数字电路第二章 逻辑代数与硬件描述语言基础

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2 .逻辑代数与硬件描述语言基础 逻辑代数与硬件描述语言基础2.1 2.2 逻辑代数 逻辑函数的卡诺图化简法

2.3 硬件描述语言 硬件描述语言Verilog HDL基础 基础

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教学基本要求1,熟悉逻辑代数常用基本定律,恒等式 熟悉逻辑代数常用基本定律, 和规则. 和规则. 掌握逻辑代数的变换和卡诺图化简法; 2,掌握逻辑代数的变换和卡诺图化简法; 熟悉硬件描述语言Verilog HDL 3,熟悉硬件描述语言

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2.12.1.1

逻辑代数逻辑代数的基本定律和恒等式

2.1.2 逻辑代数的基本规则 2.1.3 逻辑函数的变换及代数化简法

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2.1

逻辑代数

逻辑代数又称布尔代数. 逻辑代数又称布尔代数.它是分析和设计现代数字逻辑电路不 又称布尔代数 可缺少的数学工具.逻辑代数有一系列的定律,定理和规则, 可缺少的数学工具.逻辑代数有一系列的定律,定理和规则,用 于对数学表达式进行处理,以完成对逻辑电路的化简,变换, 于对数学表达式进行处理,以完成对逻辑电路的化简,变换,分 析和设计. 析和设计. 逻辑关系指的是事件产生的条件和结果之间的因果关系. 逻辑关系指的是事件产生的条件和结果之间的因果关系.在数 字电路中往往是将事情的条件作为输入信号, 字电路中往往是将事情的条件作为输入信号,而结果用输出信号 表示.条件和结果的两种对立状态分别用逻辑" 表示. 表示.条件和结果的两种对立状态分别用逻辑"1" 和"0"表示. 表示

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2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式 2.1.11,基本公式 A 0,1律: + 0 = A A 互补律: 互补律: + A = 1 交换律: 交换律: + B = B + A A A+1=1 A1=A AA=0 AB=BA A B C = (A B) C A + BC = ( A + B )( A + C ) A0=0

结合律: 结合律:A + B + C = (A + B) + C A 分配律: 分配律: ( B + C ) = AB + AC

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重叠律: 重叠律: 反演律: 反演律: 吸收律

A+A=A A+B=A B

A A=A AB = A + B

A + A B=AA + A B=A + B

A ( A + B)=A )( A + B) ( A + C) =A + BC

其它常用恒等式 AB+AC+BC=AB + AC + + = AB+AC+BCD=AB + AC + + =

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真值表证明法) 2,基本公式的证明 (真值表证明法) 例 证明 A + B = A B, AB

= A+ B

列出等式, 列出等式,右边的函数值的真值表 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A B 1 1 A+B 0+0=1 0+1=0 1+0=0 1+1=0

AB1 0 0 0

AB00 = 1 01 = 1 10 = 1 11 = 0

A+B 1 1 1 0

1 0 0 1 0 0

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2.1.2 逻辑代数的基本规则1. 代入规则 : 在包含变量 逻辑等式中,如果用另一 在包含变量A逻辑等式中 逻辑等式中, 个函数式代入式中所有A的位置,则等式仍然成立. 个函数式代入式中所有 的位置,则等式仍然成立.这一规 的位置 则称为代入规则. 则称为代入规则. 例:B (A + C) = BA+BC, , 用A + D代替A,得 代替 B [(A +D) +C ] = B(A +D) + BC = BA + BD + BC 代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围

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反演规则: 2. 反演规则:

对于任意一个逻辑表达式L,

若将其中所有的与 ( )换成或(+),或(+)换成与();原 变量换为反变量,反变量换为原变量;将1换成 0,0换成1;则得到的结果就是原函数的反函数.例2.1.1 试求L = A B + CD + 0

的非函数

解:按照反演规则,得 按照反演规则,

L = (A + B) (C + D ) 1 = ( A + B )(C + D )

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对偶规则: 3. 对偶规则:

对于任何逻辑函数式,若将其中的与( )换成或 (+),或(+)换成与();并将1换成0,0换成1;L 那么,所得的新的函数式就是L的对偶式,记作例: 逻辑函数 L = ( A + B )( A + C ) 的对偶式为

′

.

L′ = AB + AC当某个逻辑恒等式成立时,则该恒等式两侧的对偶式也相等. 当某个逻辑恒等式成立时,则该恒等式两侧的对偶式也相等. 这就是对偶规则.利用对偶规则, 这就是对偶规则.利用对偶规则,可从已知公式中得到更多的 运算公式,例如, 运算公式,例如,吸收律

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2.1.3 逻辑函数的代数法化简1,逻辑函数的最简与-或表达式 逻辑函数的最简与在若干个逻辑关系相同的与-或表达式中, 在若干个逻辑关系相同的与-或表达式中,将其中包含的与项数 最少,且每个与项中变量数最少的表达式称为最简与-或表达式. 最少,且每个与项中变量数最少的表达式称为最简与-或表达式.

