数学八年级上全部知识点-北师大版

第一章 勾股定理

一、勾股定理：

直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

说明：若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a2+b2=c2。 勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 说明：根据勾股定理的逆定理，可以判定一个三角形是否是直角三角形：若已知三角形的三条边，只需验证最大边的平方是否等于另两边的平方和，若相等，则是直角三角形；若不等，则不是。 勾股数：

满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。

若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数），也必然是一组勾股数。 常用的几组勾股数有3,4,5；6,8,10；5,12,13；8,15,17等，请熟记。 勾股定理的应用：

求两点之间的距离和线段的长度常构造直角三角形，利用勾股定理求解，求立体图形上两点之间的最短距离大致可分为：(1)圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；(2)长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。

二、直角三角形三边之间的关系：

不等量关系是：斜边的长大于每条直角边的长，其依据是“垂线段最短”；

等量关系是：勾股定理，勾股定理是我们求直角三角形边长的依据，在直角三角形中，已知任意两边的长，可求第三边的长。 直角三角形的判别：

(1)利用定义，判断一个三角形中有一个角是直角；

(2)根据三角形一边的平方等于另外两边的平方和，来判定该三角形是直角三角形。 三、勾股定理中的方程思想

勾股定理三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．对于一些几何问题，往往借助于勾股定理，利用代数方法来解决．把一条边的长设为未知数，根据勾股定理列出方程，解方程求出未知数的值，即使有时出现了二次方程，大多可通过抵消而去掉二次项。

四、勾股定理中的转化思想

在利用勾股定理计算时，常先利用转化的数学思想构造出直角三角形，比如立体图形上两点之间的最短距离的求解，解答时先把立体图形转化为平面图形，在平面图形中构造直角三

第二章 实数 一、无理数：

无限不循环小数叫做无理数。 说明：

1、无理数有两个本质属性，一是“无限”，二是“不循环”只有满足这两个条件的小数才是无理数。

2、虽然从开方运算可以得到无理数，但并不是所有的无理数都是从开方开不尽得到的，如圆周率是无理数，它并不是从开方开不尽产生的，因此不能误认为“无理数是开方开不尽的数”。 3、判断一个数是否是无理数，要根据定义看其本质属性，不能说“带根号的数是无理数”，事实上

=5是有理数而不是无理数。

4、要把无理数和它的有理数近似值严格区别开来。如1.414，1.4142?都是有理数。 无理数与有理数的区别：

是无理数，而它的近似值1.4，1.41，

1、有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数。

2、所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母为1的分数）；而无理数写不成分数的形式，即无理数不能用n/m（n不等于0，m、n是整数）表示。 二、实数：

有理数与无理数统称为实数。 1、实数的分类：有理数和无理数。

有理数包括（正有理数、0、负有理数）。 无理数包括（正无理数、负无理数）。 正有理数包括（正整数、正分数）。 负有理数包括（负整数、负分数）。 正无理数和负无理数都是无限不循环小数。

2、实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是（a0）。

a（a0）

3、实数a的绝对值

4、实数的绝对值性质：

-a （ a

=

0 （ a = 0）

；｜a｜=｜－a｜；

5、实数的大小：

=； =（b）；=

正数大于0，负数小于0；两个正实数直接比较；两个负实数，绝对值大的反而小。 6、实数的运算：

在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零）、乘方及开方运算，有理数的运算法则在实数范围内仍然成立，实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序基本相同：先乘方、开方，再算乘除，最后算加减．同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的，先算括号里面的，但开方运算则需注意，负实数只能开奇次方，而不能开偶次方。

有理数范围内适用的运算律、幂的运算法则、乘法公式，在实数范围内同样适用。 7、实数和数轴上的点的对应关系：

任何一个有理数，在数轴上都有一个惟一确定的点与之对应，但是数轴上的点并不都表示有理数，无理数也可用数轴上的点表示，由此可见，数轴上表示有理数的点是不连续的，而有理数、无理数合在一起，才能填满整个数轴，所以数轴上的点和实数一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数， 8、比较实数大小的方法：

实数的大小比较与有理数的大小比较的原则是相同的．在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；正数大于零，零大于负数；两个负数进行大小比较时，先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小；两个正实数的大小比较，一般采用作差法、作商法、作平方法等。 （1）数轴法

