【史上最全】2011中考数学真题解析85_尺规作图(含答案)

2011全国中考真题解析120考点汇编

尺规作图

一、选择题

1. （2011 台湾33，4分）如图，AB为圆O的直径，在圆O上取异于A、B的一点C，并连接BC、AC．若想在AB上取一点P，使得P与直线BC的距离等于AP长，判断下列四个作法何者正确？（ ）

A、作

的中垂线，交

于P点

B、作∠ACB的角平分线，交

于P点 于P点 于P点

C、作∠ABC的角平分线，交于D点，过D作直线BC平行线，交

D、过A作圆O的切线，交直线BC于D点，作∠ADC的角平分线，交

考点：切线的性质；角平分线的性质。

分析：A圆内弦中垂线过原点；角平分线上点到到两边距离相等；角平分线上点到两边距离相等；D角平分线上点到两边距离相等，与切线与过切点的直径垂直．从而判断出来． 解答：解：A、圆内弦的中垂线过原点，有圆内弦性质可知，所以交AB于圆点O，故本选项错误；

B、作∠ACB的角平分线，则点P到BC的距离等于点P到AC的距离，而不等于AP，故本选项错误；

C、若过点D作直线BC的平行线交AB于点P，那么点P的距离，等于DP也不等于AP，故本选项错误；

D、角平分线DP交直径AB与点P，根据角平分线定理，由PA⊥AD，得到点P到BC的距离等于AP，故正确．

点评：本题考查了切线的性质，A考查了圆内弦中垂线过原点；B考查了角平分线上点到到两边距离相等；C考查了角平分线上点到两边距离相等；D考查了角平分线上点到两边距离

相等，与切线与过切点的直径垂直．

2.

（2011湖北荆州，15，3分）请将含60°顶角的菱形分割成至少含一个等腰梯形且面积相等的六部分，用实线画出分割后的图形． 答案不唯一

．

考点：作图—应用与设计作图． 专题：作图题．

分析：整个图形含有36个小菱形，分为面积相等的六部分，则每一个部分含6个小菱形，由此设计分割方案．

解答：解：分割后的图形如图所示．

本题答案不唯一．

点评：本题考查了应用与设计作图．关键是理解题意，根据已知图形设计分割方案． 3. （2011 西宁）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）

A、一组临边相等的四边形是菱形

B、四边相等的四边形是菱形

D、每条对角线平分一组对角的平行四边

C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形

形是菱形

考点：菱形的判定；作图—复杂作图。 专题：推理填空题。

分析：关键菱形的判定定理（有四边都相等的四边形是菱形）判断即可． 解答：解：由图形做法可知：AD=AB=DC=BC， ∴四边形ABCD是菱形， 故选B．

点评：本题主要考查对作图﹣复杂作图，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．

4. （2011，台湾省，28,5分）如图，锐角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，小靖依下列方法作图：

（1）作∠A的角平分线交BC于D点． （2）作AD的中垂线交AC于E点． （3）连接DE．

根据他画的图形，判断下列关系何者正确？（ ）

A、DE⊥AC C、CD=DE

B、DE∥AB D、CD=BD

考点：作图—复杂作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质。 专题：作图题；综合题。

分析：根据作法作图，及角平分线与中垂线的性质作答． 解答：解：依据题意画出右图 可得知∠1=∠2，AE=DE， ∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，即DE∥AB． 故选B．

点评：考查了复杂作图及角平分线与中垂线的性质，由等量代换得出内错角相等是解题的关键．

5. （2011，台湾省，34,5分）如图，∠BAC内有一点P，直线L过P与AB平行且交AC于E点．今欲在∠BAC的两边上各找一点Q、R，使得P为QR的中点，以下是甲、乙两人的作法：

（甲）①过P作平行AC的直线L1，交直线AB于F点，并连接EF．

②过P作平行EF的直线L2，分别交两直线AB、AC于Q、R两点，则Q、R即为所求． （乙）①在直线AC上另取一点R，使得AE=ER． ②作直线PR，交直线AB于Q点，则Q、R即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ）

