2013-2014初三海淀区数学期末试题答案

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海淀区九年级第一学期期末练习数学试卷答案及评分参考

2014.1

阅卷须知:

1. 为便于阅卷,本试卷答案中有关解答题的推导步骤写的较为详细,阅卷时,只要考生将主要过程正确写出即可.

2. 若考生的解法与给出的解法不同,正确者可参照评分参考相应给分. 3. 评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数. 一、选择题（本题共32分，每小题4分）

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．<； 10．130； 11．0, y x2 2x(每空2分)； 12．70，180 (每空2分)． 三、解答题（本题共30分,每小题5分） 13．（本小题满分5分）

( 2013)0 | 1 ………………………………………………………………4分

1. …………………………………………………………………………5分

14．（本小题满分5分）

解：原方程可化为x(x 3) 2(x 3) 0. ……………………………………………1分

(x 3)(x 2) 0，

x 3 0或x 2 0， ……………………………………………………………4分 ∴x1 3, x2 2．…………………………………………………………………5分

15．（本小题满分5分）

证明：

∵ B 90 ，

∴ A ACB 90 ．

∵C为线段BD上一点，且AC CE，

A

E

B

D

∴ ACB ECD 90 ．

∴ A ECD ． …………………………………………………………………2分 ∵ B D=90 ， …………………………………………………………………3分 ∴△ABC∽△CDE．………………………………………………………………4分 ∴ABCD

BCDE

．………………………………………………………………………5分

16．（本小题满分5分）

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解：∵抛物线y x bx c过（0，-1），（3，2）两点，

1 c,

∴

2 9 3b c.

c 1,解得， ………………………………………………………………………2分

b 2.

2

∴抛物线的解析式为y x2 2x 1． ……………………………………………3分 ∵y x2 2x 1 (x 1)2 2，……………………………………………………4分 ∴抛物线的顶点坐标为（1，-2）． ……………………………………………5分

17．（本小题满分5分）

证明：

∵AD∥BC，

∴ ADB DBC． ………………………………………………………………1分 ∵BD CD， ∴ DBC C．……………………………………………………………………2分 ∴ ADB C． …………………………………………………………………3分 在△ABD与△EDC中， AD

AD EC,

ADB C, BD DC,

BEC

∴△ABD≌△EDC.………………………………………………………………4分 ∴AB ED． ……………………………………………………………………5分

18．（本小题满分5分）

解：（1）∵关于x的方程 x2 2x+k 1 0有实数根，

∴ 4 4(k 1) 0. ………………………………………………………1分

解不等式得， k 2．………………………………………………………2分 （2）由（1）可知，k 2，

∴k的最大整数值为2.………………………………………………………3分 此时原方程为x2 2x 1 0． ………………………………………………4分 解得, x1 x2 1． …………………………………………………………5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．（本小题满分5分）

解：（1）设扇形的弧长为l米.

由题意可知，l 2r 20. ∴l 20 2r.

∴S (20 2r)r r2+10r. …………………………………………………2分

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其中4 r 10.…………………………………………………………………3分 （2）∵S r2+10r (r 5)2 25.

∴当r 5时，S最大值 25.……………………………………………………5分

20．（本小题满分5分）

解：（1）证明:

连接OD.

∵OC OD, ∴ 1 3.

A∵CD平分∠PCO， B∴ 1= 2.

∴ 2= 3.……………………………1分 ∵DE AP，

∴ 2 EDC=90 . ∴ 3 EDC=90 . 即 ODE=90 . ∴OD DE.

∴DE为 O的切线. …………………………………………………………2分

(2) 过点O作OF AP于F.

由垂径定理得，AF CF. ∵AC 8,

∴AF 4.………………………………………………………………………3分 ∵OD DE, DE AP， ∴四边形ODEF为矩形. ∴OF DE. ∵DE 3，

∴OF 3.………………………………………………………………………4分 在Rt△AOF中，OA2 OF2 AF2 42 32 25. ∴OA 5.

∴AB 2OA 10.………………………………………………………………5分

21．（本小题满分5分）

解：（1）y1 y2 .……………………………………………………………………2分 （2）∵二次函数y 2x m的图象经过点（0，-4），

∴m = -4． ……………………………………………………………………3分

∵四边形ABCD为正方形，

又∵抛物线和正方形都是轴对称图形，且y轴为它们的公共对称轴， ∴OD=OC，S阴影=S矩形BCOE. 设点B的坐标为（n，2n）（n >0）， ∵点B在二次函数y 2x 4的图象上，

2

2

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∴2n 2n 4.

解得，n1 2,n2 1（舍负）. …………………………………………4分 ∴点B的坐标为（2，4）.

