冶金传输原理推导习题

习题一

推导柱坐标下的连续性方程

我们取微元控制体的体积为rd?drdz，则质量守恒定律对该微元体可写为：

?单位时间流入??微元体的质量???-??单位时间流出?微元体的质量??单位时间微元体?=???的质量增量?? ?由控制体体积为rd?drdz，故控制体的质量为?rd?drdz ， 控制体的质量随时间的变化率为

单位时间

从r方向流入控制体的质量为?Urrd?dz，从r方向流出控制体的质量为

?Urrd?dz+

?(?Urrd?dz)?rdr

?(?rd?drdz)??，变化量为

?(?rd?drdz)???1

从?方向流入控制体的质量为?U?drdz 从?方向流出控制体的质量为

?U?drdz+

?(?U?drdz)??d?

从z方向流入控制体的质量为?Uzrd?dr 从z方向流出控制体的质量为

?Uzrd?dr+

?(?Uzrd?dr)?zdz

由控制体的体积为rd?drdz，则控制体的质量为?rd?drdz， 控制体的质量随时间的变化率为

?(?rd?drdz)??，变化量为

?(?rd?drdz)??rd?drdz，

?1，由于微

元体的体积不随时间变化，故单位时间的质量增量可写为

根据质量守恒定律则有

????rd?drdz=-[

?????(?Urrd?dz)?rdr+

?(?U?drdz)??d?+

?(?Uzrd?dr)?zdz]

由于r,?,z,?是相互独立的变量，故上式可变为

????rd?drdz=-[

?(?Urr)?rd?drdz+

?(?U?)??d?drdz+

?(?Uz)?zrd?drdz]

消去rd?drdz，移向得

????+

1?(?Urr)r?r+

1?(?U?)r??+

?(?Uz)?z……（柱坐标下的连续性方程）

习题二

推导理想流体在y方向的动量守恒方程

取微元体的体积为dxdydz，控制体从ABFE面(即x方向)流入的质量为

?Uxdydz，流入的沿y方向的动量为?Uxdydz?Uy，

从CDHG面(即x方向)流出的沿y方向的动量为

?Uxdydz?Uy+

?(?Uxdydz?Uy)?xdx， dx；

净流出的动量为

?(?Uxdydz?Uy)?x控制体从ABCD面(即y方向)流入的沿y方向的质量为?Uydxdz，动量为

?Uydxdz?Uy

从EFGH?Uydx?dUzy+

面(即y方向)流出的沿y方向的动量为

?ydy，

?(?Uydxdz?Uy)净流出的动量为

?(?Uydxdz?Uy)?ydy；

控制体从ADHE面(即z方向)流入的质量为?Uzdxdy，沿y方向的动量为

?Uzdxdy?Uy，

从BCGF?Uzdx?dUyy+

面(即z方向)流出的沿y方向的动量为

?zdz，

dz；

?(?Uzdxdy?Uy)净流出的动量为

?(?Uzdxdy?Uy)?z控制体的质量为?dxdydz，沿y方向的动量为?Uydxdydz，动量随时间的变化率为

?(?Uydxdydz)??，变化量为

?(?Uydxdydz)???1

作用在微元体上的压力沿y方向的冲量为

{pdxdz?(p??p?ydy)dxdz}?1???p?ydxdydz

假设单位质量的体积力沿y方向的分量为Y,则体积力的冲量为： ?Ydxdydz 故总的动量沿y方向分量守恒可写为：

?Ydxdydz??p?ydxdydz=+

?(?Uxdydz?Uy)?x?(?Uzdxdy?Uy)?zdx++

?(?Uydxdz?Uy)?ydydz?(?Uydxdydz)???1

由于x,y,z,?是相互独立的变量，消去dxdydz，故上式可变为

?Y??p?y=

?(?UxUy)?x+

?(?UyUy)?y+

?(?UzUy)?z+

?(?Uy)??……(y方向的欧拉方程）

把上式等号右边的偏导展开可得

?Y??p?yy=Uy+Uy?????(?Ux)?x?y?Ux?U?xy+Uy?(?Uy)?y??U?Uyy?y+Uy?(?Uz)?z??Uz?U?z+??U??

