湖北省黄冈中学竞赛训练题 高二物理16

黄冈中学竞赛训练题 高二物理（16）

（一）静电场

1、半径为R的均匀带电半球面，电荷的面密度为α，试求球心处的电场强度. [分析及答案]

分析：球心处的电场是球面上各个面元（可以看成点电荷）激发的电场的矢量叠加，所以有必要针对任意一个面元△S在球心处激发电场的场强进行定量考查.

如图7－5所示，设半球面带正电，在球面上的p处取一极小的面元△S，由于面元很小，可以视为点电荷，所以它在球心O点激发的场强大小为：

，方向由p指向O点.

无穷多个这样的面元激发的场强大小和△S激发的完全相同，但

方向各不相同，它们矢量合成的效果怎样呢？

由于每一个△S都可以找到一个相对z轴对称的△S′（图中未画出），而△S′激发的场强和△

S在O点激发的场强在xOy平面的分量必然大小相等、方向相反，它们会相互抵消，所以：

最后的

所以先求，而且△Scosα为面元△S在xoy平面的投影，设为△

Sz，所以：

而

，代入上式即可求得

.

答案：E=kπσ，方向垂直边界线所在的平面（具体方向因电性的不同而不同）.

2、一根无限长均匀带电细线弯成如图7－6所示的平面图形，其中AB是半径为R的半圆弧，AA′平行于BB′，试求圆心处的电场强度.（第5届预赛）

图7-6 [分析及答案]

分析：本题仍然是矢量叠加的应用，在选取叠加的对象方面，我们仍然遵从成对选取的原则：取相对O点两边对顶角（很小的）位置的元段△l和△l′，如图7－7所示.并设这两个元段对应的方位角为θ，导线电荷线密度为λ （带正电），则： △l在O点激发的场强

，方向由元段指向O点，

△l′在O点激发的场强

，方向和△E相反，

而又

，所以：

，考虑到它们的方

向是相反的，所以这一对元段在O点激发的合场强为零.而整个导线是由无穷多对这样的元段组成的，最后的合砀强的值也必然为零.

答案：为零.

3、如图7－8所示，在竖直平面内有半径为R=5cm的线圈.质量为m=lg的小球系在长度为l的绝缘细线上，从线圈的最高点悬挂着.当线圈和小球都带有

Q=9×10－8 C的相同电量时，发现小球在垂直线圈平面的对称轴上处于平衡.试求绳子的长度. （第3届国际奥赛）

[分析及答案]

分析：本题应默认线圈上的带电是均匀的，这样，线圈在小球处激发的场强才是沿着轴线的，小球受力方向确定后，绳子长度l才可解.

根据成对找叠加对象的方法，我们很容易发现，所有元段在小球位置激发的场强在垂直轴线方向上的分量的矢量和为零.所以，小球处的合场强（引进绳子角度θ，参见图7－9）：

小球受电场力 ①

根据静力学常识，显然有mg=Ftanθ ② 另有几何关系

解①②③式可得：答案：7.19cm.

4、半径为R的薄球壳，总电量仍为Q，试问：

（1）当电量均匀分布时，球心电势为多少?球内（包括表面）各点电势为多少? （2）当电量不均匀分布时，球心电势为多少?球内（包括表面）各点电势为多少? [分析及答案]

分析：求电势时，叠加原理体现为标量叠加．至于叠加元段（元面）的选取，仍可沿用成对选取的原则.参照图7－10，在球壳内取一点p，以p为顶点做两个对顶的、顶角很小的锥体，锥体与球面相交得到球面上的两个面元△S1和△S2，然后考查这两个面元在球壳中P点形成电势的叠加情况.

（1）如果P点在球心（未示图），△S1形成的电势为形成的电势为△U2和△U1完全相同（符号也相同），所以：

如果P点不在球心，引进面电荷密度σ和空间角△Ω（很小），则：

，而且△S，

2

它们代数叠加成：

而r＋r=2Rcosα

1

2

所以△U=2Rkσ△Ω

所有面元形成电势的叠加为：

UP=

注意：一个完整球面的π，所以

（单位：球面度sr），但作为对顶的锥角，

只能是2

（2）球心电势的求解和电荷分布均匀时相同；

球内任一点的电势求解可以从（1）问的求解过程得到结论的反证.

