《概率论与数理统计》第三版__课后习题答案._

K2MG-EHSWI++04-001 环境、健康安全、企业社会责任目标指标

习题一：

1.1 写出下列随机试验的样本空间：

(1)某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;

解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故；

(2)掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;

解：；

(3)观察某医院一天内前来就诊的人数;

解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以；

(4)从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品;

解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：

(5)检查两件产品是否合格;

解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则；

(6)观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2);

解：用表示最低气温, 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：；

(7)在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;

解：；

(8)在长为的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.

解：；

1.2

(1)A 与B 都发生, 但C 不发生; ；

(2)A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;；

(3)A,B,C 中至少有一个发生; ；

(4)A,B,C 中恰有一个发生;；

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(5)A,B,C 中至少有两个发生; ；

(6) A,B,C 中至多有一个发生;；

(7) A;B;C 中至多有两个发生;

(8) A,B,C 中恰有两个发生. ；

注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

1.3 设样本空间, 事件=,

具体写出下列各事件：

(1); (2) ; (3) ; (4)

（1）；

(2) =；

(3) =;

(4) =

1.6 按从小到大次序排列, 并说明理由.

解：由于故，而由加法公式，有：

1.7

解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：

(2)由于事件可以分解为互斥事件，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件概率为：

(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：.

1.8

解：(1) 由于，故显然当时P(AB) 取到最大值。最大值是0.6.

(2) 由于。显然当时P(AB) 取到最小值，最小值是0.4.

1.9

解：因为P(AB) = 0，故P(ABC) = 0.至少有一个发生的概率为：

1.10

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解

（1）通过作图，可以知道，

（2）

1.11

解：用表示事件“杯中球的最大个数为个”=1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有种，每种放法等可能。

对事件：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4×3×2种，故

(选排列：好比3个球在4个位置做排列)。

对事件：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)，故。

1.12

解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。.出现点数和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。故前后两次出现的点数之和为3的概率为。

同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5 的概率各是。

(1)1.13

解：从10个数中任取三个数，共有种取法，亦即基本事件总数为120。

(1)若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5，再从大于5的四个数里取两个，取法有种，故所求概率为。

(2) 若要三个数中最大的一个是5，先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法有种，故所求概率为。

1.14

解：分别用表示事件：

(1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.则。

1.15

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解：

由于，故

1.16

(1)（2）

解：（1）

（2）

注意：因为，所以。

1.17

解：用表示事件“第次取到的是正品”（），则表示事件“第次取到的是次品”（）。

(1)事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为：

。

(2) 事件“第三次才取到次品”的概率为：

（3）事件“第三次取到次品”的概率为：

此题要注意区分事件（1）、(2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用表示事件“第次取到的是正品”（），

则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为：；而事件“第二次才取到次品”的概率为：。区别是显然的。

1.18。

解：用表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数”。用表示事件“从第二箱中取到的是次品”。则，，，

根据全概率公式，有：

1.19

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解：设表示事件“所用小麦种子为等种子”，

表示事件“种子所结的穗有50 颗以上麦粒”。

则，，，根据全概率公式，有：

1.20

解：用表示色盲，表示男性，则表示女性，由已知条件，显然有：因此：

根据贝叶斯公式，所求概率为：

1.21

解：用表示对试验呈阳性反应，表示癌症患者，则表示非癌症患者，显然有：

因此根据贝叶斯公式，所求概率为：

1.22

(1) 求该批产品的合格率;

(2) 从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 问此件产品由甲、

乙、丙三厂生产的概率各是多少?

解：设，

，则

（1）根据全概率公式，，该批产品的合格率为0.94.

（2）根据贝叶斯公式，

同理可以求得，因此，从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：。

1.23

解：记={目标被击中}，则

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1.24

解：记={四次独立试验，事件A 至少发生一次}，={四次独立试验，事件A 一次也不发生}。而，因此。所以

三次独立试验中, 事件A 发生一次的概率为：。

二、第一章定义、定理、公式、公理小结及补充：

第二章随机变量

2.1

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36

2.2解：根据，得，即。

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K2MG-EHSWI++04-001 环境、健康安全、企业社会责任目标指标故

2.3解：用X表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7)

用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4)

(1)两人投中的次数相同

P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=

(2)甲比乙投中的次数多

P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=

2.4解:（1）P{1≤X≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=

(2)P{0.5

2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}==

（2）P{X≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=

2.6解：设表示第i次取出的是次品，X的所有可能取值为0，1，2

=

2.6解：(1)设X表示4次独立试验中A发生的次数，则X~B(4,0.4)

(2)设Y表示5次独立试验中A发生的次数，则Y~B(5,0.4)

2.7 （1）X～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)

=

（2）X～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)

2.8解：设应配备m名设备维修人员。又设发生故障的设备数为X，则。

依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99，即，也即

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K2MG-EHSWI++04-001 环境、健康安全、企业社会责任目标指标

因为n=180较大，p=0.01较小，所以X近似服从参数为的泊松分布。

查泊松分布表，得，当m+1=7时上式成立，得m=6。

故应至少配备6名设备维修人员。

2.9解：一个元件使用1500小时失效的概率为

设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y，则。所求的概率为

2.10（1）假设该地区每天的用电量仅有80万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：

（2）假设该地区每天的用电量仅有90万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：

2.11解:要使方程有实根则使

解得K的取值范围为,又随机变量K~U(-2,4)则有实根的概率为

2.12解：X~P(λ)= P()

(1)