由于

U?(?Ux)y?x?U?(?Uy)y?y?U?(?Uz)y?z?U??y??=Uy[?(?Ux)?x??(?Uy)?y??(?Uz)?z????? （根据连续性方程）

?p?y故上式可简化为：?Y?=?Ux?U?xy+?Uy?U?yy+?Uz?U?zy+??U??y

同理可推导理想流体在z方向的动量守恒方程（略）

习题三

推导实际流体在y方向的动量守恒方程（即N-S方程）

对于实际流体，??0，它比理想流体多了流体的粘性导致的粘性动量通量，其

动量守恒定律些写为：

?单位时间作用??在控制体上合?外力对控制体???内流体的冲量????????单位时间内?=?由控制体输?出的动量???????单位时间内?-?输出控制体?内的动量???????单位时间内?+?控制体内流?体动量的增量??????

即实际流体在y方向的动量守恒方程为

?Y=?Ux?U?xy+?Uy?U?yy+?Uz?U?zy+??U??y+y方向粘性动量的净输出量（其中压

力归到粘性力之中了）， 而 y方向粘性动量的净输出量为又因为?yx??2????yx?x+

??yy?y+

??yz?z，

?Uy?Uy?Ux1?Ux(?)???(?)， 2?y?x?y?x?yy??2??U?yy?(p?23???U)

??yz?Uy?Uz1?Uy?Uz??2??(?)???(?)

2?z?y?z?y代入?yx,?yy,?yz得到

?Y=?Ux???y[2??U?yy?U?xy+?Uy??U?y??zy+?Uz?U?zy?U?z?U?yzy+??U??y???x[?(?U?yx??U?xy)]?(p?23???U)]?[?(?（一般情况下流体流动过程)]……

中的动量守恒方程），

对于不可压缩流体，并且密度与粘性为常量时，上式可化简为：

??U??y+?Ux?(?U?yy?U?x)?y+?Uy23?U?yy+?Uz??U?z(y=?Y?y?p?yz+???x(?U?yx??U?xy)

?2??y???y?(??U)???U?z?z??U?y)

上式等号右边的后三项等于

?(?U2x?x?y?U?x22y??U?x222y)?2??U?z22?U?yy2y2?23??y?(?U2x?x?yx??U?U?yy2y2??U2z?y?z)??(?U?z22y??U2z?z?y)=

?(??U?y2y?)+

13?(?U?x???y??Uz?z)

