概率论期末复习试题二

概率论与数理统计试题 11级计算机大队二区队 一、选择题：

1、假设事件A与事件B互为对立，则事件AB( )。 (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1 (D) 是必然事件 答案：A。这是因为对立事件的积事件是不可能事件。

2、某人睡午觉醒来，发现表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待 的时间小于 10分钟的概率是（ ）。

1111 A、 B、 C、 D、

6126072答案：A。以分钟为单位，记上一次报时时刻为0，则下一次报时时刻为60，于 是，这个人打开收音机的时间必在（0，60）内，记“等待时间短于分

A101 钟”为事件A。则有S=（0，60）， A=（50，60） 所以P(A)===。

S606

3、设连续型随机变量（X,Y）的两个分量X和Y相互独立，且服从同一分布，问 P｛X?Y}=（）。

11 A、0 B、 C、 D、1

24答案：B。利用对称性，因为X,Y独立同分布，所以有P｛X?Y｝=P｛Y?X｝,而

1 P｛X?Y｝+ P｛Y?X｝=1， 所以P｛X?Y｝=

24、设二维随机变量（X，Y）的分布函数为F(x,y)，分布律如下：

X 1 2 3 则F（2，3）=（）。 A、0 B、

179 C、 D、 41616Y 1 1 41 160 2 0 1 41 163 0 0 1 164 1 161 40 答案：D 。

F（2，3）=P｛X?2,Y?3｝

=P｛X=1,Y=1｝+P｛X=1,Y=2｝+ P｛X=1,Y=3｝+ P｛X=2,Y=1｝+ P｛X=2.Y=2｝ + P｛X=2,Y=3｝

111 =+0+0+++0

41649 165、下列命题中错误的是( )。

=

(A)若Xp(?)，则E?X??D?X???；

(B)若X服从参数为?的指数分布，则E?X??D?X?? (C)若X1?；

b(1,?)，则E?X???,D?X????1???；

2 (D)若X服从区间[a,b]上的均匀分布，则E?X 答案：B。 E?X???,D?X???2

?a2?ab?b2?.

36、设?X,Y?服从二维正态分布，则下列条件中不是X,Y相互独立的充分必要条 件是( )。

(A) X,Y不相关 (B) E?XY??E?X?E?Y? (C) cov?X,Y??0 (D) E?XY??E?Y??0

答案：D。当?X,Y?服从二维正态分布时，不相关性?独立性。若?X,Y?服从一 般的分布，则X,Y相互独立?X,Y不相关，反之未必。

7、已知总体X服从[0，?]上的均匀分布（?未知），X1，X2，X3，···，Xn的样 本,则（ ）。

1n?1n A、?Xi-是一个统计量 B、?Xi-E（X）是一个统计量 ni?12ni?1 答案：C。统计量的定义为：样本的任一不含总体分布未知参数的函数称为该样 本的统计量。而（A）、（B）、（D）中均含未知参数。

1n2 C、X1+X2是一个统计量 D、?Xi-D（X）是一个统计量ni?18、设总体X~N（?，?2），X1，X2，X3，???，Xn,是取自X的一个样本，与XS2 分别为该样本的样本均值与样本差，则下面（ ）是错的。X-? A、 X~N（?，） B、U=~N（0,1） ?nn C、T=X-?~t（n-1） D、与XS2不独立Sn?2解：对于但正态总体来说，与XS2是相互独立的，故（D）错

??0，x?0????x/3,0?x?2 9、设函数F（x），则F（x）是（）。 ??1,x?2??

（A）是某随机变量的分布函数 （B）是离散型随机变量的分布函数 （C）是连续型随机变量的分布函数 （D）不是某随机变量的分布函数 答案：A。

10、某班级要从4名男生，2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至 少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（）。 A．48 B.24 C.28 D.14

322答案：D。由题意得：如果要求至少有1名女生的选派方案种数为：C12C4+C2C4=14

种。

二、填空题：

1. 已知P(A)=0.6, P(B|A)=0.3, 则P(AB)=（ ）。

答案：0.18。 由乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=0.6?0.3=0.18。

2. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被 击中的概率为（ ）。 答案：0.784。是因为三人都不中的概率为0.63=0.216, 则至少一人中的概率 就是1-0.216=0.784。

3、若（X,Y）的分布律为 Y X 1 1 2 3 111 691812 a b 3则a,b应满足的条件是（ ）。 11111答案：由分布律的性质可知，++++a+b=1,则a+b=。

691833

4、设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X,Y）的联合分布律 及关于X与Y的边缘分布律中的部分数值，试将其它数值填入表中的空白处。

