线性代数考试试卷+答案超强合集

大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题

×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，

1?352??x1?x2?x3?0?x?0，则??__________。2．若齐次线性方程组?x1??x2?x3?0只

?x?x?x?0?223?11共10分）1. 若0?1有零解，则?应满足 。 3．已知矩阵A，B，C?(cij)s?n，满足AC?CB，则A与B分?a11?A?别是 阶矩阵。4．矩阵?a21?a?31A?3A?E?0，则A2a12??a22?的行向量组线性 。5．n阶方阵A满足a32??，错误的在括号内? 。二、判断正误（正确的在括号内填“√”

填“×”。每小题2分，共10分）1. 若行列式D中每个元素都大于零，则D?0。（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组a1，a2，?，am中，如果a1与am对应分?0?1?，as线性相关。量成比例，则向量组a1，a2，（ ）4. A???0??0100000010??0?，则A?1?A。（ ）5. 若?1?0??1?为可逆矩阵A的特征值，则A?1的特征值为?。 ( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，

将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A为n阶矩阵，且A?2，则AAT?（ ）。

?，?s（3 ? s ? n）线性① 2n② 2n?1 ③ 2n?1 ④ 42. n维向量组 ?1，?2，?，?s中任意两个向量都线性无关② ?1，?2，?，?s中存无关的充要条件是（ ）。① ?1，?2，?，?s中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ 在一个向量不能用其余向量线性表示③ ?1，?2，?1，?2，?，?s中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。① 任意n个n?1维向量线性相关②

任意n个n?1维向量线性无关③ 任意n?1个n 维向量线性相关④ 任意n?1个n 维向量线性无关4. 设A，B均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。① 若A，B均可逆，则A?B可逆

② 若A，B均可逆，则 AB 可逆③ 若A?B可逆，则 A?B可逆

④ 若

A?B可逆，则 A，B均可逆5. 若?1，?2，?3，?4是线性方程组A??0的基础解系，则

?1??2??3??4是A??0的（ ）① 解向量 ② 基础解系

③ 通解 ④ A

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x?abx?bbbccx?ccdddx?d的行向量四、计算题 ( 每小题9分，共63分)1. 计算行列式

aaa。

解· x?aaaabx?bbbccx?cc1?(x?a?b?c?d)111dddx?dbx?bbb?x?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dccx?ccdddx?d?(x?a?b?c?d)bx?bbbccx?ccdddx?d1000bx00c0x0d00x?(x?a?b?c?d)x32. 设AB?A?2B，且A?3???1?0?0111??0?,4?? 求B。解.(A?2E)B?A

(A?2E)?1?2??2????13120?1?21?1??5???1?1，B?(A?2E)A?4???1????2?2?32?1?2??0??23. 设B????0?03????11000?1100??0?, ?1?1???2?0C???0?0?12004??3?且矩阵?满足关系式X(C?B)'?E, 求?。4. 问a取何值时，下列向量组线性1?2????1???2???,??a?2??1?????2??1????2????x1?x2?x3???3?????1??,?3????。5. ?为何值时，线性方程组?x1??x2?x3??2有唯

2?x?x??x??2???23?1a??????????a?1相关？?1????2?1???2一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。① 当??1且???2时，方程组有唯一??2???1???1???????解；②当???2时方程组无解③当??1时，有无穷多组解，通解为??0?c11?c206. 设

??????????0???0???1???1??2??1??3??????????4??9??0??10??1???, ?2??, ??, ??. 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用34?????1?1?3?7?????????0???3???1???7?????????共3页第2页

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?1?该极大无关组线性表示。7. 设A?0??0?0120??0，求A的特征值及对应的特征向量。五、证明题 (7分)?1??若A是n阶方阵，且AA??I，A??1， 证明 A?I?0。其中I为单位矩阵。×××大学线性

代数期末考试题答案

一、填空题 1. 5 5. A?3E

二、判断正误 1. × 三、单项选择题 1. ③ 四、计算题 1. x?aaaabx?bbbccx?cc1?(x?a?b?c?d)111dddx?dbx?bbb?x?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dx?a?b?c?dccx?ccdddx?d?(x?a?b?c?d)bx?bbbccx?ccdddx?d1000bx00c0x0d00x?(x?a?b?c?d)x32. ??1 3. s?s，n?n 4. 相关

2. √ 2. ③

3. √ 3. ③

4. √ 5. ×

4. ② 5. ①

2.(A?2E)B?A (A?2E)?1?2??2????1?1?21?1??5???1?1，B?(A?2E)A?4???1????2?2?32?2???2 ?3??

?1?0?C?B??0??0210032104??1??32'?，?(C?B)??32???1??401?21001?2012300120??0?0??1??1??2???1??001?21001?20??0?0??1?3.

??C?B??'?1?1??2???1??00??0?，X?E?C?B?'0??1? 4.

???1共3页第3页

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aa1，a2，a3???1212?12??1212?18(2a?1)(2a?2)当a??2a?1212或a?1时，向量组a1，a2，a3线性相

a关。5.① 当??1且???2时，方程组有唯一解；②当???2时方程组无解③当??1时，有无穷多??2???1???1???????组解，通解为??0?c11?c206.

??????????0???0???1???1?4(a1，a2，a3，a4)???1??0?1?0???0??001000010?2??2?1??0?29?1?310?3?13??1??100????0?7????7??021?3?31?4?4?13??1???20????0?10????7??021001?4?16?133???2??16???13?则

r?a1，a2，a3，a4??3，其中a1，a2，a3构成极大无关组，a4??2a1?2a2?a37.

??1?E?A?00?0??1E?A?0???000?2000?(??1)?0特征值?1??2??3?1，对于λ

3??1?21＝1，

??10??1??0??????0，特征向量为k0?l0 ???????0???0???1????A?I?A?AA??AI?A????I?A????I?A?五、证明题∴

2?I?A??0a13c1?a2a3，

a1a2b2c2a3c3∵?I?A??0一.单项选择题（每小题3分，本题共15分）1.如果b1c1b3?m，则2b1?2b22b3?3c23c3

=( ).A.6m； B.?6m；

3333C.23m； D.?23m。2. 设A、B是m?n矩阵，则( )成立.A.R(A?B)?R(A)； B. R(A?B)?R(B)；

C.R(A?B)?R(A)?R(B)； D. R(A?B)?R(A)?R(B)。3. 设A是s?n矩阵，则齐次线性方程组Ax?0有非零解的充分必要条件是( ).

A.A的行向量组线性无关 B. A的列向量组线性无关

C.A的行向量组线性相关 D. A的列向量组线性相关4. 设

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?a?b???13a?b5??2???2???1345?则a,b分别等于（ ）．A. 1,2 B. 1,3 C. 3,1 ?，2?D. 6,2 5. 若x1是方程AX?B的解，x2是方程AX?O的解，则（ ）是方程AX?B的解（c为任意常数）.A.x1?cx2 B. cx1?cx2 C. cx1?cx2 D.

cx1?x2二.填空题（每小题3分，共15分）1.设A,B均为n阶方阵，且A?a,B?b，则

(2A)BT?1= .2. ??0T1??1??1= .3. 若对任意的3维

?x1?x2?列向量x?(x1,x2,x3),Ax???，则A= ．4．设

2x?x3??1?1???4?????a?0,b?2,c与a正交，且b??a?c则?= ，c= ．5. 设向量组

??????2??3??????1?(1,0,0),?2?(?1,3,0),?3?(1,2,?1)线性 关.

TTT21?12042361三.计算行列式（10分）135?1??3??4??5?????????114?12?,a???,a???,a???. 四.（10分）设a1??234??1???1???2???3?2????????2?2231?????????1?求向量组a1,a2,a3,a4的秩和一个最大无关组.五（.10分）已知矩阵满足XA?B，其中A??2?0??1B???0213610??1，?1??0?2求X.六.（8分）设方阵A满足A?A?2E?0,证明A可逆，并求A的逆矩阵.七.(8?，3?分）已知向量组a1,a2,a3线性无关，b1?2a1?a2，b2?3a2?a3，b3?a1?4a3，证明向量组b1,b2,b3??1?线性无关.八.（12分）求矩阵A??4??1?1300??0的特征值和对应于特征值的所有特征向量。九.（12分）?2????x1??x2?2x3?1??取何值时，下列非齐次线性方程组?x1?x2??x3?2(1)无解，（2）有唯一解，（3）有无穷多解？

??5x?5x?4x??1123?共3页第5页

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并在有无穷多解时写出通解。

一、填空题 （共5 小题，每题 3 分，共计15 分） 1. 2ab; 2.

n?1??1?? 3.