在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。 （2）计算法：

直接求实数的值（或近似值），然后根据实数的性质（正数0负数；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而小）进行比较。求值时一般将实数写成小数的形式。 （3）特殊性质法：

利用某些数的特殊性质，如：

（1）分母相同的两个正分数，分子大的分数较大；分子相同的两个正分数，分母大的反而小； （2）若ab0，则（4）作差法：

对实数a、b，若a-b0，则ab；若a-b0，则ab；若a-b0，则ab。

0，（n为正整数）。

（5）作商法：

（1）对a>0，b>0，若a/b＞1，则a>b；若a/b＜1，则a1，则ab；若a/b=1，则a=b。

说明：（1）作差法是与0比较，作商法是与1比较。（2）作差法适用于任意两个实数的大小比较。而用作商法时，需分两正数比较和两负数比较两种情况。 三、算术平方根：

一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“读作“根号a”。说明：0的算术平方根是0，即四、平方根：

一般地，如果一个数x的平方等于a即x2=a，那么这个数x和它的相反数—X就叫做a的平方根，也叫做二次方根。

平方根的性质：一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。 五、立方根：

一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。 立方根的性质：正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。 开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数。 六、确定平方根或立方根的大致范围

有些数的平方根或立方根不是有理数，而是无理数，这些数都是开方开不尽的数，我们可以借助平方运算或立方运算，通过两边夹遭韵方法估计它们的值所在的范围，例如要估算√43的大小，要求误差小于O．1．首先找出43邻近的两个完全平方数，如36<43<49，则√36<√43<√49，即6<√43<7，由此可见√43的整数部分应是6，然后再由6.5=42.25，6.6=43.56得42.25<43<43.56，得6.5<√43<6.6，从而知√43的十分位上的数应为5，即√43≈6.5或6.6． 七、通过估算比较两个数的大小

对于含根号的数比较大小，一般可采用下列方法： (1)先估算含根号的数的近似值，再和另一个数进行比较；

(2)当符号相同时，把不含根号的数平方（或立方）和被开方数比较，本方法的实质是比较被开方数，被开方数越大，算术平方根（或立方根）越大；

(3)若同分母或同分子的，可比较它们分子或分母的大小． 八、涉及三种非负数的问题

非负数是正数和零的统称，初中数学学习中，常见的非负数有三种；实数的绝对值、实数的平

2

2

”

=0。

方、非负实数的算术平方根，灵活运用它们值的大小或等于O的特性，对一些问题可找到很好的解决途径。

菱形的面积公式：

如果菱形的两条对角线长分别为a、b，则菱形的面积S=ab。 三、矩形：

有一内角是直角的平行四边形叫做矩形。（也叫长方形） 矩形的性质：

1、矩形具有平行四边形的所有性质（即对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分）。 2、矩形的四个角都是直角。 3、矩形的对角线相等。

说明：（1）矩形是轴对称图形，对边中点连线所在直线是它的两条对称轴。（2）由矩形性质可得直角三角形的一个重要性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 矩形的判别：

1、三个角是直角的四边形是矩形； 2、一个角是直角的平行四边形是矩形； 3、对角线相等的平行四边形是矩形。 四、正方形：

有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 正方形的性质：

1、正方形的四个角都是直角，四条边都相等。 2、正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分。 说明：

1）正方形既可以看做特殊的菱形，也可以看做特殊的矩形，所以它具有菱形的所有性质（当然也具有平行四边形的所有性质）。

2）根据正方形四个角都是直角且对角线平分对角可知，正方形对角线与边的夹角为45。 3）正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线和对边中点连线所在直线是它的四条对称轴。 正方形的判定：

（1）有一个角是直角、一组邻边相等的平行四边形； （2）有一组邻边相等的矩形是正方形； （3）有一个角是直角的菱形是正方形； （4）对角线相等的菱形是正方形。 五、梯形：