解：由边缘概率分布的定义知： X Y Y1 Y2 Y3 Pi 1 81 61 8 X1 X2 Pj 1 111P11=P1—P21=—=,

6824又由X与Y相互独立，有故P1=

11= P11= P1 P1= P1×， 246X 1， 4111从而P13=——，又由P12= P1 P2，即

424811=P, 8421从而P2=，类似的有

2113P3=，P13=，P2=，所以：

344Y Y(1) Y(2) Y(3) 111X1 24812131X2 884Y(4) 1 43 4Pj 1 61 21 31 5、X1，X2，??，Xn是相互独立的随机变量，且都服从正态分布N(?，?2)，

1n (??0)，则X??Xi服从的分布是（ ），且EX?（ ），

ni?1??DX?（ ）。

???2答案：正态分布，?，

n。

6、设总体X服从参数为2 的指数分布，X1，X2，??，Xn为来自总体X的

1n2一个样本，则当n??时，Yn??Xi依概率收敛于（ ）。

ni?11答案：。

2 7、两个骰子的点数分别为b,c,则方程x2+bx+c=0有两个实数根的概率为（ ）。

19解：。共有6*6=36种结果，方程有解，则△=b2—4c≥0，即b2≥4c，满足

36条件的数记为（b2，4c），共有（4,4），（9,4），（9,8），（16,4），（16，8），（16,12），（16,16），（25,4），（25,8），（25,12），（25,16），（25,20），（25,24），（36,4），（36,8），（36,12），（36,16），（36,20），（36,24），19个结果。

8、.若书架上放有中文书5本，英文书3本，日文书2本，由书架上抽出一本外文书的概率为（ ）。

解：1/2。书架上共有（5+3+2）本书，其中外文书有（3+2）本，则由书架上抽

51出一本外文书的概率为=。

102

39、设总体X服从二项分布B（10，），X1，X2，X3，???，Xn为来自该总体的简1001n1n2 单随机样本，X=?Xi与Sn=?(Xi?X)2分别表示样本均值和样本二阶中心ni=1ni?1 矩，则E（X）（= ），E（S2= ）。n）（333397291解：由X~B（10，），得：E（X）=10?=，D（X）=10??=，1001001010010010003n-1291（n-1） 所以E（X）=E（X）=，E（S2）=D（X）=n10n1000n

三、应用题：

1、 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为多少？（古典概型）

解：设事件A为“任取3个球恰为一红、一白、一黑” 由古典概型计算得所求概率为P（A）=

5?3?21??0.253C104

2、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个

黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。（事件的独立性与条件概率）

解：设从甲袋取到白球的事件为A，从乙袋取到白球的事件为B，则根据全概 率公式有：

P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A) 21115??????0.417323412

3、设有两种鸡蛋混放在一起，其中甲种鸡蛋单只的重量（单位：克）服从

N(50,25)分布，乙种鸡蛋单只的重量（单位：克）服从N(45,16)分布。设甲

种蛋占总只数的70%，

（1） 今从该批鸡蛋中任选一只，试求其重量超过55克的概率； （2） 若已知所抽出的鸡蛋超过55克，问它是甲种蛋的概率是多少？

（ ?(1)?0.8413,?(2.5)?0.9938)

解：设B=“选出的鸡蛋是甲种鸡蛋” ，B=“选出的鸡蛋是乙种鸡蛋” A=“选出的鸡蛋重量超过55克” ，X=“甲种鸡蛋单只的重量” ， Y=“乙种鸡蛋单只的重量” ， 则 P(B)?0.7,P(B)?0.3,

P(AB)?P{X?55}?1?P{X?55}?1??(55?50)?1??(1)?1?0.8413?0.15875

P(AB)?P{Y?55}?1?P{Y?55}?1??(55?45)?1??(2.5)?1?0.9938?0.00624

（1）P(A)?P(B)P(AB)?P(B)P(AB) ?0.7?0.1587?0.3?0.0062?0.11295

P(AB)P(B)0.11109 （2）P(BA)???0.9835

P(A)0.112954、 设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数为

?15x2y f?x,y???

其它?0

（1）. 求边缘概率密度函数fX(x),fY(y;).； （2）求fYX(yx)； （3）求P{X?Y?1}。

??

0?x?y?11解：（1）fX(x)???? 0?x?1时,f(x,y)dy ，

fX(x)??15x2ydy?x152x(1?x2) 2?152?x(1?x2)0?x?1fX(x)??2

?0其它???y fY(y)????f(x,y)dx ， 0?y?1时,fY(y)??15x2ydx?5y4

0?5y4 fY(y)???00?y?1 其它 (2) 0?x?1时，fX(x)?0

2yf(x,y)????1?x2 fYX(yx)?fX(x)?0?0?x?y?1其它12

1?x (4) P{X?Y?1}?x?y?1??f(x,y)dxdy??dx?15x2ydy?0x564

5、袋中有2个白球，3个黑球，不放回地连续去两次球，每次取一个。若设随机变量X与Y分别为第一、二次取得白球的个数。试求： （1）（X,Y）的联合分布律

（2）关于X及关于Y的边缘分布律 （3）求X=1时，Y的条件概率密度 （4）判断X与Y是否相互独立 解：（1）（2）由题目知（X,Y）的所有可能取值为

（0，0）（0，1）（1，0）（1，1）

且由古典概率可以求得其联合分布律及边缘分布律（见下表） X Y 0 1 P(i﹒) 6630 202056221 2020532P(﹒j) 55 （3）P｛Y=0｜X=1｝= P｛X=1｜Y=0｝/P｛X=1｝ 620 =3