?1A??10??; 4 . ???2,c?(?2,2,?1)T; 5. 无关

?01??20?1?二、选择题 （共 5 小题，每题 3 分，共计15 分

1. (B); 2. (D) ; 3. (D); 4．(C) ; 5. (A). 三、（10分）

241 解： 31?11c4?c22452120332062?????21?1521032 60 2r4?r2214?????31?20221132400 r4?r121420?????31?13200?0 0200? 四 （10分）

解：A??1?0，所以A可逆，有 X?BA?1， ??53?3? A?1???2?11?? ???210??X?BA?1??120???53?3?1?1???013???11????2????1?21? ??210????4?五. （10分）

?1345??1345??解：(??14?12??1,?2,3,?4)???01?5?3?????1?1?23?????222???2231?0???081111???1345??134?5?134?? ??01?5?3?????01?5?3???01?5????0111??????08111??1?006?4??3?1 ?300? ?003?00?0?1???3分

??3分

?4分

??4分

?3分 ??3分 ??2分 ??6分

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? ? 2大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题

向量组的秩为4， ?1,?2,?3,?4为最大无关组。 ??2分 六、 证明：恒等变形A2?A?2E，A(A?E)?2E， ??3分 A[12(A?E)?]，所以A可逆，且AE?1?12(A?E)。 ??3分

七、证法一 ：把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式

?2??a,a,a1 ?b1,b2,b???312?3?0?0311??0,?4??记B?AK， ??3分

设BX?0，以B?AK代入得

A(Kx)?0，因为矩阵A的列向量组线性无关，根据向量组线性无关的定义知Kx?0??，

3分

又因K?25?0，知方程 Kx?0只有零解x?0。

所以矩阵B的列向量组b1,b2,b3线性无关。 ?? 4分

?2???a1,a2,a3?1??0?0311??0,?4??证法二： 把已知条件合写成 ?b1,b2,b3?记B?AK， ??3

分

因 K?25?0，知 K可逆， 根据上章矩阵性质4知R?A??R?B? ??3分

因矩阵A的列向量组线性无关，根据定理4 知R?A??3，从而 R?B??3， 再由定理4知矩阵B的三个列向量组b1,b2,b3线性无关。 ?? 4分 八 （12分）

?1??13??0002???(2??)(1??)

2解: A的特征多项式为A??E??41所以A的特征值为?1?2,?2??3?1. ?? 4分

??3?当?1?2时,解方程(A?2E)x?0.由A?2E??4??1?1100??1??0~0????00??0100??0 ??0?共3页第7页

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?0???得基础解系 p1?0,

???1???所以kp1(k?0)是对应于?1?2的全部特征向量. ?? 4分

??2?当?2??3?1.时,解方程(A?1?E)x?0.由A?E??4??1???1???得基础解系 p2??2,

???1???1200??0?1??~?1?0??0?0101??2, ?0??所以kp2(k?0)是对应于?2??3?1的全部特征向量。 ?? 4分

九．（12分）

??1? 解：(Ab)??1??5???152?41???1??r2?r12?r???0?5r??31??0?1??2???1?5??52??2?61??3 ??6????1?3?5r2??0 ?r???0????10??25??41??3 ?? 4分 ?9??（1） 当???45时，R(A)?2,R(Ab）=3，方程组无解；

（2）当???,且??1时， R(A)?R(Ab）=3=n，方程组有唯一解；

54（3）当??1时，R(A)?R(Ab）=2?n=3，方程组有无穷多个解。 ?? 4分

??x1?x2?2x3?1?3x3?3原方程组同解于??x1?通解?x2?x?3，???x1?x2?1x3?1，

??1??1??????c?R）?c1?0，。 ?? 4分 ?????（

??0??1??????第一部分 选择题 (共28分)

一、1.设行列式 A. m+n

a11a21a12a22=m，

a13a23a11a21=n，则行列式

a11a21a12?a13a22?a23等于（ ）

B. -(m+n)

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?1?A=?0??00200??0??3? C. n-m D. m-n2.设矩阵

，则A-1等于（ ）

A.

?1??3?0??0??13000120?0??0??1??? B.

??1??0???0?0120??0?0??1??3?

C.

???????010?0??0?1??2? D.

????????12000130?0??0??1???3.设矩阵

?3?A=?1???2?1012???1??4?，A*是A的

伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ） A. –6 C. 2

有（ ） A. A =0

T

B. 6

D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必

B. B?C时A=0

C. A?0时B=C A. 1 C. 3

D. |A|?0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性B. 2

D. 46.设两个向量组α1，α2，?，αs和β1，β2，?，

无关，则秩（A）等于（ ）

βs均线性相关，则（ ）

A.有不全为0的数λ1，λ2，?，λs使λ1α1+λ2α2+?+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+?λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，?，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+?+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，?，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+?+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，?，λs和不全为0的数μ1，μ2，?，μs使λ1α1+λ2α2+?+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+?+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（ ）

A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0

12D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程

12组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A.η1+η2是Ax=0的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 C.A=0

B.

η1+

η2是Ax=b的一个解

D.2η1-η2是Ax=b的一个解

B.秩(A)=n-1

D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈

9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ） A.秩(A)

述中正确的是（ ）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ

3是

A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，

0是矩阵

λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（ ） A. k≤3 C. k=3

B. k<3

A的特征方程的3重根，A的属于λ

0

D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ）

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A.|A|2必为1 C.A-1=AT A.A与B相似

B.|A|必为1

D.A的行（列）向量组是正交单位向量组

T

13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CAC.则（ ） B. A与B不等价

C. A与B有相同的特征值

D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A.??2?33??4?02?3

0???3??5? B.??3?24??6?120

1??0??2?

?1?C.?0??0

?1?D.?1??1

第二部分 非选择题（共72分）

1152516?36×

15.

39 .16.设A=??1?1?111???1?，B=??13????1?24?2.则A+2B= . 17.设A=(aij)3

3

，|A|=2，Aij表示|A|中元素

2

2

aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则

2

(a11A21+a12A22+a13A23)+(a21A21+a22A22+a23A23)+(a31A21+a32A22+a33A23)= . 18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= . 19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 . 20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(

21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）= . 22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为 . 23.设矩阵

?0?A=?1???210?3106???3??8??2???=??1????2?，已知α是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 .

24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 .三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

?1?A=?3???12420??0??1?3110?5?13132?4?1?325.设，B=??23?1????240?.求（1）ABT；（2）|4A|.26.试计算行列式

?521.27.设矩

?4?阵A=?1???12123??0??3?，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.28.给定向量组α

??2????1?=1?0????3?，α

?1?????3?=2?2????4?，α

?3????0?=3?2?????1?，

α

?0?????1?=4?4????9?.试判断α

4

是否为α

1，α2，α3

的线性组合；若是，则求出组合系数。29.设矩阵

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?1???2?2??3?0???2??2?24?13?2?34?12032??4???3?0623A=

2???6?3??4?.求：（1）秩（A）；（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵

A=

的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.31.试用配方法化

下列二次型为标准形

2 f(x1,x2,x3)=x1?2x2?3x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3，并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本

22-1

大题共2小题，每小题5分，共10分）32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）=E+A+A2.

33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解； （2）η0，η1，η2线性无关。

2是其导出组

Ax=0的一个基础解系.试证明

答案：

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分） 1.D 6.D

2.B 7.C

3.B 8.A

4.D 9.A

5.C 10.B

11.A 12.B 13.D 14.C

二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分） 15. 616. ??3??123?327??7?17. 418. –1019. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数20. n-r21. –522.

22–223. 1 24.

z1?z2?z3?z4

三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分） 25.解（1）AB=|4A|=64

3?521110?5?13132?4?1?3?T

?1??3???12420??2??0??3??1???1?2??4??0?=

?8??18??36??10??10?124200??21.（2）|4A|=4|A|=64|A|，而|A|=-2

）

512?510?0?6?52?53

3?1.所以

解

·

5?110?5110?5?1313（

1?100511?51=-12826.

=

?11?5?10=

?6?5?30?10?40.27.解 AB=A+2B

即（A-2E）B=A

?1??1???1?4?56，而（

212A-2E

3??0??3?）

-1

=

?2??1???1?3??2???2?8?9122?123??0??1??6???6?.?9??1?1???1???1?4?56?3???3?.?4?所以

B=(A-2E)A=

-1

?3??4???3??1??4???1=28.解一

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??2??1?0??31?324302?10??0???1??1????04???9??0?5?3113301?1?2??1???1??0????02???12??00100318?145??1??2??0????08????14??0010031105??1??2??0????01???0??0010000102??1?,1??0?

所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.

??2x1?x2?3x3?0??x1?3x2??1??2x2?2x3?4?3x1?4x2?x3?9.?解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，即

方程组有唯一解（2，1，1），组合系

T

数为（2

?2039，1

?10260683，1）.29.解

?2300?12008

0 对矩阵

?2300A

?12000830施行初等行变换

A

?1??0????0??02??1???2??0????0?2????2??06?212??1???3??0????0?2???7??02???3??1??0?=B.（1）秩（B）=3，所

以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无

?25/5???1=??5/5???0???25/15???2=?45/15???5/3??关的特征向量为ξ1=（2，-1，0）， ξ2=（2，0，1）.经正交标准化，得η

TT

，η.