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。平行的两边叫做梯形的底，不平行的两边

0

叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高。 等腰梯形：

两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 等腰梯形的性质： 1、等腰梯形的两腰相等；

2、等腰梯形在同一底上的两个角相等； 3、等腰梯形的对角线相等。

说明：等腰梯形是轴对称图形，通过上、下底中点的直线是它的对称轴。 等腰梯形的判别：

1、两腰相等的梯形是等腰梯形；

2、在同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；

3、对角线相等的梯形是等腰梯形。说明：成轴对称图形的梯形是等腰梯形。 直角梯形：

一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。 研究梯形问题的主要方法：

在研究有关梯形的问题时，常常通过添加辅助线，把梯形问题转化为三角形和平行四边形的问题来解决。

说明：常用的梯形辅助线的添加方法：（1）作两条高；（2）作两条对角线；（3）平移一腰；（4）平移一条对角线；（5）延长两腰；（6）过一顶点和一腰中点作直线。 梯形的中位线：

连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。 梯形的中位线定理：

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。说明：设梯形的上底、下底、高的长度分别为a、b、h、l，则梯形的面积S=（a+b）h=lh。

梯形的一般梯形、等腰梯形、直角梯形的性质和判定方法： 一般梯形：

⑴一组对边平行，另一组对边不平行； ⑵中位线平行于底边，且等于两底和的一半；

⑶S=1/2（a+b）h，（其中：a、b、h分别是梯形的上、下底的长和高）。 直角梯形的性质：

除一般梯形的性质外，还有：一底角是直角。

六、平行四边形的面积：

（1）平行四边形的面积=底边长×高=ah（a是平行四边形的一边长，h是a边与其对边的距离）。 （2）同底（等底）同高（等高）的平行四边形的面积相等。 （3）菱形的面积等于对角线乘积的一半 七、特殊的四边形的边、角、线关系 平行四边形：

边：对边平行且相等；角：对角相等；对角线：两条对角线互相平分。 矩形：

边：对边平行且相等；角：四个角都是直角；对角线：两条对角线互相平分且相等。 菱形：

边：对边平行，四条边都相等；角：对角相等；

对角线：两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 正方形：

边：对边平行，四条边都相等；角：四个角都是直角；

对角线：两条对角线互相平分且相等，每条对角线平分一组对角。 等腰梯形：

边：两底平行，两腰相等；角：同一底上的两个角相等；对角线：两条对角线相等。 八、四边形和多边形的内角和、外角和：

四边形：内角和等于360°；外角和等于360°， 九、三角形、梯形的中位线定理：

⑴三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半； ⑵梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 十、与平行四边形（包括矩形、菱形）相关的一些辅助线的作法： ⑴有平行线时，常作平行线构造平行四边形； ⑵有中线时，常作加倍中线构造平行四边形；

⑶是矩形、菱形时，常用连结对角线的方法把四边形问题转化为三角形问题；垂直时，常可作垂线构造矩形。 十一、多边形：

在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。 说明：在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。多边形的边、顶点、内角和的含义与三角形相同。

N边形的内角和：n边形的内角和等于（n-2）180。

0

正多边形： 在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形。

多边形的外角： 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。 多边形的外角和：在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。 多边形的外角和：多边形的外角和都等于360。

多边形的对角线：在多边形中，连结不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 说明：

（1）过n边形的一个顶点可作（n-3）条对角线（n

）。

0

（2）n边形的对角线的总条数为n（n-3）（n十二、中心对称图形：

）。

在平面内，一个图形绕某个点旋转180，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。

中心对称图形的性质：中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 十三、平面图形的镶嵌：

用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．又称做平面图形的密铺．

用形状、大小完全相同的三角形可以镶嵌，因为三角形的内角和为180°，所以用6个形状、大小完全相同的三角形就可以组合起来镶嵌成一个平面．

用形状、大小完全相同的四边形也可以镶嵌，在用四边形镶嵌的图案中，可以观察到：每个拼接点处的四个角恰好是一个四边形的四个内角．四边形的内角和为360°，所以它们的和为360°， 用边长相等的正六边形可以镶嵌，因为正六边形的每个内角都是（6-2）×180°/6=120°，在每个拼接点处，恰好能容纳3个内角，而且相互不重叠，没有空隙。

