10_2 对坐标曲线积分

第二节 对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念

第十章

与性质二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系

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一、 对坐标的曲线积分的概念与性质1. 引例: 变力沿曲线所作的功.

y

设一质点受如下变力作用

L A

B

F ( x, y) ( P( x, y) , Q( x, y))动过程中变力所作的功W. 常力沿直线所作的功

在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移 解决办法: “大化小” “常代变” “近似和” “取极限”机动 目录 上页 下页 返回 结束

x

FA

W F AB cos B

F AB

1) “大化 小”. 把L分成 n 个小弧段, F 沿所做的功为n

则k 1

y

F ( k , k )

W Wk2) “常代变” 有向小弧段 近似代替, 在 用有向线段 上任取一点

L AM x k k1

M y kk

B

x则有

Wk F ( k , k ) M k 1M k P( k , k ) xk Q( k , k ) yk机动 目录 上页 下页 返回 结束

3) “近似和”

W P( k , k ) xk Q(ξ k , k ) ykk 1

n

4) “取极限”

W lim P(ξ k , ηk )Δxk Q(ξ k , ηk )Δyk 0 k 1

n

(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)

y

F ( k , k )

L A

M x kk 1

M y kk

B

x机动 目录 上页 下页 返回 结束

2. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑弧, 在L 上定义了一个向量函数 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限

P( k , k ) xk Q( k , k ) yk 0limk 1

n

记作

L P( x, y)d x Q( x, y)d y在有向曲线弧 L 上

都存在, 则称此极限为函数

对坐标的曲线积分, 或第二类曲线积分. 其中,

称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 .机动 目录 上页 下页 返回 结束

P( k , k ) xk , L P( x, y)d x lim 0 k 1n k 1

n

称为对 x 的曲线积分;

Q( k , k ) yk , L Q( x, y)d y lim 0

称为对 y 的曲线积分.

若记 d s (d x , d y ), 对坐标的曲线积分也可写作

L F d s L P( x, y)dx Q( x, y)d y类似地, 若 为空间曲线弧 , 记 d s (d x , d y , d z )

F ( x, y, z ) ( P( x, y, z ) , Q( x, y, z ) , R( x, y, z ))

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3. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 则

L P( x, y)d x Q( x, y)d y k P( x, y )d x Q( x, y )d y L i 1i

(2) 用L- 表示 L 的反向弧 , 则

P( x, y )d x Q( x, y )d yL

说明: 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !

定积分是第二类曲线积分的特例.机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、对坐标的曲线积分的计算法定理: 在有向光滑弧 L 上有定义且

x (t )

t : , 则曲线积分 连续, L 的参数方程为 y (t ) 存在, 且有

P [ (t ), (t )] (t ) Q [ (t ), (t )] (t ) d t P [ (t ), (t )] (t )dt 机动 目录 上页 下页 返回 结束

证明: 下面先证

根据定义 设分点 xi 对应参数 ti ,n

lim P( i , i ) xi 0 i 1

n

对应参数 i , 由于

xi xi xi 1 (ti ) (ti 1 ) ( i ) ti lim P [ ( i ) , ( i )] ( i ) ti 0 i 1n

因为L 为光滑弧 ,

lim P [ ( i ) , ( i )] ( i ) ti

P [ (t ), (t )] (t ) dt

0 i 1

同理可证

Q [ (t ), (t )] (t ) d t 机动 目录 上页 下页 返回 结束

特别是, 如果 L 的方程为 y ( x), x : a b, 则

P [ x, ( x)] Q [ x, ( x)] ( x) d x a

b

对空间光滑曲线弧 :

x (t ) y (t ) t : , 类似有 z (t )

P [ (t ), (t ) , (t )] (t )

(t ) (t )定理 目录 上页 下页 返回 结束

A(1, 1) 到B(1, 1) 的一段. (P143 例2)

2 例1. 计算 x yd x , 其中L 为沿抛物线 y x 从点L

y

B ( 1, 1 )y x

解法1 取 x 为参数, 则 L : AO OB

AO : y x , x : 1 0 OB : y x , x yd x L AO

x : 0 1OB

o

y x1 3

x

x yd x

x yd x 2 x0 2

A(1, 1)

解法2 取 y 为参数, 则

4 dx 5

x yd x y 2 y ( y 2 ) d yL 1机动 目录 上页 下页 返回 结束

1

例2. 计算

其中 L 为

y

(1) 半径为 a 圆心在原点的

o 上半圆周, 方向为逆时针方向; (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ).解: (1) 取L的参数方程为

B a

A a x

则

L

y d x a 2 sin 2 t ( a sin t )d t20

2 4 3 2a 1 a 3 3 (2) 取 L 的方程为 y 0, x : a a, 则3

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例3. 计算(2) 抛物线

其中L为

y

B ( 1, 1 )2 2

(1) 抛物线 L : y x 2 , x : 0 1;

x yo 4

y x1 3 x dx 0

(3) 有向折线 L : OA AB . 解: (1) 原式

A(1, 0 ) x

(2) 原式 ( 2 y 2 y 2 y y 4 )d y0

1

(3) 原式

( 2x 0 x 0 )d x ( 2 y 0 1)d y2 0 0机动 目录 上页 下页 返回 结束

1

1

例4. 设在力场沿 移动到

作用下, 质点由 z 其中 为 B

试求力场对质点所作的功. 解: (1)2 0

A x

y

( R 2 k 2t ) d t

(2) 的参数方程为

AB

yd x xd y zd z 机动 目录 上页

2 k 0

t dt

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结束

例5. 求

其中从 z 轴正向看为顺时针方向. (LP324 例6)

解: 取 的参数方程

x cos

t , y sin t , z 2 cos t sin t ( t : 2 0 ) z ( 2 2 cos t sin t ) cos t2 0

(1 4 cos t ) d t 2 机动 目录

2

o x上页 下页 返回

y结束

三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为

dx dy 已知L切向量的方向余弦为 cos , cos ds ds 则两类曲线积分有如下联系

L P( x, y) d x Q( x, y) d y P [ x( s), y ( s)] cos Q [ x( s), y ( s)] cos ds0 l

P( x, y ) cos Q( x, y ) cos dsL机动 目录 上页 下页 返回 结束

类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是

P d x Q d y R d z

P cos Q cos R cos ds令 A ( P , Q , R) , d s (d x , d y , d z )

t (cos , cos , cos )

A d s A t ds记 A 在 t 上的投影为 A t

A d s机动 目录 上页 下页 返回 结束

例6. 设续, 曲线段 L 的长度为s, 证明

在L上连(LP328 例12)

证:L

L P cos Q cos ds

P cos Q cos ds设 A ( P, Q) , t (cos , cos ) 二者夹角为

A t ds A cos dsL L

说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.机动 目录 上页 下页 返回 结束

例7.将积分 分, 其中L 沿上半圆周 解： y 2 x x , d y 2

化为对弧长的积

1 x 2x x 12x x22

dx y

2 1 y dx ds

dx

o 1 x

B x

2x x ,

2

L P( x, y) dx Q( x, y) d y 2x x2机动

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