答案：（1）球心、球内任一点的电势均为；（2）球心电势仍为，但其他各点的电势将随电量的分

布情况的不同而不同（内部不再是等势体，球面不再是等势面）.

5、有些仪器，如静电加速器，其高压电极外面都有一接地的金属罩，罩内充有一定压强的气体．假定电极是一金属球，接地金属罩是一同心金属薄球壳（如图7－11所示），仪器工作时要求电极与金属罩之间的电势差为U0.选择适当的电极半径R1，和球壳半径R2，有可能使靠近电极表面处场强低于气体的击穿场强，从而使气体不被击穿.

（1）若R1已给定，则在理想情况下，R2取何值，电极处的场强有最小值?

（2）在实际情况中往往适当选择Rl/R2的值，使电极处的场强为上述最小值的若干倍，但仍低于击穿场强．求当电极处的场强为上述最小值的4倍时，Rl/R2应选的值.（第9届预赛） [分析及答案]

分析：金属罩的感应电荷在球形电极附近激发的场强为零，这里只要求出球形电极

的带电量Q就行了.Q的求法有两种选择：a．用球壳电势关系结合叠加原理；b．直接用电容器公式.

方法一，电势叠加.

金属罩的电势为零，球形电极的电势必为U，但是这个U0是两部分电荷形成的电势的代数和：

0

球形电极自身的电荷Q，和金属罩内部感应电荷（－Q）.它们在球心形成的电势分别为

，所以：

（注意：a．针对球心写表达式，是因为我们不知道感应电荷的分布是否均匀，即便电荷 分布不均匀，球壳的球心电势公式仍可用；b．球形电极是等势体，故球心的电势也为U0）.

这样解出

方法二，电容器公式.

有了球形电极的电量，求场强就方便了.

（1）

显然，当R→∞时，

2

（2）当

2

答案：（1）R趋于无穷大；（2）3/4.

6、图7－12中，三根实线表示三根首尾相连的等长绝缘细棒，每根棒上的电荷分布情况与绝缘棒都换成导体棒时完全相同.点A是△abc的中心，点B则与A相对bc棒对称，且已测得它们的电势分别为UA和UB.试问：若将曲棒取走，A、B两点的电势将变为多少?

[分析及答案]

分析：由于细棒上的电荷分布既不均匀、三根细棒也没有构成环形，故前面的定式不能直接应用．若用元段分割叠加，也具有相当的困难．所以这里介绍另一种求电势的方法.

每根细棒的电荷分布虽然复杂，但相对各自的中点必然是对称的，而且三根棒的总电量、分布情况彼此必然相同.这就意味着：

①三棒对A点的电势贡献都相同（可设为U）；

1

②ab棒、ac棒对B点的电势贡献相同（可设为U ；

2

③bc棒对A、B两点的贡献相同（为U）.

1

所以，取走ab前3U1=UA 2U＋U=UB

2

1

取走ab后，因三棒是绝缘体，电荷分布不变，故电势贡献不变，所以

UA′=2 U UB′=U＋U

11

2

答案：.

7、电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面的半径为R，CD为通过半球面顶点C与球心D的轴线，如图7－13所示，P、Q为CD轴线上在O点两侧、离O点距离相等的两点，已知P点的电势为UP，试求Q点的电势UQ. （第8届预赛）

[分析及答案]

分析：这里我们介绍填补法的应用．将半球面补成完整球面，并令右边内、外层均匀地带上电量为q的电荷，如图7－14所示.

从电量的角度看，右半球面可以看做不存在，故这时P、Q的电势不会有任何改变.

而换一个角度看，P、Q的电势可以看成是两者的叠加：①带电量为2q的完整球面；②带电量为－q的半球面.

考查P点，

其中U半球面显然和未填补时Q点的电势大小相等、符号相反，即U半球面=－UQ 以上的两个关系已经足以解题了.

答案：.

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[分析及答案]

分析：这里我们介绍填补法的应用．将半球面补成完整球面，并令右边内、外层均匀地带上电量为q的电荷，如图7－14所示.

从电量的角度看，右半球面可以看做不存在，故这时P、Q的电势不会有任何改变.

而换一个角度看，P、Q的电势可以看成是两者的叠加：①带电量为2q的完整球面；②带电量为－q的半球面.

考查P点，

其中U半球面显然和未填补时Q点的电势大小相等、符号相反，即U半球面=－UQ 以上的两个关系已经足以解题了.

答案：.

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