冶金传输原理推导习题
更新时间:2023-12-09 09:13:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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习题一
推导柱坐标下的连续性方程
我们取微元控制体的体积为rd?drdz,则质量守恒定律对该微元体可写为:
?单位时间流入??微元体的质量???-??单位时间流出?微元体的质量??单位时间微元体?=???的质量增量?? ?由控制体体积为rd?drdz,故控制体的质量为?rd?drdz , 控制体的质量随时间的变化率为
单位时间
从r方向流入控制体的质量为?Urrd?dz,从r方向流出控制体的质量为
?Urrd?dz+
?(?Urrd?dz)?rdr
?(?rd?drdz)??,变化量为
?(?rd?drdz)???1
从?方向流入控制体的质量为?U?drdz 从?方向流出控制体的质量为
?U?drdz+
?(?U?drdz)??d?
从z方向流入控制体的质量为?Uzrd?dr 从z方向流出控制体的质量为
?Uzrd?dr+
?(?Uzrd?dr)?zdz
由控制体的体积为rd?drdz,则控制体的质量为?rd?drdz, 控制体的质量随时间的变化率为
?(?rd?drdz)??,变化量为
?(?rd?drdz)??rd?drdz,
?1,由于微
元体的体积不随时间变化,故单位时间的质量增量可写为
根据质量守恒定律则有
????rd?drdz=-[
?????(?Urrd?dz)?rdr+
?(?U?drdz)??d?+
?(?Uzrd?dr)?zdz]
由于r,?,z,?是相互独立的变量,故上式可变为
????rd?drdz=-[
?(?Urr)?rd?drdz+
?(?U?)??d?drdz+
?(?Uz)?zrd?drdz]
消去rd?drdz,移向得
????+
1?(?Urr)r?r+
1?(?U?)r??+
?(?Uz)?z……(柱坐标下的连续性方程)
习题二
推导理想流体在y方向的动量守恒方程
取微元体的体积为dxdydz,控制体从ABFE面(即x方向)流入的质量为
?Uxdydz,流入的沿y方向的动量为?Uxdydz?Uy,
从CDHG面(即x方向)流出的沿y方向的动量为
?Uxdydz?Uy+
?(?Uxdydz?Uy)?xdx, dx;
净流出的动量为
?(?Uxdydz?Uy)?x控制体从ABCD面(即y方向)流入的沿y方向的质量为?Uydxdz,动量为
?Uydxdz?Uy
从EFGH?Uydx?dUzy+
面(即y方向)流出的沿y方向的动量为
?ydy,
?(?Uydxdz?Uy)净流出的动量为
?(?Uydxdz?Uy)?ydy;
控制体从ADHE面(即z方向)流入的质量为?Uzdxdy,沿y方向的动量为
?Uzdxdy?Uy,
从BCGF?Uzdx?dUyy+
面(即z方向)流出的沿y方向的动量为
?zdz,
dz;
?(?Uzdxdy?Uy)净流出的动量为
?(?Uzdxdy?Uy)?z控制体的质量为?dxdydz,沿y方向的动量为?Uydxdydz,动量随时间的变化率为
?(?Uydxdydz)??,变化量为
?(?Uydxdydz)???1
作用在微元体上的压力沿y方向的冲量为
{pdxdz?(p??p?ydy)dxdz}?1???p?ydxdydz
假设单位质量的体积力沿y方向的分量为Y,则体积力的冲量为: ?Ydxdydz 故总的动量沿y方向分量守恒可写为:
?Ydxdydz??p?ydxdydz=+
?(?Uxdydz?Uy)?x?(?Uzdxdy?Uy)?zdx++
?(?Uydxdz?Uy)?ydydz?(?Uydxdydz)???1
由于x,y,z,?是相互独立的变量,消去dxdydz,故上式可变为
?Y??p?y=
?(?UxUy)?x+
?(?UyUy)?y+
?(?UzUy)?z+
?(?Uy)??……(y方向的欧拉方程)
把上式等号右边的偏导展开可得
?Y??p?yy=Uy+Uy?????(?Ux)?x?y?Ux?U?xy+Uy?(?Uy)?y??U?Uyy?y+Uy?(?Uz)?z??Uz?U?z+??U??
