2011年高考考前数学100题(知识、方法与例题)

本卷第1页（共27页） 高考考前数学100个提醒（知识、方法与例题）

一、集合与逻辑

1、区分集合中元素的形式：如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，

如（1）{|3}M x y x ==+，N ＝{}2|1,y y x x M =+∈，则M N = ___（答：[1,)+∞）；（2）设

集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈ ，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+ ，}R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--）

2、条件为B A ?，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况

如：}012|{2=--=x ax

x A ，如果φ=+R A ，求a 的取值。（答：a≤0） 3、}|{B x A x x B A ∈∈=且 ;}|{B x A x x B A ∈∈=或

C U A={x|x∈U 但x ?A};B

x A x B A ∈∈??则;真子集怎定义？ 含n 个元素的集合的子集个数为2n ,真子集个数为2n －1;如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有

______个。 （答：7）

4、C U (A∩B)=C U A ∪C U B; C U (A∪B)=C U A∩C U B;card(A∪B)=?

5、A∩B=A ?A∪B=B ?A ?B ?C U B ?C U A ?A∩C U B=??C U A∪B=U

6、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使

0)(>c f ，求实数p 的取值范围。 （答：3(3,)2

-） 7、原命题: p q ?;逆命题: q p ?;否命题: p q ???；逆否命题: q p ???；互为逆否的两个命题是等价的.

如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件。（答：充分非必要条件）

8、若p q ?且q p ≠ ;则p 是q 的充分非必要条件（或q 是p 的必要非充分条件）;

9、注意命题p q ?的否定与它的否命题的区别:

命题p q ?的否定是p q ??；否命题是p q ???

本卷第2页（共27页） 命题“p 或q”的否定是“┐P 且┐Q”，“p 且q”的否定是“┐P 或┐Q” 注意：如 “若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的

否命题是“若a 和b 不都是偶数，则b a +是奇数”

否定是“若a 和b 都是偶数，则b a +是奇数”

二、函数与导数

10、指数式、对数式：

m

n a =，1

m

n m n a a

-=，，01a =，lo g 10a =，log 1a a =，lg 2lg 51+=，lo g ln e x x =，

log (0,1,0)b a a N N b a a N =?=>≠>，log a N a N =。 如2lo 1()2的值为________(答：1

64)

11、一次函数:y=ax+b(a≠0) b=0时奇函数;

12、二次函数①三种形式:一般式f(x)=ax 2+bx+c(轴-b/2a,a≠0,顶点?);顶点式

f(x)=a(x-h)2+k;零点式f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)(轴?);b=0偶函数;

③区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系; 如：若函数4221

2+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝ （答：2） ④实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;

13、反比例函数:)0x (x c y

≠=平移?b x c a y -+=(中心为(b,a)) 14、对勾函数x a

x y +=是奇函数,上为增函数

，，在区间时)0(),0(,0∞+-∞ 递增，在),a [],a (+∞--∞

15、单调性①定义法;②导数法. 如：已知函数

3()f x x a x =-在区间[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是____(答：(,3]-∞))；

注意①：0)(>'x f 能推出)

(x f 为增函数，但反之不一定。如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。

注意②：函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知

本卷第3页（共27页） 奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数,若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。（答：1

2

23m -<<）

③复合函数由同增异减判定④图像判定.⑤作用:比大小,解证不等式. 如函数()21

2l o g 2y x x =-+的单调递增区间是________(答：

（1,2）)。 16、奇偶性：f(x)是偶函数?f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数?f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。

17、周期性。（1）类比“三角函数图像”得：

①若()y f x =图像有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()y f x =必是周期函数，且一周期为2||T a b =-；

②若()y f x =图像有两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则()y f x =是周期函数，且一周期为2||T a b =-；

③如果函数()y f x =的图像有一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则函数()y f x =必是周期函数，且一周期为4||T a b =-；

如已知定义在R 上的函数()f x 是以2为周期的奇函数，则方程()0f x =在[2,2]-上至少有__________个实数根（答：5）

（2）由周期函数的定义“函数()f x 满足()()x a f x f +=(0)a >，则()f x 是周期为a 的周期函数”得：①函数()f x 满足()()x a f x f +=-，则()f x 是周期为2a 的周期函数；②若

1

()(0)()f x a a f x +=≠恒成立，则2T a =；③若1()(0)()f x a a f x +=-≠恒成立，则2T a =. 如(1) 设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则

)5.47(f 等于_____(答：5.0-)；(2)定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[3,2]

--上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则(sin ),(cos )f f αβ的大小关系为_________(答：(sin )(cos )f f αβ>)；

本卷第4页（共27页） 18、常见的图象变换

①函数()a x f y +=的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左)0(>a 或向右)0(

②函数()x f y =+a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上)0(>a 或向下)0(

如将函数a a x b

y ++=图象向右平移2个单位又向下平移2个单位,所得图象与原图象关于直线

x y =对称,那么(答：C)

0,1)(≠-=b a A R b a B ∈-=,1)( 0,1)(≠=b a C R b a D ∈=,0)( ③函数()ax f y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴伸缩为原来的

a 1得到的。 如（1）将函数()y f x =的图像上所有点的横坐标变为原来的13

（纵坐标不变），再将此图像沿x 轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____(答：(36)f x +)；

（2）函数(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =对称轴方程是___(答：1

2x =-)．

④函数()x af y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿y 轴伸缩为原来的a 倍得到.

