高等代数复习题精选

第一章多项式自测题

一、填空题

1. 设g(x)f(x)，则f(x)与g(x)的一个最大公因式为 ． 2. f(x)?anxn?an?1xn?1??a1x?a0?P[x],若x|f(x),则a0? ;若?an? . x?1是f(x)的根,则a0?a1?a2?3.若(f(x),f?(x))?x?1,则 是f(x)的 重根.

4.x4?4在有理数域,实数域,复数域上的标准分解式为 , , . 二、选择题(以下所涉及的多项式,都是数域P上的多项式)

1.设?(x)|f(x),?(x)|g(x),且?(x)?0,g(x)与f(x)不全为0,则下列命题为假的是( ).

A.?(x)|(u(x)f(x)?v(x)g(x))

B.deg(?(x))?min{degf(x),deg(g(x))}（deg意思为次数）

C.若存在u(x),v(x),使u(x)f(x)?v(x)g(x)??(x),则(f(x),g(x))??(x) D.若x?a|?(x),则f(a)?g(a)?0

2.若(f(x),g(x))?1,则以下命题为假的是( ).

A.(f2(x),g3(x))?1 B.(f(x),f(x)?g(x))?1 C.g(x)|f(x)h(x)必有g(x)|h(x) D. 以上都不对 3.下列命题为假的是( ).

A.在有理数域上存在任意次不可约多项式 B.在实数域上3次多项式一定可约

C.在复数域上次数大于0的多项式都可约

D.在实数域上不可约的多项式在复数域上没有重根 4.下列命题为真的是( ).

A.若p2(x)f(x),则p(x)是f(x)二重因式

B.若p(x)是f(x),f?(x),f??(x)的公因式,则p(x)的根是f(x)的三重根 C.f(x)有重根?f(x),f??(x)有一次因式 D.若f(x)有重根,则f(x)有重因式,反之亦然

三、判断题

1.设f(x),g(x),h(x)?P[x],若g(x)不能整除h(x),则g(x)不整除 ( ) (f(x?)h(x )2.零多项式能被任意多项式所整除,也能整除任意多项式. ( ) 3. 若f(x)?g(x)q(x)?r(x),则(f(x),g(x))?(g(x),r(x)). ( ) 4.如果p(x)是数域P上的不可约多项式,那么对于任意的c?P,且c?0,cp(x)也是P上的不可约多项式. ( )

5.若一个整系数多项式在有理数域上可约, 则它一定能分解两个次数较低的整系数多项式之积.

第二章行列式 自测题

一、填空题

1.六级行列式aij6中的项a13a32a46a51a25的符号为 . 2.设aijn?d,则kaijn? .

a20x0y203.已知行列式中元素a与b的代数余子式分别为-6和8则

0021b003x?y? . ?x1?x2?ax3?1?4.如果方程组?x1?ax2?x3?a有唯一的解,那么a满足的条件是 .

?2?ax1?x2?x3?aa11a12a22a32a2b2c2a13a21a31a32a33a11a12? . a13c1c2?( ). c35.设a21a31a1a23?d,则a22a33a23a3a1二、选择题

2a1?b12a1?b22a3?b31.设b1c1b3?3,则a2c3a3A.3 B.-3 C.6 D.-6

abehcf中,元素f的代数余子式为( ). k2.行列式dgA.

dedeabab B. C. - D. ghghghgh3a16b12b23b33c1a1b1b2b3c1c2?( ). c33.a2a3c2?2,则a2c3a3211 C. D. 3324.下列等式成立的是( ).

A.2 B.

A.

a1?c1a2?c2b1?d1b2?d2n?n?

a1a2b1b2?c1c2d1d2

B.?aij??aijn?nn?nC.aij?bija11?aijn?n?bijn?n

a22a32?2a12a12a23a33?2a13 a13a12a13a21D. a21a22a31a32a23?a31?2a11a33a115.下列命题为真的是( ).

A.将行列式对换两列后,再将其中一列的倍数加到另一行上,行列式的值不变 B.若

aijn?naijn?n中aij的代数余子式为Aij(i,j?1,2,3,?ainAkn(1?k?n)

,n)则

?ai1Ak1?ai2Ak2?C.行列式为0的充分必要条件是其两列对应成比例 D.系数行列式不为0的线性方程组的有且仅有一解 三、判断题

1、奇数次对换改变排列的奇偶性。 （ ） ２、A?P3?3，则?2A??8A。 （ ）

第三章线性方程组自测题

一、填空题

1. 矩阵的行向量组的秩与 的秩相等，对矩阵施行 不改变矩阵

的秩，对矩阵施行初等行变换，将矩阵化为阶梯形矩阵后，阶梯形矩阵中的 即为矩阵的秩.

2.设线性方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,?ax?ax???ax?b,?2112222nn2 （1） ??????as1x1?as2x2???asnxn?bs的系数矩阵与增广矩阵分别为A和A，则（1）有解的充要条件是 ，（1）有无穷多个解的充要条件是 .

3. A?(aij)s?n，A的行向量组线性相关的充要条件是秩(A) ，秩(A)?n时，齐次线性方程组AX?0的解为 .

4. 设?i?(?i1,?i2,?,?in)(i?1,2,?,n)，则?1,?2,?,?n线性无关的充要条件是行列式aij ，对于任意的n维向量?都是?1,?2,?,?n的线性组合的充要条件是向量组?1,?2,?,?n . 5.设数域P上的线性方程组

?a11x1?x12x2???x1nxn?b1,?ax?xx???xx?b,?2112222nn2??????as1x1?xs2x2???xsnxn?bs①

所对应的齐次线性方程组（①的导出组）②的一个基础解系为?1，?2，?,?n?r，①有一个特解为T0，则①的两个解之 是②的解，②的与这个基础解系等价

的 向量组仍为②的基础解系，①的任意一个解r都可以表为 .

