2010年中考数学真题分类汇编(150套)专题五十五 动态综合型问题

一、选择题

1．（2010重庆市潼南县）如图，四边形ABCD 是边长为1 的正方形，四边形EFGH 是边长为2的正方形，点D 与点F 重合，点B ，D （F ），H 在同一条直线上，将正方形ABCD 沿F →H 方向平移至点B 与点H 重合时停止，设点D 、F 之间的距离为x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与 x 之间函数关系的图象是（ ）

【答案】B

2．（2010江苏宿迁）如图，在矩形ABCD 中， AB =4，BC =6，当直角三角板MPN 的直角顶点P 在BC 边上移动时，直角边MP 始终经过点A ，设直角三角板的另一直角边PN 与CD 相交于点Q ．BP =x ，CQ =y ，那么y 与x 之间的函数图象大致是

【答案】D 3．（2010 福建德化）已知：如图，点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上的一个动点(A 、

A

D

C

B

M

Q

D

C

B

P

N

A

(第8题)

G

H E (F)

A

B

C

D 题图

10

C 除外)，作AB PE ⊥于点E ，作BC PF ⊥于点F ，设正方形ABC

D 的边长为x ，矩形PEBF 的周长为y ，在下列图象中，大致表示y 与x 之间的函数关系的是（ ）.

【答案】A

4．（2010 四川南充）如图，直线l 1∥l 2，⊙O 与l 1和l 2分别相切于点A 和点B ．点M 和点N 分别是l 1和l 2上的动点，MN 沿l 1和l 2平移．⊙O 的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误．．的是（ ）．

（A

）MN = （B ）若MN 与⊙O

相切，则AM =（C ）若∠MON ＝90°，则MN 与⊙O 相切

（D ）l 1和l 2的距离为2

【答案】B

5．（2010 山东济南）如图，在ABC △中，2AB AC ==，20BAC ∠= ．动点P Q ，分

别在直线BC 上运动，且始终保持100PAQ ∠= ．设BP x =，CQ y =，则y 与

x 之间的函数关系用图象大致可以表示为 （ ）

2

（第10题）

A

D

B C F

【答案】A

6．（2010湖北鄂州）如图所示，四边形OABC 为正方形，边长为6，点A 、C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上， 点Ｄ在OA 上，且Ｄ点的坐标为（2，0），P 是OB 上的一个动点，试求PD +P A 和的最小值是（ ）

A ．102

B ．10

C ．4

D ．

6

【答案】A

7．（2010湖北宜昌）如图,在圆心角为90°的扇形MNK 中，动点P 从点M 出发，沿MN →⌒NK

→KM 运动，最后回到点M 的位置。设点P 运动的路程为x ，P 与M 两点之间的距离为y ，其图象可能是（ ）。

【答案】B

二、填空题

1．（2010 浙江义乌）（1）将抛物线y 1＝2x 2向右平移2个单位，得到抛物线y 2的图象，则y 2= ▲ ；

（2）如图，P 是抛物线y 2对称轴上的一个动点，直线x ＝t 平行于y 轴，分别与直线y ＝x 、抛物线y 2交于点A 、B ．若△ABP 是以点A 或点B 为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t 的值，则t ＝ ▲ ．

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

【答案】（1）2(x －2)2 或2288x x -+ （2）3、1

2．（2010浙江金华）如图在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F ，O 分别是AB ，CD ，AD 的

中点， 以O 为圆心，以OE 为半径画弧EF .P 是上的一个动点，连 结OP ，并延长OP 交线段BC 于点K ，过点P 作⊙O

的切线，分别交射线AB 于点M ，交直线BC 于点G . 若

3=BM BG ，则BK ﹦ ▲ .

【答案】31

, 3

5 3．（2010江西）如图所示，半圆AB 平移到半圆CD 的位置时所扫过的面积为 ．

（14题）

【答案】6

A O D

B F K E

(第16题G

M

C

x

4．（2010 四川成都）如图，在ABC ?中，90B ∠= ，12mm AB =，24mm BC =，

动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm /s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm /s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么

经过_____________秒，四边形APQC 的面积最小．

【答案】3

5．（2010 四川成都）如图，ABC ?内接于⊙O ，90,B AB BC ∠== ，D 是⊙O 上与点B 关于圆心O 成中心对称的点，P 是BC 边上一点，连结AD DC AP 、、．已知8AB =，2CP =，Q 是线段AP 上一动点，连结BQ 并延长交四边形ABCD 的一边于点R ，且满足AP BR =，则

