南京师范大学历年数学专业数分高代真题7

数学考研必备

南京师范大学研究生招生入学考试试卷

南京师范大学历年研究生数学专业考试数学分析真题（2002-2007）

2002年硕士研究生招生入学考试试卷 B 卷

专业名称：基础数学 研究方向：科目代码：359 科目名称：数学分析 考生注意： 答案必须写在答题纸上，否则无效，后果自负。 一．（8分）试证明：不收敛的有界数列至少有两个收敛于不同极限的子列。 二．（15分）求极限：

（1）

lim

x

1 x nn

x 1 e ; （2）lim ; 2

x n n!

（3）设x1 a 0,xn

2 1 xn ， n 1,2, ，证明 xn 收敛，并求limxn。

2 xnn

x 0x 0

，证明

1sin 三．（12分） 设 f x xx 0

（1）f x 的值域为 D , ； （2）f x 在 1, 上一致连续； （3）f x 在 0,1 上非一致连续。 四．（9分）设f x 在上可导，f

'

x 在 0,c 上递减，f 0 0，0 a b a b c，

证明：f a b f a f b 。 五．（8分）已知

lim

x 0

x1t2

dt，求a,b。

bx sinx 0a 3t

六．（10分）讨论下列级数的敛散性： （1）

n 1

1 n 1 ； （2）

n

p 1

n

n 1

n

n 1

sin2x

。 x

七．（8分）讨论函数f x

sgn x n 的连续性。 n

2n 1

八．（10分）证反常积分I

cosxx

收敛，且I 0。

2

九．（10分）设f x,y 在闭矩形 a,b c,d 上连续，函数列 n t 均在 , 上一致连续，且 n t ，

a n t b，c n t d n 1,2, 。证明：函数列Fn t f n t , n t 在 , 上一致连续。

十．（10分）设f t 在t 0的某邻域内连续可微，且f 0 0。证明。

lim

t 0

1 t4

x2 y2 z2 t2

fx2 y2 z2dxdydz f' 0 。

南京师范大学研究生招生入学考试试卷

数学考研必备

2003年硕士研究生招生入学考试试卷

专业名称：基础数学，运筹学与控制论 研究方向： 科目代码：359 科目名称：分析学

考生注意： 答案必须写在答题纸上，否则无效，后果自负。

一． 指出下列说法是否正确，并简要给出证明或举出反例（每小题5分）： 1．设数列 xn 满足

limx

n

n

，则min xn 必存在。

'

2．设f x 在开区间 a,b 可导，且f a f b ，则必存在 a,b 使f 0。

f 0 0则必有fn依测度

3．设f x,y 在点P x0,y0 处偏导数fx,fy均存在但不连续，则f x,y 在P x0,y0 处必不可微。 4．设f,fn,n 1,2, 均是可测集E上几乎处处有限可测函数，若收敛于f。

5．设mE ，且f x ,g x 在E上均是有界可测函数，且f x g x ，则必有二．（每小题5分）求下列极限：

1

limmE f

n

n

fdx gdx。

E

E

（1）

lim

n

1n!

tg lnn

nn

x20

; （2）

lim

x 0

1 tgx sinx

;

1 sinx

'

f t dt （3）lim，其中f x 连续可微，f 0 0，f 0 0。

x f t dt

x 0

2

x0

三．（10分） 设 f x 在有限开区间上 a,b 一致连续，则f x 在 a,b 上有界。 四．（10分）设f x 在 a, 有二阶导数，且f a 0,f a 0及f

'

''