∴S阴影=S矩形BCOE=2 4=8．…………………………………………………5分

22. （本小题满分5分）

(1) ， ， ，（最后两空可交换顺序） ………2分 （2）(x 3)(x 1) 5.

原方程可变形，得 [(x 1) 2]x[ ( 1) 2. ] ……………………………3分

2

(x 1)2 22 5， (x 1)2 5 22，

(x 1)2 9. ……………………………………………………………4分

直接开平方并整理，得

x1 4, x2 2．………………………………………………………5分

五、解答题（本题共22分，第23、24小题各7分，第25小题8分）

23. （本小题满分7分）

解：（1）令y 0，则(m 1)x 2mx m 1 0.

∵ ( 2m) 4(m 1)(m 1) 4， 解方程，得 x

2

2

2m 2

.

2(m 1)

∴x1 1，x2

m 1

. m 1

∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（（2） ∵m 1， ∴

m 1

，0）. …………………2分 m 1

m 1

1. m 1m 1

由题意可知， 1 2. …………………………………………………3分

m 1

解得，m 2.

经检验m 2是方程的解且符合题意.

∴m 2.………………………………………………………………………4分 （3）∵一次函数y kx k的图象与抛物线始终只有一个公共点，

∴方程kx k (m 1)x 2mx m 1有两个相等的实数根.

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2

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整理该方程，得 (m 1)x (2m k)x m 1 k 0，

∴ (2m k) 4(m 1)(m 1 k) k 4k 4 (k 2) 0， 解得 k1 k2 2. …………………………………………………………6分 ∴一次函数的解析式为y 2x 2.………………………………………7分

24. （本小题满分7分）

解：（1）证明：

∵四边形ABCD和CEFG为正方形，

∴BC DC，CG CE， BCD GCE 90 . ∴ BCD DCG GCE DCG.

即： BCG DCE. ……………………1分 ∴△BCG≌△DCE.

A

D

2

2

2

2

F

B

C

∴BG DE.………………………………2分

（2）①连接BE .

由（1）可知：BG=DE. ∵CG//BD，

∴ DCG= BDC 45 .

∴ BCG BCD GCD 90 45 135 . ∵ GCE 90 ,

∴ BCE 360 BCG GCE 360 135 90 135 . ∴ BCG= BCE.…………………………3分 ∵BC BC，CG CE, ∴△BCG≌△BCE.

∴BG BE.………………………………4分 ∵BG BD DE, ∴BD BE DE. ∴△BDE为等边三角形.

∴ BDE 60 . …………………………5分

25. （本小题满分8分）

2

解：（1）∵点D（1，m）在y x bx b图象的对称轴上，

②正方形CEFG1. ……………………………………………7分

3

2

∴ b 1． ∴b 2．

2

∴二次函数的解析式为y x 2x 3．………………………………………1分

12

∴C（1，-4）． …………………………………………………………………2分

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（2）∵D（1，1），且DE垂直于y轴，

∴点E的纵坐标为1，DE平行于x轴． ∴ DEB EBO．

令y 1，则x2 2x 3

1，解得x1 1

x

2

∵点E位于对称轴右侧，

∴E(1 ． ∴D E

图1

令y 0，则x2 2x 3=0，求得点A的坐标为（3,0），点B的坐标为（-1,0）．∴BD ．

∴BD = D E．……………………………………………………………………3分

∴ DEB DBE． ∴ DBE EBO．

∴BE平分 ABD．……………………………………………………………4分 （3）∵以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似，

且△GDE为直角三角形， ∴△ACG为直角三角形．

∵G在抛物线对称轴上且位于第一象限， ∴ CAG 90 ．

∵A（3,0）C（1，-4），AFC G∴求得G点坐标为（1，1）． ∴AGAC= ∴AC=2 AG.

∴GD=2 DE或 DE =2 GD.

2

设E t, t 2t 3 （t >1） ，

,

图2

1 .当点D在点G的上方时，则DE=t -1，

GD = (t2 2t 3) 1=t2 2t 4. i. 如图2，当 GD=2 DE时， 则有， t2 2t 4= 2(t-1).

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图3

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解得，t=2舍负)………………………5分 ii. 如图3，当DE =2GD时， 则有，t -1=2(t2 2t 4). 解得，t1= 1，t2=

7

.(舍负)…………………6分 2

2 . 当点D在点G的下方时，则DE=t -1，

GD=1- (t2 2t 3)= -t2+2t+4. i. 如图4，当 GD=2 DE时， 则有， t2+2t+4=2（t -1）.

图

4

解得，t= 舍负) ………………………7分 ii. 如图5，当DE =2 GD时， 则有，t-1=2（ t2+2t+4）. 解得，t1=3，t2=

综上，E点的横坐标为或

3

.(舍负) …………………8分 2

7

或3. 2

图5

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