19、函数的对称性。

①满足()()f x a f b x +=-的函数图象关于直线2a b x +=

对称。 如已知二次函数)0()(2≠+=a bx ax

x f 满足条件)3()5(-=-x f x f 且方程x x f =)(有等根，则)(x f ＝_(答：2

1

2x x -+)； ②点(,)x y 关于y 轴对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于y 轴对称曲线为()x f y -=； ③点(,)x y 关于x 轴对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于x 轴的对称曲线为()x f y -=； ④点(,)x y 关于原点对称点为(,)x y --；函数()x f y =关于原点的对称曲线为()x f y

--=；

本卷第5页（共27页） ⑤点(,)x y 关于直线y x a =±+的对称点为((),)y a x a ±-±+；曲线(,)0f x y =关于直线

y x a =±+的对称曲线的方程为((),)0f y a x a ±-±+=。

特别地，点(,)x y 关于直线y x =的对称点为(,)y x ；曲线(,)0f x y =关于直线y x =的对称曲线的方程为(,)0f y x =；点(,)x y 关于直线y x =-的对称点为(,)y x --；曲线(,)0f x y =关于直线y x =-的对称曲线的方程为(,)0f y x --=。

如己知函数3

3

(),()232x f x x x -=≠-,若)1(+=x f y 的图像是1C ,它关于直线y x =对称图像是

22,C C 关于原点对称的图像为33,C C 则对应的函数解析式是__（答：2

21x y x +=-+）；

若f(a －x)＝f(b+x),则f(x)图像关于直线x=

2b a +对称;两函数y=f(a+x)与y=f(b-x)图像关于直线x=2a

b -对称。

提醒：证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；

如（1）已知函数)(1)(R a x a a x x f ∈--+=

。求证：函数)(x f 的图像关于点(,1)M a -成中心对称图形。

⑥曲线(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线的方程为(2,2)0f a x b y --=。如若函数x x y +=2与)(x g y =的图象关于点（-2，3）对称，则)(x g ＝______（答：2

76x x ---） ⑦形如(0,)a x b y c a d b c cx d +=≠≠+的图像是双曲线，对称中心是点(,)d a c c

-。如已知函数图象C '与2:(1)1C y x a ax a ++=++关于直线y x =对称，且图象C '关于点（2，－3）对称，则a 的值为______（答：2）

⑧|()|f x 的图象先保留()f x 原来在x 轴上方的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到；(||)f x 的图象先保留()f x 在y 轴右方的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到。如（1）作出函数2|log (1)|y x =+及2log |1|y x =+的图象；（2）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的

本卷第6页（共27页） 图象关于____对称 （答：y 轴）

20.求解抽象函数问题的常用方法是：

（1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：

①正比例函数型：()(0)f x kx k =≠ ---------------()()()f x y f x f y ±=±；

②幂函数型：2()f x x = --------------()()()f xy f x f y =，()

()()x f x f y f y =；

③指数函数型：()x f x a = ----------()()()f x y f x f y +=，()

()()f x f x y f y -=；

④对数函数型：()log a f x x = ---()()()f xy f x f y =+，()()()x

f f x f y y =-； ⑤三角函数型：()tan f x x = ----- ()()

()1()()f x f y f x y f x f y ++=-。

如已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则=-

)2(T

f __（答：

0） 21.反函数:①函数存在反函数的条件一一映射；②奇函数若有反函数则反函数是奇函数③周期函数、定义域为非单元素集的偶函数无反函数④互为反函数的两函数具相同单调性⑤f(x)定义域为A,值域为B,则f[f -1(x)]=x(x∈B),f -1[f(x)]=x(x∈A).⑥原函数定义域是反函数的值域,原函数值域是反函数的定义域。

如：函数()y f x =图象过点(1,1),那么()4f x -反函数图象一定经过点__（答：（1,3））；

22、题型方法总结

Ⅰ判定相同函数:定义域相同且对应法则相同

Ⅱ求函数解析式的常用方法：

（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：2()f x a x b x c =++；顶点式：2()()f x a x m n =-+；零点式：12()()()f x a x x x x =--）。如已知