λ=-8的一个特征向量为ξ3=

?1????2?????2??1?D=?0??0，经单位化得η

3=

?1/3???2/3??.????2/3?所求正交矩阵为

T=

?25/5???5/5?0?215/1545/155/31/3??2/3???2/3?010.对角矩阵

0??0?.??8?（也可取

?25/5?T=?0??5/5215/15?5/3?45/151/3??2/3???2/3?.）

31.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32

?y1?x1?2x2?2x3??222

x2?x3=（x1+2x2-2x3）-2（x2-x3）-5x3.设?y2???y3?x3??1?C=?0??0?2100??1??1??x1?y1?2y2?y2?y3即?x2??x?y3?3， ，

因其系数矩阵

可逆，故此线性变换满秩。经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形

y12-2y22-5y32 .四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

2

3

32.证 由于（E-A）（E+A+A）=E-A=E，

所以E-A可逆，且

（E-A）-1= E+A+A2 .33.证 由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0. （1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b， 所以η1，η2是Ax=b的2个解。 （2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，

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即 （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.

则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0.

又由假设，ξ1，ξ

2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而

l0=0 .

所以η0，η1，η2线性无关。

一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1、设A，B为n阶方阵，满足等式AB?0，则必有（ ）

(A)A?0或B?0; (B)A?B?0； （C）A?0或B?0; (D)A?B?0。 2、A和B均为n阶矩阵，且(A?B)2?A2?2AB?B2，则必有（ ） (A) A?E； (B)B?E； （C） A?B. (D) AB?BA。 3、设A为m?n矩阵，齐次方程组Ax?0仅有零解的充要条件是（ ） (A) A的列向量线性无关； (B) A的列向量线性相关； （C） A的行向量线性无关； (D) A的行向量线性相关. 4、 n阶矩阵A为奇异矩阵的充要条件是（ ） (A) A的秩小于n； (B) A?0；

(C) A的特征值都等于零； (D) A的特征值都不等于零； 二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）

5、若4阶矩阵A的行列式A??5，A?是A的伴随矩阵，则A?= 。 6、A为n?n阶矩阵，且A2?A?2E?0，则(A?2E)?1? 。

?1?7、已知方程组?2?1?23a??x1??a?2??x2??2???x31??1???????3?无解，则a? 。 ??4????8、二次型f(x1,x2,x3)?2x12?3x22?tx32?2x1x2?2x1x3是正定的，则t的取值范围是 。

三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）9、计算行列式

1?xD?11111?x11111?y11111?yx1?3x2x2?3?x2??xnxn?xn?310、计算n阶行列式Dn?x1?x1

?

四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。写出证明过程）

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11、若向量组?1,?2,?3线性相关，向量组?2,?3,?4线性无关。证明：(1) ?1能有?2,?3线性表出；(2) ?4不能由?1,?2,?3线性表出。12、设A是n阶矩方阵，E是n阶单位矩阵，A?E可逆，且f(A)?(E?A)(E?A)?1。证明（1） (E?f(A))(E?A)?2E；（2） f(f(A))?A。 五、解答题（本题共3小题，每小题12分，满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤

?2?13、设A??0?0??x1?x2?x3??x1?2x2?ax3?x?4x?a2x23?10320??2，求一个正交矩阵P使得P?1AP为对角矩阵。14、已知方程组?3???0?0与方程组x1?2x2?x3　?a?1有公共解。求a的值。15、设四元非齐次?0?2????3?线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知?1，?2，?3是它的三个解向量，且?1???，

4???5????1????2? ?2??3???求该方程组的通解。解答和评分标准一、选择题1、C； 2、D； 3、A； 4、A。

3???4???二、填空题5、-125; 6、； 7、-1； 8、t?。

25?3xx1?x0101y101y1?y三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：D?101

x0?x0001y1000?y第二列减第一列，第四列减第三列得：D?101 （4分）

?x1y100按第三列展开得D??xy?y按第一行展开得D?x00?x10y?xy22。 （4分）

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?n?10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子??xi?3?，再通过行列式的变换化

?i?1?1?n?1为上三角形行列式Dn???xi?3??i?1??1?n?（4x?3?i??

?i?1?x2x2?3?x2??xnxn?xn?31?n?0 （4分）???xi?3??i?1??0x23?0??xn0?

??3?3n?1分）四、证明题11、证明：(1)、 因为?2，所以?2，?3,?3线性无关，?3线性无关。，又?1，?2，?3线性相关，故?1能由?2，?3线性表出。 (4分)

r(?1，?2，?3)?3，（2）、（反正法）若不，则?4能由?1，?2,?3线性表出，

?3线性表出，不妨设不妨设?4?k1?1?k2?2?k3?3。由（1）知，?1能由?2，?1?t1?2?t2?3。所以?4?k1(t1?2?t2?3)?k2?2?k3?3，

?3,?4线性相关，矛盾。 12、证明 （1）这表明?2，(E?f(A))(E?A)?[E?(E?A)(E?A)](E?A)?(E?A)?(E?A)(E?A)(E?A)?(E?A)?(E?A)?2Ef(f(A))?[E?f(A)][E?f(A)]?1?1?1 （4分）（2）

12(E?A)?1?1由（1）得：[E?f(A)]?1?(E?A)?12，代入上式得

12(E?A)f(f(A))?[E?(E?A)(E?A)]?12(E?A)?1212(E?A)?(E?A)(E?A)(E?A)?A （4分）

五、解答题13、解：（1）由?E?A?0得A的特征值为?1?1，?2?2，?3?5。 （4

?0??1?????分）（2）?1?1的特征向量为?1???1?，?2?2的特征向量为?2??0?，?3?5的特征向量为

?1??0??????0????3?1。 （3分）（3）因为特征值不相等，则?1,?2,?3正交。 ???1???共3页第15页

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?0??1??0?1?1?????（2分）（4）将?1,?2,?3单位化得p1?（5）?1，p2?0，p3?1 （2分）??????2?2????0?1?????1?????????????????????0121210001212取

P??p1,p2,p3?（6）

?1??1PAP?0??0?0200??0 ?5??（1分）14、解：该非齐次线性方程组Ax?b对应的齐次方程组为Ax?0因R(A)?3，则齐

次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解系。 （

5

分

）

另

一

方

面

，

记

向

量

??2?1?(?2??3)T，

?0则

A??A(2?1??2??3)?2A?1?A?2?A?3?2b?b?b?0直接计算得??(3,4,5,6)，?就

是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为

?3??2??????4??3?x?k???1?k?????，k?R。 （7分）15、解：将①与②联立得非齐次线性

54?????6??5??????0,?x1?x2?x3??0,?x1?2x2?ax3方程组:? 若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且2x?4x?ax?0,23?1?x?2x?x　　?a?1.23?1③的解即为所求全部公共解. 对③的增广矩阵A作初等行变换得

?1??1A??1??1?12421aa210??1??0??0??00?????0a?1??11001a?1(a?2)(a?1)1?a0??0?0??a?1??. （4分）1°当a?1时，有

r(A)?r(A)?2?3，方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解，此

时

?1??0A??0??0?010010000????1???0?0，则方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为: ??0??1?????0?,所以①与②

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??1???的全部公共解为k?0?，k为任意常数. （4分）2° 当a?2时，有r(A)?r(A)?3，

?1????1??0方程组③有唯一解, 此时A??0??0?010000100???0?1???1故方程组③的解为:???1??????1??0?, 即①与②有唯一

?0???公共解x??1?. （4分）全国2011

??1???年4月高等教育自学考试线性代数（经

管类）试题课程代码：04184

说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1．下列等式中，正确的是（ ） A．C．5

B．3D．

=

2．下列矩阵中，是

初等矩阵的为（ ）A． B．

C． D．3．设A、B均为n阶可逆矩阵，且C=，

则C-1是（ ）A．C．

B．D．B．1 D．35．设向量

4．设A为3阶矩阵，A的秩r (A)=3，则

矩阵A*的秩r (A*)=（ ）A．0 C．2

若有常数a,b使C．a=1, b=-2

，

B．a=-1, b=2 b=26

．

向

量

组

，则（ ）A．a=-1, b=-2

D

．

a=1,

的极大线性无关组为（ ）

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A．B．C． D．7．设矩阵A=，那么矩阵A的列向

量组的秩为（ ） A．3 C．1

有一个特征值等于（ ）

A．

B．2 D．08．设

是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵

B．

C．

的特征向量为（ ）A．（0，0，0）T C．（1，0，-1）

T

D．9．设矩阵A=B．（0，2，-1）T

，则A的对应于特征值

D．（0，1，1）10．二次型f(x1,x2,x3)?2x12?x1x2?x22的

T

矩阵为（ ）A． B．

C． D．二、填空题（本大题共10小题，每小

题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11．行列式

301?13410?2010212__________.12．行列式

105中第4行各元素的代数余子式之和为

__________.13．设矩阵A=

3

，B=（1，2，3），则BA=__________.14．设3阶方阵A的行列式|A|=

-1

-1

2

2

，

则|A|=__________.15．设A，B为n阶方阵，且AB=E，AB=BA=E，则A+B=__________.16．已知3维向量=（1，-3，3），

（1，0，-1）则+3=__________.17．设向量=（1，2，3，4），则的单

位化向量为__________.18．设n阶矩阵A的各行元素之和均为0，且A的秩为n-1，则齐次线性方程组Ax=0的通解为__________.19．设3阶矩阵A与B相似，若A的特征值为,,|B|=__________.20．设A=

-1

111234，则行列式

是正定矩阵，则a的取值范围为__________.三、计算题（本大题共6

小题，每小题9分，共54分）21．已知矩阵A=，B=

，求：（1）ATB；（2）|ATB|.