由于
U?(?Ux)y?x?U?(?Uy)y?y?U?(?Uz)y?z?U??y??=Uy[?(?Ux)?x??(?Uy)?y??(?Uz)?z????? (根据连续性方程)
?p?y故上式可简化为:?Y?=?Ux?U?xy+?Uy?U?yy+?Uz?U?zy+??U??y
同理可推导理想流体在z方向的动量守恒方程(略)
习题三
推导实际流体在y方向的动量守恒方程(即N-S方程)
对于实际流体,??0,它比理想流体多了流体的粘性导致的粘性动量通量,其
动量守恒定律些写为:
?单位时间作用??在控制体上合?外力对控制体???内流体的冲量????????单位时间内?=?由控制体输?出的动量???????单位时间内?-?输出控制体?内的动量???????单位时间内?+?控制体内流?体动量的增量??????
即实际流体在y方向的动量守恒方程为
?Y=?Ux?U?xy+?Uy?U?yy+?Uz?U?zy+??U??y+y方向粘性动量的净输出量(其中压
力归到粘性力之中了), 而 y方向粘性动量的净输出量为又因为?yx??2????yx?x+
??yy?y+
??yz?z,
?Uy?Uy?Ux1?Ux(?)???(?), 2?y?x?y?x?yy??2??U?yy?(p?23???U)
??yz?Uy?Uz1?Uy?Uz??2??(?)???(?)
2?z?y?z?y代入?yx,?yy,?yz得到
?Y=?Ux???y[2??U?yy?U?xy+?Uy??U?y??zy+?Uz?U?zy?U?z?U?yzy+??U??y???x[?(?U?yx??U?xy)]?(p?23???U)]?[?(?(一般情况下流体流动过程)]……
中的动量守恒方程),
对于不可压缩流体,并且密度与粘性为常量时,上式可化简为:
??U??y+?Ux?(?U?yy?U?x)?y+?Uy23?U?yy+?Uz??U?z(y=?Y?y?p?yz+???x(?U?yx??U?xy)
?2??y???y?(??U)???U?z?z??U?y)
上式等号右边的后三项等于
?(?U2x?x?y?U?x22y??U?x222y)?2??U?z22?U?yy2y2?23??y?(?U2x?x?yx??U?U?yy2y2??U2z?y?z)??(?U?z22y??U2z?z?y)=
?(??U?y2y?)+
13?(?U?x???y??Uz?z)
由不可压缩流体的连续性方程方
??U??y?U?xx?U?yy??Uz?z?0,故不可压缩流体的动量守恒
程
+?Ux?U?xy为
?p?y+?Uy?U?yy+?Uz?U?zy=?Y?+?(?U?x22y??U?y22y??U?z22y)。
习题四 求旋转角速度?y
BBA点的速度分量为Ux,Uz,则B,C,D各点的速度分量分别为 Ux Uz Ux??Ux?x?Ux?zdx Uz?dz Uz??Uz?x?zdx
C Ux??Uzdz
D Ux??Ux?xdx??Ux?zdz Uz??Uz?xdx??Uz?zdz
因边长是微量,所以速度的增量按泰勒级数展开后都只取一阶微量, 经过d?时间后,该微团运动到A'B'C'D' 位置,
C点沿z方向的速度比B点快
?Uz?z故边长BC在z方向要被拉伸dz,
?Uz?z那dzd?,
么微团在z方向的单位时间单位长度的线变形(即线变形速率)为
?Uz?zdzd?dzd???Uz?z,
下面我们分析在B点原来相互垂直的两边BC,BA经过d?时间后方位的变化。
因C点在x方向的速度分量比B点有增量的转动成为B'C',
?Ux?Ux?z所以BC边产生一个逆时针方向dz,
令单位时间转角为?1,BC的转角(角速度)为?1d???z,忽略分母中
?Uzdz?dzd??zdzd?的二阶微量,于是有?1??Ux?z,
?Uz?xdx,即
?Uz?xdx?0,所
再来看BA边,A点在z方向的速度分量比B点快
以BA边产生一个顺时针方向的转动成为B'A',单位时间转角为?2, (?2?0)BAdxd??x的转角(角速度)为?2d??,忽略分母中的二阶微量,于是有
?Uxdx?dxd??x?Uz?2???U?xz,
12(?1??2)?12(所以微团绕y轴的角速度?y??Ux?z??U?xz)
最后看BC,BA两边夹角的变化,两边夹角的角度的减小量为
?2?[?2??1d??(??2d?)]??1d???2d?12(,
??U?xz所以微团的角变形速率为?y?