由不可压缩流体的连续性方程方

??U??y?U?xx?U?yy??Uz?z?0，故不可压缩流体的动量守恒

程

+?Ux?U?xy为

?p?y+?Uy?U?yy+?Uz?U?zy=?Y?+?(?U?x22y??U?y22y??U?z22y)。

习题四 求旋转角速度?y

BBA点的速度分量为Ux,Uz，则B,C,D各点的速度分量分别为 Ux Uz Ux??Ux?x?Ux?zdx Uz?dz Uz??Uz?x?zdx

C Ux??Uzdz

D Ux??Ux?xdx??Ux?zdz Uz??Uz?xdx??Uz?zdz

因边长是微量，所以速度的增量按泰勒级数展开后都只取一阶微量， 经过d?时间后，该微团运动到A'B'C'D' 位置，

C点沿z方向的速度比B点快

?Uz?z故边长BC在z方向要被拉伸dz，

?Uz?z那dzd?，

么微团在z方向的单位时间单位长度的线变形（即线变形速率）为

?Uz?zdzd?dzd???Uz?z，

下面我们分析在B点原来相互垂直的两边BC，BA经过d?时间后方位的变化。

因C点在x方向的速度分量比B点有增量的转动成为B'C'，

?Ux?Ux?z所以BC边产生一个逆时针方向dz，

令单位时间转角为?1，BC的转角（角速度）为?1d???z,忽略分母中

?Uzdz?dzd??zdzd?的二阶微量，于是有?1??Ux?z，

?Uz?xdx，即

?Uz?xdx?0，所

再来看BA边，A点在z方向的速度分量比B点快

以BA边产生一个顺时针方向的转动成为B'A'，单位时间转角为?2， (?2?0)BAdxd??x的转角（角速度）为?2d??，忽略分母中的二阶微量，于是有

?Uxdx?dxd??x?Uz?2???U?xz，

12(?1??2)?12(所以微团绕y轴的角速度?y??Ux?z??U?xz）

最后看BC，BA两边夹角的变化，两边夹角的角度的减小量为

?2?[?2??1d??(??2d?)]??1d???2d?12(，

??U?xz所以微团的角变形速率为?y?

?Ux?z）。

习题五

把流场中邻近两点速度的变化关系用微团运动方式的组合加以表示（即求

UAy,UAz）

设流场中任意一点的坐标为（x，y，z），其速度分量为（Ux ，Uy，Uz），在该点邻域的A点的坐标为（x?dx，y?dy，z?dz），因为速度分量是坐标的连续函数，所以A点的速度分量可按泰勒级数展开得到（略去二阶以上微量）：

UAy?Uy??U?xydx+

?U?yzydy+

?Uy?zdz

把?U1?U2?y?Uxdx和?1?U2?ydz加到上式的等号右边，重新整理，可得：

Ayy??U?yydy+

?Uy?Ux?Uz1?Ux1?Uy1?Uy(?)dx+(?)dz+(?)dx-2?y?x2?z?y2?x?y?Uy1?Uz(?)dz 2?y?z =Uy??ydy??zdx??xdz??zdx??xdz

UAz?Uz??Uz?xdx+

?U?yyzdy+

?Uz?zdz

把?U1?Ux2?zdx和??Uz1?U2?zdy加到上式的等号右边，重新整理，可得：

Az?Uz?Uz?Uz1?Ux1?Ux1?Uy?)dy-dz+(?)dx+((?)dx-?Uz?2?z?y?z2?z?x2?z?x?Uy1?Uz(?)dy 2?y?z =Uz??zdz??ydx??xdy??ydx??xdy

习题六

两平行平板间的等温层流流动

设两块无限大的平板，上板静止，下板沿水平方向以速度U0作 匀速运动，流体做等温不可压层流流动，且流体密度为常量， 流动过程中沿流动方向存在恒定的压力梯度，求解流动稳定 后速度场的分布。