()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22,求

本卷第7页（共27页）

()f x 的解析式 。（答：2

1()212

f x x x =

++）

（2）代换（配凑）法――已知形如(())f g x 的表达式，求()f x 的表达式。 如（1）已知,sin )cos 1(2

x x f =-求()2

x

f 的解析式

（答：2

42

()2,[f x

x x x =-+∈）；

（2）若2

2

1)1(x

x

x x f +

=-

，则函数)1(-x f =_____（答：2

23x x -+）；

（3）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3

x x x f +

=，那么当

)0,(-∞∈x 时，)(x f =________

（答：(1x -

）. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等

价性，即()f x 的定义域应是()g x 的值域。

（3）方程的思想――对已知等式进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。 如（1）已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式（答：2()33

f x x =--）；

（2）已知()f x 是奇函数，)(x g 是偶函数，且()f x +)(x g =

1

1-x ,则()f x （答：2

1

x x -）。

Ⅲ求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?;偶次根式被开方数?;对数真数?，底数?;零指数幂的底数?);实际问题有意义;若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义域由a≤g(x)≤b 解出；若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x∈[a,b]时g(x)的值域；

如：（1）若)(x f y =定义域为??

?

?

??2,21

，则)(log 2

x f 定义域为_____（答：{

}

42|

≤≤x x ）；（2）

若函数2

(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为__（答：[1,5]）． Ⅳ求值域:

①配方法：如：求函数2

25,[1,2]y x x x =-+∈-的值域（答：[4,8]）；

②逆求法（反求法）：如：3

13

x x

y =

+通过反解，用y 来表示3x ，再由3x

的取值范围，通过解不

等式，得出y 的取值范围（答：（0,1））；

③换元法：如（1）2

2sin 3cos 1y x x =--的值域为_____（答：17[4,]8

-）；

（2

）21y x =++

的值域为_____（答：[)3,+∞）

t =，0t ≥。

本卷第8页（共27页） 运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围）； ④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； 如：2sin 1

1co s y θθ-=+的值域（答：3

(,]2-∞）； ⑤不等式法

――利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值。如设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则21221)(b b a a +的取值范围是____________.（答：(,0][4,)-∞+∞ ）。 ⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

如求1(19)y x x x =-

<<，229sin 1sin y x x =++

，()3lo g 5y x =--的值域为______（答：80

(0,)9、11

[,9]2、[)0,+∞）；

⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

如（1）已知点(,)P x y 在圆22

1x y +=上，求2y

x +及2y x -的取值范围

（答：

[33-

、[）； （2）

求函数y =

[10,)+∞）； ⑧判别式法：

如（1）求21x

y x =+的值域（答：11,22??-

????

）； （2）

求函数3y x =+的值域（答：1[0,]2

） 如求21

1x x y x ++=+的值域（答：(,3][1,)-∞-+∞ ）

⑨导数法;分离参数法;

如求函数32

()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。（答：－48） 用2种方法求下列函数的值域：

本卷第9页（共27页） ①32([1,1])32x

y x x +=∈--②（)0,(,3

2-∞∈+-=x x x x y ；③)0,(,13

2-∞∈-+-=x x x x y

⑤解应用题:审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证.

⑥恒成立问题:分离参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题.a≥f(x)恒成立?a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立?a≤[f(x)]min ;

⑦任意定义在R 上函数f （x ）都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。即f （x ）＝()()g x h x ＋其中g （x ）＝f x

f x 2（）＋（－）是偶函数，h （x ）＝f x f x 2

（）－（－）

是奇函数 ⑧利用一些方法（如赋值法（令x ＝0或1，求出(0)f 或(1)f 、

令

y x =或y x =-等）

、递推法、反证法等）进行逻辑探究。 如（1）若x R ∈，()f x 满足()()f x y f x +=

()f y +，则()f x 的奇偶性是______（答：奇函数）； （2）若x R ∈，()f x 满足()()f xy f x =()f y +，则()f x 奇偶性是______（答：偶函数）；（3）已知()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当03x <<时，()f x 的图像如右图所示，那么不等式()cos 0f x x < 的解集是_____________（答：(,1)(0,1)(,3)22π

π

-- ）；

（4）设()f x 定义域为R +，对任意,x y R +∈，都有()()()x

f f x f y y

=-，且1x >时，()0f x <，又1()12

f =，①求证()f x 为减函数；②解不等式2()(5)f x f x ≥-+-.（答：(][)0,14,5 ）． 23、导数几何物理意义:k=f /(x 0)表示曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率。

V ＝s /(t)表示t 时刻即时速度,a=v′(t)表示t 时刻加速度。如一物体的运动方程是21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____（答：5米/秒）

24、基本公式:m m -10(C );(x )m x (m Q )C ''==∈为常数

25、导数应用:

⑴过某点的切线不一定只有一条; 如：已知函数3()3f x x x =-过点(2,6)P -作曲线()y f x =

的切

本卷第10页（共27页） 线，求此切线的方程（答：30x y +=或24540x y --=）。

⑵研究单调性步骤:分析y=f(x)定义域;求导数;解不等式f /(x)≥0得增区间;解不等式f /(x)≤0得减区间;注意f /(x)=0的点; 如：设0>a 函数ax x x f -=3)(在),1[+∞上单调函数，则实数a 的取值范围______（答：03a <≤）；

⑶求极值、最值步骤:求导数;求0)(='x f 的根;检验)(x f '在根左右两侧符号,若左正右负,则f(x)在该根处取极大值;若左负右正,则f(x)在该根处取极小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值.

