相似三角形讲义(3)

相似三角形(3)

一、根据已知，探索图形相似的条件

例题1、 如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形． （1）当AC、CD、DB满足怎样的关系式时，△ACP∽△PDB． （2）当△PDB∽△ACP时，试求∠APB的度数．

变式1、在直角三角形中，∠ACB=90°，在△ABC外做一个直角三角形BCD，使∠BDC=90°，设AB=5，BC=3，当CD为多长时，这两个三角形相似？

例题2、（动点问题）如图，在矩形ABCD

中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．

变式1如图，在矩形ABCD

中，AB=5cm，BC=10cm，动点P在AB边上由A向B作匀速运动，1分钟可到达B点；动点Q在BC边上由B向C作匀速运动，1分钟可到达C点，若P、Q两点同时出发，问经过多长时间，恰好有PQ⊥BD？

CQB P

DA

1

变式2．（七中）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：⑴∠B＋∠DAC＝90°；

CDAC2⑵∠B＝∠DAC；⑶ = ；⑷AB?BD?BC ，其中一定能够判定△ABC

ADAB是直角三角形的有（ ） A、1

B、2

C、3

D、4

例题3．（射影定理）已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D.

求证：（1）AB2?BD?BC；AC2?CD?BC；（2）AD2?BD?CD A

BDC例题4已知：如图，△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ， 求证：ＤＦ２＝ＣＦ?ＢＦ。

变式1.（?绵阳）如图，若CD是Rt△ABC斜边上的高，AD=3，CD=4，则BC=

变式2、如图3-2，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中点 ，DE?AM，E是垂足，求证：DE?

2ab4a?b22

2

二、相似三角形分类应用 1、相似三角形的性质。

例题1、（2011?徐州）如图①，在△ABC中，AB=AC，BC=acm，∠B=30°．动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿折线B-A-C运动到点C时停止运动．设点P出发x s时，△PBC的面积为y cm2．已知y与x的函数图象如图②所示．请根据图中信息，解答下列问题： （1）试判断△DOE的形状，并说明理由；

（2）当a为何值时，△DOE与△ABC相似？

变式1、如图5，在△ABC中，AB＝14cm，求△ADE的面积和周长。

B

D

AD5?，DE∥BC，CD⊥AB，CD＝12cm， BD9A E

图5

C

变式2、如图点M是Rt△ABC的斜边AB的中点，过M作MD⊥AB交AC于D，交BC的延长线于E。求证：MC是MD、ME的比例中项。

A

M

D

ECB

3

变式3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．

求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S； （2）当t=3秒时，P、Q两点之间的距离是多少？

（3）当t为多少秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？

2、相似三角形的判定。

例题2、（2011?泰州）如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F．

（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？

（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由．

4

变式1.（2011?泰安）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC．

（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF；

（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形．

变式2.（2010?眉山）如图，Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺 时针旋转得到的，连接CC′交斜边于点E，CC′的延长线交BB′于点F．（1）证明：△ACE∽△FBE；

（2）设∠ABC=α，∠CAC′=β，试探索α、β满足什么关系时， △ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．

5

3、相似三角形的性质与判定的综合运用。

例题3、（2011?益阳）如图是小红设计的钻石形商标，△ABC是边长为2 的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1． （1）证明：△ABE≌△CBD；

（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比 （不添加辅助线，不找全等的相似三角形）； （3）小红发现AM=MN=NC，请证明此结论； （4）求线段BD的长．

变式1、【情境观察】将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图2所示．

观察图2可知：与BC相等的线段是______，∠CAC′=______。

6

【问题探究】如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点， 分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰

Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究 EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．

【拓展延伸】如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、 AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交 EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的 数量关系，并说明理由．

变式2、（2011?襄阳）如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF． （1）求证：∠ADP=∠EPB； （2）求∠CBE的度数； （3）当

AP的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由． AB

7

变式3、（2011?武汉）（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在ABACBC上，且DE∥边长，AQ交DE于点P，求证：

DPPE ?BQQC（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．

①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长； ②如图3，求证：MN2=DM?EN．

8

【家庭作业】

1．(2009 邵阳)在三形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，M为DE的中点，AM与BE相交于点N，延长AM交BC于点G，AD与BE相交于点F，

求证：（1）DE=AD;（2）△BCE∽△ADM；（3）AM⊥BE.

CECDA

EMGCFBDN

2（培优）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F. (1)ΔABE与ΔADF相似吗？说明理由. (2)ΔAEF与ΔABC相似吗？说说你的理由.

3.（2011培优）如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AB的中点，ED的延长线交AC的延长线于F，求证：DF:AD=AF:BD

9

BEACDF

4.（七中育才）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AD平分∠CAB交于点D,过点C作CE⊥AD于E,CE的延长线交AB于点F,过点E作EG∥BC交AB于G,AE·AD=16,AB=4

（1）求证:CE=EF；（2）求EG的长.

A

5．（2006德州）如图所示，在△ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=x，CE=y．

（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；

（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y与x?之间的函数关系式还成立，试说明理由．

E F 第6题

G

B

C D 5 .

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