A、两人皆正确

B、两人皆错误

D、甲错误，乙正确

C、甲正确，乙错误

考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理。

分析：根据甲的做法可知，四边形EFQP、EFPR都是平行四边形．根据平行四边形性质可得P是QR的中点；

在乙的做法中，根据平行线等分线段定理知QP=PR．

解答：解：（甲）由题意可知：四边形EFQP、EFPR均为平行四边形 EF=QP=PR． ∴P点为QR的中点，即为所求 故甲正确；

（乙）由题意可知：在△AQR中，∵AE=ER（即E为AR中点），且PE∥AQ，

∴P点为QR的中点，即为所求， 故乙正确．

∴甲、乙两人皆正确，故选A．

点评：此题考查平行线分线段成比例定理及平行四边形的性质、作图能力等知识点，难度不大．

二、填空题

1. （2011天津，18，3分）如图，有一张长为5宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形． （I

：

（II）现要求只能用两条裁剪线，请你设计一种裁剪的方法，在图中画出裁剪线，并简要说明剪拼的过程： 如图，（1）以BM=4为直径作半圆，在半圆上取一点N，使MN=1，连接

（2）以A为圆心，BN长为半径画弧，交CD于K点，连接AK， （3）过B点作BE⊥AK，垂足为E，

（4）平移△ABE，△ADK，得到四边形BEFG即为所求．

．

考点：作图—应用与设计作图。 专题：作图题。

分析：（I）设正方形的边长为a，则a =3×5，可解得正方形的边长；

（II）以BM=4为直径作半圆，在半圆上取一点N，使MN=1，连接BN，则∠MNB=90°，由勾股定理，得BN

解答：解：（I）设正方形的边长为a，则a=3×5，解得

（II）如图，（1）以BM=4为直径作半圆，在半圆上取一点N，使MN=1，连接BN，由勾股定理，得BN

（2）以A为圆心，BN长为半径画弧，交CD于K点，连接AK， （3）过B点作BE⊥AK，垂足为E，

2

2

（4）平移△ABE，△ADK，得到四边形BEFG即为所求．

点评：本题考查了应用与设计作图．关键是理解题意，根据已知图形设计分割方案． 2. （2011湖南益阳,7,4分）如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分

别以A和B为圆心，大于

1

AB的长为半径画弧，两弧相交于C．D，则直线CD即为所求．根2

据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（ ）

A．矩形 C．正方形

B．菱形 D．等腰梯形

考点：菱形的判定；线段垂直平分线的性质． 专题：几何图形问题．

分析：根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形． 解答：解：∵分别以A和B为圆心，大于∴AC=AD=BD=BC，

∴四边形ADBC一定是菱形， 故选：B．

点评：此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及菱形的判定，得出四边形四边关系是解决问题的关键．

三、解答题

1. （2010广东佛山，221，8分）如图，一张纸上有线段AB；

（1）请用尺规作图，作出线段AB的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）若不用尺规作图，你还有其它作法吗？请说明作法（不作图）．

1

AB的长为半径画弧，两弧相交于C．D， 2

考点作图—基本作图

分析（1）根据垂直平分线的作法，分别以A，B为圆心，以大于AB的一半为半径画弧，连接交点即是线段AB的垂直平分线；

（2）利用对折，使得点A与点B重合，则折痕所在直线为线段AB的垂直平分线． 解答解：（1）如图所示；

（2）对折，使得点A与点B重合， 则折痕所在直线为线段AB的垂直平分线．

点评此题主要考查了线段垂直平分线的作法，这是初中阶段最基本图形的作法之一，同学们应熟练掌握．

2. （2011江苏南京，27，9分）如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点． （1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点； （2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．

①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．

考点：相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形的内切圆与内心；作图—复杂作图。

专题：作图题；几何综合题。

分析：（1）根据已知条件得出∠BEC=∠ACB，以及∠BCE=∠ABC，得出△BCE∽△ACB，即可得出结论；

（2）①根据做一角等于已知角即可得出△ABC的自相似点；

②根据∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=∠2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，即可得出各内角的度数．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的中线， ∴CD=AB， ∴CD=BD， ∴∠BCE=∠ABC， ∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°， ∴∠BEC=∠ACB， ∴△BCE∽△ACB， ∴E是△ABC的自相似点；

