matlab在科学计算中的应用5

第五章 多项式、插值与数据拟合 多项式MATLAB命令 插值– – – – – Lagrange插值 Hermite插值 Runge现象和分段插值 分段插值 样条插值的MATLAB表示

数据拟合–多项式拟合 –函数线性组合的曲线拟合方法 –最小二乘曲线拟合

5.1 关于多项式MATLAB命令 一个多项式的幂级数形式可表示为：

y c1x c2 xn

n 1

cn x cn 1

也可表为嵌套形式

y ( ((c1x c2 ) x c3 ) x cn ) x cn 1 或因子形式

y c1 ( x r1 )( x r2 ) ( x rn )N阶多项式n个根，其中包含重根和复根。若多 项式所有系数均为实数，则全部复根都将以共轭对 的形式出现

幂系数：在MATLAB里，多项式用行向量表示，其 元素为多项式的系数，并从左至右按降幂排列。例：

y 2x x 4x 53 2

被表示为 >> p=[2 1 4 5] >> poly2sym(p) ans = 2*x^3+x^2+4*x+5

Roots: 多项式的零点可用命令roots求的。例： >> r=roots(p) 得到 r= 0.2500 + 1.5612i 0.2500 - 1.5612i -1.0000 所有零点由一个列向量给出。

Poly: 由零点可得原始多项式的各系数，但可能相差 一个常数倍。 例： >> poly(r)ans = 1.0000 0.5000 2.0000 2.5000 注意：若存在重根，这种转换可能会降低精度。

例： y ( x 1)6 x6 6x5 15x4 20x3 15x2 6x 1>> r=roots([1 -6 15 -20 15 -6 1]) r= 1.0042 + 0.0025i 1.0042 - 0.0025i 1.0000 + 0.0049i 1.0000 - 0.0049i 0.9958 + 0.0024i 0.9958 - 0.0024i 舍入误差的影响，与计算精度有关。

polyval: 可用命令polyval计算多项式的值。 例： 计算y(2.5) y 3x4 7 x3 2x2 x 1 >> c=[3,-7,2,1,1]; xi=2.5; yi=polyval(c,xi) yi = 23.8125 如果xi是含有多个横坐标值的数组，则yi也 为与xi长度相同的向量。 >> c=[3,-7,2,1,1]; xi=[2.5,3]; >> yi=polyval(c,xi) yi = 23.8125 76.0000

polyfit:给定n+1个点将可以唯一确定一个n阶多项式。利 用命令polyfit可容易确定多项式的系数。 例： >> x=[1.1,2.3,3.9,5.1]; >> y=[3.887,4.276,4.651,2.117]; >> a=polyfit(x,y,length(x)-1) a= -0.2015 1.4385 -2.7477 5.4370 >> poly2sym(a) ans = -403/2000*x^3+2877/2000*x^2-27477/10000*x+5437/1000

多项式为 Polyfit的第三个参数是多项式的阶数。

y 0.2015x3 1.4385x2 2.7477x 5.4370

多项式积分：

y c1xn c2 xn 1 cn x cn 1cn 2 c1 n 1 c2 n Y ydx x x x cn 1 x cn 2 n 1 n 2

功能：求多项式积分 调用格式：py=poly_itg(p) p:被积多项式的系数 py:求积后多项式的系数 poly_itg.m function py=poly_itg(p) n=length(p); py=[p.*[n:-1:1].^(-1),0] 不包括最后一项积分常数

多项式微分：

y c1x c2 xn

n 1

cn x cn 1n 2

y nc1x'

n 1

(n 1)c2 x

cn

Polyder: 求多项式一阶导数的

系数。 调用格式为: b=polyder(c ) c为多项式y的系数，b是微分后的系数， 其值为：[nc1 , (n 1)c2 , , cn ]

两个多项式的和与差：

ya a1x a2 xm n

m 1 n 1

am x am 1 bn x bn 1

yb b1x b2 x

命令poly_add:求两个多项式的和,其调用格式为: c= poly_add(a,b) 多项式a减去b,可表示为: c= poly_add(a,-b)