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22．设A=，B=，C=，且满足AXB=C，求矩阵X.23．求向量组=（1, 2, 1, 0）

T

，=（1, 1, 1, 2），

T

=（3, 4, 3, 4），

T

=（4, 5, 6, 4）的秩与一个极大线性无关组. 24．判断线性

T

?x1?x2?3x3?x4?1?方程组?2x1?x2?x3?4x4?2是否有解，有解时求出它的解.25．已知2阶矩阵A的特征值为

?x?4x?5x??134?1=1，=9，

对应的特征向量依次为=（-1，1），=（7，1），求矩阵A.26．已知矩阵A相似于对角矩阵Λ=

TT

，

求行列式|A-E|的值.四、证明题（本大题共6分）27．设A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵.证明：

（1）AB-BA为对称矩阵；（2）AB+BA为反对称矩阵.

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全国2010年7月高等教育自学考试 线性代数（经管类）试题 课程代码：04184

试卷说明：在本卷中，A表示矩阵A的转置矩阵（行列对换）；A表示A的伴随矩阵； A=

T

-1

*

A*A（重要）

求A-1 和A*时，可用这个公式，A*太复杂了自己看看

?1?r(A)表示矩阵A的秩；| A |表示A的行列式；E表示单位矩阵。E?0???00100??0 2E??1???200???020,?????002?每一项都乘2

一、单项选择题 [ ]表示矩阵，矩阵乘矩阵还是矩阵；| |表示行列式，计算后为一个数值，行列式相乘为数值运算

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设3阶方阵A=（α1，α2，α3），其中αi（i=1,2,3）为A的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=( C ) A.-12 C.6

3 0 ?2 0 2 10 5 0 0 0 ?2 0?2 3 ?2 3B.-6 αi（i=1,2,3）为A的列向量，3行1列 D.122.

=( A )=3*-2*10*3=-180

计

算

行

列

式

A.-180 C.120

B.-120

D.1803.若A为3阶方阵且| A-1 |=2，则| 2A |=( C )=2

3

|

A |=8*1/2=4

A.

12 B.2

D.84.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有( B )

C.4

n+1个n维向量线性相关 A.α1，α2，α3，α4线性无关 C.α1可由α2，α3，α4线性表示

B.α1，α2，α3，α4线性相关 D.α1不可由α2，α3，α4线性表示

5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(A)=( C ) A.2 C.4

B.3 n- r(A)=解向量的个数=2,n=6

D.56.设A、B为同阶方阵，且r(A)=r(B)，则( C ) A

与B合同? r(A)=r(B) ?PTAP=B, P可逆 A.A与B相似

B.| A |=| B |C.A与B等价

D.A与B合同7.设A为3阶方

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阵，其特征值分别为2,1,0则| A+2E |=( D )，| A |=所有特征值的积=0 A.0 |=4*3*2 C.3

A.A与B等价 C.| A |=| B |

D.248.若A、B相似，则下列说法错误的是( B ) ．．B.A与B合同

D.A与B有相同特征值A、B相似?A、B特征值相同?| B.2 A+2E的特征值为2+2,1+2,0+2,即4,3,2，| A+2E

A |=| B |? r(A)=r(B)；若A～B，B～C，则A～C（～代表等价） 9.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t)正交，则t=( D ) A.-2 C.2

( B )，所有特征值都大于0，正定；

A.A正定 B.A半正定 所有特征值都小于0，负定；

C.A负定 D.A半负定 所有特征值都大于等于0，半正定；同理半负定；其他情况不定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、

?3 ?2????2 1 ?1?不填均无分。11.设A=?0 1?,B=??，则AB=（0 ?1 0???2 4??? ??T?0, 即1*2-2*3+1*t=0，t=4

B.0

D.410.设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则

A的每一行与B的每一列对应相乘

5?1?2?3??0 ??2???a11?a?21?a?31a1aaa?13?a23下标依次为?a?33??3*2?2*00*2?1*0相加）=???2*2?4*0?3*1?2*?10*1?1*02*1?4*?13*?1??2*0??6??0*?1?1*0=0???2*?1?4*0???422232行列，如a21表示第二行第一列的元素。 A为三行两列的矩阵即3×2的矩阵，B为2×3的矩

阵，则AB为3×3的矩阵，对应相乘放在对应位置12.设A为3阶方阵，且| A |=3，则| 3A |=

1A-1

33| A-1 |=27*

x1?x2?x3?1=913.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_______________. 扩充为

再看0?x2?0?0，0?0?x3?0答案14.设α=（-1，2，2），则与α反方向的单位向量是_____跟高中单位向量相同____________. 15.设A为5阶方阵，且r(A)=3，则线性空间W={x | Ax=0}的维数是______________. 16.设A为3阶方阵，特征值分别为-2，

12，1，则| 5A |=____同12题__________.

-1

17.若A、B为5阶方阵，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，则r(AB)=_________________.

若矩阵A的行列式| A |?0，则A可逆，即A A-1=E，E为单位矩阵。Ax=0只有零解?| A |?0，故A

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? 2 ?1 0???可逆若A可逆，则r(AB)= r(B)=3，同理若C可逆，则r(ABC)= r(B)18.实对称矩阵A=??1 0 1 ?所对

? 0 1 1????x12?应的二次型f (x1, x2, x3)=2x12?x32?2x1x2?2x2x3 实对称矩阵A 对应于?x1x2?xx?13?1???数19.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解α1=?2?，α

?3????1???_______________.20.设α=?2?，则A=αα

?3???T

x1x2x22x2x3x1x3??x2x3?各项的系2x3????1???= 22??且r(A)=2，则Ax=b的通解是? 3???的非零特征值是_______________.三、计算题（本大题共6

2 0 0 0 1小题，每小题9分，共54分）21.计算5阶行列式D=

0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 1 0 0 0 222.设矩阵X满足方程

?x1?x2?3x3?x4?1?2 0 0??1 0 0??1 ?4 3?????????0 ?1 0?X?0 0 1?=?2 0 ?1?求X.23.求非齐次线性方程组?3x1?x2?3x3?4x4?4?0 0 2??0 1 0??1 ?2 0??x?5x?9x?8x?0234???????1的.

24.求向量组α1=（1,2，-1,4），α2=(9,100,10,4)，α3=（-2，-4,2，-8）的秩和一个极大无关组.

? 2 ?1 2???T

25.已知A=? 5 a 3?的一个特征向量ξ=（1,1，-1），求a，b及ξ所对应的特征值，并写出对应这

??1 b ?2?????2 1 1 ?2???个特征值的全部特征向量.26.设A=? 1 ?2 1 a?，试确定a使r(A)=2.四、证明题（本大题共1

? 1 1 ?2 2???小题，6分）27.若α1，α2，α3是Ax=b(b≠0)的线性无关解，证明α2-αl，α3-αl是对应齐次线性方程组Ax=0的线性无关解.