（2）①如图所示，

做法：①在∠ABC内，作∠CBD=∠A，；

②在∠ACB内，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于点P， 则P为△ABC的自相似点；

②∵P是△ABC的内心， ∴∠PBC=

12∠ABC，∠PCB=1

2

∠ACB， ∵∠PBC=∠A，∠BCP=∠ABC=∠2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A， ∴∠A+2∠A+4∠A=180°， ∴∠A=

，

∴该三角形三个内角度数为：，，．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定以及三角形的内心做法和做一角等于已知角，此题综合性较强，注意从已知分析获取正确的信息是解决问题的关键

3. （2011江苏无锡，26，6分）如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．

（1）请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图； （2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．

考点：扇形面积的计算；等腰梯形的性质；弧长的计算；解直角三角形。 专题：作图题；几何综合题。

分析：（1）根据点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，然后绕点B翻滚，半径分别为1、2、1，翻转角分别为90°、90°、150°，据此画出圆弧即可．

（2）根据总结的翻转角度和翻转半径，求出圆弧与梯形的边长围成的扇形的面积即可． 解答：解：（1）作图如图；

（2）∵点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，然后绕点B翻滚，半径分别为1、2、1，翻转角分别为90°、90°、150°，

57 180 1 90 (2)2150 11∴S= 2 2 4 12=+π+π+2=π+2．

6323603603602

点评：本题考查了扇形的面积的计算、等腰梯形的性质、弧长的计算，是一道不错的综合题，解题的关键是正确的得到点A的翻转角度和半径．

4. （2011江苏扬州，26，10分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，∠BAC的角平分线AD交BC边于D。

（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断

直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若（1）中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB=6，BD=23,

与劣弧DE所围成的图形面积。（结果保留根号和π）

求线段BD、BE

考点：切线的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算；作图—复杂作图；相似三角形的判

定与性质。

分析：（1）根据题意得：O点应该是AD垂直平分线与AB的交点；由∠BAC的角平分线

AD交BC边于D，与圆的性质可证得AC∥OD，又由∠C=90°，则问题得证；（2）过点D作DM⊥AB于M，由角平分线的性质可证得DM=CD，又由△BDM∽△BAC，根据相

似三角形的对应边成比例，即可证得CD：AC=：3，可得∠DOB=60°，则问题得解． 解答：解：（1）如图：连接OD， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ADO，

∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D， ∴∠CAD=∠OAD， ∴∠CAD=∠ADO， ∴AC∥OD， ∵∠C=90°， ∴∠ODB=90°， ∴OD⊥BC，

即直线BC与⊙O的切线，

∴直线BC与⊙O的位置关系为相切；

（2）过点D作DM⊥AB于M， ∴∠DMB=∠C=90°， ∵∠B=∠B， ∴△BDM∽△BAC，

∴

，

∵AD是∠CAB的平分线， ∴CD=DM，

∴，

∴∠CAD=30°，

∴∠DAB=30°，∠B=30°， ∴∠DOB=60°， ∴OD=2，

11

OD BD=×2×222

∴S扇形ODE=

=π，S△ODB=

=2

∴线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积为：S△ODB﹣S扇形ODE=23﹣π．

点评：此题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及扇形面积与三角形面积的求解方法等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

5. （2011江苏镇江常州，24，7分）如图，在△ABO中，已知点A

．B（﹣1，﹣1）．C（0，0），正比例函数y=﹣x图象是直线l，直线AC∥x轴交直线l与点C． （1）C点的坐标为 （﹣3，3） ；

（2）以点O为旋转中心，将△ABO顺时针旋转角α（90°＜α＜180°），使得点B落在直线l上的对应点为B′，点A的对应点为A′，得到△A′OB′． ①∠α= 90° ；②画出△A′OB′．

（3）写出所有满足△DOC∽△AOB的点D的坐标．

考点：作图-旋转变换；一次函数的性质；相似三角形的判定与性质． 专题：作图题．

分析：（1）直线AC∥x轴交直线l于点C，可知A．C两点纵坐标相等，直线l解析式为y=﹣x，可知C点横．纵坐标互为相反数，可求C点坐标；

（2）已知B（﹣1，﹣1）可知OB为第三象限角平分线，又直线l为二．四象限角平分线，故旋转角为90°，依题意画出△A′OB′即可；

（3）根据A点坐标可知OA与x轴正半轴夹角为60°，可知∠AOB=165°，根据对应关系，则∠DOC=165°，故OD在第四象限，与x轴正半轴夹角为30°或与y轴负半轴夹角为30°，根据A．B．C三点坐标求OA．OB．OC，利用

