1. 3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积

1. 3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积

【教学目标】

1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。 2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。

3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。 【教学重难点】

教学重点：运用公式解决问题 教学难点：理解计算公式的由来. 【教学过程】 （一）情景导入

讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→ 正方体、长方体的表面积计算公式？ 讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？ → 圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？ 那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他们的体积问题,这是我们这节主要学习的内容。

（二）展示目标

这也是我们今天要学习的主要内容:

1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。 2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。

3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

（三）检查预习

1．棱柱的侧面展开图是由 ，棱锥的侧面展开图是由 ，梭台的侧面展开图是由 ，圆柱的侧面展开图是 ，圆锥的侧面展开图是 ，圆台的侧面展开图是 。

2．几何体的表面积是指 ，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求 、 ，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求 、 、 、 。 。

（四）合作探究

面积探究:

讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和） 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）

3．几何体的体积是指 ，一个几何体的体积等于 体积探究:

讨论：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？ 五）交流展示 略

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（六）精讲精练

1. 教学表面积计算公式的推导：

① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）

② 练习：1.已知棱长为a，各面均为等边三角形的正四面体S-ABC的表面积.(教材P24

页例1)

2. 一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积. ③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→

圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的线）， S圆柱侧=2?rl，S圆柱表=2?r(r?l)，其中为r圆柱底面半径，母线长。

圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为???3600，S圆锥侧=?rl， S圆锥表=?r(r?l)，中为r圆锥底面半径，l为母线长。

圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，

外弧长等

表） 高（母

l为

rl其

R?r?3600，lS圆台侧=?(r?R)l，S圆台表=?(r2?rl?Rl?R2).

于圆台下底周长，侧面展开图扇环中心角为??例1．已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等。若圆柱的底面半径为r，圆柱侧面积为S，求圆锥的侧面积。

解：设圆锥的母线长为l，因为圆柱的侧面积为S，圆柱的底面半径为r，即S圆柱侧?S，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为

SS，由题意得圆锥的高为，又2?r2?rS2)，根据圆锥的侧面积2?r圆柱的底面半径为r，根据勾股定理，圆锥的母线长l?r2?(公式得

S圆锥侧S2??rl???r?r?()?2?r24?2r4?S2.

2变式训练:若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）

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A．183

B．153

C．24?83

D．24?163

分析：该正三棱柱的直观图如图所示，且底面等边三角形的高为23，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为

2. 教学柱锥台的体积计算公式：

① 讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？（祖暅(gèng，祖冲之的儿子)原理，教材P30）

② 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？

→给出柱体体积计算公式：V柱?Sh （S为底面面积，h为柱体的高）→V圆柱?Sh??r2h

③ 讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系？ 等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系？

④ 根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公式？ →给出锥体的体积计算公式：V锥?Sh S为底面面积，h为高）

⑤ 讨论：台体的上底面积S’，下底面积S，高h，由此如何计算切割前的锥体的高？ → 如何计算台体的体积？

⑥ 给出台体的体积公式：V台?(S'?S'S?S)h （S，S'分别上、下底面积，h为高）

→ V圆台?(S'?S'S?S)h??(r2?rR?R2)h （r、R分别为圆台上底、下底半径）

⑦ 比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？

从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令S’=S和S’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式

13131313

讨论：侧面积公式是否也正确？ 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一？

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公式记忆：V锥?Sh

131V台?(S'?S'S?S)h

311V圆台?(S'?S'S?S)h??(r2?rR?R2)h

33例2.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（ ）

A．

3? 3 B．

23? 3

C．3?

D．

? 3分析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为3，所以这个几何体的体积为

V?1???12?3?33?. 3答案：A

变式训练: 如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、

俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）

A．1

B．

1 2C．

1 3D．

1 6活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征。

分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图中所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA?AB,PAVAC,AB?AC.则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为

V?1111S?ABCPA???1?. 3326答案：D （七）反馈测评

1．三棱锥V?ABC的中截面是?A1B1C1，则三棱锥V?A1B1C1与三棱锥A?A1BC的体

积之比是（ ）

A．1:2

B．1:4

C．1:6

D．1:8

分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1:4，

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将三棱锥A?A1BC转化为三棱锥A1?ABC，这样三棱锥V?A1B1C1与三棱锥A1?ABC的高相等，底面积之比为1:4，于是其体积之比为1:4。

答案：B

【板书设计】

一、柱体、锥体、台体的表面积与体积 二、例题 例1 变式1 例2 变式2

【作业布置】

导学案课后练习与提高

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积

课前预习学案

一、预习目标

1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。 2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。 二、预习内容

1．棱柱的侧面展开图是由 ，棱锥的侧面展开图是由 ，梭台的侧面展开图是由 ，圆柱的侧面展开图是 ，圆锥的侧面展开图是 ，圆台的侧面展开图是 。

2．几何体的表面积是指 ，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求 、 ，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求 、 、 三、提出疑惑

1．利用斜二测画法叙述正确的是（ ）

1．一个长方体的三个面的面积分别为2,3,6，则这个长方体的体积为（ ） A．6 A．2

B．6 B．22

C．3 C．4

D．23 D．8 。

2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32?，则母线长为（ ） 3．长、宽、高分别为a,b,c的长方体的表面积S= 、 。 。

3．几何体的体积是指 ，一个几何体的体积等于 4．圆台的上、下底面半径分别为2,4，母线长为13，则这个圆台的体积V= 。

课内探究学案

一、学习目标

1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。

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