高一数学必修1函数的基本性质

高中数学必修1函数的基本性质

1．奇偶性

（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。

如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。

注意：

1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○

2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也○

一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○

2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○

3 作出相应结论： ○

若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。

（3）简单性质：

①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；

②设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：

奇+奇=奇，奇 奇=偶，偶+偶=偶，偶 偶=偶

2．单调性

（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；

注意：

1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○

2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) ○

（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

（3）设复合函数y= f[g(x)]，其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g : x→u=g(x) 的象集： ①若u=g(x) 在 A上是增（或减）函数，y= f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y= f[g(x)]在A上是增函数；

②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y= f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y= f[g(x)]在A上是减函数。

（4）判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

1 任取x1，x2∈D，且x1<x2； ○

2 作差f(x1)－f(x2)； ○

3 变形（通常是因式分解和配方）○；

4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）○；

5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）○。

（5）简单性质

①奇函数在其对称区间上的单调性相同；

②偶函数在其对称区间上的单调性相反；

③在公共定义域内：

增函数f(x) 增函数g(x)是增函数；减函数f(x) 减函数g(x)是减函数；增函数f(x) 减函数g(x)是增函数；减函数f(x) 增函数g(x)是减函数。

3．最值

（1）定义：

最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。

最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。

注意：

1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M； ○

2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）○。

（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○

2 利用图象求函数的最大（小）值； ○

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： ○

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

4．周期性

（1）定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)= f(x)，则称f(x)为周期函数；

（2）性质：①f(x+T)= f(x)常常写作f(x TT) f(x ),若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)22

的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为T

| |。

四．典例解析

【奇偶性典型例题】

例1．以下五个函数：（1）y

（5）y log2(x 14x(x 0)；（2）y x 1；（3）y 2；（4）y log2x； xx2 1)，其中奇函数是__，偶函数是，非奇非偶函数是 _________

点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。

题型二：奇偶性的应用

例2．设f（x）是定义在R上的奇函数，若当x≥0时，f（x）=log3（1+x），则f（－2）=____ _。

例3．已知f(x)奇函数，当x∈（0，1）时，f(x) lg1，那么当x∈（－1，0）时，f(x)的表达式是 ． 1 x

例4．若奇函数f(x)是定义在（ 1，1）上的增函数，试求a的范围：

f(a 2) f(a2 4) 0．

2解：由已知得f(a 2) f(a 4)

因f(x)是奇函数，故 f(a2 4) f(4 a2)，于是f(a 2) f(4 a2)．

又f(x)是定义在（ 1，1）上的增函数，从而

3 a 2 a 2 4 a2 1 a 2 1 a 2 1 a 3 1 a2 4 1 a a 即不等式的解集是2)

【单调性典型例题】

例1．(1)设函数f(x) (2a 1)x b是R上的减函数,则a的范围为( )

A．a 1111 B．a C．a D．a 2222

2 (2)函数y x bx c(x [0, ))是单调函数的充要条件是( )

A．b 0 B．b 0 C．b 0 D．b 0

(3)已知f(x)在区间( , )上是减函数，a,b R且a b 0，则下列表达正确的是（ ）

A．f(a) f(b) [f(a) f(b)] B．f(a) f(b) f( a) f( b)

C．f(a) f(b) [f(a) f(b)] D．f(a) f(b) f( a) f( b)

提示：a b 0可转化为a b和b a在利用函数单调性可得.

(4) 如右图是定义在闭区间上的函数y f(x)的图象,该函数的单调增区

间为

例2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间

（1）y x2 2|x| 1 （2）y | x2 2x 3|

例3．根据函数单调性的定义，证明函数

在

上是减函数．

例4.设f(x)是定义在R上的函数，对m、n R恒有f(m n) f(m) f(n)，且当x 0时，0 f(x) 1。

（1）求证：f(0) 1； （2）证明：x R时恒有f(x) 0；

（3）求证：f(x)在R上是减函数； （4）若f(x) f(2 x) 1，求x的范围。

1111则f( 0) f() f(0)，因为f() 0 所以f(0) 1 2222

(2)设x 0则 x 0 由条件可知f( x) o

又因为1 f(0) f(x x) f(x) f( x) 0，所以f(x) 0 ∴x R时，恒有f(x) 0

（3）设x1 x2则 解：(1)取m=0，n=

f(x1) f(x2) f(x1) f(x2 x1 x1) =f(x1) f(x2 x1)f(x1) =f(x1)[1 f(x2 x1)]

因为x1 x2所以x2 x1 0所以f(x2 x1) 1即1 f(x2 x1) 0

又因为f(x1) 0，所以f(x1)[1 f(x2 x1)] 0 所以f(x1) f(x2) 0，即该函数在R上是减函数.

(4) 因为f(x) f(2 x) 1，所以f(x) f(2 x) f(2x x2) f(0)

所以2x x2 0，所以x的范围为x 2或x 0

例5：（复合函数单调性）1.函数

y 的增区间是（ ）.

A． [ 3, 1] B． [ 1,1] C． ( , 3) D． [ 1, )

2.函数y＝1

x2 2x 80的单调递增区间为（ ）

A．( , 8) B．( ,1) C．(1, ) D．( 8, )

题型五：周期问题

例6．已知函数y f(x)是定义在R上的周期函数，周期T 5，函数y f(x)( 1 x 1)是奇函数知y f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x 2时函数取得最小值 5。

①证明：f(1) f(4) 0；

②求y f(x),x [1,4]的解析式；

③求y f(x)在[4,9]上的解析式。

解：∵f(x)是以5为周期的周期函数，∴f(4) f(4 5) f( 1)，

又∵y f(x)( 1 x 1)是奇函数，∴f(1) f( 1) f(4)，∴f(1) f(4) 0。

②当x [1,4]时，由题意可设f(x) a(x 2)2 5 (a 0)，

由f(1) f(4) 0得a(1 2)2 5 a(4 2)2 5 0，∴a 2，∴f(x) 2(x 2)2 5(1 x 4)。

x)( 1 x 1)③∵y f(是奇函数，∴f(0) 0，

又知y f(x)在[0,1]上是一次函数，

2∴可设f(x) kx(0 x 1)，而f(1) 2(1 2) 5 3，

∴k 3，∴当0 x 1时，f(x) 3x，

从而当 1 x 0时，f(x) f( x) 3x，故 1 x 1时，f(x) 3x。

∴当4 x 6时，有 1 x 5 1，

∴f(x) f(x 5) 3(x 5) 3x 15。

当6 x 9时，1 x 5 4，

∴f(x) f(x 5) 2[(x 5) 2] 5 2(x 7) 5 22

3x 15,4 x 6∴f(x) 。 2 2(x 7) 5,6 x 9

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