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全国2010年4月自学考试线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

一、单项选择题(本大题共20小题，每小题1分，共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。http://bbs.zikao5.com 自考资料,自考白皮书 1.已知2阶行列式a1a2=m ,b1b2b=n ,则

b1b2 )

1b2c1c2a1?c1a2?c=( 2A.m-n B.n-m C.m+n

D.-(m+n)

2.设A , B , C均为n阶方阵，AB=BA，AC=CA，则ABC=（ ） A.ACB B.CAB C.CBA

D.BCA

3.设A为3阶方阵，B为4阶方阵,且行列式|A|=1，|B|=-2，则行列式||B|A|之值为( ) A.-8 B.-2 C.2

D.8

?a11a12a13???4.已知A=???a113a12a13??100????100???a21a22a23?，B=??a213a22a23?，P=?030?，Q=?310?，则B=（ ??a??????）

31a32a33???a313a32a33???001????001??A.PA B.AP C.QA

D.AQ

5.已知A是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（ ） A.若矩阵A中所有3阶子式都为0，则秩（A）=2 B.若A中存在2阶子式不为0，则秩（A）=2 C.若秩（A）=2，则A中所有3阶子式都为0 D.若秩（A）=2，则A中所有2阶子式都不为0 6.下列命题中错误．．的是（ ） A.只含有一个零向量的向量组线性相关

B.由3个2维向量组成的向量组线性相关 C.由一个非零向量组成的向量组线性相关 D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关

7.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（ ） A.α1必能由α2,α3，β线性表出 B.α2必能由α1,α3，β线性表出 C.α3必能由α1,α2，β线性表出

D.β必能由α1,α2,α3线性表出 8.设A为m×n矩阵，m≠n,则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩

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大学生校园网—VvSchool.CN 线性代数 综合测试题

（ ）

A.小于m C.小于n

B.等于m D.等于n

9.设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（ ） A.AT C.A-1

B.A2 D.A*

2210.二次型f(x1,x2,x3)=x12?x2?x3?2x1x2的正惯性指数为（ ）

A.0 C.2

B.1 D.3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）http://bbs.zikao5.com 自考资料,自考白皮书

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.行列式

2007200920082010的值为_________________________.12.设矩阵A=

?1?13??????201?,B=

?20????01???,则

ATB=____________________________.13.设4维向量??(3,-1,0,2)T,β=(3,1,-1,4)T，若向量γ满足2??γ=3β，则γ=__________.14.设A为n阶可逆矩阵，且|A|=?1n,则|A|=___________________________.

-1

15.设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则|A|=__________________.16.齐次线性方程组??x1?x2?x3?0?2x1?x2?3x3?0的基础解系所含解向量的个数为

________________. 17.设n阶可逆矩阵A

?1?的一个特征值是-3，则矩阵?A2??3??1必有一个特征值为

???1?2?2???_____________.18.设矩阵A=??2x0?的特征值为4，1，-2，则数x=________________________.19.

??????200???1??0??a2????1b0?是正交矩阵，则a+b=_______________________________。20.二次型f(x1, x2, 已知A=??2????001?????x3)=-4x1x2+2x1x3+6x2x3的矩阵是_______________________________。三、计算题（本大题共6小题，

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abb32cc32每小题9分，共54分）21.计算行列式D=a2a?a的值。22.已知矩阵B=（2，1，3），

b?bT

c?c3C=（1，2，3），求（1）A=BC；（2）A

?1?(2,TTTT2

。23.设向量组

1,?,2?3(,11,)2,?,3?0(,-11),)1,?4,?-(31,,01,求向量组的秩及一个极大线性无关组，,1,1)??1??并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。24.已知矩阵A=?0???0?210???3???14???????2?，B=?25?.（1）求?????1?3?1??????A-1；（2）解矩阵方程AX=B。25.问a

?x?2x?3x?4123??2x2?ax3?2为何值时，线性方程组????2x1?2x2?3x3?6有惟一解？有无穷多

解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）。

??2?A=?0???0?02003a?0??a???3??26.设矩阵的三个特征值分别为1，2，5，求正的常数a的值及可逆矩阵P，使

??1?-1

PAP=?0???0??0??0?。四、证明题（本题??5??6分）http://bbs.zikao5.com 自考资料,自考白皮书

27.设A，B，A+B均为n阶正交矩阵，证明（A+B）-1=A-1+B-1。

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2010年4月自考线性代数（经管类）历年试卷参考答案

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一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符

合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式 A. m+n C. n-m

a11a21a12a22a13a23a11a21a11a21a12?a13a22?a23=m，

=n，则行列式

等于（ ）

B. -(m+n) D. m-n

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?1??3?0??0??0120?0??0??1???2.设矩阵

?1?A=?0??00200??0??3?，则A等于（ ） A.

-1

B.

??1??0???0?0120??0?0??1??3? C.

???????1300010?0??0?1??2? D.

????????12000130?0??0??1???3.设矩阵

?3?A=?1???2?1012???1??4?，A是A的伴随矩阵，则A

* *

中位于（1，2）的元素是（ ） A. –6 C. 2

B. 6 D. –2

B. B?C时A=0

4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ） A. A =0 C. A?0时B=C A. 1 C. 3

D. |A|?0时B=C B. 2 D. 4

5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ）

6.设两个向量组α1，α2，?，αs和β1，β2，?，βs均线性相关，则（ ）

A.有不全为0的数λ1，λ2，?，λs使λ1α1+λ2α2+?+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+?λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，?，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+?+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，?，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+?+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，?，λs和不全为0的数μ1，μ2，?，μs使λ1α1+λ2α2+?+λsαs=0

和μ1β1+μ2β2+?+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（ ） A.所有r-1阶子式都不为0

12B.所有r-1阶子式全为0 D.所有r阶子式都不为0

12 C.至少有一个r阶子式不等于0

8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A.η1+η2是Ax=0的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 A.秩(A)

B.

η1+

η2是Ax=b的一个解

D.2η1-η2是Ax=b的一个解 B.秩(A)=n-1

9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ）

C.A=0 D.方程组Ax=0只有零解 10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）

A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量 B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量

D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特

征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关 11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ A. k≤3

B. k<3

共3页第33页

0的线性无关的特征向量的个数为

k，则必有（ ）

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C. k=3

2

D. k>3 B.|A|必为1

D.A的行（列）向量组是正交单位向量组

?2?33??4?12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A.|A|必为1 C.A-1=AT

13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（ ）A.A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A.??3??24??6??1?C.?0??002?30???3??5??1?D.?1??11201??0??2? B.

第二部分 非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解

1152516?36答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。15.

?1?1?111???1??13????1?24?239 .16.设

A=?17.设

A=(aij)3

×

，B=?.则A+2B= .

aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则

2

3

，|A|=2，Aij表示|A|中元素

2

2

(a11A21+a12A22+a13A23)+(a21A21+a22A22+a23A23)+(a31A21+a32A22+a33A23)= . 18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= . 19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 . 20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(

21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）= . 22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为 . 23.设矩阵

?0?A=?1???210?3106???3??8??2???=??1????2?，已知α是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 .

24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 . 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

?1?A=?3???12420??0??1?3110?5?13132?4?1?325.设，B=??23?1????240?.求（1）ABT；（2）|4A|.26.试计算行列式

?521.27.设矩

阵

?4?A=?1???12123??0??3?，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.28.给定向量组α

??2????1?=1?0????3?，α

?1?????3?=2?2????4?，α

?3????0?=3?2?????1?，α

?0?????1?=4?4????9?.试判断α

4

是否为α1，α2，α

3

的线性组合；若是，则求出组合系数。29.设矩阵

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?1??2A=??2??3?0???2??2?24?13?2?34?12032??4???3?06232???6?3??4?.求：（1）秩（A）；（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵

A=

的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.

231.试用配方法化下列二次型为标准形 f(x1,x2,x3)=x1并写出所用的?2x2?3x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3，

22满秩线性变换。四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.

33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ

2均是

2是其导出组

Ax=0的一个基础解系.试证明

Ax=b的解；

（2）η0，η1，η2线性无关。答案：一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分） 1.D

2.B

3.B

3?32

7??7?24.D

5.C6.D

7.C 8.A

9.A 10.B11.A

?3??112.B 13.D 14.C二、填空题（本大题共10空，每

空2分，共20分）15. 616. ?17. 418. –1019. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常

22数20. n-r21. –522. –223. 124.

?1??3???1242z1?z2?z3?z4三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

124200??2125.解（1）AB=|4A|=64

3?521110?5?13132?4?1?3?T

0??2??0??3??1???1?2??4??0?=

?8??18??36??10??10?.（2）|4A|=4|A|=64|A|，而|A|=-2

）

512?510?0?6?52?53

3?1.所以

解

·

5?110?5110?5?1313（

1?100511?51=-12826.

=

?11?5?10=

?6?5?30?10?40.27.解 AB=A+2B

即（A-2E）

?4?56B=A，

212而

3??0??3?（

?3?=?2???2A-2E

?8?912）

?6???6?. ?9?-1

=

?2??1???12?123??0??1??1?1???1???1?4?56?3???3?.?4?所以

?1?B=(A-2E)-1A=?1???1?3??4???3??1??4???128.