53 =

4P｛X?1｜Y?1｝ P｛Y=1｜X=1｝=

P{X=1}220 =2

51 =

4 （4）由于P｛X=0｜Y=0｝= 互独立。

69≠P｛X=0｝P｛Y=0｝=，故X与Y不相2025

6、已知（X,Y）的分布律如下表所示， X Y 0 10 41 0 2 1 6试求：（1）在Y=1的条件下，X的条件分布律 （2）在X=2的条件下，Y的条件分布律 解：（1）（2）由联合分布律得关于X与Y的两个边缘分布律为 X 0 1 31P(k) 83 Y 0 1 511P(k) 1224故在Y=1条件下，X的条件分布律为 X｜（Y=1） 0 1 38P(k) 1111 （2）由（1）的分析知，在X=2的条件下，Y的条件分布律为 1 1 81 30 2 0 0 1 82 7 242 1 82 0 Y｜（X=1） P(k) 0 4 71 0 2 3 7 7、设总体X服从泊松分布。一个容量为10的样本值为1,2,4,3,3,4,5,6,4,8。 计算样本均值，样本方差和经验分布函数。 解：由题意知，样本的频率分布为 X 1 2 3 4 5 6 8 m/n 1/10 1/10 2/10 3/10 1/10 1/10 1/10 则X=4，S2=4. 经验分布函数为

?0，x?1?1?,1?x?2?10?2?,2?x<3?10?4?,3?X?410??F（x）??7?10,4?X?5??8,5?X?6?10?9?,6?X?8?10??1,X?8??

8、某车间准备从10名工人中选配4人到某生产线工作，为了安全生产，工厂规 定，一条生产线上熟练工人数不得少于3人，已知这10名工人中熟练工8 名， 学徒工2名。

（1）求工人的配置合理的概率； （2）为了督促其安全生产，工厂安全生产部每月对工人的配置情况进行两次抽 检，求两次检验得到结果不一致的概率。

4解：（1）从从10名工人中选配4人共有C10=210种可能，而一条生产线上熟练 314 工人数不得少于3人共有C8C2+C8C02=56种，所以工人的配置合理的概

5613=。 21015 （2）两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验 。因两次检验得出工人的 配置合理的概率均为13/15，故两次检验中恰好有一次合理的概率为

131352 C1（1-）= 。 21515225

9、设A=｛（x，y）| 1≤x≤6,1≤y≤6，x，y∈N*｝. (1)求从A中任取一个元素是（1,2）的概率。 (2)从A中任取一个元素，求x+y≥10的概率 解：（1）、分别从X、Y各抽出一个元素都有6种可能，则共有6*6=36种结果。 其中抽到元素（1,2）的可能有一种，所以从A中任取一个元素是（1,2）

1 的概率为。

36 （2）、随意抽到结果为X+Y≥10的元素可能结果为（4,6）、（5,5）、）（5,6） （6，4）、6,5）（6,6）共有6种，所以从A中任取一个元素，求x+y≥

率为

1 10的概率为。

6

110、已知离散型均匀总体X(X=2,4,6)，其分布律为：P2=P4=P6=，取容量为n=54的3 样本，求： （1）样本均值X落在4.1~4.4之间的概率； （2）样本均值X超过4.5的概率。1解：由题意得：?=E（X）=?（2+4+6）=4，3182 ?2=E（X2）-?E（X）（22+42+62）-42=?=?3382?422 所以 ?X=?=4，?X==3=，?X=。n54819近似X-4 令Z=，则n充分大时，Z~N（0,1）。294.1-44.4?4 则有P{4.1

1 10的概率为。

6

110、已知离散型均匀总体X(X=2,4,6)，其分布律为：P2=P4=P6=，取容量为n=54的3 样本，求： （1）样本均值X落在4.1~4.4之间的概率； （2）样本均值X超过4.5的概率。1解：由题意得：?=E（X）=?（2+4+6）=4，3182 ?2=E（X2）-?E（X）（22+42+62）-42=?=?3382?422 所以 ?X=?=4，?X==3=，?X=。n54819近似X-4 令Z=，则n充分大时，Z~N（0,1）。294.1-44.4?4 则有P{4.1

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