ODOC

=求OD，再确定D点坐标． OAOB

解答：解：（1）∵直线AC∥x轴交直线l于点C，

∴C两点纵坐标为3，代入直线y=﹣x中，得C点横坐标为﹣3， ∴C（﹣3，3）；

（2）由B（﹣1，﹣1）可知，OB为第三象限角平分线， 又直线l为二．四象限角平分线，

∴旋转角为∠α=∠BOB′=90°，△A′OB′如图所示； （3）D点坐标为（9，﹣

，（

9）．

点评：本题考查了旋转变换的作图，一次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质．关键是根据点的坐标，直线解析式的特点求相关线段的长，角的度数，利用形数结合求解． 6. （2011江苏镇江常州，25，6分）已知：如图1，图形①满足AD=AB，MD=MB，∠A=72°，∠M=144°．图形②与图形①恰好拼成一个菱形（如图2）．记AB的长度为a，BM的长度为b． （1）图形①中∠B= 72 °，图形②中∠E= 36 °；

（2）小明有两种纸片各若干张，其中一种纸片的形状及大小与图形①相同，这种纸片称为―风筝一号‖；另一种纸片的形状及大小与图形②相同，这种纸片称为―飞镖一号‖． ①小明仅用―风筝一号‖纸片拼成一个边长为b的正十边形，需要这种纸片 5 张； ②小明若用若干张―风筝一号‖纸片和―飞镖一号‖纸片拼成一个―大风筝‖（如图3），其中∠P=72°，∠Q=144°，且PI=PJ=a+b，IQ=JQ．请你在图3中画出拼接线并保留画图痕迹．（本题中均为无重叠．无缝隙拼接）

考点：菱形的性质；正多边形和圆；作图—应用与设计作图． 专题：操作型．

分析：（1）连接AM，根据三角形ADM和三角形ABM的三边对应相等，得到两三角形全等，

根据全等三角形的对应角相等得到角B和角D相等，根据四边形的内角和为360°，由角DAB和角DMB的度数，即可求出角B的度数；根据菱形的对边平行，得到AB与DC平行，得到同旁内角互补，即角A加角ADB加角MDC等于180°，由角A和角ADB的度数即可求出角FEC的度数；

（2）①由题意可知，―风筝一号‖纸片中的点A与正十边形的中心重合，由角DAB为72°，根据周角为360°，利用360°除以72°即可得到需要―风筝一号‖纸片的张数；

②以P为圆心，a长为半径画弧，与PI和PJ分别交于两点，然后以两交点为圆心，以b长为半径在角IPJ的内部画弧，两弧交于一点，连接这点与点Q，画出满足题意的拼接线． 解答：解：（1）连接AM，如图所示：

∵AD=AB，DM=BM，AM为公共边， ∴△ADM≌△ABM， ∴∠D=∠B，

又因为四边形ABMD的内角和等于360°，∠DAB=72°，∠DMB=144°，

3600 720 1440∴∠B==72°；

2

在图2中，因为四边形ABCD为菱形，所以AB∥CD，

∴∠A+∠ADC=∠A+∠ADM+∠CEF=180°，∠A=72°，∠ADM=72°， ∴∠CEF=180°﹣72°﹣72°=36°；

（2）①用―风筝一号‖纸片拼成一个边长为b的正十边形， 得到―风筝一号‖纸片的点A与正十边形的中心重合，又∠A=72°，

3600则需要这种纸片的数量==5；

72

②根据题意可知：―风筝一号‖纸片用两张和―飞镖一号‖纸片用一张， 画出拼接线如图所示：

故答案为：（1）72°；36°；（2）①．5．

点评：此题考查掌握菱形的性质，灵活运用两三角形的全等得到对应的角相等，掌握密铺地面的秘诀，锻炼学生的动手操作能力，培养学生的发散思维，是一道中档题． 7.（2011山西，22，9分）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．

