定点.

22.（本题满分12分）

设椭圆)0(1:22

22>>=+b a b y a x C ，定义椭圆C 的“相关圆”方程为222

222

b a b a y x +=+.若抛物线x y 42=的焦点与椭圆C 的一个焦点重合，且椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.

（1）求椭圆C 的方程和“相关圆E ”的方程；

（2）过“相关圆E ”上任意一点P 作“相关圆E ”的切线l 与椭圆C 交于B A ,两点，O 为坐标原点.

①证明：AOB ∠为定值；

②连接PO 并延长交“相关圆E ”于点Q ，求ABQ ?面积的取值范围.

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一、选择题

二、填空题13. π12 14.2 15.2 16.29

三、解答题

17.（1）解：点F G H ，，的位置如图所示.

（2）如图，连接BD ，设O 为BD

的中点，连接OH OM MN BH ，，，. 因为M N ，分别是BC GH ，的中点，所以//OM

CD ，且12

OM CD =，

//HN CD ，

且1

2

HN CD =，所以//OM HN ，OM HN =.所以四边形MNHO 是平行四边形，从而//MN OH .又MN ?平面BDH ，OH ?平面BDH ，所以//MN 平面BDH .

18.（1）双曲线方程2

2

1243x y

-=可化为22

1

1344

x y -=，因此2131,144c c =+==，所以双曲线的一个

焦点是(1,0)，于是抛物线22(0)y px p =>的焦点为(1,0)F ，则1,242

p

p ==，故抛物线的方程为2

4y x =．

（2）依题意，直线l 的斜率一定存在，设其为k ，则l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠． 由2

(1),4y k x y x

=-??

=?可得2

440y y k --=，()()1122,,,A x y B x y ，

则1212244,2y y x x k k +=

+=+．因为1224|||||245AB FA FB x x k

=+=++=+=∣，所以24k =，即2k =±．

设()00,D x y ，则由OA OB mOD +=

得()()0120121312,x x x y y y m m m m =

+==+=±，由于D 在抛物线上，因此2412m m =，可得1

3m =．

19. （1）11//B D DB 所以异面直线SC 与BD 所成角即为SC 与1

1B D 所成角

设：正方体边长为a ，则a

CD CB 21

1

==所以等腰1

1

D CB ?因为S 是1

1

D B 的中点

所以11D B SC ⊥即，异面直线SC 与BD 所成角为 90

（2）

高二理科数学期中试题 第 页 共2页 6 20.

21.（1）设抛物线E 的标准方程为22x py =，0p >，将()2,1A 代入得421p =?，解得2p =， 所以抛物线E 的标准方程为24x y =，准线方程为1y =-.

（2）证明：因为直线AB 过点()2,1A ，斜率为1k ，

利用点斜式方程，可得直线AB 的方程为()112y k x -=-，即1112y k x k =+-，

因为直线AC 过点()2,1A ，斜率为2k ，

利用点斜式方程，可得直线AC 的方程为()212y k x -=-，即2212y k x k =+-，

联立211412x y

y k x k ?=?=+-?，消去y 得()21144120x k

x k ---=，.解得2x =或142x k =-，

因此点()()2

1142,21B k k --同理可得()()2

2242,21C k k --.

于是直线BC 的斜率()

()()()22

121221214242k k k k k ---=---(

)()

()

121212414k k k k k k -+-=-

121k k =+-，又1212k k k k +=，.所以直线BC 的方程为()()()2

212221142y k k k x k --=-?--????，

即()()()121212121123y k k x k k k k x =---=---，故直线BC 恒过定点()2,3-.

22.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ex0q.html