如（1）函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上最大值、最小值分别是______（答：5；15-）；

（2）函数32()f x x bx cx d =+++在[－1,2 ]上减函数，那么b ＋c 有最__值__答：大，152-

） （3）方程0109623=-+-x x x 的实根的个数为__（答：1）

特别提醒：（1）0x 是极值点的充要条件是0x 点两侧导数异号，而不仅是()0f x '＝0，()0f x '＝0是0x 为极值点的必要而不充分条件。（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑0()0f x '=，又要考

虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！如：函数()322

1f x x ax bx a x =+++=在处有极小值10，则a+b 的值为____（答：－7） 三、数列、

26、a n ={),2()

1(*11N n n S S n S n n ∈≥-=- 注意验证a 1是否包含在a n 的公式中。

27、)

*,2(2)(111中项常数｝等差｛N n n a a a d a a a n n n n n n ∈≥+=?=-?-+- ?,,,);0()(2=+=?+=?B A b a Bn An

s b an a n n 的二次常数项为一次 2n n -1n 1n 1n a a a (n 2,n N )a }q ();a 0n n a a +-?=?≥∈??=?≠?

｛等比定 ?m ;a a 11n =?-=??=?-n n n q m m s q

如若{}n a 是等比数列，且3n n S r =+，则r ＝ （答：－1）

28、首项正的递减(或首项负的递增)等差数列前n 项和最大(或最小)问题,转化为解不等式

本卷第11页（共27页）

)0

(0011???≥≤??

?≤≥++n n n n a a a a 或,或用二次函数处理;(等比前n 项积?)，由此你能求一般数列中的最大或

最小项吗？

如（1）等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；

（2）若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，200320040a a ?<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是 （答：4006） 29、等差数列中a n =a 1+(n-1)d;S n =d

n n na 2

)

1(1-+

=d

n n na n

2

)

1(--

=

2

)

(1n a a n +

等比数列中a n = a 1 q n-1

;当q=1,S n =na 1 当q≠1,S n =q

q a n

--1)1(1=

q

q a a n --11

30.常用性质：等差数列中, a n =a m + (n －m)d, n

m a a d n m --=

;当m+n=p+q,a m +a n =a p +a q ；

等比数列中，a n =a m q n-m

; 当m+n=p+q ，a m a n =a p a q ；

如（1）在等比{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a =___（答：512）；（2）各项均正等比{}n a 中，若569a a ?=，则3132310log log log a a a +++= （答：10）。 31.常见数列：{a n }、{b n }等差则{ka n +tb n }等差;{a n }、{b n }等比则{ka n }(k≠0)、?????

?n b 1、{a n b n }、?

??

???n n b a 等比;{a n }等差,则{}n

a c (c>0)成等比.{

b n }(b n >0)等比,则{log

c b n }(c>0且c ≠1)等差。

32.等差三数为a-d,a,a+d;四数a-3d,a-d,,a+d,a+3d;

等比三数可设a/q,a,aq ；四个数成等比的错误设法：a/q 3

,a/q,aq,aq 3

(为什么？)

如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）

33. 等差数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等差数列。 等比数列{a n }的任意连续m 项的和且不为零时构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等比数列。

如：公比为-1时，4S 、8S -4S 、12S -8S 、…不成等比数列

34.等差数列{a n },项数2n 时,S 偶-S 奇＝nd;项数2n-1时,S 奇-S 偶＝a n ; 项数为n 2时，则

q

S S =奇

偶;项数

本卷第12页（共27页）

为奇数21n -时，1S a qS =+奇偶.

35.求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构.

分组法求数列的和：如a n =2n+3n

、错位相减法求和：如a n =(2n-1)2n

、裂项法求和：如求和：

111

112

123

123n

+

+

++

=

+++++++ （答：

21

n n +）、倒序相加法求和：

如①求证：01235(21)(1)2n n

n n n n C C C n C n +++++=+

②已知22

()1x

f x x

=

+，则111(1)(2)(3)(4)()()()2

3

4

f f f f f f f ++++++＝___（答：

72

）

36.求数列{a n }的最大、最小项的方法（函数思想）：

①a n+1-a n =……?????<=>000 如a n = -2n 2

+29n-3 ②??

???<=>=+1

111 n n a a (a n >0) 如a n =n

n

n 10)1(9+ ③ a n =f(n) 研究函数f(n)的增减性 如a n =

156

2

+n

n

求通项常法: （1）已知数列的前n 项和n s ,求通项n a ，可利用公式:??

