初三数学培优试卷4答案

2012-2013第一学期初三培优试卷4答案

初三培优试卷答案4

2.如图,正方形ABCD的面积为12,△ABC是等边三角形,点E在正方形ABCD内,对角线AC上有一点P使PE+PD的和最小,这个最小值为( )

A.

C.3 D.

答案：A

4、设S1=1

11

2

12

2

,S2=1

12

2

13

2

,S3=1

13

2

14

2

, , Sn=1

1n

2

1(n 1)

2

;设

S

... 则S=_________ (用含n的代数式表示，其中n为正整数)．

、

5．甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：① 甲、乙、丙、丁首次报出的

数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6……按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，当报到的数是2011时，报数结束；② 若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．在此过程中，乙同学需要拍手的次数为_______．

168 6．（本题8分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB＝6cm，CD＝10cm，

AD＝5cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2cm/s的速度向点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动. (1)经过几秒钟，点P、Q之间的距离为5cm？

(2)连结PD，是否存在某一时刻，使得PD恰好平分∠APQ？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 解：（本题8分）

（1）过点Q作QE⊥AB于点E 过点A作AF⊥CD于点F ∵AB=CF=6，CD=10 ∴DF=4

n 2nn 1

2

APB

QC

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在Rt△ADF中，AF AD

2

DF

2

3 ∴ QE=AF=3

∵AP=2t, CQ=t, ∴PE=6-3t

在Rt△PEQ中, ∵PE2 EQ2 PQ2 ∴(6-3t)2 32 52 ∴t ∵0≤t≤3, ∴t ∴经过

23

23

或t

103

2分

103

舍去

秒钟，点P、Q之间的距离为5cm 3分

（2）假设存在某一时刻，使得PD恰好平分∠APQ ，则 ∠APD=∠DPQ ∵AB∥CD, ∴∠APD=∠PDQ ∴∠PDQ=∠DPQ ∴DQ=PQ 4分 ∵PQ2 32 (6 3t)2 DQ

2

(10 t)

2

∴32 (6 3t)2 (10 t)2 6分

34

34

解得t1=1 t2=1 7分

∵0≤t≤3 ∴两解均舍去 ∴不存在某一时刻，使得PD恰好平分∠APQ 8分

7：课堂上老师提出这样一个问题：你能用手中的矩形纸片尽可能大的折出一个菱形吗？有两位

同学很快折出了各自不同的菱形，如下甲、乙两图：

甲图

乙图

⑴如果该矩形纸片的长为8，宽为6，则甲、

（直接写出答案）

⑵这时老师说，这两位同学折出的菱形周长都不是最大的，聪明的你能够想出最大的菱形应该

怎样折出来吗？如丙图所示：在矩形ABCD中，设AB=6，AD=8，请你在图中画出周长最大

的菱形的示意图，标注上适当的字母，并求出这个菱形的周长． ⑶借题发挥：如图，在正方形ABCD中，AB=6，若折叠该正方形， 使得点D落在AB边上的点E处，折痕FG交AD于点F，交BC 于点G，边DC折叠后EH与BC交于点M，设AE=a，试探究 △EBM的周长与a的取值无关． 解．（本题满分10分）

B

M

H

G

C

EA

F

D

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⑴20和24 （2分）

⑵如图：（以BD或 AC为对角线，E、F在AD，BC上，且EF垂直平分BD或AC） 注意：只要画出图形，不必写画法，E、F略有位置误差视情况给分 （4分）

25

解得： ED=DEBF的周长为25 （6分）

4

⑶解：证得 AEF∽ BME （7分） BME的周长为12，与a的取值无关． （10分）

8、(本题满分8

分)阅读下面的材料，并解答问题： 问题1：已知正数，有下列命题

若a b 2,

1;

若a b 3,

若a b

6,32

;

3;

根据以上三个命题所提供的规律猜想：若a b 9, ， 以上规律可表示为：a b

问题2：建造一个容积为8立方米，深2米的长方形无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元。

（1） 设池长为x米，水池总造价为y(元)，求y和x的函数关系式； （2） 利用“问题1”题中得出的规律和结论，求水池的最低造价。 . 解：

92

；≥。（每空1分，共2分）

82x

120 (2 2x 2 2

4x

82x) 80

（1）根据题意，得y 2 x

＝480＋320（x

4x

）……………………(5分)

4x

（2）有“问题1”的结论可得：x 即 y≥480+320×4= 1760.