解：由于两平板无限大，该问题为二维问题，又因为要求稳定 后速度场的分布，故该问题 游客视为稳定态，所以定解问题为：

连续性方程：

： Ux： Ux?Ux?xx+

?U?yy=0

xM?U?x?U?xx+Uy+U?U?y=?=?1?p??x1?p+?(+?(?U?x222x??U?y222x)（由于x方向无体积力）

My?Uyy?U?x2yy?y??y??U?y2y)?g

由于讨论的是稳定后流场的分布，初始条件对定解条件已无影响。 边值条件为无渗透、无滑移边值条件，即Ux Uxy?hy?0?U0, Uyyy?hy?0?0,

?0, U?0,

由于平板无限大，在不同x处的任意截面上速度分布相同，即速度对的一阶、二阶偏导为零，即

?Ux?x?U?y?y?U?x22x?0，

由连续性方程，可得

=0 ，此式说明Uy仅是x的函数，又因为Uy与x无关，故

yy?hUy为常数函数，所以Uy=U?0,即Uy?0，

这时动量方程可以简化为Mx： 0=?M1?p??x+??U?y22x，

y： 0=?1?p??y?g

y方向的方程说明，对不可压缩流体y方向的压力差与重力平衡，对于x方向上的方程，因为已知压力差给定为常量，所以的函数，这时

?U?y22x?p?x已知，又因为

?Ux?x=0，故Ux仅是y

1?p可以写成

dUdy22x，方程进一步简化为：C1 =

C12?2??x=?dUdy22x，

由二阶常微分方程求解公式可得：Ux=

B?U0 ， D??y?Dy?B 再由边界条件可得出： 1?pU0h?C12?2h ，注意到C1 =U0h?C12???x，最后可得

Ux=

1?p2??xy?()h+U0

习题七

垂直同轴圆筒间流体的旋转流动

一个底部封闭的垂直同轴圆筒，其间充满了不可压缩流体，

当外筒保持静止，内筒以角速度?旋转时，由于粘性的作用使 流体在切线方向上做层流流动，如图所示。 当圆筒足够长时，求解稳定后流体中的速度分布：

解：由于圆筒足够长，可忽略边缘效应，这时流动与轴向 坐标无关。该问题可简化为二维问题，在柱坐标系下与z无关 的二维定解问题可写为：

连续性方程：

Mr：

?(Urr)?r)=-?p?r+

?U????=0

[1?(rUr)]?U??Urr??-

U?r2+?{1?Urr22?rr?r??2?2?U?r2??}

M?：?(Ur?U??r+

U??U?r??r?r2+

U?Urr)=-

1?pr??+?{??rr?r[1?(rU?)]?1?U?r22??2?2?Urr2??}

定解条件为：U? U?r?r1?0, Urr?r2?0,

?r1?1, Urr?r1?0,

?U???22由于该问题有中心对称性，物理量不随?变化，即：

??U????0

由连续性方程可得，rUr仅是?的函数，与r无关。由定解条件UrUr?0,

r?r1?0,可得

这时方程可以简化为：Mr：

M?U?r2=-

1?p??r

：

?p??=?r{??rr?r[1?(rU?)]

Mr方程说明，由于流体的转动而产生的离心力与径向压力梯度平衡。

由于场量分布与?无关，

?r{?[1?(rU?)]=0

?p???0,M?方程可写为二阶常微分方程：

?rr?r其通解为：U??C1r?C2r

r12221由定解条件可定出：C1??U??r?rr2r221?1， C2?r1r21222r?r122?1 ，则

r1221r2?r12?1(?r?)

习题八

P79页涡量输运方程的过程运算

?对于二维平面流场，按涡量的定义：????U,

如取平面流场所处的平面为平面，涡量????U就仅有一个z分量，其值为：

?z?12(??U?xy??U?yx） ……⑴

对不可压缩稳定流动，N-S连续性方程在直角坐标系下可写为：

U?Uxx?x?Uy+Uy+U?U?yx=?=?1?p??x1?p++

??U?(?x22x2??U?y222x)………⑵

U?Uyy??U?(?x2yx?x?y??y??U?y2y) ………⑶

⑵式两边对y求导，得

?U?yx?Ux?x+Ux?U2x?y?x+

?U?yy?U?yx+U?Uy2x?y2=?1?p??y?x+

????y(?U?x22x??U?y22x)……

⑷

⑶式两边对x求导，得

?Ux?U?x?xy2+Ux?U?x2y+

?U?xy?U?yy+Uy?U2y?x?y=?1?p??y?x+

????x(?U?x22y??U?y22y)……

⑸

⑸式减⑷式，得

?Ux?x?U?x?U?y)（y-y?U?yx）+

2yy（?U?x(y-2?U?yxx）+Ux?U?yx??x)(?U?xy??U?yx）+Uy??y(?U?xy??U?yx）

==

????x?[?(22?U?x(22??U?y?U?y2-

????y?22?U?xy22??U?yx2

?U?xy??x-

x)+

?y(?U?x-)

在根据⑴式和二维不可压缩流体的连续性方程，可得

U??xz?x+Uy??z?y=

???z?(?x22???z?y22)

上式即为以涡量为控制变量的输运方程，叫涡量输运方程。

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