BQ QR

的值为_______________．

【答案】1和1213

6．（2010广西柳州）如图8，AB 是⊙O 的直径，弦BC =2cm ，F 是弦BC 的

中点，∠ABC =60°．若动点E 以2cm/s 的速度从A 点

出发沿着A →B →A 方向运动，设运动时间为t (s )(0≤t ＜3)，

连结EF ，当t 值为________s 时，△BEF 是直角三角形．

【答案】1或1.75或2.25

三、解答题

1．(2010江苏苏州) (本题满分9分)刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三

角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm ；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4 cm ．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF 的直角边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上(移动开始时点D 与点A 重合)．

(1)在△DEF 沿AC 方向移动的过程中，刘卫同学发现：F 、C 两点间的距离逐渐 ▲ ． (填“不变”、“变大”或“变小”)

(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：

问题①：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，F 、C 的连线与AB 平行? 问题②：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，以线段AD 、FC 、BC 的长

度为三边长的三角形是直角三角形?

问题③：在△DEF 的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°?如果存在， 求出AD 的长度；如果不存在，请说明理由．

请你分别完成上述三个问题的解答过程．

【答案】

F

E O A C

B

2．（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为

（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y

＝－

1

2

x ＋b 交折线OAB 于点E ． （1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式； （2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA 1B 1C 1，

试探究OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.

【答案】（1）由题意得B （3，1）．

若直线经过点A （3，0）时，则b ＝3

2 若直线经过点B （3，1）时，则b ＝5

2

若直线经过点C （0，1）时，则b ＝1

①若直线与折线OAB 的交点在OA 上时，即1＜b ≤

3

2

，如图25-a ，

此时E （2b ，0）

∴S ＝

12OE ·CO ＝1

2

32b 31＝b ②若直线与折线OAB 的交点在BA 上时，即

32＜b ＜5

2

，如图2

此时E （3，32

b -），D （2b －2，1） ∴S ＝S 矩－(S △OCD ＋S △OAE ＋S △DBE )

＝ 3－[12(2b －1)×1＋12×(5－2b )2(52b -)＋1233(32

b -)]＝252b b - ∴2

312535222

b b S b b b ?<≤??=??-<

矩形OABC 的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积。

由题意知，DM ∥NE ，DN ∥ME ，∴四边形DNEM 为平行四边形

根据轴对称知，∠MED ＝∠NED

又∠MDE ＝∠NED ，∴∠MED ＝∠MDE ，∴MD ＝ME ，∴平行四边形DNEM 为菱形． 过点D 作DH ⊥OA ，垂足为H ，

由题易知，tan ∠DEN ＝12

，DH ＝1，∴HE ＝2， 设菱形DNEM 的边长为a ， 则在Rt △DHM 中，由勾股定理知：222(2)1a a =-+，∴54a =

∴S 四边形DNEM ＝NE 2DH ＝54

∴矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为

54． 3．（2010甘肃兰州）（本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、

AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD=2，AB=3；抛物线

c bx x y ++-=2经过坐标原点O 和x 轴上另一点E （4,0）

（1）当x 取何值时，该抛物线的最大值是多少？

（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平

行移动，同时一动点P 也以相同的速度从点A 出发向B 匀速移动.设它们运动的时间为t 秒（0≤t ≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）.

① 当411=t 时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由；

② 以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N 点的坐标；若无可能，请说明理由．

图1 图2

【答案】解：（1）因抛物线

c bx x y ++-=2经过坐标原点O （0,0）和点E （4,0） 故可得c=0,b=4

所以抛物线的解析式为

x x y 42+-=…………………………………………1分 由x x y 42+-=()2

24y x =--+ 得当x =2时，该抛物线的最大值是4. …………………………………………2分

（2）① 点P 不在直线ME 上.

已知M 点的坐标为(2,4)，E 点的坐标为(4,0)，

设直线ME 的关系式为y=kx +b .

于是得???=+=+4204b k b k ，解得???=-=82b k

所以直线ME 的关系式为y=-2x +8. …………………………………………3分 由已知条件易得，当411=

t 时，OA=AP=411，)411,411(P …………………4分 ∵ P 点的坐标不满足直线ME 的关系式y=-2x +8.

∴ 当411=

t 时，点P 不在直线ME 上. ……………………………………5分 ②以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积可能为5

∵ 点A 在x 轴的非负半轴上，且N 在抛物线上，

∴ OA=AP=t .

∴ 点P ，N 的坐标分别为(t ,t )、(t ,-t 2+4t ) …………………………………6分

∴ AN=-t 2+4t (0≤t ≤3) ,

∴ AN -AP=(-t 2+4 t )- t=-t 2+3 t=t (3-t )≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t

…………………………………………………………………………………7分 （ⅰ）当PN=0，即t=0或t =3时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是三角形，此三角形

的高为AD ，∴ S=21DC 2AD=21

3332=3.