则存在 a, ，使f 0， a 0，

且 为唯一零点。

五．（15分）证明：2n 1 2 1

12

13

1n

2n 1 。

六．（15分）证明函数f x

n 1

1 nx在x 1, 2, , n, 时可微。

n x

七．（15分）在曲面S：x y z 1上求曲面的切平面，使其在三个坐标轴上的截距之乘积为最大。

八．（15分）计算第二型曲面积分

I 21 x2dydz 8xydzdx 4xzdxdy，

S

其中S是曲线x e 0 y a 绕x轴旋转而成的旋转曲面的外侧。

y

九．（15分）应用Lebegue控制收敛定理证明

lim

n

n2x e xx1

sindx 1 。 0,1 1 nx2ne

数学考研必备

十．（15分）设在可测集E上，fn依测度收敛于f，且fn g，a.e于E，试证f x g x ，a.e于E。

注：第一题中4，5小题及第九，十题可能运筹学与控制论方向的同学选做。

南京师范大学研究生招生入学考试试卷

2004年硕士研究生招生入学考试试卷 B 卷

专业名称：基础数学 研究方向： 科目代码：340

科目名称：数学分析

考生注意： 答案必须写在答题纸上，否则无效，后果自负。 一．（每小题7分）计算或证明下列极限：

（1）

lim

x

1 222 222

n 1 n 2 n n 1; 2 n

x2

2

（2）

limxe

x

x

e

t22

dt ;

（3）证明：若函数f x 在 a,b 上严格增加，xn a,b n 1,2, ，且

limf x f a ，则

n

n

limx

n

n

a；

（4） 讨论二元函数f x,y

x2y2

xy x y2

2

2

在点 0,0 处的重极限与累次极限。

x

二．（16分）设 f x 在 a,b 内连续，且满足f x

f t dt 0 x a,b 。证明：f x 0。

a

三．（15分） 设函数f x 在 0,1 上单调减少。对任何正整数n，试证明下列不等式

1

1n k f 0 f 1 ，并说明该不等式的几何意义。 f x dx f

nk 1 n n

'

四．（15分）设f x 在 0,1 上可微，且f 0 0，若存在0 M 1，使得f在 0,1 上f x 0。

x Mf x x 0,1 ，证明

1

0，x 0或 x 1; n

1

;五．（16分）设 an 为数列，令fn x an，x 2n

111

线性.，0 x 或 x . 2n2nn

问：

（1）{fn x } 在 0,1 上是否处处收敛？

（2）为使{fn x } 在 0,1 上一致收敛，当且仅当 an 满足什么条件？ （3）为使

an 满足什么条件？ n x dx limfn x dx，当且仅当 lim 00

n n

f

11

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x n 1 六．（15分）证明级数 的和函数在 , 上的连续性。 22x nn 1

n

七．（15分）设u x 是由方程u f x,y ，g x,y,z 0,h x,z 0所确定，且八．（15分）设 a 表示a的最大整数部分，计算

hdu g

0， 0。试求。 zdx y

x2 y 3

y xdxdy。

2

九．（15分）设二元函数f x,y 为 a,b c, 上的连续非负函数，I x 证明：I x 在 a,b 上一致收敛。

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c

f x,y dy在 a,b 上连续，

2005年硕士研究生招生入学考试试卷

专业名称：基础数学

研究方向： 科目代码：334

科目名称：数学分析

考生注意： 答案必须写在答题纸上，否则无效，后果自负。

一．（每小题5分）简答题：判断下列命题是否正确，并简要说明理由。

（1）若级数

u

n

收敛，vn 1 n ，则

uv

nn收敛。

（2）设非正常积分

1

f x dx收敛，且

1

f' x dx也收敛，则limf x 0。

x

（3）闭区间上的具有介值性（即f x 能取到f a 与f b 之间的一切值）的单调函数必一致连续。 二．（第5题5分，其余每小题7分）计算下列各题：

x3sin

（1）

lim

x 0

1

x

sin3x2

2

2

; （2）

1x

lim

n

2n !cosn a 1 ;

an!

（3）

lim

x 0

2 2x 3x x

2x 3x ； （4） 1 x100dx；

x3 y3

（5）讨论二元函数f x,y 2在点 0,0 处的重极限与累次极限；

x y

（6） 若ln

x2 y2 arctan

y'''