??2??1?0??31?324302?10??0???1??1????04???9??0?5?3113301?1?2??1???1??0????02???12??00100解

318?145??1??2??0????08????14??0010031105??1??2??0????01???0??0010000102??1?,1??0?一

所

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??2x1?x2?3x3?0??x1?3x2??1??2x2?2x3?4?3x1?4x2?x3?9.?以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，即

方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.29.解 对矩阵A施行初等行变换

?1??0????0??0?2039?102606832??1???2??0????0?2????2??0?2300?1200086?21A

2??1???3??0????0?2???7??0?2300?120008302???3??1??0?=B.（1）秩（B）=3，所

以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。

（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30.解 A的属于特征值λ=1的2个

?25/5???1=??5/5???0??TT

线性无关的特征向量为ξ1=（2，-1，0）， ξ2=（2，0，1）.经正交标准化，得η

，

η

?25/15???2=?45/15???5/3??.λ=-8的一个特征向量为ξ

?1???3=?2?????2?，经单位化得η

?1/3???3=?2/3?.????2/3?所求正交矩阵为

T=

?25/5???5/5?0?215/1545/155/31/3??2/3???2/3?.对角矩阵

?1?D=?0??00100??0?.（也可取??8??25/5?T=?0??5/5215/15?5/3?45/151/3??2/3???2/3?.）

31.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.设

?y1?x1?2x2?2x3??x2?x3?y2???y3?x3??x1?y1?2y2?y2?y3即?x2??x?y3?3?1?C=?0??0?2100??1??1?， ，因其系数矩阵可逆，故此线性变

换满秩。经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形

y12-2y22-5y32 .四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

2

3

-1

2

32.证 由于（E-A）（E+A+A）=E-A=E，所以E-A可逆，且（E-A）= E+A+A.33.证 由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2个解。（2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，即 （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以l1ξ1+l2ξ2=0.又由假设，ξ1，ξ

2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而

l0=0 .所以

η0，η1，η2线性无关。一、填空题(每小题4分，共24分)若a1ia23a35a5ja44是五阶行列式中带正号的一项，则i?1,j?2。令i?1,j?2，?(12354)??(13524)?1?3?4，取正号。若将n阶

(?1)Dn行列式D的每一个元素添上负号得到新行列式D，则D= 。即行列式D的每一行都有一

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个(-1)的公因子，所以D=

(?1)Dn。3、设A???1?01??1100, 则=A??1??0100??。 1??12A???01??1??1??01??1???1??02??13,A???1??02??1??1??01??1???1??03?设A为5 阶方阵，A?5，?,?可得4、

1?nn?1则5A?且

T5n?1。 由矩阵的行列式运算法则可知：5A?5A?5

T。5、A为n阶方阵,AAT?E已，

知而

条

件 0x2A?0,则A?E?T

20 。由：：0??y?3??AA?E?AA?AA?A?E?1?A??1,?A??1A?E?A?AAT?AE?AT?2?6、设三阶方阵A?0?AA?E??A?E?A?E?0。??0?可逆，则x,y应满足条件3x?2y2A?00a11a21a31a12a22a32。 可逆，则行列式不等于零：

0x20y?2?(3x?2y)?03a13a23?M?0a33?3x?2y。二、单项选择题(每小题4分，共24分)7、设

，则行列式

?2a11?2a31?2a21?2a12?2a32?2a22?2a13 A 。A．8M?2a33??2a23 B．2M

C．?2M

?2a11?2a31?2a21 D．?8M

?2a133?2a12?2a32?2a22a11a21a12a32a22a13a23a11a31a12a22a32a13a23?8Ma33?2a33???2?a31?2a23a33???8?(?1)a218、设n阶行列式Dn，则Dn?0由于

的必要条件是 D 。A．Dn中有两行(或列)元素对应成比例 B．Dn中有一行(或列)元素全为零 C．Dn中各列元素之和为零 D．以Dn为系数行列式的齐次线性方程组有非零解9、对任意

?1?1?1同阶方阵A,B，下列说法正确的是 C 。A.(AB)?AB B.A?B?A?B C.

(AB)TTT?BA D.AB?BA 10、设A,B为同阶可逆矩阵，??0为数，则下列命题中不正确的是

B 。A.(A)则，就有(?A)C．an?1?1?1?A B.(?A)1?1?1??A C.(AB)?1?1?BA?1?1 D.(A)T?1?(A) 由运算法

1a?1T?1??A。11、设A为n阶方阵，且A?a?0，则A?? C 。A．a B．

n

D．a 因为A?AA??1?A?AA??1?AnA?1?A?An?1?An?1。12、矩

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?1阵?3???1?2?1a1020??2的秩为2，则a= D 。 A. 2 B. 3 C.4 D.5 通过初??2???1210??1210?等变换，由秩为2可得：?3?102???0?7?32?三、计算题(每小题7分，共42分)13、计算行列式：

??????1a2?2??0a?500?????41111411114111144141111411114====7777141111411114====71111141111411114=====71000130010301003=7?3=1893。 解：111。14、

各列加到第一列上第一列提到外面第一行乘-1加到各行上a10a2b300b2a30b100a4计算行列式：

00b4。解：先按第一行展开，再按第三行展开，有：

a100b40a2b300b2a30b100a4a2b2a3a4?b1b4a2b3b2a3?(a1a4?b1b4)(a2a3?b2b3)。15、问?取何值时，齐次线性

=a1b3?(1??)x1?2x2?4x3?0?方程组?2x1?(3??)x2?x3?0有非零解。解：齐次线性方程组有非零解，则系数行列式为零：

?x?x?(1??)x?023?11??0=21?2A???3?23??1411??r2?2r3r1?(1??)r30?34?(1??)?1+2?1??2=====01??11?????3??2????,??1?0,?2?2,?3?316、设矩阵

0???,B???1??1?22?1?1?，计算B?A(BA)。解：因为A?2,B??7，所以都可逆，有 2?51???11??52???????。17、解矩阵方程4??25??919?B?A(BA)22?1?1??322?12?B?AAB?B?AB?(B?A)B????1AX?B?X，求X，其中A=

?0???1??1?1100??1?,?1???1?B??2?5??1??0??3??。 解

共3页第38页

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AX?B?X?(A?E)X??B?X??(A?E)B?1,?(A?E)?1?0??1??0??23?2313?13???13??13???

?3??1X??(A?E)B?2??1??A1A???0?5?1??2??0。18、设A???0?1????0?2??1??1210000110??0?，利用分块矩阵计算A?1。 ?2??1???2??1??10??5?1?A??1?A2??2?A1???0?1?1????20013500?2??1?1,A??2?5??10??0?23??13???13????1323??13? 解：

A?1?1?0???2??1?A2??0??0??2四、证明题(每小题

?1335分，共10分)19、设n阶方阵A满足?A?E??0，证明矩阵A可逆，并写出A逆矩阵的表达式。 证明

A(?：

2因

A?3为

?A??EE)?3??33A?123A?A2A?0E?2(?A3A?3，A)?而E?从?EA?3?E?T。，则称矩阵A为反对称矩?203、若矩阵A?3?EA??A?阵，证明奇数阶反对称矩阵一定不是满秩矩阵。证明：设A为n阶反对称矩阵，n为奇数，则

A??AT?A??AT?(?1)nAT??A?A?0，所以A不可逆，即A不是满秩矩阵。第

A??2,A*二套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)1、 A为3阶方阵,且

是

?A的

?1伴

?1随

?矩

?1阵

?,则

?14A?1?1?A?1*= ?8A?1 -4 。 因为：

A?AA??2A4A?A?4A?2A?2A??4。2、A为5×3矩阵,秩(A)=3,B?

?1??0?0?0202??0?,则秩(AB)= 3 。 因为B可逆，AB相当于对A作列初等变换，不改变A的秩。3、3???1,?2,?1,?2,?3均为4维列向量，A?(?1,?1,?2,?3)，B?(?2,?1,?2,?3)，

A?1，B?4 ，则A?B= 40 。

A?B?(?1??2,2?1,2?2,2?3)?A?B?(?1??2,2?1,2?2,2?3)?1??t?????。4、???2?，???3?，且

?8?1??2,?1,?2,?3)?8??1,?1,?2,?3??2,?1,?2,?3??8(1?4)?40?1??2?????共3页第39页

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T???4，则t = -4 。 ????1T2?t???1?3?t?6?2?4???2????t??4。5、如果n元非齐

次线性方程组AX?B有解，R(A)?r，则当 n 时有唯一解；

当 < n 时有无穷多解。 非齐次线性方程组有解的定义。 6、设四元方程组AX?B的3个解?1??2?????13?0??1?????是?1,?2,?3。其中?1?，如R(A)?3，则方程组AX?B的通解是?1??1? 。 ,?2??3??1??4?k??????2??1????1???5????3?????????????1?因为R(A)?3，所以AX?0的基础解系含4-3=1个解向量；又?2??1,解，相加也是

AX?0?3??1 都是AX?0的

的解，从而可得AX?0的一个解为：

????2??1????3??1??2??1??0???????311???2??3??2?1????2?????， 于是AX??4??1??2????5???1????3????????B的通解为：

?0??1?????11X?k???1?k?????。二、单项选择题(每小题4分，共24分)7、对行列式做 D 种变换

?2??1???3????1??????不改变行列式的值。A.互换两行 B.非零数乘某一行 C.某行某列互换 D.非零n阶方阵A,B,C满足ABC?E，数乘某一行加到另外一行8、其中E为单位矩阵，则必有 D 。

