不等式、分解因式、分式综合复习+最新模拟练习

第三十五讲 不等式、分解因式、分式综合复习

【典例分析】

例1、已知 ABC中，AB 3AC，设

例2、设a,b,c是 ABC的三边，试判断代数式a2 c2 (b2 2ac)的正负性

例3、已知x 3是不等式mx 2 1 4m 2x的一个解，则整数m可取的值是？

AC

m，证明：0.25 m 0.5 BC

x a 0

例4、已知关于x的不等式组 的整数解共有3个，则a的取值范围？

1 x 0

例5、已知不等式组

x 2 m n2008

的解集为 1 x 2，则(m n)的值

x 1 m 1

例6、三个非负数a，b，c满足：3a 2b c 5，2a b 3c 1，若m 3a b 7c，求m的最大值和最小值。

例7、已知代数式a bx，当 3 x 1时，1 a bx 9，求2b a的值。

例8、计算：（2

例9、a,b,c是 ABC的三边，且满足a b c ab bc ac，试判断 ABC的形状

例10

、求函数y

2

2

2

中自变量x的取值范围

例11、若不等式(2a b)x 3a 4b＜0的解集是x＞

9

，则不等式4

(a 4b)x 2a 3b＞0的解集是 。

分析：原不等式可化为(2a b)x＜4b 3a。因为x＞

2a b＜0

4b 3a 9 2a b4

9

，所以 4

①②

由②得 a

8

b，代入①得 b＜0， 7

8

所以(a 4b) 4 b＞0。

7

由(a 4b)x＞3b 2a 得x＞把a

3b 2a

。 a 4b

813b 2ab代入x＞得 x＞ 。 74a 4b

点评：本题先由不等式解集的不等号方向判断2a b＜0，从数值上判断

定a与b的关系及b的符号。

例11、 解方程：

4b 3a9

，从而确

2a b4

（1）

（2）

1111

2 x 10(x 1)(x 2)(x 2)(x 3)(x 9)(x 10)

x 1x 6x 2x 5

x 2x 7x 3x 6

分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现

(x 6)与(x 7)、(x 2)与(x 3)的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式

结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。 解：原方程变形为： 方程两边通分，得

x 6x 5x 2x 1

x 7x 6x 3x 2

11

(x 6)(x 7)(x 2)(x 3)

所以(x 6)(x 7) (x 2)(x 3)即8x 36 x

经检验：原方程的根是x

9。 2

92

12x 1032x 3424x 2316x 19

（3）

4x 38x 98x 74x 5

分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。

1221

4 3 4

4x 38x 98x 74x 5

2222

即

8x 98x 68x 108x 7

解：由原方程得：3

11

，

(8x 9)(8x 6)(8x 10)(8x 7)

所以(8x 9)(8x 6) (8x 10)(8x 7)

解得：x 1

于是

经检验：x 1是原方程的根。

6y 12y2 4y2

（4） 0

y 4y 4y2 4y 4y2 4

例12、轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度

分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。

解：设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时

42 80

7 x yx y

由题意，得

4070 7 x yx y

例13、 m为何值时，关于x的方程

2

2mx3

会产生增根？

x 2x 4x 2

解：方程两边都乘以x 4，得2x 4 mx 3x 6 整理，得(m 1)x 10

10m 1

如果方程产生增根，那么x2 4 0，即x 2或x 2当m 1时，x

（1）若x 2，则

10

2 m 4

m 110

（2）若x 2，则 2 m 6

m 1

（3）综上所述，当m 4或6时，原方程产生增根

说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根

期末数学模拟试卷

一、选择题：本题有12小题，每题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

第3题 第5题 第7题 第10题 4．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）

，则AB的长为（ ）

8．若解分式方程

=

产生増根．则m等于（ ）

11．关于x的不等式组

的整数解共有6个，则a的取值范围是（ ）

x轴．直线y=﹣x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2，那么ABCD面积为（ ）

13．分解因式：ax2﹣16ay2= ．

14．如图，已知函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是 ．

15．已知4x2+mxy+y2是完全平方式，则m的值是 ．

16．如图， ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为 ．

三、解答题

17．（1）解不等式：

+1＞x﹣3； （2）解方程：

=3﹣

．

18

．

19．△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．

（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1，并直接写出A1、B1、C1各点的坐标； （2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．

20．已知：如图，点D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，且DE=DF．求证：△ABC是等腰三角形．

21．由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元． （1）今年甲型号手机每台售价为多少元？

（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？

22．如图，在 ABCD中，AE、AF是高，∠BAE=30°，BE=2，CF=1，DE交AF于点G． （1）求 ABCD的面积；

（2）求证：△AEG是等边三角形．

23．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=8cm，AB=6cm，BC=10cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度在线段BC间往返运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．

（1）当t= s时，四边形PCDQ的面积为36cm2；

（2）若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值；

（3）当0＜t＜5时，若DQ≠DP，当t为何值时，△DPQ是等腰三角形？

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