功能：两个多项式相加 调用格式：b=poly_add(p1,p2) b:求和后的系数数组

poly_add.m function p3=poly_add(p1,p2) n1=length(p1); n2=length(p2); if n1==n2 p3=p1+p2;end if n1>n2 p3=p1+[zeros(1,n1-n2),p2];end if n1<n2 p3=[zeros(1,n2-n1),p1]+p2;end

m阶多项式与n阶多项式的乘积是d=m+n阶的多项式:

ya a1x a2 xm

m 1

am x am 1d 1

yb b1xn b2 xn 1 bn x bn 1

yc ya yb c1x c2 xd

cd x cd 1

计算 yc 系数的MATLAB命令是:c=conv(a,b) 多项式 yb 除多项式 ya 的除法满足:

ya yq yb yr其中 yq 是商, yr 是除法的余数。多项式 yq 和 yr 可由命令deconv算出。 例：[q, r]=deconv(a,b)

例 >> a=[2,-5,6,-1,9]; b=[3,-90,-18]; >> c=conv(a,b) c= 6 -195 432 -453 9 -792 -162 >> [q,r]=deconv(c,b) q= 2 -5 6 -1 9 r= 0 0 0 0 0 0 0 >> poly2sym(c) ans = 6*x^6-195*x^5+432*x^4-453*x^3+9*x^2-792*x-162

5.2 插值5.2.1 Lagrange插值 方法介绍 对给定的n个插值点 x1, x2 , , xn 及对应的函 数值 y1, y2 , , yn ,利用构造的n-1次Lagrange插 值多项式，则对插值区间内任意x的函数值y 可通过下式求的：y ( x) yk ( k 1 j 1 j k n n

x xj xk x j

)

MATLAB实现

function y=lagrange(x0,y0,x) n n x xj ) ii=1:length(x0); y=zeros(size(x)); y ( x) yk ( k 1 j 1 xk x j for i=ii j k ij=find(ii~=i); y1=1; for j=1:length(ij), y1=y1.*(x-x0(ij(j))); end y=y+y1*y0(i)/prod(x0(i)-x0(ij)); end 算例：给出f(x)=ln(x)的数值表，用Lagrange计算 ln(0.54)的近似值。 >> x=[0.4:0.1:0.8]; >> y=[-0.916291,-0.693147,-0.510826,-0.356675,-0.223144]; >> lagrange(x,y,[0.54,0.55,0.78]) ans = -0.6161 -0.5978 -0.2484 ( 精确解-0.616143)

5.2.2 Hermite插值 方法介绍 不少实际问题不但要求在节点上函数值相等，而且 要求导数值也相等，甚至要求高阶导数值也相等，满足 这一要求的插值多项式就是Hermite插值多项式。下面 只讨论函数值与一阶导数值个数相等且已知的情况。 已知n个插值点 x1 , x2 , , xn 及对应的函数值 y1 , y2 , , yn 和一阶导数值 y1' , y2' , , y'n 。则对插值区间 内任意x的函数值y的Hermite插值公式：y ( x) hi [( xi x)(2ai yi yi' ) yi ]i 1 n

其中

hi (j 1 j i

n

x xj xi x j

) ;

2

1 ai j 1 xi x jj i

n

MATLAB实现 n % hermite.m y( x) hi [( xi x)(2ai yi yi' ) yi ] function y=hermite(x0

,y0,y1,x) i 1 n=length(x0); m=length(x); n n x xj 2 1 for k=1:m yy=0.0; 其中 hi ( ) ; ai j 1 xi x j j 1 xi x j for i=1:n h=1.0; a=0.0; j i j i for j=1:n if j~=i h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2; a=1/(x0(i)-x0(j))+a; end end yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i)); end y(k)=yy; end

算例:对给定数据,试构造Hermite多项式求出 sin0.34的近似值。 >> x0=[0.3,0.32,0.35]; >> y0=[0.29552,0.31457,0.34290]; >> y1=[0.95534,0.94924,0.93937]; >> format long; y=hermite(x0,y0,y1,0.34) y= 0.33348889007407 >> sin(0.34) %与精确值比较 ans = 0.33348709214081

>> x=[0.3:0.005:0.35];y=hermite(x0,y0,y1,x); >> plot(x,y) >> y2=sin(x); hold on >> plot(x,y2,'--r')

5.2.3 Runge现象 问题的提出：根据区间[a,b]上给出的节点做 插值多项式p(x)的近似值，一般总认为p(x)的 次数越高则逼近f(x)的精度就越好，但事实并 非如此。 1 f ( x) 反例： 1 x2 在区间[-5,5]上的各阶导数存在，但在此 区间上取n个节点所构成的Lagrange插值多项 式在全区间内并非都收敛。 取n=10,用Lagrange插值法进行插值计算。

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