，求y和y。 x

三．（15分） 设函数f x 在 a, 上f x 0，且单调递减，并对任意的A a，f x 在 a,A 上可积。试证明：

1

f x dx与

1

f x cos2xdx具有相同的敛散性。

x2x2四．（16分）证明：x ，x 0。 ln 1 x x

221 x

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xe nx

五．（18分）给定函数列，令fn x n 1,2, 。试问k取何值时，{fn x } 在 0, 上 k

n

（1）收敛 （2）一致收敛 （3）积分，极限可交换，即

lim

n

f

n

x dx 0limfn x dx。

n

六．（15分）研究级数

cos

n 1

2n 1 xsinx在

2nn 12nn 1（1） l,l l 0 （2） , 上一致收敛性。 七．（16分）将三重积分

1

1

dx

x2

x

dy2

1x2 y2

f x y z dz化为先对x，后对y，最后对z的新的累次积分。

八．（15分）证明含参量非正常积分

sinxy

dy在 a, 上一致收敛，但在 0, 上不一致收敛。 y

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2006年硕士研究生招生入学考试试卷

专业名称：基础数学 研究方向： 科目代码：334

科目名称：数学分析 A卷

考生注意： 答案必须写在答题纸上，否则无效，后果自负。 一．（每小题5分）简答题：判断下列命题是否正确，并简要说明理由。

（1）若f x 在区间I上有原函数且单调，则f x 在区间I上连续。 （2）若非正常积分

1

f x dx收敛，则limf x 必存在。

x

二．（每小题10分）计算下列极限：

2

cosx x2n 2

（1）lim ; （2） ; n! limx 0 cos2x n （3）lim x y lnx2 y2。

x,y 0,0

三．（15分） 设函数f x 在 0,1 上连续且f x 0，令F x 内有且只有一个根。

四．（15分）计算第二型曲线积分：I

1

x

2

f t dt

x20

1

试证方程F x 0在 0,2 dt。

ftL

x

2

yzdx y2 xzdy z2 xydz，其中L 是从点A 1,0,0 到点

B 1,0,2 的任意一条光滑曲线。

五．（15分）证明：若函数f x 在 a,b 上无界，则存在x0 a,b ，使f x 在x0的任意邻域内都无界。

数学考研必备

1 1

,x 0;

六．（15分）利用可积条件证明：函数f x x 在 0,1 上可积。 x

0,x 0.

七．（15分）设偶函数f x 的二阶导数在点x 0的某邻域 , 0 内连续，且f 0 1,f证级数

''

0 2，试

1

f n 1 绝对收敛。 n 1

八．（20分）证明： （1）级数

n 1

1 xx2

1 nx2

2n

在 1,1 上一致收敛。 在 1,1 上不一致收敛。

（2）级数

n 1

1 x2n

九．（15分）设函数f x 在 0,1 上连续，证明：

xf1lim 02

x 0

t x2

t dt f 0 。

2

南京师范大学研究生招生入学考试试卷

2007年硕士研究生招生入学考试试卷

专业名称：基础数学 研究方向： 科目代码：334

科目名称：数学分析

考生注意： 答案必须写在答题纸上，否则无效，后果自负。 一．（每小题10分）计算下列极限：

（1）

lim

lnx x

x

2

dt

; （2）

x

lim

x 0y 0

x2 y2

;

x y

（3）设x1 0,1 ，xn 1 xn 1 xn n 1,2, ，证明 nxn 收敛并求极限。

二．（20分）（1）设函数f x 在点x0的某邻域U x0 内有n 1阶的连续导函数。证明对任意的x U x0 有

f n x0 x x0 n Rn x , f x f x0 f x0 x x0

n!

'

其中Rn x

1 n 1

x0 x x0 1 n x x0 n 1，且0 1； f

n!

（2）求ln1 x

2

x 1 的麦克劳林级数展开，并加以证明。

limf x ，limf x 0，

x 0

x

三．（20分） 设f x 为 0, 内的连续函数且，试证：（1）f x sin

1

在 a, a 0 内一致连续； x

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（2） f x sin

1

在 0, 内不一致连续。 x

四．（15分）利用Stokes公式计算：面的交线，取逆时针方向为正向。

2y z dx x z dy y x dz，其中L为平面x y z 1与各坐标

L

五．（10分）证明：试研究方程ax lnx a 0 实根的个数。 六．（10分）设函数F u,v 有连续的二阶偏导数，求证由方程F 满足下列两个方程：

x x0y y0

, 0所确定的隐函数z z x,y

z z0z z0

x x0 z y y0 z z z0；

x

y

2

2z 2z 2z

。 x y x2 y2

七．（15分）证明数项级数

1 cosn 1

收敛。 1 2nn n 1

n

1

八．（15分）证明：f x x 在 1,1 内连续。

n n 1

九．（15分）设f x 是 0, 上的连续函数，含参量非正常积分

x f x dx当 a,b a b 时收敛。证明：

x f x dx在 a,b 上关于 一致连续。

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