?Ux?z)。
习题五
把流场中邻近两点速度的变化关系用微团运动方式的组合加以表示(即求
UAy,UAz)
设流场中任意一点的坐标为(x,y,z),其速度分量为(Ux ,Uy,Uz),在该点邻域的A点的坐标为(x?dx,y?dy,z?dz),因为速度分量是坐标的连续函数,所以A点的速度分量可按泰勒级数展开得到(略去二阶以上微量):
UAy?Uy??U?xydx+
?U?yzydy+
?Uy?zdz
把?U1?U2?y?Uxdx和?1?U2?ydz加到上式的等号右边,重新整理,可得:
Ayy??U?yydy+
?Uy?Ux?Uz1?Ux1?Uy1?Uy(?)dx+(?)dz+(?)dx-2?y?x2?z?y2?x?y?Uy1?Uz(?)dz 2?y?z =Uy??ydy??zdx??xdz??zdx??xdz
UAz?Uz??Uz?xdx+
?U?yyzdy+
?Uz?zdz
把?U1?Ux2?zdx和??Uz1?U2?zdy加到上式的等号右边,重新整理,可得:
Az?Uz?Uz?Uz1?Ux1?Ux1?Uy?)dy-dz+(?)dx+((?)dx-?Uz?2?z?y?z2?z?x2?z?x?Uy1?Uz(?)dy 2?y?z =Uz??zdz??ydx??xdy??ydx??xdy
习题六
两平行平板间的等温层流流动
设两块无限大的平板,上板静止,下板沿水平方向以速度U0作 匀速运动,流体做等温不可压层流流动,且流体密度为常量, 流动过程中沿流动方向存在恒定的压力梯度,求解流动稳定 后速度场的分布。
解:由于两平板无限大,该问题为二维问题,又因为要求稳定 后速度场的分布,故该问题 游客视为稳定态,所以定解问题为:
连续性方程:
: Ux: Ux?Ux?xx+
?U?yy=0
xM?U?x?U?xx+Uy+U?U?y=?=?1?p??x1?p+?(+?(?U?x222x??U?y222x)(由于x方向无体积力)
My?Uyy?U?x2yy?y??y??U?y2y)?g
由于讨论的是稳定后流场的分布,初始条件对定解条件已无影响。 边值条件为无渗透、无滑移边值条件,即Ux Uxy?hy?0?U0, Uyyy?hy?0?0,
?0, U?0,
由于平板无限大,在不同x处的任意截面上速度分布相同,即速度对的一阶、二阶偏导为零,即
?Ux?x?U?y?y?U?x22x?0,
由连续性方程,可得
=0 ,此式说明Uy仅是x的函数,又因为Uy与x无关,故
yy?hUy为常数函数,所以Uy=U?0,即Uy?0,
这时动量方程可以简化为Mx: 0=?M1?p??x+??U?y22x,
y: 0=?1?p??y?g
y方向的方程说明,对不可压缩流体y方向的压力差与重力平衡,对于x方向上的方程,因为已知压力差给定为常量,所以的函数,这时
?U?y22x?p?x已知,又因为
?Ux?x=0,故Ux仅是y
1?p可以写成
dUdy22x,方程进一步简化为:C1 =
C12?2??x=?dUdy22x,
由二阶常微分方程求解公式可得:Ux=
B?U0 , D??y?Dy?B 再由边界条件可得出: 1?pU0h?C12?2h ,注意到C1 =U0h?C12???x,最后可得
Ux=
1?p2??xy?()h+U0
习题七
垂直同轴圆筒间流体的旋转流动
一个底部封闭的垂直同轴圆筒,其间充满了不可压缩流体,