正五边形的每个内角都是108°，360°不是108°的整数倍，所以正五边形不能镶嵌。 十四、长方形的折叠问题：

解决图形折叠问题时，利用不变量解题是关键，在折叠过程中，角的度数保持不变。

0

第五章 位置的确定

一、平面直角坐标系：

在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向。x轴和y轴统称坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

直角坐标系的三个要素：原点、正方向、单位长度。 坐标平面：建立了平面直角坐标系的平面叫做坐标平面。

象限：两条坐标轴把平面分成四个部分：右上部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。

点的坐标：对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对(a，b)叫做点P的坐标。

点的坐标确定点的位置：已知点P的坐标是(a，b)，在x轴上找到表示实数a的点M，过M作x轴的垂线l1，再在y轴上找到表示实数b的点N，过N作y轴的垂线l2，则l1与l2的交点就是点P。坐标平面内的点与有序实数对一一对应横坐标为零的点在y轴上，纵坐标为零的点在x轴上． 二、图形平移与图形坐标变化之间的关系：

在平面直角坐标系中，图形的平移是一种常见的变化，因此我们要熟悉图形平移与图形坐标变化之间的关系：(1)当图形上、下平移时，横坐标不变，向上平移a（a>O）个单位，纵坐标就增加a，向下平移a（a>0）个单位，纵坐标就减少a，比如已知点A(2，3)、B(3，1)，线段AB向上平移1个单位，点A变为A'(2，4)，点B变为B'(3，2)，线段AB向下平移1个单位，点A变为A”(2，2)，点B变为B”(3，0).反之，当图形上点的横坐标不变，纵坐标增大或减小时，图形会相应地向上或向下平移． (2)当图形左、右平移时，纵坐标不变，而横坐标发生变化，向左平移时，横坐标变小，向右平移时，横坐标变大．反之，当图形上点的纵坐标不变，横坐标减小或增大时，图形就会相应地向左平移或向右平移．

三、图形的伸长、压缩与图形坐标变化之间的关系

当图形各点的横坐标不变，纵坐标扩大或缩小时，图形被纵向拉长或压缩；同样的，当图形各点的纵坐标不变，横坐标扩大或缩小时，图形被横向拉长或压缩． 四、图形轴对称与图形坐标变化之间的关系

图形关于x轴或y轴对称，是坐标平面内常用到的一种变化，当图形关于x轴对称时，对应点的连线被x轴垂直平分，因此，对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，比如点A(2，-3)和点B(2，3)关于x轴对称，同样的，图形关于y轴对称时，对应点的横坐标互为相反数，纵坐标不变．反之，当图形上的各点横坐标相同，纵坐标互为相反数时，图形关于x轴对称；当图形上的各点纵坐标相同，横坐标互为相反数时，图形关于y轴对称．

第八章 数据的代表

一、算术平均数：

一般地，对于n个数xl，x2，?，xn我们把1/n（x1+x2+?+xn)叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记为x 二、加权平均数：

在n个数据中，如果xl出现f1次，x2出现f2次，?，xk出现fk次（这里fl+f2+?+fk=n），那么这n个数据的平均数为x=l/n (x1f1+x2f2+?+xkfk)就叫做这n个数据的加权平均数 算术平均数是加权平均数的特殊情况。 三、中位数：

将一组数据按照大小顺序排列，若数据的个数是奇数，则最中间的那个数据就是该组数据的中位数；若数据的个数是偶数，则最中间两个数据的平均数就是该组数据的中位数. 四、众数：

一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。 五、平均数、中位数和众数的区别与联系：

联系：平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们能充分反映一组数据的“平均水平”． 区别：(1)平均数反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每个数据都有关，所以最为重要．平均数的优点是所有数据都参与运算，它能充分利用数据所提供的信息，在实际生活中经常利用，但易受极端值的影响。

(2)中位数受极端值的影响较小，当一组数据的个别数据变动较大时，一般用它来描述集中趋势．中位数的优点是计算简单，不受极端值影响较小，缺点是不能充分利用数据所提供的信息。 (3)众数只与数据出现的次数有关，不受个别数据影响，有时是我们最关心的．众数的优点是它是人们尤为关心的，它是一组数据中出现次数最多的一个数，缺点是当各个数据出现次数大致相等时，众数就没有什么意义了。

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