≥2x

=4，……………(6分)

∴水池的最低造价为1760元。……………………(8分)

9. 如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于D，且BD=8cm.点M从点A出发，沿

AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，直线PQ由点B出发沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于P，交BC于Q，交BD于F，连接PM，设运动时间为t(s)，（0＜t＜5）.解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形；

(2)设四边形PQCM的面积为y（cm2），用含t的代数式表示y；

1625

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(3)是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM= S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；

(4)连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由.

27. 解：（1）假设四边形PQCM是平行四边形，则PM∥QC. ∴AP=AM.

∴10﹣t=2t，解得t=∴当t=

103

103

.

时，四边形PQCM是平行四边形. -----------(3分)

（2）过P作PE⊥AC，交AC于E. ∵PQ∥AC，

∴△PBQ∽△ABC，

∴△PBQ是等腰三角形，PQ=PB=t. ∴

BFBD

BPBA

,即

BF8

t10

，解得BF=

45

t.

∴FD=BD﹣BF=8﹣

45

t.

又∵MC=AC﹣AM=10﹣2t， ∴y=

12

(PQ MC) FD 25

2

1

4 22

(t 10 2t) 8 t t 8t 40. 25 5

答;y t 8t 40. -----------(6分)

12

AC BD

1285

（3）S△ABC=当y=

1625

12

2

10 8 40.

S△ABC=时，

25

t 8t 40

45128

52

，.

解得t1 2,t2 8（舍去）. 答：当t=2时，S四边形PQCM=

1625

S△ABC. -----------(8分)

（4）假设存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上，则MP=MC.

过M作MH⊥AB，交AB于H，由△AHM∽△ADB. ∴∴

HMBDHM8

AHADAH6

AMAB2t10

,又

6

，

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∴HM

85

t,AH

65

65

t，

115

2

即HP 10 t t 10 t.

在Rt△HMP中，

11 372 8 2

MP t 10 t t 44t 100,

5 5 5

2

又∵MC2 10 2t 100 40t 4t2, 由MP2 MC2, ∴

375

t 44t 100 100 40t 4t,

20172017

,t2 0（舍去）. -----------(12分)

2

2

2

解得：t1 答：当t

s时，点M在线段PC的垂直平分线上.

10、本题10分

8cm

B DC

B

5cm 5cm

注：4种中任意取3种，每一种均为3分

解：由勾股定理得：AB=AC

2

BC

2

10则

12

8 12=48 cm2； ( 3分)

如图（1）AD=AB=10 cm时，BD=6 cm，S ABD=如图（2）BD=AB=10 cm时，S ABD=

1273

8 10=40cm2 (3分)

如图（3）线段AB的垂直平分线交BC延长线于点D，则AB=10，设DC=x，则AD=BD=6+x, 在Rt△ACD中x 8 (6 x),x （3分）

如(3分)

答：可以设计出面积分别为48 cm2、40cm2和11．（本题满分12分）

（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，

2

2

2

,BD

73

6

253

，S ABD=

12

12

253

8=

1003

；

图（4）DC=CE=5cm,AC=8cm，S

ADE

= 8 10=40cm

2

1003

cm2的等腰三角形 (1分)

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∴ HQD C=90°，HD=HA， ∴ HDQ A，

∴△DHQ∽△ABC．-----------------------------------------------------2分

C

（图2）

（图1）

（2）∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝10

∵△DHQ∽△ABC．∴

HQ

BCAC

①如图1，当0 x 2.5时，

DQ

∴ HQ=

34

x，

ED=10 4x，

此时y

12

(10 4x)

34x

32x

2

154

x．-------------------------4分

②如图2，当2.5 x 5时，

ED=4x 10，，

此时y

12

(4x 10)

34x

32x

2

154

x． --------------------------6分

3215

2x 4x(0 x 2.5),

∴y与x之间的函数解析式为y ------7分

3215 x x(2.5 x 5).

4 2

（3）①如图1，当0 x 2.5时，

若DE=DH，∵△DHQ∽△ABC．∴

∴DE=DH =

54

DHAB

AQAC

x， ∵DE=10 4x，

∴10 4x=

54

x，x

4021

．

显然ED=EH，HD=HE不可能；-----------------------------------9分 ②如图2，当2.5 x 5时， 若DE=DH，4x 10=

54x，x

4011

； -----------------10分

若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x 5；------------------11分

若ED=EH，则△EDH∽△HDA，

5

EDDH

DHAD

∴

，

4x 1054x

320

． ------------------------12分

4，x 1032x

x

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∴当x的值为

4040320

时，△HDE是等腰三角形 ,,5,

2111103

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/etlm.html