（1）实验与操作 利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，

不写作法）．

①作△ABC的外接圆，圆心为O；

②以线段AC为一边，在AC的右侧作等边△ACD； ③连接BD，交⊙O于点E，连接AE；

（2）综合运用 在你所作的图中，若AB＝4，BC＝2，则

①AD与⊙O的位置关系是________． ②线段AE的长为________________．

考点：尺规作图，勾股定理，等边三角形，直线与圆的位置关系 专题：尺规作图，直线与圆的位置关系

分析：（1）按要求尺规作图即可；（2）①由作图知△ACD为等边三角形，所以∠CAD＝60°，连接OC，则△OBC为等边三角形，∠OBC＝60°，因为∠ACB＝90°，所以∠BAC＝30°，所以∠BAD＝90°，所以AD与⊙O相切；②在△ACB中，由勾股定理可得AC

＝因为△ACD

为等边三角形，所以得AD

＝AB·AD＝AE·BD，得AE

解答：（1）如图，

（第22题）

＝．

7

（2）①

； 点评：①掌握切线的判定方法； ②△ABD中， 由三角形面积公式得AB·AD＝AE·BD． 8. （2011新疆建设兵团，20，8分）如图，在△ABC中，∠A＝90°．

（1）用尺规作图的方法，作出△ABC绕点A逆时针旋转45°后的图形△AB1C1（保留作图痕迹）；

（2）若AB＝3，BC＝5，求tan∠AB1C1．

考点：作图－旋转变换；锐角三角函数的定义．

分析：（1）作出∠CAB的平分线，在平分线上截取AB1＝AB，再作出AB1的垂线，即可得出答案．

（2）利用旋转的性质得出AB1＝3，AC1＝4，再利用锐角三角函数的定义即可求出．

解答：解：（1）作∠CAB的平分线，在平分线上截取AB1＝AB，

作C1A⊥AB1，在AC1上截取AC1＝AC，

如图所示即是所求． （2）∵AB＝3，BC＝5，

∴AC＝4，

∴AB1＝3，AC1＝4， AC14

tan∠AB1C1＝＝

13

点评：此题主要考查了做旋转图形和锐角三角函数的定义，根据已知熟练记忆锐角三角函数的定义是解决问题的关键．

9．（2011重庆江津区，23，分）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）． （1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．

（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．

考点：一次函数综合题；线段垂直平分线的性质；作图—应用与设计作图；轴对称-最短路线问题。

专题：综合题。

分析：（1）连接AB，作出线段AB的垂直平分线，与x轴的交点即为所求的点； （2）找到点A关于x轴的对称点，连接对称点与点B与x轴交点即为所求作的点． 解答：解：（1）存在满足条件的点C；

作出图形，如图所示．

（2）作点A关于x轴对称的点A（′2，﹣2），连接A′B，与x轴的交点即为所求的点P．设A′B所在直线的解析式为：y＝kx+b，

把（2，2）和（7，3）代入得：

7k b 3

，

2k b 2

解得：

k 1

,

b 4

∴y＝x﹣4， 当y＝0时，x＝4， 所以交点P为（4，0）．

点评：本题是一道典型的一次函数综合题，题目中还涉及到了线段的垂直平分线的性质及轴对称的问题．.

10.（2011重庆綦江，19，6分）为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置． 要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．

考点：作图—应用与设计作图。 专题：作图题。

分析：根据垂直平分线的性质得出，两垂直平分线的交点即是所求答案．

解答：解：已知A村、B村、C村，

求作新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等；

点评：此题主要考查了垂直平分线的性质，做出垂直平分线的性质得出是解决问题的关键． 11. （2011重庆市，19，6分）画△ABC,使其两边为已知线段a、b，夹角为 .

（要求：用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不 写作法）. 已知：

求作：

考点：作图—复杂作图．

分析：据一个三角形的两边分别为a，b，这两边的夹角为α，做一条射线CA，在原角上以任意长度为半径画弧，再以C为圆心，相同长度为半径画弧做出∠BCA=∠α，即可得出△ABC． 答案：

19题图

b

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