?≥-==-2)

(n S S 1)

(n S a 1n n 1n

如：数列{}n a 满足122

1112522

2

n n

a a a n +

++

=+ ，求n a （答：{

1

14,1

2,2

n n n a n +==

≥） （2）先猜后证

（3）递推式为1n a ＋＝n a ＋f(n) (采用累加法)；1n a ＋＝n a ×f(n) (采用累积法)； 如已知数列{}n a 满足11a =，n

n a a n n +

+=

--111(2)

n ≥，则n a =________（答：

1n a =

）

（4）构造法形如1n n a ka b -=+、1n

n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列如①已知

111,32n n a a a -==+，求n a （答：1

23

1n n a -=- ）；

（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决，适当注意以下3个公式的合理运用 a n ＝（a n －a n-1）+(a n-1－a n-2)+……＋（a 2－a 1）＋a 1 ； a n ＝

11

22

n 1n 1

n n a a a a a a a －－－?

本卷第13页（共27页）

（6）倒数法形如11n n n a a ka b

--=

+的递推数列都可以用倒数法求通项。如①已知1111,31

n n n a a a a --==

+，

求n a （答：1

32

n a n =

-）；②已知数列满足1a =1

=n a （答：2

1n a n

=

）

37、常见和：1123(1)2

n n n ++++=+ ，222

112(1)(21)6

n n n n +++=++ ，

3333

2

(1)

123[

]2

n n n +++++=

四、三角

38、终边相同(β=2k π+α); 弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：2

11||22

S lR R α==，1弧度

(1rad)57.3≈

. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：22

cm ） 39、函数y=+

+?)sin(?ωx A b （0

,0>>A ω

）①五点法作图;②振幅?相位?初相?周期T=

ω

π

2,频率?φ=k π

时奇函数;φ=k π+

2

π

时偶函数.③对称轴处y 取最值,对称中心处值为0;余弦正切可类比.

如（1）函数522y sin x π

??

=-

???

的奇偶性是______（答：偶函数）； （2）函数3

1f (x )a x b sin x (a ,b =++常），且57f ()=，则5f ()-=______（答：－5）；（3）函数)cos (sin cos 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是__________、_____（答：

128

k (,)(k Z )ππ-

∈、2

8

k x (k Z )ππ=

+

∈）；

（4）

已知f (x )sin(x )x )θθ=+++为偶函数，求θ的值。（答：6

k (k Z )πθπ=+

∈）

④变换:φ正左移负右移；b 正上移负下移;

)

sin()sin(sin 1

|

|Φ+=???????→?Φ+=????→?=Φx y x y x y ωω

倍

横坐标伸缩到原来的

左或右平移

)

sin(sin sin |

|1Φ+=????→?=???????→?=Φx y x y x y ωωω

ω左或右平移

倍

横坐标伸缩到原来的

b

x A y x A y b A +Φ+=????→?Φ+=???????→?)sin()sin(|

|ωω上或下平移

倍

纵坐标伸缩到原来的

40、正弦定理:2R=

A

a sin =

B

b sin =

C

c sin ; 内切圆半径r=

c

b a S ABC ++?2余弦定理：

本卷第14页（共27页）

a 2

=b 2

+c 2

-2bc A

cos

,bc

a

c b A 2cos

2

22-+=

;1

11

sin sin sin 222

S ab C bc A ca B =

==

术语:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。方位角α的取值范围是：0°≤α＜360°＝等 41、同角基本关系：如：已知

11

tan tan -=-αα，则

ααααcos sin cos 3sin +-＝____；

2cos sin sin

2

++ααα＝_________（答：3

5-；5

13）；

42、诱导公式简记:奇变偶不变．．．．．,．符号看象限．．．．．．(注意：公式中始终视．．．α．为锐角．．．)． 43、重要公式： 22cos 1sin 2α

α

-=

；22cos 1cos

2

α

α+=

．；

α

αα

αα

αα

s

i n c o s 1c

o s 1s i n c

o s 1c o s 12

t

a n -=

+=

+-±

=;

2

sin

2

cos

)

2sin 2

(cos

sin 12

θθθθθ±=±=

±

如：

函数2

5f (x )sin x cos x x =

-x R )+

∈的单调递增区间为___（答：

512

12

[k ,k ](k Z )ππππ-

+

∈）

巧变角：如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，

22

αβαβ++=?