（2）

（3）

2.13解：设每人每次打电话的时间为X，X~E(0.5)，则一个人打电话超过10分钟的概率为

又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y，则。

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K2MG-EHSWI++04-001 环境、健康安全、企业社会责任目标指标因为n=282较大，p较小，所以Y近似服从参数为的泊松分布。

所求的概率为

2.14解：(1)

(2)

2.15解：设车门的最低高度应为a厘米，X~N(170,62)

厘米

2.19解：X的可能取值为1,2,3。

因为；；

所以X的分布律为

X的分布函数为

2.20(1)

Y 0 4

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0.2 0.7 0.1

(2)

Y -1 1

0.7 0.3

2.21（1）

当时，

当时，

当时，

X -1 1 2

P 0.3 0.5 0.2

（2）

Y 1 2

0.8 0.2

2.22

（1）设F Y(y)，分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则

对求关于y的导数，得

（2）设F Y(y)，分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则

当时，

- 10 -

K2MG-EHSWI++04-001 环境、健康安全、企业社会责任目标指标当时，有

对求关于y的导数，得

（3）设F Y(y)，分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则

当时，

当时，

对求关于y的导数，得

2.23∵∴

（1）

对求关于y的导数，得到

（2）

，

,

对求关于y的导数，得到

（3）

，

对求关于y的导数，得到

- 11 -

K2MG-EHSWI++04-001 环境、健康安全、企业社会责任目标指标

第三章随机向量

3.1 P{1

3.2

3.4（1）a=

（2）

（3）

3.5解：（1）

（2）

3.6解：

3.7参见课本后面P227的答案

3.8

- 12 -

K2MG-EHSWI++04-001 环境、健康安全、企业社会责任目标指标

3.9解：X的边缘概率密度函数为：

①当时，，

②当时，

Y的边缘概率密度函数为：

①当时，，

②当时，

3.10 （1）参见课本后面P227的答案

（2）

3.11参见课本后面P228的答案

3.12参见课本后面P228的答案

3.13（1）

对于时，，

所以

对于时，

所以

3.14

- 13 -

K2MG-EHSWI++04-001 环境、健康安全、企业社会责任目标指标

由表格可知P{X=1;Y=2}=0.25≠P{X=1}P{Y=2}=0.3225

故

所以X与Y不独立

3.15

由独立的条件则

可以列出方程

解得

3.16 解（1）在3.8中

当，时，

当或时，当或时，

所以，X与Y之间相互独立。

- 14 -

K2MG-EHSWI++04-001 环境、健康安全、企业社会责任目标指标（2）在3.9中，

当，时，

，所以X与Y之间不相互独立。

3.17解：

故X 与Y相互独立

3.18参见课本后面P228的答案

第四章数字特征

4.1 解：

∵甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零件次品数，又∵两台机床的总的产量相同∴乙机床生产的零件的质量较好。

4.2 解：X的所有可能取值为：3，4，5

4.3参见课本230页参考答案

4.4解：

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K2MG-EHSWI++04-001 环境、健康安全、企业社会责任目标指标4.6参考课本230页参考答案

4.7解：设途中遇到红灯次数为X，则

4.8解

500+1000

1500

4.9参见课本后面230页参考答案

4.10参见课本后面231页参考答案

4.11 解:设均值为,方差为,则X~N(,)根据题意有:

,解得t=2即=12

所以成绩在60到84的概率为

4.12

4.13解：

- 16 -

K2MG-EHSWI++04-001 环境、健康安全、企业社会责任目标指标

4.14解：

设球的直径为X,则：

4.15参看课本后面231页答案

4.16 解:

4.17解

∵X与Y相互独立，

∴

4.18，4.19，4.20参看课本后面231，232页答案

4.21设X表示10颗骰子出现的点数之和，表示第颗骰子出现的点数，则，且是

独立同分布的，又

所以

4.22参看课本后面232页答案

4.23

- 17 -

K2MG-EHSWI++04-001 环境、健康安全、企业社会责任目标指标4.24

4.25

4.26因为X~N(0,4),Y~U(0,4)所以有Var(X)=4 Var(Y)=

故：Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=4+=

Var(2X-3Y)=4Var(X)+9Var(Y)=

4.27参看课本后面232页答案

4.28

后面4题不作详解

第五章极限理

5.3

解：用表示每包大米的重量，，则,

- 18 -

K2MG-EHSWI++04-001 环境、健康安全、企业社会责任目标指标5.4解：因为服从区间[0,10]上的均匀分布，

5.5解：方法1：用表示每个部件的情况，则，,

方法2：用X表示100个部件中正常工作的部件数，则

5.6略

第六章样本与统计

6.1

6.3.1证明:

由=+b可得，对等式两边求和再除以n有

由于

- 19 -

K2MG-EHSWI++04-001 环境、健康安全、企业社会责任目标指标

所以由可得

==

6.3.2因为

所以有

6.2 证明：

6.3（1）

（2）由于

所以有

两边同时除以（n-1）可得即

6.4 同例6.3.3可知

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K2MG-EHSWI++04-001 环境、健康安全、企业社会责任目标指标

得查表可知=1.96 又根据题意可知n=43

6.5解（1）记这25个电阻的电阻值分别为,它们来自均值为=200欧姆，标准差为=10欧姆的正态分布的样本

则根据题意有：

(2)根据题意有

6.6 解：（1）记一个月（30天）中每天的停机时间分别为，它们是来自均值为=4小时，标准差为=0.8小时

的总体的样本。根据题意有：

（注：当时，的值趋近于1，相反当时，其值趋近于0）

（2）根据题意有：

6.7证明：因为T，则，随机变量的密度函数为

显然，则为偶函数，则

6.8 解：记，，则XN(,),n=25故

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ettl.html