当外筒保持静止,内筒以角速度?旋转时,由于粘性的作用使 流体在切线方向上做层流流动,如图所示。 当圆筒足够长时,求解稳定后流体中的速度分布:
解:由于圆筒足够长,可忽略边缘效应,这时流动与轴向 坐标无关。该问题可简化为二维问题,在柱坐标系下与z无关 的二维定解问题可写为:
连续性方程:
Mr:
?(Urr)?r)=-?p?r+
?U????=0
[1?(rUr)]?U??Urr??-
U?r2+?{1?Urr22?rr?r??2?2?U?r2??}
M?:?(Ur?U??r+
U??U?r??r?r2+
U?Urr)=-
1?pr??+?{??rr?r[1?(rU?)]?1?U?r22??2?2?Urr2??}
定解条件为:U? U?r?r1?0, Urr?r2?0,
?r1?1, Urr?r1?0,
?U???22由于该问题有中心对称性,物理量不随?变化,即:
??U????0
由连续性方程可得,rUr仅是?的函数,与r无关。由定解条件UrUr?0,
r?r1?0,可得
这时方程可以简化为:Mr:
M?U?r2=-
1?p??r
:
?p??=?r{??rr?r[1?(rU?)]
Mr方程说明,由于流体的转动而产生的离心力与径向压力梯度平衡。
由于场量分布与?无关,
?r{?[1?(rU?)]=0
?p???0,M?方程可写为二阶常微分方程:
?rr?r其通解为:U??C1r?C2r
r12221由定解条件可定出:C1??U??r?rr2r221?1, C2?r1r21222r?r122?1 ,则
r1221r2?r12?1(?r?)
习题八
P79页涡量输运方程的过程运算
?对于二维平面流场,按涡量的定义:????U,
如取平面流场所处的平面为平面,涡量????U就仅有一个z分量,其值为:
?z?12(??U?xy??U?yx) ……⑴
对不可压缩稳定流动,N-S连续性方程在直角坐标系下可写为:
U?Uxx?x?Uy+Uy+U?U?yx=?=?1?p??x1?p++
??U?(?x22x2??U?y222x)………⑵
U?Uyy??U?(?x2yx?x?y??y??U?y2y) ………⑶
⑵式两边对y求导,得
?U?yx?Ux?x+Ux?U2x?y?x+
?U?yy?U?yx+U?Uy2x?y2=?1?p??y?x+
????y(?U?x22x??U?y22x)……
⑷
⑶式两边对x求导,得
?Ux?U?x?xy2+Ux?U?x2y+
?U?xy?U?yy+Uy?U2y?x?y=?1?p??y?x+
????x(?U?x22y??U?y22y)……
⑸
⑸式减⑷式,得
?Ux?x?U?x?U?y)(y-y?U?yx)+
2yy(?U?x(y-2?U?yxx)+Ux?U?yx??x)(?U?xy??U?yx)+Uy??y(?U?xy??U?yx)
==
????x?[?(22?U?x(22??U?y?U?y2-
????y?22?U?xy22??U?yx2
?U?xy??x-
x)+
?y(?U?x-)
在根据⑴式和二维不可压缩流体的连续性方程,可得
U??xz?x+Uy??z?y=
???z?(?x22???z?y22)
上式即为以涡量为控制变量的输运方程,叫涡量输运方程。
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