，

(

)(

)

2

2

2

αβ

β

ααβ

+=-

--等），如（1）已知2tan ()5

αβ+=

，1tan ()4

4

πβ-

=

，

那么tan ()4

πα+

的值是_____（答：322

）；（2）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，

3co s()5

αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______

（答：43(

1)5

5

y x x =-

<<）

44、辅助角公式中辅助角的确定

：()sin cos a x b x x θ

+=+(其中tan b a

θ=

)如：（1）

当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tan x 的值是______(答：32

-

)；

（2）如果()()sin 2cos()f x x x ??=+++是奇函数，则tan ?= (答：－2)； 五、平面向量

45、向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。)、共线向量、相等向量

注意:不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移） 46、加、减法的平行四边形与三角形法则:AC

BC AB

=+;CB

AC AB

=-

本卷第15页（共27页）

47+≤±≤-向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则：

①0a b a b ⊥??=

；

②当a ，b 同向时，a ?b ＝a b

，特别地，2

2,a a a a

a =?==

；当a 与b 反向时，a ?b

；当θ||||||a b a b ?≤ 。如（1）已知)2,(λλ=→

a ，)2,3(λ=→

b ，如果→

a 与→

b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______（答：

43

λ<-

或0λ>且13

λ≠

）；

48、向量b 在a 方向上的投影︱b ︱cos θ

49、 →1e 和→2e 是平面一组基底,则该平面任一向量→

→→+=2

211e e a

λλ(21,λλ唯一)

特别：. OP ＝12O A O B λλ+

则121λλ+=是三点P 、A 、B 共线的充要条件如平面直角坐标系中，

O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=?→

?OC ?→

??→?+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且

121=+λλ,则点C 的轨迹是_______（答：直线AB ）

50、在A B C ?中，①1()3

P G P A P B P C =++

?G 为A B C ?的重心，特别地

0P A P B P C P ++=? 为A B C ?的重心；②P A P B P B P C P C P A P ?=?=??

为A B C ?的垂心；

③向量(0)||||A C A B A B A C λλ+≠

所在直线过A B C ?的内心(是B A C ∠的角平分线所在直线)； ④||||||0A B P C B C P A C A P B P ++=?

A B C ?的内心；

⑤S ⊿AOB ＝A

B B A y x y x -2

1

;

如：（1）若O 是A B C 所在平面内一点，且满足2O B O C O B O C O A -=+-

，则A B C 的形

状为____（答：直角三角形）；（2）若D 为A B C ?的边B C 的中点，A B C ?所在平面内有一点P ，

本卷第16页（共27页） 满足0P A B P C P ++= ，设||||

A P P D λ= ，则λ的值为___（答：2）；（3）若点O 是A

B

C △的外心，且0O A O B C O ++=

，则A B C △的内角C 为____（答：120 ）；

51、 P 分21P P 的比为λ,则P P 1=λ2

P P ,λ＞0内分;λ＜0且λ≠-1外分. OP ＝λ

λ++121OP OP ;若λ＝1 则OP ＝21(1OP +2OP );设P(x,y),P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2)则???

????++=++=.1,12121λλλλy y y x x x ;中点???????+=+=.2,22121y y y x x x 重心???????++=++=.3y y y y ,3x x x x 321321 52、点),(y x P 按),(k h a = 平移得),(y x P ''',则P P ' ＝a

或???+='+='k y y h x x 函数)(x f y =按),(k h a = 平移得函数方程为：)(h x f k y -=-如（1）按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a

把点(7,2)-平移到点

______（答：（－８，３））；（2）函数x y 2sin =的图象按向量→a 平移后，所得函数的解析式是

12cos +=x y ，则→

a ＝________（答：)1,4(π

-）

六、不等式

53、注意课本上的几个性质，另外需要特别注意：

①若ab>0，则b a 1

1

>。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。②如果对不

等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。如：已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；

54、比较大小的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。

如（1）0,10>≠>t a a 且，比较

21log log 21+t t a a 和的大小 答：当1a >时，

11lo g lo g 22a a t t +≤（1t =时取等号）； 当01a <<时，11

lo g lo g 22a a t t +≥（1t =时取等号）；

本卷第17页（共27页） （2）设2a >，1

2p a a =+-，2422

-+-=a a q ，试比较q p ,的大小（答：p q >）

55、常用不等式：若0,>b a ，（1

2

211

a b a b +≥≥≥+（当且仅当b a =时取等号） ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；

（3）若0,0a b m >>>，则b

b m

a a m +<+（糖水的浓度问题）。

如：如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________（答：[)9,+∞）

基本变形：①≥+b a ；≥+2)2(b

a ；

注意：①一正二定三取等；②积定和最小,和定积最大。常用的方法为：拆、凑、平方；如：①函数)21

(429

4>--=x x x y 的最小值 。（答：8）

②若若21x y +=，则24x y +的最小值是______

（答：；

③正数,x y 满足21x y +=，则y x 11

+的最小值为______

（答：3+；

56、b a b a b a +≤±≤-(何时取等？)；|a|≥a；|a|≥－a

57、证法:①比较法:差比:作差--变形(分解或通分配方)--定号.另:商比②综合法--由因导果;③分析法--执果索因;④反证法--正难则反。⑤放缩法方法有： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25

lg 3lg (5lg 3log 2=<=+

1()1(++<+n n n n ⑷利用常用结论： Ⅰ、k k k k k 2111

1<+

+=-+； Ⅱ、k k k k k 111)