L = AC + C D

"与-或" 表达式 与 "与非 与非"表达式 与非-与非 与非 与非" "或-与"表达式 或与 "或非-或非" 表达 或非-或非" 或非 式 "与-或-非"表达式 与

= A C C D= ( A + C )( C + D )= ( A + C ) + ( C+D )

= AC + C D

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2,逻辑函数的化简方法 , 化简的主要方法: 化简的主要方法: 1.公式法(代数法) 公式法(代数法) 2.图解法(卡诺图法) 图解法(卡诺图法) 代数化简法: 代数化简法: 运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法. 运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法. 并项法: A + A = 1 并项法:

L = AB C + ABC

= A B( C + C ) = A B

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吸收法: 吸收法: A + AB = A

L = A B + A BCD( E + F ) = A B消去法: 消去法:A + A B = A + B

L = AB + A C + B C = AB + ( A + B )C A + B = AB A+AB=A+B = AB + ABC = AB + C L = AB + A C + BC = AB + A C + ( A + A ) BC =AB + A C + ABC + A BC = ( AB + ABC ) + ( A C + A C B )=AB + A C

配项法: 配项法: + A = 1 A

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)

例2.1.7

已知逻辑函数表达式为

L = ABD + A B D + ABD + A B C D + A B CD,

要求:( )最简的与-或逻辑函数表达式 并画出相应的逻辑图; 或逻辑函数表达式, 要求:(1)最简的与 或逻辑函数表达式,并画出相应的逻辑图; :( (2)仅用与非门画出最简表达式的逻辑图. )仅用与非门画出最简表达式的逻辑图. 解: L = AB( D + D ) + A B D + A B D( C + C )

=AB + A B D + A B D = AB + A B ( D + D )= AB + A B= AB + A BA B &

&

AB

&

L

& &)

= AB A B)

A B

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例2.1.8 试对逻辑函数表达式

L = A B C + AB C

进行变换,仅用或非门画出该表达式的逻辑图. 进行变换,仅用

或非门画出该表达式的逻辑图. 解:

L = A B C + AB C = A B C + A B C

= A+ B + C + A+ B + C= A+ B+C + A+ B+CA≥1 ≥1

A+ B+ C

B≥1 ≥1

≥ 1A+ B+ C

≥1

L

C

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2.2 逻辑函数的卡诺图化简法2.2.1 最小项的定义及性质 2.2.2 逻辑函数的最小项表达式 2.2.3 用卡诺图表示逻辑函数 2.2.4 用卡诺图化简逻辑函数

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代数法化简在使用中遇到的困难: 代数法化简在使用中遇到的困难: 1.逻辑代数与普通代数的公式易混淆,化简过程要求对所 逻辑代数与普通代数的公式易混淆, 逻辑代数与普通代数的公式易混淆 有公式熟练掌握; 有公式熟练掌握; 2.代数法化简无一套完善的方法可循,它依赖于人的经验 代数法化简无一套完善的方法可循, 代数法化简无一套完善的方法可循 和灵活性; 和灵活性; 3.用这种化简方法技巧强,较难掌握.特别是对代数化简 用这种化简方法技巧强,较难掌握. 用这种化简方法技巧强 后得到的逻辑表达式是否是最简式判断有一定困难. 后得到的逻辑表达式是否是最简式判断有一定困难. 卡诺图法可以比较简便地得到最简的逻辑表达式. 卡诺图法可以比较简便地得到最简的逻辑表达式.

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2.2 .1 最小项的定义及其性质1. 最小项的意义 n个变量 1, X2, …, Xn的最小项是 个因子的乘积,每个变量 个变量X 的最小项是n个因子的乘积 个因子的乘积, 个变量 都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现, 都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现,且仅出 现一次.一般n个变量的最小项应有 n个. 现一次.一般 个变量的最小项应有2 个变量的最小项应有 例如, 三个逻辑变量的最小项有( =)8个 例如,A,B,C三个逻辑变量的最小项有(23=) 个,即 三个逻辑变量的最小项有

A ABC A B C , B C , BC , BC, B C , B C,ABC , A A A A等则不是最小项. 等则不是最小项 A B , A BCA ,A(B+C)等则不是最小项.

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2,最小项的 性质A 0 0 00 1 1 1 1

三个变量的所有最小项的真值表

B 0 0 11 0 0 1 1

C 0 1 01 0 1 0 1

A B C A B C A BC A BC AB C AB C ABC ABC 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

对于任意一个最小项,只有一组变量取值使得它的值为1 对于任意一个最小项,只有一组变量取值使得它的值为1; 对于变量的任一组取值,任意两个最小项的乘积为0 对于变量的任一组取值,任意两个最小项的乘积为0; 对于变量的任一组取值,全体最小项之和为1 对于变量的任一组取值,全体最小项之和为1.

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3,最小项的 编号三个变量的所有最小项的真值表m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7

A 0 0 00 1 1 1 1

B 0 0 11 0 0 1 1

C 0 1 01 0 1 0 1

A B C A B C A BC A BC AB C AB C ABC ABC 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

最小项的表示:通常用 表示最小项, 表示最小项,下标i为 最小项的表示:通常用mi表示最小项,m 表示最小项,下标 为 最小项号. 最小项号.

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2.2.2 逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式: 逻辑函数的最小项表达式:

L ( ABC ) = ABC + ABC + ABC + ABC为"与或"逻辑表达式; 与或"逻辑表达式; 在"与或"式中的每个乘积项都是最小项. 与或"式中的每个乘积项都是最小项. 例1 将 L( A, B, C ) = AB + AC 化成最小项表达式

L ( A, B, C ) = AB (C + C ) + A( B + B )C = ABC + ABC + ABC + ABC= m7+ m6+ m3+ m5

= ∑ m (7, 6, 3, 5)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/eux1.html