A.ACB?E B.CBA?E C.BAC?E D.BCA?E 矩阵乘法不满足变换律，而?1??1?1D中ABC?E?AABCA?AEA?BCA?E。9、矩阵?3??1?2?1t?11020??2的秩为2，则t= ??2??D A. 3 B. 4 C.5 D.6通过初等变换，由秩为2可得：

2?1?3?1???1t?1?10????02????2???2?10?0t?27?61?0?3。210、若方阵An?n不可逆，则A的列向量中 C 。A. 必有一个?0??0向量为零向量 B. 必有二个向量对应分量成比例 C. 必有一个向量是其余向量的线性组合 D. 任一列向量是其余列向量的线性组合 方阵An?n不可逆，则A的列向量线性相关，，由定义可得。11、若r维向量组?1,?2??m线性相关，?为任一r维向量，则 A 。A. ?1,?2??m,?线性相关 B. ?1,?2??m,?线性无关 C. ?1,?2??m,?线性

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相关性不定 D. ?1,?2??m中一定有零向量由相关知识可知，个数少的向量组相关，则个数多的向量组一定相关12、若矩阵A4?5有一个3阶子式为0，则 C 。A.秩(A)≤2 B. 秩(A)≤3 C. 秩(A)≤4 D. 秩(A)≤5 由矩阵秩的性质可知：R?A4?5??min{4,5}，而有一个3阶子式为0，不排除4阶子式不为0。

a1b?1001c?1001d三、计算题(每小题7分，共42分)13、计算行列式

?100。 解：

a?1001b?1001c?1?001d?0?1001?abb?10ad1?cda1c?1001d?1?ab?10ac?101?d1?ab?10ac?1ad1?cd0?1?14、设A?0??0?0210???1，??1??1?ab?1?(1?ab)(1?cd)?ad?abcd?ab?cd?ad?1?1?C?3??2?2??1?0??，

?1B???22??3?，AYB?C，求矩阵Y。 解：

Y?ACB?1?1?1?????11??1???13????2???22????31??2?0???12?????1?1???5??10??。15、已知三阶方阵A??01???0??3??2110?1??1，且??1??|A|??1,A可逆，AB?A?E?2A?AB?E，计算矩阵B。解：

?1 B?A?A?1??0??0?110?1??1??1?0????1???0?110?2??0??1?0????1???02001??16、求0?0???3?矩阵2??7?2??101?35?3???1?3秩，并找出一个最高阶非零子式。 解：的??1?8??13?4?42??? 最高阶非0?7119?7R(A)?3，???0000?1????32?1?3?1??13?4?42??13?4?42???????2?131?3?2?131?3?0?7119?7????????705?1?8??705?1?8??0?213327?22???????共3页第41页

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零子式是?1,?,2??x?3x?14?2x1?x2?。17、写出方程组?x?3x?24的通解。 解?x1?2x25?x?x?2x?x?3?1234?10334???01?1?2?1????00?6?3?6????100321???010?320???001121???3??21?111??1121????121?12?01?1?2?1??????11213??0?1?5?1?5??????x1=-32x3?1???x2=32x3?x=-12x?13?3

??32??1?????320?????(c?R)?X?c??12??1???1?????????0?18、已知R3中的向量组?1,?2,?3 线性无关，向量

组

b1??1?k?2,b2??2??3，

b3??3?k?1线性相关，求k值。解：

?1b1??2b??b????1?1?k233???1?k?3????2?12??2???3???3?k?3??????k1????2?2????2??3?03，由?1,?2,?3 线性无关，得

1??1?k?3?0????1k??2?0?????03?2?1???k??0?011k???1??0?2???1????3???0，因为b1,b2,b3相关，所以?1,?2,?3有非零解，故系数行列???式=0，得k??1。四、证明题(每小题5分，共10分)19、设A,B为n阶方阵，若AB?0，则秩(A)?秩(B)?n。证明：因为线性方程组Ax?0，当秩A?r时，基础解系为n?r个，由

AB?A(b1,b2,?,bn)?(Ab1,Ab2,?,Abn)?0则有Abj?0(j?1,2,?,n)，即B的列均为Ax?0的解，这些

列的极大线性无关组的向量个数≤n?r,即秩(B)?n?r，从而秩(A)?秩(B)?n。20、如果?1,?2,?3,?4线性相关，但其中任意3个向量都线性无关，证明必存在一组全不为零的k1,k2,k3,k4，使得

k1?1?k2?2?k??k??0。 证明：因为?1,?2,?3,?4线性相关，所以存在一组“ 不全为零”的数3344k1,k2,k3,k4，使得k1?1?k2?2?k3?3?k4?4?0， 如果k1?0，则k2?2?k3?3?k4?4?0，且由于

k2,k3,k4不全为零，所以?2,?3,?4线性无关，与题设矛盾，所以k1?0；同理，可证明k2?0,k3?0,k4?0。第三套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)已知

125836，Aij表示它的元素aij的代数余子式，则与aA21?bA22?cA23对应的三阶行列9三阶行列式D?47共3页第42页

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式为

1a72b83c9。 由行列式按行按列展开定理可得。2、A,B均为n阶方阵，A?B?3，则

12AB?11=()n。由于： 1AB?1?(1)nAB?1?(1)nAB?12222?3?1n?()。3、A? ?12?0??10400??0，则?3??0??0?1???1?1?(A?2E)=?12??0?01200??0。由于?1????3????1??0??0400??1??0?20????03??0100????0???1????1??1??0?0200??0?1???1?1???12??0?0120。4、

向量组?1?(1,2?,2?3)?,123?1?2121?10421?140??(31?,线,性21 ) ,无 ( 2关,0。, 5因)为：

2?1?0。5、设6阶方阵A的秩为5，?,?是非齐次线性方程组?40?050?4??0?10Ax?b的两个不相等的解，则Ax?b 的通解为X?k???????。由于R(A)?5，所以Ax?0的

?1??2???基础解系只含一个向量：???，故有上通解。6、已知x??1?为A??5??1??1?????1ab2??3的特征向量，??2??则

?2?Ax??x?5???1??1aba??3;b?0。

2??1??1???1????????1??????????31??1?2?a????a??3。 ????????????????????2???1???1??1?b??????b?0 二

?a11?A?a21??a?31、a12a22a32单项选择题(a22a12每小a23题4分100，共24分010)7、

a13??a21??a23,B?a11???a?aa33?11??31a32?a12??0??a13,P1?1????0a33?a13??0??1??0，P2??0??11???0??0?，则 1??D 。A．AP1P2?B B．AP2P1?B C．P2P1A?B D．P1P2A?B 对A作行变换，先作P2，将第一行加到第三行上，再作P1，交换一二行。8、n元齐次线性方程组AX?0有非零解的充分必要条件是 B 。A．R(A)?n B．R(A)?n C．R(A)?n D．R(A)?n齐次线性方程组AX?0有非零解的定理。9、已知m?n矩阵A的秩为n?1，?1,?2是齐次线性方程组AX?0的两个不同的解，k为任意常数，则方程组AX?0的通解为 D 。A．k?1 B．k?2

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C．k(?1??2) D．k(?1??2)基础解系只含一个解向量，但必须不等于零，只有D可保证不等于零。10、矩阵A与B相似,则下列说法不正确的是 B 。A.秩(A)=秩(B) B. A=B C.

A?B D. A与B有相同的特征值 相似不是相等。11、若n阶方阵A的两个不同的特征值?1,?2所

对应的特征向量分别是x1和x2，则 B 。A. x1和x2线性相关 B. x1和x2线性无关 C. x1和

x2正交 D. x1和x2的内积等于零 特征值，特征向量的定理保证。12、n阶方阵A具有n个

线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的 C 条件。A.充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要矩阵A与对角矩阵相似的充分必要定理保证。三、计算题(每小题7?20?2分，共42分)13、设A与B均为3阶方阵，且A?02E为3阶单位矩阵，AB?E?A?B，??10?1???0 ；

?1??求B。

解：因为AB+E=A2+B ?(A?E)B?(A?E)(A?E)

?2?1?A?E??0?1?02?10?1??1??0???0?11?1???010?1??0?0??，A?E?1 , A?E可逆所以

?3?B?A?E??0?1?030121?x1?x2?2x3??k?1???2k。14、满足什么条件时，方程组有唯一解，无解，有?x1?2x2?kx3?k0??2x?x?k2x?0232??1??1?无穷多解？ 解：?1?2?2kk2?k??2k?~0???1??0?0?1122k?2?4?1k?k??2k?k?~2k???1??0?0?1102k?2(k?2)(k?3)??2k?k?