1(11

2--=-< ； 111)1(112+-=+>k k k k k （程度大） Ⅲ、)1111(21

)1)(1(111

1

22+--=+-=-

本卷第18页（共27页） ⑥换元法：常用的换元有三角换元和代数换元。如：

已知222a y x =+，可设θθsin ,cos a y a x ==；

已知122≤+y x ，可设θθsin ,cos r y r x ==(10≤≤r )； 已知12222=+b y a

x

，可设θθsin ,cos b y a x ==； 已知12222=-b y a x

，可设θθtan ,sec b y a x ==；

⑦最值法,如：a>f max (x),则a>f(x)恒成立.

58、解绝对值不等式:①几何法(图像法)②定义法(零点分段法);③两边平方

④公式法：|f(x)|>g(x)? ;|f(x)|

59、分式、高次不等式:通分因式分解后用根轴法（穿线法）.注意偶次式与奇次式符号.奇穿偶回 如（1）解不等式32

(3)(1)(2)0x x x +-+≥。（答：{|13x x x ≥≤-或或2}x =-）；（2）解不等式2()1a x x a R a x >∈-（答：0a =时，{|x 0}x <；0a >时，1

{|x x a >或0}x <；0a <时，1

{|0}

x x a <<或0}x <）

七、立几

60. 位置和符号①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法②直线与平面: a∥α、a∩α=A (a ?α) 、a ?α③平面与平面:α∥β、α∩β=a

61. 常用定理:①线面平行α

αα////a a b b a ???

???

??;αββα////a a ?????;ααββα//a a a ???????⊥⊥ ②线线平行:b

a b a a ////??????=??βαβα;b a b a //????⊥⊥αα;b a b a ////??????=?=?γβγαβα;b c c a b a //////????

③面面平行:β

αββαα////,//,??????

=???b a O b a b a ;βαβα//????⊥⊥a a ;γαβγβα//////????

④线线垂直:b a b a ⊥????

?⊥αα;所成角900；PA

a AO a a PO ⊥??????⊥?⊥αα(三垂线);逆定理?

本卷第19页（共27页） ⑤线面垂直:α

αα⊥???

???⊥⊥=???l b l a l O b a b a ,,;βαβαβα⊥??????⊥?=?⊥a l a a l ,;βαβα⊥????⊥a a //;αα⊥????⊥b a b a // ⑥面面垂直：二面角900; βααβ⊥????

⊥?a a ;βααβ⊥????⊥a a //

62. 求空间角①异面直线所成角θ的求法：（1）范围：(0,

]2π

θ∈；（2）求法：平移以及补形法、向量法。

如（1）正四棱锥ABCD P -的所有棱长相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于____（答：33

）；

（2）在正方体AC 1中，M 是侧棱DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱A 1B 1上的一点，则OP 与AM 所成的角的大小为____（答：90°）；

②直线和平面所成的角：（1）范围[0,90] ；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的

（3）求法：作垂线找射影或求点线距离 （向量法）；

如（1）在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB=1，D 在棱BB 1上，BD=1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为______（答：arcsin 46

）；

（2）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、C 1D 1的中点，则棱 A 1B 1 与截面A 1ECF 所成的角的余弦值是______（答：1

3）；

③二面角：二面角的求法：定义法、三垂线法、垂面法、面积射影法： co s S S θ?射原＝、转化为法

向量的夹角。

如（1）正方形ABCD-A 1B 1C 1D 1中，二面角B-A 1C-A 的大小为________（答：60 ）；

（2）正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中对角线BD 1＝8，BD 1与侧面B 1BCC 1所成的为30°，则二面角C 1—BD 1—B 1的大小为______

（答：arcsin 3）；

（3）从点P 出发引三条射线PA 、PB 、PC ，每两条的夹角都是60°，则二面角B-PA-C 的余弦值是______（答：1

3）；

63. 平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系

本卷第20页（共27页） 三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)?顶点在底面射影为底面外心;侧棱两两垂直(两对对棱垂直)?顶点在底面射影为底面垂心;斜高相等(侧面与底面所成相等)?顶点在底面射影为底面内心;正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ,则S 侧cos θ=S 底;正三角形四心?内切外接圆半径?;

64. 空间距离:①异面直线间距离:找公垂线; ②平行线与面间距离(两平行面间距离)→点到面距离:直接法、等体积、转移法、垂面法、向量法P A n h n

?=

.③点到线距离:用三垂线定理作垂线后再求; 65. 求球面两点A 、B 距离①求|AB|②算球心角∠AOB 弧度数③用公式L 球面距离=θ

球心角×R ;纬线半径r ＝Rcos 纬度。S 球=4πR 2;V 球＝34

πR 3

; 66. 平面图形翻折(展开):注意翻折(展开)后在同一平面图形中角度、长度不变;

67. 从点O 引射线OA 、OB 、OC,若∠AOB=∠AOC,则A 在平面BOC 的射影在∠BOC 平分线上;若A 到OB 与OC 距离相等,则A 在平面BOC 的射影在∠BOC 平分线上；

68. 常用转化思想:①构造四边形、三角形把问题化为平面问题②将空间图展开为平面图③ 割补法④等体积转化⑤线线平行?线面平行?面面平行⑥线线垂直?线面垂直?面面垂直⑦有中点等特殊点线,用“中位线、重心”转化.

