第2章 刚体的定轴转动2013.3.20

大学物理Ⅱ习题集

第2章 刚体的定轴转动

一. 基本要求

1. 理解角动量（动量矩）的概念，能用角动量定理计算相关问题。

2. 理解角动量守恒定律及其适用条件，能用角动量守恒条件来分析处理有关问题。 3. 理解转动惯量的概念，会计算一些简单规则匀质刚体对定轴的转动惯量。 4. 掌握刚体定轴转动的转动定律，能熟练地应用转动定律来分析、计算一些简单情况下刚体绕定轴的转动问题。

5. 会计算力矩的功及刚体定轴转动的动能。

二. 内容提要

1. 力矩 力的大小F与力臂d的乘积称为力对转轴的力矩，用M表示，即

M=Fd

???力矩是矢量，其矢量M可用矢径r与力F的叉积，即

???M?r?F

?

M的大小为M=Frsinθ

2 转动惯量 刚体上各质元的质量?mi与该质元到转轴的距离的平方ri2的乘积之和。

质点对转轴的转动惯量为J?mr2

对于质量连续分布的刚体，其转动惯量为J?r2dm。

转动惯量是刚体对轴转动惯性大小的量度。

??

M3. 转动定律 刚体获得的角加速度?与作用在刚体上的合外力矩成正比，与刚体转动惯量J成反比，即

???M?J?

4. 转动动能定理 刚体定轴转动动能的增量等于作用在刚体上的合外力矩作功的总和，其数学表达式为

??2?1Md??1122J?2?J?1 22?5. 角动量 质点角动量为位矢对质点动量的叉积，用L表示，即

???L?r?mv

对于刚体，其角动量的大小为它的转动惯量J与角速度?的乘积，即

1

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L?J?

6. 角动量定理 质点角动量的增量等于作用在质点上的冲量矩（力矩对时间的累积），即

??t1t2t1???M?dt?L2?L1

对于刚体，其角动量的增量等于作用在刚体上的冲量矩，即

t2?????M?dt?L2?L1?J?2?J?1

7. 角动量守恒定律 当作用在质点或刚体上的合外力矩为零时，质点或刚体的角动量不变，即

??L2?L1?常量

习 题

2-1 一个以恒定角加速度转动的圆盘，如果在某一时刻的角速度ω1=20πrad/s，再转60转后角速度为ω2=30πrad/s，则角加速度β= ，转过上述60转所需的时间Δt= .

2-5 一飞轮以等角加速度2 rad/s2转动，在某时刻以后的5s内飞轮转了100rad。若此飞轮是由静止开始转动的，问在上述的某时刻以前飞轮转动了多少时间？

2-9 花样滑冰运动员绕过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为J0，角速度为?0。然后她将两臂收回，使转动惯量减少为

1J0，这时她转动的角速度变为 311?0. ?(A) 0 (B)

33 (C) 3?0. (D)

3?0. [ ]

v

v

俯视图

题2-11图

?v 2

俯视图

?v

题2-12图

2

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2-11 光滑的水平桌面上，有一长为2L、质量为m的匀质细杆，可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O自由转动，其转动惯量为mL，起初杆静止。桌面上有两个质量均为m的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同速率v相向运动，如图所示。当两小球同时与两个端点发生完全非弹性碰撞后，就与杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为

1322v4v6v (B) (C) 3L5L7L8v12v (D) （E) [ ]

9L7L(A)

2-12 如图所示，一静止的均匀细棒，长为L、质量为Μ，可绕通过棒的端点且垂直

1ML2，一质量为m、速率为v的31子弹在水平面内沿与棒 垂直的方射入并穿入棒的自由端，穿入棒后子弹速率为v，则

2于棒长的光滑固定轴O在水平面内转动，转动惯量为此时棒的角速度应为

mv3mv. (B) ML2ML5mv7mv (C) (D) [ ]

3ML4ML(A)

2-15 决定刚体转动惯量的因素是 。 2-16 几个力同时作用在一个具有固定转轴的刚体上，如果这几个力的矢量和为零，

则此刚体

(A) 必然不会转动。 (B) 转速必然不变。

(C) 转速必然改变。 (D) 转速可能不变，也可能改变。 [ ] 2-17 一长为l，质量可以忽略的直杆，可绕通过其一端的水平光滑轴在竖直平面内作定轴转动，在杆的另一端固定着一质量为m的小球，如图所示。先将杆由水平位置无初转速地释放。则杆刚被释放时的角加速度β0= ，杆与水平方向夹角为60°时的角加速度β= 。

☉ 2m

l θ O m

题2-17图 题2-18图

3

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2-18 一长为l，质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为2m和 m的小球，杆可绕通过其中心O且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转动。开始杆与水平方向成某一角度θ，处于静止状态，如图所示。释放后，杆绕O轴转动。则当杆转到水平位置时，该系统所受到的合外力矩的大小Μ= ，此时该系统角加速度的大小β= 。

2-20 如图所示，一质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为Μ、半径为R，其转动惯量为轴光滑。试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。

1MR2，滑轮2R r O M

m m

题2-20图 题2-21图

2-21一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳的另一端绕在一轮轴上，如图所示。轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承上。当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离S，试求整个轮轴的转动惯量(用m、r、t和S表示)。

2-27 一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子

弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，m m 圆盘的角速度ω

O (A)增大。 (B)不变。

M (C)减小。 (D)不能确定。 [ ] 2-29 一质量为M=15㎏、半径为R=0.3m的圆柱体，可绕与其几何轴重合的水平固定轴转动(转动惯量J?1MR2)。现以一不能伸长轻绳绕于柱面，而在绳的下端悬一质量 2m=8.0㎏的物体。不计圆柱体与轴的摩擦，求：

(1) 物体自静止下落，5s内下降的距离； (2) 绳中的张力。

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2-30 如图所示，一质量为m、半径为R的圆盘，可绕通过其一直径的光滑固定轴AA/转动，转动惯量J? 开始在恒力矩M作用下转动，t秒后位于圆 A A′ / 盘边缘上与轴AA的垂直距离为R的B点的 R

切向加速度a t= ，法

B 向加速度a n= .

1mR2。该圆盘从静止 4

2-32力矩的定义式为 ，在力矩作用下，一个绕轴转动的物体

作 。系统所受的合外力矩为零，则系统的 守恒。

2-40一长为l、重为W的均匀梯子，靠墙放置，如图。梯子下端连一倔强系数为k的弹簧。当梯子靠墙竖直放置时，弹簧处于自然长度，墙 和地面都是光滑的。当梯子依墙而与地面成θ角且处于平衡状态时，

(1) 地面对梯子的作用力的大小为 。 (2) 墙对梯子的作用力的大小为 。 (3) W、k、l、θ应满足的关系式为 。

2-41一轻绳跨过两个质量均为m、半径均为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m和 2m的重物，如图所示。绳与

滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮 r m m r 12的转动惯量均为mr。将由两个定滑轮以及 2 B θ A 质量为m和2m的重物组成的系统从静止释放，求两滑轮之间绳内的张力。

m 2m

2-42质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴粘在一起，可绕通过盘心且垂直盘面的水

2r r m 92平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量mr。大小圆盘 2m 2

边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，如图。

m m 求盘的角加速度的大小。

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