?k(k?3)??k当k?2且k??3时，方程组有惟一解。当k?2时方程组无解。当k(k?3)?0时方程组

?1?r(A)?r(B),当k?0时?1?2?1212000??1??0?~?0?0???01102221210??0? 0??2?393??1??9?~?0?0???011?12?553??1??6?~?0??6???01102?503??6?这时方0???1?这时方程组只有零解。当k??3时，?1?2?TTTT程组有无穷多解。15、向量组?1?(1,3,2,0),?2?(7,0,14,3),?3?(2,?1,0,1),?4?(5,1,6,2),

?5?(2,?1,4,1)，（1）计算该向量组的秩，（2）写出一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关

T组线性表示。解：R(?1,?2,?3,?4,?5)?3， ?1,?2,?3为一个极大无关组，?4?23?1?13?2??3，

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?0?111??5???1??2?0?316、设矩阵A??033??0??3|A?3E|?1001?30000y?31010000??00? 的一个特征值为3，求y。解：y1??12??0??10??8 (2?y）?0 ，? y?2.17、计算矩阵?4?1?1??1?1??13??0002??1300??0的特征值与?2??特征向量。 解：|A??E|??41?(2??)?(?1??)(3??)?4??(2??)(1??)2，所以

得：特征值?1??2?1 ，解方程组?A?E?X?0，只得一个对应特征向量为： ?3?2，??1,?2,1?；解方程组

T?A?2E?X22?0，可得特征向量为

2?0,0,1?。18、当

正

定

二

次

Tt为何值时，

f(x1,x2,x3)?x1?4x2?4x3?2tx1x2?2x1x3?4x2x3为型？ 解：

?1?f?t???1?t42?1??2?4???1?0;1tt4?4?t2?0;1t?14?t2t42?11t4?t2?12?t??12?3t3t)?(1?)22?04?0??(2?t)2?2(2?t)(1?t)?0解不等式：

0?2?t(t2?。四(每小题10分)19、设向量?0t、证明题??2?5分，共1b能由?1,?2,?3这三个向量线性表示且表达式唯一, 证明：向量组?1,?2,?3线性无关。证明：（反

证法）如果a1,a2,a3线性相关，则有一组不全为0的系数?1,?2,?3使?1a1??2a2??3a3= （1），由已知设b??1?1??2?2??3?3，结合（1）式得

b?0?b?(?1??1)a1?(?2??2)a2?(?3??3)a3

（2）

由于?1,?2,?3不完全为零，则?1??1，?2??2，?3??3必与?1,?2,?3不同，这样b已有两种表示，与表示法惟一相矛盾，证毕。20、设?1,?2,?3是n阶方阵A的3个特征向量，它们的特征值不相等，记???1??2??3，证明?不是A的特征向量。 证明：假设A?????A??A?1??2?????A1??A2??A3??1?1??3?2?2??3，?3?

又：

???1???2??A3????11?????????1??1???????2??2???????3??3?0， 从而：

由于特征值各不相等，所以?1,?2,?3线性无关，所以的

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???1????2????3?0????1??2??3，矛盾。2007

年《线性代数》（经管类）

最新模拟试题及答案

一、单项选择题

1．如果将n阶行列式中所有元素都变号，该行列式的值的变化情况为（ ）A．不变 B．变号C．若n为奇数，行列式变号；若n为偶数，行列式不变D．若n为奇数，行列式不变；若n为偶数，行列式变号2．设A，B，C，D均为n阶矩阵，E为n阶单位方阵，下列命题正确的是（ ）A．若A2?0，则A?0B．若A2?A，则A?0或A?EC．若AB?AC，且A?0，则B?CD．若AB?BA，则(A?B)2?A2?2AB?B23．设A为m?n矩阵，若齐次线性方程组AX?0只有零解，则对任意m维非零列向量b，非齐次线性方程组AX?b（ ）A．必有唯一解 B．必无解C．必有无穷多解 D．可能有解，也可能无解4．设?1,?2,?3,?均为n维向量，又?1,?2,?线性相关，?2,?3,?线性无关，则下列正确的是（ ）

A．?1,?2,?3线性相关B．?1,?2,?3线性无关C．?1可由?2,?3,?线性表示D．?可由?1,?2线性

表示5．设?0是可逆矩阵A的一个特征值，则（ ）A．?0可以是任意一个数 B．?0?0C．?0?0

0b0a0D．?0?0二、填空题6．

a0b0ba0123?______________7．三阶行列式D?20ba022，则

451A11?A12?|A13?__________8．设A，B均为n阶矩阵，(AB)?E，则(BA)=__________9．设A

22为n阶方阵，且A?2，A*为A的伴随矩阵，则A*?A?1=_________10．单个向量?线性相关的充要条件是__________11．设向量组?1,?2,?,?m的秩为r，则向量组?1,?1??2,?,?1??2????m?1023???的秩为_________12．设矩阵A??t1?12?的秩为2，则t=___________13．设AX?0为一个4元齐

?0138????110???次线性方程组，若?1,?2,?3为它的一个基础解系，则秩（A）=_________14．设A??101?，则A的

?011???T特征值为_________15．设3元实二次型f(x1,x2,x3)?XAX经正交变换化成的标准形为f?3y1，

2共3页第46页

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a100b1则矩阵A的特征值为_________三、计算题16．计算4阶行列式D?00a2b20b3b317．设A????10??，

0???12?b400a4又f(x)?x2?3x?2，求f(A)18．设向量组?1?(1,?1,0)，?3?(1,5,1)，?2?(2,4,1)，?4?(0,0,1)，求该向量组的秩，并判断其线性相关性。19．设?,?,r是三个同维向量，若?,?线性无关，?,r线性无关，?,r也线性无关，问?,?,r是否一定线性无关？如果不一定，请举例说明。20．试判定二次型

?11?1????2x1x3?4x2x3的正定性。21．设A??011?，求矩阵B，使

?00?1???f(x1,x2,x3)?x1?2x2?x3222TT2A?AB?E22．当A为2阶方阵，且满足A?i?i?i,(i?1,2)其中?1?(3,2),?2?(4,3)，求矩

?x1?x2?x3?1?阵A23．当a为何值时，方程组?2x1?3x2?x3?4有无穷多解？此时，求方程组的通解。四、证明题

??x?ax3?11?24．设A，B均为正交矩阵，且A??B，试证A?B?025．设n阶非零矩阵A适合A2?0，试证明A不可能相似于对角阵

《线性代数》（经管类）模拟试题答案

一、单项选择题1、C2、D3、D4、C5、C二、填空题6、?(a?b)7、08、E9、r。12、－213、114、2，1，-115、3，0，0

a2b2000a400b1a2?a3)b2?b3(b1b4?a?()a1a4?bb1bb4)(a2a3?b2b3)122223n210、??011、

16、解

三、计算题

D?a1b3a30?b4a2b20?a1a(4b3a307、解 f(A)?A?3A?2E2

?12??12??12??10??????????3?2??10???10???10??01??

??????????1????1?2??36??2?????30??????2?????00???2?4??????2?2?0???18、解：令

?1210??1210??1210???????A???1450???0660???0111?所以向量组的秩为3，是线性相关的。19、解：

?0111??0111??000?1????????,?,r不一定线性无关。例如：设??(1,0,0),??(0,1,0),r?(1,1,0)则?与?，?与r，?与r均线

共3页第47页

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?101???性无关。而?,?,r却线性相关。20、解：f的矩阵为A??022?则A的三个主子式为?1?1?0，

?121???101?2?0?3?0?2?100222??4?0所以f是非正定二次型21、解：由AB?A2?E，又A为

121?11?1100??1001?1?2??????12?1(A,E)?011010?010011可逆矩阵则B?A(A?E)?A?A而????则

?00?1001??00100?1??????1?1?2??11?1??1?1?2??021???????????011?故B??011???011???000?22、解 由A?i?i?i，可知i?1,2?00?1??00?1??00?1??000?????????A?1?34??3?4??1就是二阶方阵A的两个特征值，故A可以相似对角化。令p?(?1,?2)???23??，P???23?则

?????1AP???00??34??10??3?4???712??1??B则A?PBP??????????23、解：方程组的增广矩2?2302?23?610????????有P?12?1??1111??10????A?2314?01?12阵????当a?2?0，即a??2时，秩(A)?秩(A)?2?3方程组有

??10a1??00a?20??????x1?无穷多解此时，方程组的全部解为?x2?x?3???1???????2????0????T??2???k?1?（k为任意常数）四、证明题24、证：由已知?1???T可知

T

T AA?BTT?ET BB?EAA?B?AA?AB?E?AB?BB?AB

TTTTT?B?A?B?AB?A?BB再由A??B，又正交阵的行列式为?1不妨设A?1，则

2B??1则 A?B??A?B，故A?B?025、证 由于A适合A?0，故A的n个特征值全为0，

?1假如A能相似于对角阵，则这个对角阵为零矩阵，即 P所以A不能相似对角化。

AP?0，从而A?0，与A为非零阵矛盾，

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