69.三面角公式:AB 和平面所成角是θ,AB 在平面内射影为AO,AC 在平面内,设∠CAO=α,∠BAC=β,则cos β=cos θcos α;长方体:

对角线长l =

若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成角分别为α,β,γ,则有cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1;体对角线与过同顶点的三侧面所成角分别为

α,β,γ,则cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2;正方体和长方体外接球直径=体对角线长;

特别指出：立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即：

八、解几

70.倾斜角α∈[0,π],α=900斜率不存在;斜率

k=tan α=121

2x x y y --

71.直线方程:点斜式 y-y 1=k(x-x 1);斜截式y=kx+b; 一般式:Ax+By+C=0

线∥线线∥面面∥面判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面←→?←→??→??←→?←→?←???←→?←→?

本卷第21页（共27页）

两点式:

1

211

21x x x x y y y y --=

--;截距式:

1

=+

b

y a

x (a≠0;b≠0);求直线方程时要防止由于零截距和无斜率造

成丢解,直线Ax+By+C=0的方向向量为a =(A,-B)

72.两直线平行和垂直①若斜率存在l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2则l 1∥l 2?k 1∥k 2,b 1≠b 2;l 1⊥l 2?k 1k 2=-1 ②若l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,则l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2=0； ③若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零l 1∥l 2?2

12

12

1C C B B A A ≠

=

;

④l 1∥l 2则化为同x 、y 系数后距离d=2

2

21||B

A C C +-

73.l 1到l 2的角tan θ=

1

2121k k k k +-;夹角tan θ=|

1

2121k k k k +-|;点线距d=2

2

00

||B

A C By Ax

+++;

74.圆:标准方程(x －a)2

+(y －b)2

=r 2

;一般方程:x 2

+y 2

+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2

-4F>0) 参数方程:??

?+=+=θ

θsin r b y cos r a x ;直径式方程(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0

75.若(x 0-a)2

+(y 0-b)2

(=r 2

,>r 2

),则 P(x 0,y 0)在圆(x-a)2

+(y-b)2

=r 2

内(上、外)

76.直线与圆关系,常化为线心距与半径关系，如：用垂径定理,构造Rt△解决弦长问题，又:ｄ>r ?相离;d=r ?相切;d

77.圆与圆关系,常化为圆心距与两圆半径间关系.设圆心距为d,两圆半径分别为r,R,则d>r+R ?两圆相离;d ＝r+R ?两圆相外切;|R －r|

78.把两圆x 2+y 2+D 1x+E 1y+C 1=0与x 2+y 2

+D 2x+E 2y+C 2=0方程相减即得相交弦所在直线方程:(D 1-D 2)x+(E 1-E 2)y+(C 1-C 2)=0;推广:椭圆、双曲线、抛物线?过曲线f 1(x,y)=0与曲线 f 2(x,y)=0交点的曲线系方程为: f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0

79.圆上动点到某条直线(或某点)的距离的最大、最小值的求法(过圆心) 80.椭圆①方程

1b

y a

x 2

22

2=+

(a>b>0);参数方程??

?==θθ

sin b y cos a x ②定义:

相应

d |PF |=e<1;

|PF 1|+|PF 2|=2a>2c③e=2

2a

b 1a

c

-

=

,a 2=b 2+c 2

④长轴长为2a ，短轴长为2b ⑤焦半径左PF 1=a+ex,右

PF 2=a-ex;左焦点弦)

x x (e a 2AB B A ++=,右焦点弦)

x x (e a 2AB

B A +-=⑥准线x=c

a

2

±

、通径(最短焦点

弦)

a

b 22

,焦准距p=

c

b

2

⑦2

1F PF S ?=2

tan

b 2θ,当P 为短轴端点时∠PF 1F 2最大,近地a-

c 远地a+c;

81.双曲线①方程

1b

y a

x 2

22

2=-

(a,b>0)②定义:

相应

d |PF |=e>1;||PF 1|-|PF 2||=2a<2c③e=2

2a

b 1a

c

+

=,c 2=a 2+b 2

④

四点坐标？x,y 范围?实虚轴、渐进线交点为中心⑤焦半径、焦点弦用第二定义推(注意左右支及左右

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