（ⅱ）当PN ≠0时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是四边形

∵ PN ∥CD ，AD ⊥CD ，

∴ S=21(CD+PN )2AD=21

[3+(-t 2+3 t )]32=-t 2+3 t +3…………………8分

当-t 2+3 t +3=5时，解得t=1、2…………………………………………………9分 而1、2都在0≤t ≤3范围内，故以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为5

综上所述，当t=1、2时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形面积为5，

当t=1时，此时N 点的坐标（1,3）………………………………………10分

当t=2时，此时N 点的坐标（2,4）………………………………………11分

说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以,不扣分）

4．（2010山东济宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ?的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ?的最大面积.

【答案】

（1）解：设抛物线为2(4)1y a x =--.

∵抛物线经过点A （0，3），∴23(04)1a =--.∴14a =

. ∴抛物线为2211(4)12344

y x x x =--=-+. ……………………………3分 (2) 答：l 与⊙C 相交. …………………………………………………………………4分 证明：当21(4)104

x --=时，12x =，26x =. ∴B 为（2，0），C 为（6，0）.

∴AB ==设⊙C 与BD 相切于点E ，连接CE ，则90BEC AOB ∠=?=∠.

x

(第23题)

∵90ABD ∠=?，∴90CBE ABO ∠=?-∠.

又∵90BAO ABO ∠=?-∠，∴BAO CBE ∠=∠.∴AOB ?∽BEC ?. ∴CE BC OB AB =.

∴2CE =.

∴2CE =>.…………………………6分 ∵抛物线的对称轴l 为4x =，∴C 点到l 的距离为2.

∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相交. ……………………………………………7分

(3) 解：如图，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q .

可求出AC 的解析式为132

y x =-

+.…………………………………………8分 设P 点的坐标为（m ，21234m m -+），则Q 点的坐标为（m ，132

m -+）. ∴2211133(23)2442

PQ m m m m m =-+--+=-+. ∵22113327()6(3)24244

PAC PAQ PCQ S S S m m m ???=+=?-+?=--+, ∴当3m =时，PAC ?的面积最大为274

. 此时，P 点的坐标为（3，34

-）. …………………………………………10分

5．（2010山东烟台）（本题满分14分）

如图，△ABC 中AB=AC,BC=6,点D 位BC 中点，连接AD ，AD=4,AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为E 。

（1）试判断四边形ADCE 的形状并说明理由。

（2）将四边形ADCE 沿CB 以每秒1个单位长度的速度向左平移，设移动时间为t （0≤t ≤6）秒，平移后的四边形A ’D ’C ’E ’与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数表达式，并写出相应的t 的取值范围。

x

(第23题)

【答案】

6．（2010浙江嘉兴）如图，已知抛物线4212++-

=x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ．

（1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式；

（2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对

角线作正方形PEQF ．若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数

解析式，并探究S 的最大值．

【答案】（1）令0=y ，得042

12=++-x x ，即0822=--x x ， 解得21-=x ，42=x ，所以)0,4(A ．令0=x ，得4=y ，所以)4,0(B ．

设直线AB 的解析式为b kx y +=，则???==+404b b k ，解得?

??=-=41b k ， 所以直线AB 的解析式为4+-=x y ． …5分

（2）当点),(x x P 在直线AB 上时，4+-=x x ，解得2=x ， 当点)2,2(x x Q 在直线AB 上时，42

2+-=x x ，解得4=x ． 所以，若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，则42≤≤x ． …4分

（3）当点)2

,(x x E 在直线AB 上时，（此时点F 也在直线AB 上） 42

+-=x x ，解得38=x ． ①当3

82<

≤x 时，直线AB 分别与PE 、PF 有交点，设交点分别为C 、D ， 此时，42)4(-=+--=x x x PC ， 又PC PD =，

所以22)2(221-==?x PC S PCD ， 从而，22)2(241--=x x S 88472-+-=x x 7

8)716(472+--=x ． 因为387162<≤，所以当7

16=x 时，78max =S ． O A B P E

Q F x y （第24题） O

A B P E Q

F

x y （第24题） C D

②当

43

8≤≤x 时，直线AB 分别与QE 、QF 有交点，设交点分别为M 、N ， 此时，42)42(+-=-+-=x x x QN ， 又QN QM =，

所以22)4(2121-==?x QN S QMN ， 即2)4(2

1-=x S ． 其中当38=x 时，98max =S ． 综合①②得，当7

16=x 时，78max =

S ． …5分

7．（2010 嵊州市提前招生）（14分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0，2），点C （－1，0），如图所示：抛物线2