二、选择题

1.

设

?i?Pn(i?1,2,?,s),??Pn，若存在

ki?P,(i?1,2,?,s)使??k1?1?k2?2???ks?s，则下列结论错误的是（ ）. A.?是向量组?1,?2,?,?s的线性组合 B. ?可以由?1,?2,?,?s线性表示 C. 向量组?，?1,?2,?,?s线性相关 D. 向量组?1,?2,?,?s的秩小于s 2.设?i?Pn(i?1,2,?,s,s?1),则下列命题为真的是（ ）.

A.如果有一个?j(1?i?s)是整个向量?1,?2,?,?i?1,?i,?i?1,?,?s的线性组合，则该向量组线性相关

B. 如果有一个向量?j(1?i?s)是不是其余向量的线性组合，哪么该向量组线

性无关

C. 如果向量组?1,?2,?,?s线性相关，那么其中有零向量 D. 如果?1,?2成比例，则?1,?2,?,?n线性相关

3.设?i?Pn(i?1,2,?,s,s?1),下列命题为真的是（ ）.

A. 如果存在xi?P,(i?1,2,?s)使得x1?1?x2?2???xs?s?0，那么向量组线性相关

B. 如果存在全为0的数k1,k2,?,ks使得k1?1?k2?2???ks?s?0，那么向量组?1,?2,?,?s线性无关

C. 如果x1?1?x2?2???xs?s?0只有零解，那么向量组?1,?2,?,?s线性无关 D. 如果线性无关，那它可能有一个部份组?i1,?i2,?,?it线性相关 4.设向量组?1,?2,?,?s的秩为r，则下列命题为假的是（ ）. A.如果?1,?2,?,?r线性无关，则它与?1,?2,?,?s等价

B.如果每个向量?i(1?i?s)都可以由向量组?1,?2,?,?s的一个部份组

?i1,?i2,?,?it线性表出，则t?r

C.如果向量组?1,?2,?,?t的秩为r，则?1,?2,?,?t与?1,?2,?,?s等价 D. 如果向量组?1,?2,?,?t与?1,?2,?,?s等价，则?1,?2,?,?t的任何r个线性无关的向量都是它的极大线性无关组 三、判断题

１、若矩阵A的秩为r，则矩阵A中所有r阶子式全部为零。 （ ） ２、含有零向量的向量组一定线性相关。 （ ）

３、向量组中若存在某一个向量是其余向量的线性组合，则该向量组一定线性相关 （ ）

４、若两个向量组具有相同的秩，则这两个向量组一定等价。 （ ）

第四章矩阵自测题

一、填空题

1.若矩阵A的秩为2,则P(2,3)AP(3,2(?3))的秩为 . 2.设A?(aij)5?5,则|-2A|= .

3.若A?(aij)n?n可逆,且A2?2A?E?0,则A?1= . 4.设A?(aij)s?n,B?(bkj)n?m(s,n,m互不相同)则A?B,A?B,AB,BA中有意义的是 .

5.设A、B、C都是n阶可逆矩阵,且AC2B?CB,则C?1= . 二、选择题

1.A、B为n阶方阵，下列结论正确的是（ ） A.AB?BA B.若AB?AC,则B?C C.(AB)??B?A? D. 若AB?0,则A?0或B?0 2.若A是3阶方阵,则?2A?A?1?( ).

1A.3 B. C.1 D.-8

33. A?(aij)n?n,A*是A的伴随矩阵,则下列命题为假的是( )

A.若秩(A)?n,则秩(A*)?n B.若秩(A)?n?1,则秩(A*)?1 C.若秩(A)?n?1,则秩(A*)?1 D. 若秩(A)?n?2,则秩(A*)?0 4.设A,B为n阶方阵,且AB?0,则下列结论错误的是( )

A.秩(A)?秩(B)?n B.秩(A?B)?秩(A)?秩(B) C.秩(A?B)?秩(A)?秩(B) D.秩(A)?0或秩(B)?0

第五章二次型 自测题

一、填空题

1.二次型f(x1,x2,x3,x4)?8x1x4?2x3x4?2x2x3?8x2x4的矩阵为 . 2.两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵 . 3.两个n元复二次型等价的充要条件是 . 4.两个n元实二次型等价的充要条件是 . 5.n元正定二次型的正惯性指数为 . 二、选择题

1.下列说法错误的是（ ）. A.若两个矩阵合同，则它们必等价

B.若两个矩阵合同，则它的秩相等，反之亦然

C.用非退化线性替换将二次型化为标准形，实质上是将二次型的矩阵施行合同变换化为对角形

D.n元正定二次型的矩阵与n阶单位矩阵合同

2.下列说法正确的是（ ）.

A.可用非退化线性替换将任意n元二次型化为标准型，且标准型是唯一的 B.合同变换可能改变矩阵的秩或对称性

C.任意n阶方阵都正交相似于一个对角形矩阵

D.二次型的规范形是唯一的，实二次型的规范形由其秩与正惯性指数唯一确定

223.实二次型f(x1,x2)?x12?2x1x2?2x2的矩阵关系为与g(x1,x2)?x12?x2（ ）.

A.等价但不合同 B.合同 C.互逆 D.相等

4.设A、B为n阶实对称矩阵，则下列命题为假的是（ A.若A正定，则A-1也正定

B.若A、B正定，则A+B也正定

C.若A?0，则A正定

D.若A的主子式都大于0，则A正定

）.

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