322-+=ax ax y 经过点B 。 （1）写出点B 的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）若三角板ABC 从点C 开始以每秒1个单位长度的速度向x 轴正方向平移，求点A 落在抛物线上时所用的时间，并求三角板在平移过程扫过的面积。

（4）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】（1）B （－3，1）

（2）2

361312-+=x x y （3）略

（4）P （1，－1）

8．（2010 浙江省温州市）(本题l4分)如图，在RtAABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作射线BBl ∥AC ．动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 出发沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点E 作EF 上AC 交射线BB 1于F ，G 是EF 中点，连结DG ．设点D 运动的时间为t 秒．

O A B x y （第24题 备用）

P

E Q

F M N

(1)当t 为何值时，AD=AB ，并求出此时DE 的长度；

(2)当△DEG 与△AC B 相似时，求t 的值；

(3)以DH 所在直线为对称轴，线段AC 经轴对称变换后的图形为A ′C ′．

①当t>5

3时，连结C ′C ，设四边形ACC ′A ′的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式； ②当线段A ′C ′与射线BB ，有公共点时，求t 的取值范围(写出答案即可)．

【答案】

9．（2010 浙江台州市）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．

（1）求证：△DHQ∽△ABC；

（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；

（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？

HQ ⊥AB ， HD =HA ，

（2）①如图1

，当5.20≤

ED =x 410-，QH =x A AQ 4

3tan =

∠， 此时x x x x y 4152343)410(212+-=?-=． 当4

5=x 时，最大值3275=y ． ②如图2，当55.2≤

ED =104-x ，QH =x A AQ 4

3tan =

∠， 此时x x x x y 4

152343)104(212-=?-=． 当5=x 时，最大值475=y ． ∴y 与x 之间的函数解析式为?????≤<-≤<+-=).55.2(4152

3),

5.20(4152322x x x x x x y y 的最大值是

4

75． （3）①如图1，当5.20≤

若DE =DH ，∵DH =AH =x A QA 45cos =∠， DE =x 410-， ∴x 410-=x 45，21

40=x ． 显然ED =EH ，HD =HE 不可能；

②如图2，当55.2≤

若DE =DH ，104-x =x 45，11

40=x ； （图1）

C （图2）

若HD =HE ，此时点D ，E 分别与点B ，A 重合，5=x ；

若ED =EH ，则△EDH ∽△HDA ， ∴AD DH DH ED =，x x x x 2454

5104=-，103320=x ． ∴当x 的值为103

320,5,1140,2140时，△HDE 是等腰三角形. （其他解法相应给分）

10．（2010 浙江义乌）如图1，已知∠ABC =90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连结QE 并延长交射线BC 于点F .

（1）如图2，当BP =BA 时，∠EBF = ▲ °，猜想∠QFC = ▲ °；

（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明；

（3）已知线段AB =32，设BP =x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式．

【答案】

解:

（1）=∠EBF 30°

QFC ∠= 60

不妨设BP

, 如图1所示

∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP 图1 A

C

B E

Q F

P 图2 A B

E Q P

F C 图

1 A B E Q F P H

∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP

∴∠BAP=∠EAQ

在△ABP 和△AEQ 中 AB=AE ，∠BAP=∠EAQ ， AP=AQ

∴△ABP ≌△AEQ

∴∠AEQ=∠ABP=90°

∴∠BEF 180180906030AEQ AEB =?-∠-∠=?-?-?=?

∴QFC ∠=EBF BEF ∠+∠=3030?+?=60°

(事实上当BP

时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）

(3)在图1中，过点F 作FG ⊥BE 于点G

∵△ABE 是等边三角形 ∴BE=AB=32，由（1）得=∠EBF 30° 在Rt △BGF

中，2BE BG =

= ∴BF=2cos30BG =?

∴EF =2 ∵△ABP ≌△AEQ ∴QE=BP=x ∴QF =QE ＋EF 2x =+

过点Q 作QH ⊥BC ，垂足为H 在Rt △QHF

中，sin 602)y QH QF x ==?=

+ （x ＞0） 即y 关于x

的函数关系式是：y x =11．（2010 浙江义乌）如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）．

（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；

（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2）．用含S 的代数式表示2x －1x ，并求出当S =36时点A 1的坐标；

（3）在图1中，设点D 坐标为（1，3），动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴．．．

围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由． 图2 A

B

E

Q

P

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